2.1 认识一元二次方程-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

∠BAE+∠EAC=90°，即AB⊥AC.故①正确..·四边形 ABCD为平行四边形，.∴.AD=BC=2AB,O为AC的中 点.：E为BC的中点OE=名AB.AD=4OE.故 ②正确.，在□ABCD中，AD∥BC,AD=BC,OA=OC, ∴.∠OAF=∠OCE.在△AOF和△COE中， ∠OAF=∠OCE, OA=OC. ∴.△AOF≌△COE..AF=CE. ∠AOF=∠COE, AFCE,∴.四边形AECF是平行四边形.又：AE= CE,∴四边形AECF是菱形.故③正确.OA=OC,E 1 为BC的中点，一.S△E=2S△c=4S△A.故④正确. 12.(1)四边形ABCD是矩形.理由：：四边形ABCD是 平行四边形，.ADBC,AD=BC.:AC∥DE,∴.四边 形ACED是平行四边形.∴.AF=EF,:'AD∥EC, ∴∠DAF=∠FEC.:∠DAF=∠FBE,∴.∠FBE= ∠FEB..FB=FE=FA.∴.∠FAB=∠FBA.易得 FBA+∠FBE18090,即∠ABE=90..四边形 ABCD是矩形.(2)当AD=2CF时，四边形ABCD是 正方形.理由：由(1)可知，四边形ACED是平行四边形， :易得DF=CF=2CD=号AB.AD=20FAB AD.由(1)可知，四边形ABCD是矩形，∴.四边形ABCD 是正方形 13.(1)连接BD,交AC于点O.:'四边形ABCD是平行 四边形，∴.BO=DO.:BE=EF,∴.OE是△BDF的中 位线..OE∥DF,即DF∥AC.(2)由(1)得DF∥AC, 第二章 1认识一元二次方程 1.Dx2+】=2不是整式方程，故A错误2x2十x十2= 2x2,整理得x十2=0，是一元一次方程，故B错误；a.x十 b.x十c=0(a≠0)是一元二次方程，故C错误：2x2=0是一 元二次方程，故D正确. 2.C由题知，当x=1.2时，ax2+bx十c=0.84,当x= 1.3时，ax2+bx十c=2.29,且0.84<1<2.29，∴.方程 ax2十bx十c=1必有一个根满足1.2<x<1.3. 3.-3把x=0代入一元二次方程(k-3)x2+5x+k2 .∠DFG=∠CEG,∠GDF=∠GCE..·G是CD的中 点，∴.DG=CG.∴.△DFG≌△CEG.∴FG=EG.∴.四 边形CFDE是平行四边形.，四边形ABCD是平行四边 形，∴.ABCD.又，AB⊥BF,.CD⊥BF..平行四边 形CFDE是菱形.(3)四边形ABCD是平行四边形， .BC=AD,CD=AB=2.,四边形CFDE是正方形， DE=CE-=号CD=E,BE=BF=CD=2,∠DC= 90°..∠AED=90°.AB⊥BF,.∠ABE=90°.∴.AE= √AB2+BE=V√22+22=22.∴.AD=√AE2+DE2= √/(22)2+(2)2=√/10.∴.BC=√10. 14.(1)EH⊥BC,FG⊥BC,.∠FGH=∠FGB= 90°，EHFG.由题意，知BF=2tcm,EH=tcm.在菱 形ABCD中，∠ABC=60°，.∠CBD=30°.∴.FG= 号BF=1cmEH=FG.四边形EFGH是平行四边 形.∠FGH=90°，.四边形EFGH是矩形. (2)△BFC与△DCE能够全等.：在菱形ABCD中， ∠ABC=60°，AB=23cm,∴.∠ADC=∠ABC=60°， CD=AB=2√3cm,AB∥CD.,∴.∠CBD=∠CDB=30°， ∠DCH=∠ABC=60°.DH⊥BC,∴.∠CHD=90. ∴.∠CDH=90°-60°=30°=∠CBF.∴.在Rt△CDH中， CH三2CD=3cm.∴DH=CD-C √(23)2-(W3)2=3(cm).:EH=tcm,.DE=(3- t)cm.易知当△BFC2△DEC时，BF=DE..2t=3-t, 解得t=1. 元二次方程 9=0得k2一9=0，解得k1=3,k2=一3.k一3≠0，∴.k 的值为一3. 4.x2=10(x一3)十x一元二次周瑜去世时年龄的个位 数字为x,则十位数字为(x一3)，年龄可表示为10(x一3)+ x.根据个位数字的平方等于年龄，得x2=10(x一3)十x, 是一元二次方程. 5.(1)整理，得4y2-5y=0,是一元二次方程，二次项系数 为4，一次项系数为一5，常数项为0.(2)整理，得x3十 3x2-5.x十1=0，不是一元二次方程.(3)整理，得2m2 4m十9=0，是一元二次方程，二次项系数为2，一次项系数 6 为一4，常数项为9. 易错警示 忽视系数应包括前面的符号而致错 判断一个方程是否为一元二次方程，首先看方程是 否为整式方程，若不是整式方程，则直接排除；若是，则 进行化简，看方程是否同时满足“一元”“二次”“二次项 的系数非零”，这几个条件缺一不可，若忽视各项系数应 包括前面的号，则会把一次项系数和常数项的符号 弄错 6.D(m一3)x2十m2x=9x十5变成一般形式为(m 3)x2+(m2-9)x-5=0.由题意得m-3≠0，m2-9=0, 解得m=一3. 7.A根据平移法，核心游泳区可看成长为(40一x)m、宽 为(22一x)m的矩形，由面积得(40一x)(22一x)=600. 8.6(m-3)2+(m+1)(m-1)=m2-6m+9+m2- 1=2m2-6m十8，：m是方程x2-3.x十1=0的一个根， .m2-3m+1=0,即m2-3m=-1..原式=2(m2 3m)+8=-2+8=6. 9.x=22.5<x<3根据表格中的数据，可以发现，当 x=2时，5.x2-24x+28=0,∴.方程5x2-24x+28=0的 个根是x=2.又：当x=2.5时，5x2-24x+28=-0.75, 当x=3时，5x2-24x十28=1，.一元二次方程5.x2- 24x十28=0的另一个根的取值范围是2.5<x<3. 10.(1)由一元一次方程定义，得当m-1=0且m-3≠0 或m一1≠0且m2+1=1,m-1十m一3≠0时，(m 1)xm2+1+(m-3)x十1=0是一元一次方程，即当m=1 或m=0时，(m-1)·xm2+1+(m-3).x十1=0是一元一 次方程.(2)当m一1≠0且m2+1=2,即m=一1时，此 方程是一元二次方程，这个方程为一2x2一4x+1=0,它的 二次项系数为一2，一次项系数为一4，常数项为1. 1 11.由题意，得20=251-2 ×10t2,即-5t2+25t-20= 0,化简，得2-51十4=0(1>0). 列表如下： 1 2 t2-51+4 0 -2 -2 0 由表，可知1s或4s后它在离抛出点20m高的地方. 12.(1)y2-y一2=0.设所求方程的根为y,则y=-x, .x=一y.把x=一y代入已知方程，得（一y)2十 (-y)-2=0.化简得y2-y-2=0,故所求方程为y2- y-2=0. (2)设所求方程的根为y,则y= y 代人已知方程，得2（号）°-7·号+3=0.化简得3y2 7y+2=0,即所求方程为3y2-7y+2=0. 2一元二次方程的解法 第1课时配方法（二次项系数为1） 1.Ax2-2x-2025=0,移项得x2一2x=2025.配方得 x2-2x+1=2026,即(x-1)2=2026,.a=-1,b= 2026.∴.a=(-1)2026=1. 2.Dx2一2x=35,配方得x2-2x十1=36，即(.x-1)2= 36,开方得x一1=士6，解得x=土6+1，故x1=7,x2= -5. 3.>2 5 移项得x2-2π+p2=2p-5,配方得(x一p)2= 2p-5.当2p-5>0,即p>号时，方程有两个不相等的实 数根。 4.43x1=-4+3,x2=-4-3x(x十8)+13=0， 化简得x2+8x十13=0，移项得x2+8x=-13,配方得 x2+8x+16=一13+16，即(x+4)2=3,开方得x+4 士3，解得x1=一4十√3，x2=-4-√3， 5.(1)x1=2+√6，x2=2-6.(2)x1=4,x2=1. (3)原方程没有实数根 6B通过配方得p=多9=只把g=-代人2+ 4 5x+9=-1得x2+5x-号-1.配方得(c+2)广=8 4 即(x十p)2=8. 7.AN-M=a2-a-a+1=a2-2a+1=(a-1)2≥0， ∴.N≥M. 方法归纳 巧用配方法比较两个整式的大小 先将两个整式作差化简得一个多项式，再利用配方 法将这个多项式中的二次项和一次项进行配方变形后， 可将多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的形 式，再根据完全平方式的非负性可得出该多项式的正负 性，进而比较大小第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2025郑州期未]下列方程中，是一元二次方程的为 () Ax2+1=2 B.2x2+x+2=2x2C.a.x2+bx+c=0 D.2x2=0 2.根据下列表格的对应值： 1 1.1 1.2 1.3 ax2+bx+c -2 -0.59 0.84 2.29 由此可判断方程ax2+bx十c=1必有一个根满足 A.1<x<1.1 B.1.1<x<1.2 C.1.2x<1.3 D.x>1.3 3.若关于x的一元二次方程(k一3)x2十5x十k2一9=0有一个根为0，则k的值为 4.舒情境学科融合小明同学改编了苏轼的《念奴娇·赤壁怀古》，改编后的部分内容大意如下：周瑜 去世时年龄为两位数，且已过而立之年，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等 于该数.若设周瑜去世时年龄的个位数字为x,则可列方程为 ,是 (填 “一元一次”“一元二次”或“二元一次”)方程。 5.易错题判断下列方程是不是一元二次方程，若是，请化成一般形式，并指出它们的二次项系数、 一次项系数和常数项. (1)3y=4y(2-y). (2)x2(3+x)+1=5.x. (3)3+2m2=2(2m-3. 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 6.关于x的一元二次方程(m一3)x2+m2x=9x十5化为一般形式后不含一次项，则m的值为 () A.0 B.±3 C.3 D.-3 7.转化写化归思想如图，某度假村有一块长40m、宽22的矩形泳池区域.为方便管理，需划分出核 心游泳区（两个全等矩形）和等宽的池边步道（含入口和出口），若核心游泳区的总面积为600，求 池边步道的宽度.设池边步道的宽度为x,则x应满足的方程是 () A.(40-x)(22-x)=600 40 B.(40-2x)(22-x)=600 核心游泳区 C.(40-x)(22-2x)=600 22 ◇ 池边步道 出 D.(40-2x)(22-2x)=600 核心游泳区 单位：m (第7题) 23 拔尖特训·数学（北师版）九年级上 8.已知m是方程x2一3.x+1=0的一个根，则代数式(m一3)2+(m+1)(m一1)的值为 9.观察下表，从表中得出方程5.x2一24x+28=0的一个根是 ,另一个根的取值范围是 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 5x2-24x+28 28 17.25 9 3.25 0 -0.75 1 5.25 12 10.已知关于x的方程(m-1).xm+1+(m-3)x十1=0. (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当为何值时，此方程是一元二次方程？写出这个一元二次方程及它的二次项系数、一次 项系数和常数项. 1.®学科融合对于向上抛的物体，在没有空气阻力的条件下，满足如下关系：h=t一28t, 其中，hm是物体离抛出点所在平面的高度，vm/s是物体的初速度，gm/s2是重力加速度(g 取10)，ts是物体抛出后所经过的时间.如果将一物体以25m/s的初速度向上抛，那么几秒后 它在离抛出点20m高的地方？ 道]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲山 12.阅读材料： 问题：已知方程x2十x一1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍. 解：设所求方程的根为y,则y=2xx一兰把x=兰代入已知方程，得()十-1=0.化 简，得y2+2y-4=0,故所求方程为y2+2y一4=0. 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”. 请根据阅读材料提供的“换根法”求新方程.（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程x2+x一2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所 求方程为 (2)已知方程2x2一7x+3=0,求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数， 24 “答案与解析”见PI6