21.4 第2课时“抛物线”模型问题-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

拔尖特训·数学（沪科版）九年级上 第2课时“抛物线”模型问题 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2026毫州蒙城期末]如图，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度，他先测出 门的宽度AB=8m,再用一根长为4m的竹竿CD接触地面和门的内壁(CD⊥AB),并测得 AC=1m,则门高OE为 () A.9m B. 64 7 m C.8.7m D.9.3m c/20mD D 48m ACOB 33m (第1题) (第2题) 2.如图，马鞍山长江大桥右汉主桥的桥塔形状类似抛物线，大桥净宽33m,两侧距桥面48处各 有一个斜拉线的固定点，两固定点的水平距离为20，则桥塔的高度约为 (精确到1m, 水泥建筑物厚度忽略不计). 3.教材变式题[2025新疆中考]天山胜利隧道预计于2025年建成通车，它将成为世界上最长的高速 公路隧道，能大大提升区域交通效率，促进经济发展.如图所示为隧道的截面图，其轮廓可近似看 作是抛物线的一部分.若隧道底部宽12米，高8米，按图中所示的方式建立平面直角坐标系 (1)求抛物线对应的函数表达式. (2)该隧道设计为单向双车道通行，车辆顶部在竖直方向上与隧道的空隙不小于0.5米，当两辆 车在隧道内并排行驶时，需沿中心线两侧行驶，且两车至少间隔2米（中心线宽度不计）.若宽 3米、高3.5米的两辆车并排行驶，则能否安全通过？请说明理由. y/米 甲 车 0一12米x/米 (第3题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.新情境生活实际[2025六安霍邱段考]如图所示为喷水管OA从点A向四周喷出水花的喷泉截 面示意图，喷出的水花是形状相同的抛物线.以O为原点，水平方向为x轴，OA所在直线为 20 第21章二次函数与反比例函数 y轴，建立平面直角坐标系.点C,D为水花的落水点且均在x轴上，其中右侧抛物线对应的函数 表达式为y=a(x一4)2+5，喷水管OA的高度为3m. ↑y/m (1)a的值为 (2)现重新改建喷泉，降低喷水管的高度，使落水点与喷水管的水平 0 D x/m 距离为9m,则喷水管OA要降低的高度为 m, (第4题) 5.舒境生活实际如图①是一个蔬菜大棚的横截面示意图，大棚截面顶部ADB的形状是抛物线， 此截面上有7根垂直于地面AB的支柱(CD,MN是其中的两根支柱)，相邻两根支柱之间的距 离均为4（支柱的粗细忽略不计），地面的两端点A,B与最近的支柱之间的距离也是4m,以A 为坐标原点，地面AB为x轴，建立如图②所示的平面直角坐标系，中间最高的支柱CD的高度 是12m. (1)求大棚截面顶部抛物线对应的函数表达式. (2)此截面上支柱MN在支柱CD的左边，且它们之间还有一根支柱，求支柱MN的高度. (3)小娟说：“垂直于地面的7根支柱中，一定有支柱的高度恰好是支柱CD高度的子，”小娟的说 法正确吗？请说明理由. ↑y/m D M 拱顶 A N C B地面 (AO N C B x/m ① ② (第5题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 6.如图，拱桥曲线呈抛物线形，主桥底部跨度OA=400m,以O为原点，OA所在直线为x轴，建立 平面直角坐标系，E为抛物线的顶点，立柱AB,CD,GH都与x轴垂直，BNOA,BC=120m, HF=40m.若F,G,O三点共线，B,D,O三点共线，则 HG EF CD 'AB ↑y/m A x/m (第6题) ●“答案与解析”见D14 21菜园的总长为(16十6.6+5)=27.6m,在射线OC上的长 为276-2 m,S=x.27.6,2=-x2+13.8x= 2 2 一(x-6.9)2+47.61.-1<0,..当x>6.9时，S随x 的增大而减小..当x>8时，S<46.4.综上所述，该矩形 菜地的最大面积是46.4m. DU DU ⊙ ② (第7题) 第2课时“抛物线”模型问题 1.B由题意，得抛物线过点A(一4,0)，B(4,0),D(一3， 4),.设y=a(x+4)(x-4).把D(-3,4)代人y= a(x十4)(x-4,得4=-7a,解得a=-7.y= -专c十4(x-4.令x=0,得y-头，即E(0,). 0E-头门高0E为m 2.76以桥面为x轴，它的中垂线为y轴，建立如图所示 的平面直角坐标系.，抛物线关于y轴对称，∴.可设其表 达式为y=a.x2+k.由抛物线过点(16.5,0)，(10,48)，得 192 16.52a+k=0 a= 6891 解得 ∴.抛物线对应的函数表 102a+k=48. k 52272 689 达式为y= 192十232.令x=0.得y 689 2272≈76. 689 689 ∴.桥塔的高度约为76m. ◆y/m C /20mD 48m ￥0 33m7m (第2题) 3.(1)由题意，得抛物线的顶点坐标为(6,8).设抛物线对 应的函数表达式为y=a(x一6)2十8(a≠0)，将(12,0)代 人，得a(12-6护+8=0，解得a=一号.抛物线对应的 D 数表达式为y三一。(x一6)+8(0≤x12).(2)能 安全通过理由：是-兰-3=2（米将x=2代人y -号x-6)r+8得)=-号×2-6y+8智：智 9· 9 35=是米)，005能安全道过 4(D一石由题意，得A(0,了）将A(0,)代入y aG-0+5(c≥0，得号=aX0-4)+5解得a= -628 设喷水管OA要降低的高度为bm,则降 低商度后右侧揽物线对应的函数表达式为y-一吉（：一 4)2+5-b,将(9,0)代人y=二6(x-42+5-6,得 0=一号×(0一4)+5-6，解得6=号，即喷水管QA要降 5 低的高度为6m. 5.(1)由题意知，点D的坐标为(16,12).设抛物线对应的 函数表达式为y=a(x一16)2+12，将(0,0)代入y= a(x-16)2+12,得a(0-16)2+12=0,解得a=-6 二64x一16P+2.(2)”此截面上有7根 于地面AB的支柱，相邻两根支柱之间的距离均为4m,此 截面上支柱MN在支柱CD的左边，且它们之间还有一根 支柱，4×2=8(m),.点M与点D之间的水平距离是 8m.又.点D的坐标为(16,12)，∴.点D的横坐标是16. .点M的横坐标为16一8=8.将x=8代入y 3 3 (x-16)+12,得y=一×(8-16)2+12=9.支 柱MN的高度为9m. (3)小娟的说法不正确.理由： 1 :中间最高的支柱CD的高度是12m,CD=3m.当 y=3时，3=一品-16+12，解得x=16士8.由(2， 得点D的横坐标是16.：'相邻支柱之间的距离均为4m, ∴.所有支柱底端点的横坐标都是4的整数倍.∴.不存在支 柱的高度恰好是支柱CD高度的子.一小娟的说法不正确， 21 6.36 根据题意，可知抛物线过点A(400,0),O(0, 14 0),故可设抛物线对应的函数表达式为y=ax(x一400) (a<0).:E为抛物线的顶点，∴.E(200,一40000a) AB⊥x轴，点B的横坐标为400.BN∥x轴， ∴.点H,F,C,B的纵坐标相同.FE∥HGCD∥AB∥ y轴，BC=120m,∴.设H(160,n),C(280,n).HG∥ y轴，∴.G(160,-38400a.同理可得D(280,一33600a. 设直线OG对应的函数表达式为y=kx,则一38400a= k×160,解得k=-240a.∴.y=-240a.x.·F,G,O三点 共线，∴.yr=-48000a,即n=-48000a.∴.H(160, -48000a),C(280,-48000a)..∴.HG=-48000a (-38400a)=-9600a(m),CD=-48000a- (-33600a)=-14400a(m),AB=-48000am. .E(200,-40000a),F(200,-48000a),∴.EF= -4800a-(-4000a)=-800a(m.·. HG -9600a=2EF=-8000a=1 -14400a3'AB-48000a6 第3课时实际问题中的其他最值问题 1.A根据题意，设抛物线对应的函数表达式为y= 4a十k=8, a(x-2)2+k,将C(0,8),B(8,0)代入，得 解 {36a+k=0, a=- 1 得 4’.抛物线对应的函数表达式为y= k=9 子-2)+8：当1=2时y=9,即AD=9m 2.220·该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，过 点(1,165)，(0,0)，(4,0)，∴.抛物线的对称轴为直线I=2. 设抛物线对应的函数表达式为P=a(I一2)2+k, (165=(1-2)2a+k, a=-55, 解得 .P=-55( 《0=(4-2)2a+k, k=220. 2)2+220.-55<0,.P有最大值，为220，即变阻器R 消耗的电功率最大为220W. 3.(1)由题意，得每对红灯笼的利润为(50十x一35)元，每 天的销售量为(98一2x)对.，销售单价不高于65元， .50+x≤65，得x≤15..0≤x≤15..W=(50+x- 35)(98-2x)=-2x2+68x+1470(0x15).(2)由 (1),得W=一2x2+68x+1470=-2(x一17)2+2048. 一2<0，.二次函数的图象开口向下，函数有最大值. 其图象的对称轴为直线x=17,0≤x≤15，∴.当x=15 时，W取得最大值，此时销售单价为50+15=65（元）.将 D x=15代人表达式，得W=一2×152+68×15+1470= 2040.∴.当红灯笼的销售单价为65元时，一天获得的利润 最大，最大利润是2040元. 4.D设种植茶树的利润y(万元)与投入的资金x(万元) 之间的函数表达式为y=kx.把P(1,2)代人y=kx,得 =2,∴.种植茶树的利润y(万元)与投入的资金x(万元) 之间的函数表达式为y=2x.设种植果树的利润y(万元) 与投人的资金x(万元)之间的函数表达式为y=ax2.把 Q(2,2代人y=ar,得2=4，解得a=号·种植果树 的利润y(万元)与投人的资金x(万元)之间的函数表达式 为y一子，设这位专业户投入种植果树的资金为m万 元，则投入种植茶树的资金为(10一m)万元.设他获得的利 涧为w万元由题意，得0=2(10-m)十2m2=2m 2m2- 2m+20=号(m-2y+18:2>0,0≤m≤10，当 1 m=10时，0最大微=50..他能获得的最大总利润是 50万元. 5.(1)由题意，知当=10时，h=-5t2+10t=-5(t- 1)2+5..一50，∴.抛物线开口向下，有最大值.∴.当 t=1时，h最大微=5，即当t=1时，石块被抛出的高度最大， 最大高度是5m.(2)①由h=一5t+v,t知，抛物线的 对称轴为直线1=一2X器当：=品时，A -(份厂+w·品-器=20，整理，得6=00，解得 。=20或=一20（不符合题意，舍去）..石块被抛出时 的速度是20m/s.②他的说法正确.理由：由(2)①，得 h=-5t2+20t.当h=15时，15=-5t2+20t,解得t,=1, t2=3..3一1=2(s),∴.他的说法正确. 6.2√2m如图，以E为原点，点E所在水平直线为 x轴，直线GE为y轴，建立平面直角坐标系，记CH与 y轴的交点为S,则点E的坐标为(0,0).设抛物线对应的 函数表达式为y=a.x2.,CD=12cm,EG=9cm,∴.C(6, 9.将C(6,9)代人y=ar,得a×6=9,解得a=子 “抛物线对应的函数表达式为y=.”把瓷豌绕 点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当∠ABM=45°时停止， .旋转前CH与水平方向的夹角为45°.易设直线CH对 15