21.2 第2课时二次函数y=ax2+k的图象和性质-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

拔尖特训· 数学（沪科版）九年级上 第2课时 二次函数y=ax2+k的图象和性质 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.对于抛物线y=一2x2十4，下列结论正确的是 () A.开口向上 B.当x>0时，y随x的增大而减小 C.当x=0时，y取得最小值4 D.当-2<x≤1时，y的取值范围是一4<y≤2 2.函数y=a.x一a和y=a.x2+2(a为常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是() D 3.*若二次函数y=(m十1)x2十m2一9有最大值，且将其图象向下平移7个单位长度后过原点，则 m的值为 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=Qx2+5与y轴交于点A,过点A且与 x轴平行的直线交抛物线y=日2于点B,C,则BC的长为 5.已知二次函数y=a.x2+2的图象经过点(1，一1). (第4题) (1)求该二次函数的表达式. (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象. (3)写出此函数图象的开口方向、对称轴及顶点坐标. (4)已知点（一2，y1),(一1，y2),(1.5,y3)都在此函数图象上，试比较y1,y2,y3的大小. y 432012.34x (第5题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.★已知二次函数y=ax2十k,当x分别取x1,x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1十x2时， 函数值为 () A.a十k B.a-k C.-k D.k 4 第21章二次函数与反比例函数 7.如图，P是函数y=子x2-1图象上的动点，当点P在x轴上方时，过点P作PHL x轴于点H,连接PO.小华用几何画板软件对PO,PH的数量关系进行了探讨，发 现PO一PH是个定值，则这个定值为 (第7题) 8西直叉题已知平面直角坐标系中两点P(xy).Q(xy),其中y=≥0)， 则称Q Γ-y(x<0), 是点P的可控点.若点P(x,y)满足y=一x2+16(-5≤x≤a),可控点Q(x,y')满足一16< y'≤16，则实数a的取值范围是 9,[2025安庆太湖段考已知抛物线y2+1具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F0,2》 的距离与到x轴的距离相等如图，点M的坐标为5,3)，P是抛物线y=子+1上一动点， 连接PM,PF,MF,OP. (1)当△POF的面积为4时，求点P的坐标. (2)求△PMF周长的最小值. (第9题) 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 10.舒考新定义题定义：若一个函数图象上存在纵坐标是横坐标2倍的点P,则称P为这个函数 图象的“2倍点”.例如，(2,4)是函数y=x+2的图象的“2倍点” (1)一次函数y=4x+2的图象的“2倍点”的坐标是 ,二次函数y=x2一8的图象的 “2倍点”是 (2)若关于x的二次函数y=x2十c(c为常数)的图象上存在两个“2倍点”，求c的取值范围. (3)设关于x的函数y=x2十m(m为常数)的图象上有且只有一个“2倍点”为A,关于x的函 数y=一x2+n(n为常数)的图象上有两个“2倍点”为A,B,求A,B两点的坐标， “答案与解析”见D2 5方法归纳 抛物线y=ax2中a的取值与开口的关系 对于抛物线y=ax2,a的正负决定抛物线的开口方 向，|a的大小决定抛物线的开口大小，a越大，开口越 小；a越小，开口越大」 7.(1)过点P作PB⊥y轴于点B.设点P的坐标为 (a.).PM-Pr-+1PB=lal. R△PBF中，BF=VPF-pB=√(a+)-laP- 子a2-1.:OB=子a,F为定点心易得点F的坐标 为(0,1.(2)：PM=PF,∴QP+PF的最小值为 QP+PM的最小值.易知当Q,P,M三点共线时，QP+ PM有最小值，最小值为点Q的纵坐标的绝对值与点M 的纵坐标的绝对值之和.∴.QP+P℉的最小值为|5十 -1=6. 8D0,.根据题意得y-子，则。-子品 1.∴.点F的坐标为(0,1).(2)由题意可知，抛物线y= 的对称轴是y轴，焦点为F,经抛物线反射后所得 1 的光线平行于抛物线的对称轴，即经抛物线反射后所得的 光线平行于y轴..AM∥y轴.AM所在的直线与x轴 的交点坐标为(4,0)，∴.点A的横坐标为4，纵坐标为y 点A的坐标为(4,4).①经抛至 得的光线平行于y轴，∴.BP∥y轴.画出沿射线FB方向 射出的光线的反射光线BP如图所示.②设直线AB对 应的函数表达式为y=kx十b(k≠0).把A(4,4),F(0,1) 4k十b=4, .3 代入，得 解得 b=1, k=1'.直线AB对应的函数 b=1. y= 表达式为y= 4x+1.联立 整理得x2 3 y=4x+1, 3x一4=0，解得x1=一1，x2=4.点B在y轴的左侧， ∴.点B的横坐标为一1.：BP∥y轴，∴.BP所在直线与 x轴的交点坐标为（一1,0） (第8题) D 第2课时二次函数y=ax2+k的图象和性质 1.B一20，.该抛物线开口向下.故A错误.抛 物线y=一2x2十4的对称轴为直线x=0,∴.当x>0时， y随x的增大而减小，当x<0时，y随x的增大而增大，当 x=0时，y取得最大值4.故B正确，C错误.若一2<x≤ 1,则当x=一2时，y取得最小值，最小值为一4；当x=0 时，y取得最大值，最大值为4.∴.当一2<x≤1时，y的取 值范围是一4<y≤4.故D错误 2.C函数y=ax2十2图象的顶点坐标为(0,2)，故A,B 不符合题意.由C,D中二次函数的图象可得，a<0, ∴.一a>0.∴.函数y=ax一a的图象过第一、二、四象限. 故C符合题意，D不符合题意。 3.-4 思路导引 函数有最大值 m+1<0 已知 m=-4 图象平移过原点 m-9-7=0 ,二次函数y=(m十1)x2十m2一9有最大值，.函数图 象开口向下.∴.m十1<0，即m<一1.将原二次函数图象 向下平移7个单位长度后，得y=(m+1)x2十m2一9一7， 即(m+1)x2十m一16的图象.：该函数图象过原点， ∴.m2-16=0,即m=±4.又m<-1,.m=-4. 方法归纳 二次函数y=ax2十k与y=ax2图象之间的关系 二次函数y=ax2十k与y=ax2的图象形状相同， 只是位置不同.抛物线y=ax2十k可由抛物线y=a.x 沿y轴向上（下）平移k|个单位长度得到.当>0时， 将抛物线y=a.x2沿y轴向上平移k个单位长度可得到 抛物线y=ax2十k;当k<0时，将抛物线y=ax2沿 y轴向下平移k个单位长度可得到抛物线y=ax2十k. 4.10抛物线y=ax2+5与y轴交于点A,∴.点A的 坐标为(0,5.在y-号x2中，当y=5时，5=号2，解得 x=士5，.点B的坐标为（一5,5），点C的坐标为(5,5). .BC=5-(-5)=10. 5.(1):二次函数y=a.x2+2的图象经过点(1，一1)， ∴.a十2=一1，解得a=一3.∴.该二次函数的表达式为 y=一3x2+2.(2)该函数的图象如图所示.(3)由(2) 中的函数图象可知，此函数图象的开口向下，对称轴为直 线x=0,顶点坐标为(0,2).（4)当x=一2时，y1= -3×(-2)2+2=-10;当x=-1时，y2=-3×(-1)2+ 2 2=-1;当x=1.5时，y3=-3×1.52+2=-4.75. -10<-4.75<-1,∴.y1<y3<y2. y =2 (第5题) 6.D由题意知，抛物线y=a2十k的对称轴为y轴，且 当x分别取xx2(,≠x)时，函数值相等，.十= 2 0,则x1十x2=0.将x=0代人y=ax2十k,得y=k. 方法归纳 抛物线对称轴的确定方法 当抛物线上两点的纵坐标相等时，如(x1,b),(x2, b),该抛物线的对称轴为直线=西十 2 7.2设p(,子x2-,则oH=l,PH-子x- 1当点P在x轴上方时，子x-1>0.∴PH=x 1.在Rt△OHP中，由勾股定理，得OP2=OH+PH x+(x2-1)=(x2+1)°，0p=x2+1. 0p-PH=1x2+1-(x2-1)=2. 8.√7≤a<4√2依题意知，y=-x2+16图象上的点P -x2+16(x≥0)， 的可控点必在函数y= 的图象上（如 z2-16(-5≤x<0) 图).当x=-5时，y=25-16=9.在y=-x2+16(x≥0) 中，当y=9时，x2=7.x>0,.x=√7.将y=16代入 -x2+16(x≥0)， y-女-16(-5K<0 解得x=0.将y=一16代入 -x2+16(x≥0)， y'= 解得x=42.,当-5≤x≤a x2-16(-5≤x<0), 时，可控点Q(x,y')满足一16<y'≤16，实数a的取值 范围是7≤a<42. 42 -5 0 7 -16 (第8题) D g.(D设点P的坐标为(，子x2+1小.“点F的坐标为 (0,2.OF=2△P0F的面积为4，.号X2X 1=4,解得x=士4.y=×(生4+1=5点P 的坐标为（一4,5）或(4,5).(2)如图，过点M作ME⊥ x轴于点E,与抛物线交于点P',连接P'F..·抛物线上任 意一点到定点F(0,2)的距离与到x轴的距离相等， ∴.PF=P'E.又MF为定值，∴.当点P运动到点P'处 时，△PMF的周长最小.F(0,2),M(3,3),.ME= 3,MF=√/(W3-0)2+(3-2)2=2.∴.MP'+P'F+MF= MP'+P'E+MF=ME+MF=3+2=5..∴.△PMF周长 的最小值为5. 0 E (第9题) 10.(1)(一1，一2)；(-2，一4)和(4,8).设一次函数y= 4x十2的图象的“2倍点”的坐标是(a,2a).将(a,2a)代人， 得4a十2=2a,解得a=-1.∴.一次函数y=4x+2的图 象的“2倍点”的坐标是（一1，一2）.设二次函数y=x2一8 的图象的“2倍点”的坐标是(b,2b).将(b,2b)代入，得2b b2-8,解得b=一2或b=4.当b=一2时，2b=-4;当b= 4时，2b=8.∴.二次函数y=x2一8的图象的“2倍点”的坐 标是（一2，一4）和(4,8).(2)设关于x的二次函数y= x2+c(c为常数)图象的“2倍点”的坐标是(k,2k).将(k, 2k)代入，得2k=2+c,即k2-2k十c=0.:关于x的二 次函数y=x2十c(c为常数)的图象上存在两个“2倍点”， ∴.关于k的一元二次方程k2一2k十c=0有两个不相等的 实数根.∴.△=(-2)2-4c>0,解得c<1.(3)设关于x 的函数y=x2十m(m为常数)图象的“2倍点”的坐标是 A(d,2d).将A(d,2d)代入，得2d=d2+m,即d一2d+ m=0.:关于x的函数y=x2十m(m为常数)的图象上有 且只有一个“2倍点”，∴.关于d的一元二次方程d一2d+ m=0有两个相等的实数根.∴.△=（一2）2一4m=0,解得 m=1.∴.d一2d十1=0，解得d,=d2=1.∴.点A的坐标 为(1,2).将A(1,2)代人y=-x2+n,得-12+n=2,解得 n=3.∴.这个函数的表达式为y=一x2十3.设点B的坐标 为(e,2e).将B(e,2e)代入y=-x2+3,得2e=-e2+3, 解得e=一3或e=1(即为点A的横坐标)..点B的坐标 为(-3，一6). 3