21.3 二次函数与一元二次方程-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

4.(1)二次函数的表达式可化为y=k(x一1)(x一5)， ∴.该函数图象恒过点(1,0)，(5,0.：点A在点B的左 侧，.定点A的坐标为(1,0)，定点B的坐标为(5,0) (2),直线AB就是x轴，∴.翻折前与翻折后的图象关于 x轴对称.∴.向上翻折部分对应的函数表达式为y= -kx2+6kx-5k(1≤x≤5).(3)①A(1,0),B(5, 0,.对称轴为直线x=1十5=3.将x=3代入y=kx2 2 6kx+5k,得y=一4k..·△ABP的面积为8，.(5一1)X 1-4X号-8k=士1.：k>0k=1.图象W 向上翻折部分对应的函数表达式为y=一x2十6x一5(1≤ x≤5).：1≤x≤4，顶点在AB之间的图象W上，该段图 象开口向下，对称轴为直线x=3,∴.当x=3时，y最大旗 4;当x=1时，y绿小微=0..当1≤x≤4时，图象W中y的 取值范围是0≤y≤4.②，直线y=m与图象W从左 到右依次交于C,D,E,F四点，∴.y=x2一6x十5的图象 与直线y=m交于点C,F,可得x2-6x十5=m.设C,F -6=6, 两点的横坐标分别为1，x2,.x1十x2=一 x1x2=5-m.∴.CF=|x1-x2|= √(x1+x2)2-41x2=√6-4(5-m)..y=-x2十 6x一5的图象与直线y=m交于点D,E,.一x2十6x一 5=m,易得DE=√/62一4(5十m)..CD=DE=EF, ∴.CF=3DE,即√62一4(5-m)=3×√62一4(5+m). 16 两边同时平方，解得m=5 21.3二次函数与一元二次方程 1.C易知函数y=a.x2一2ax十c图象的对称轴为直线 x=-2a=1.由表格数据可得，当x=一0.4时，y 2a -0.04<0;当x=-0.5时，y=0.25>0,∴.关于x的方 程a.2-2ax+c=0的较小根x1的取值范围是一0.5< x1<一0.4.，函数y=a.x2一2a.x十c图象的对称轴为直 线x=1,则1一（一0.4）+1=2.4,1一（一0.5）+1=2.5， ∴.关于x的方程ax2一2a.x十c=0的较大根x。的取值范 围是2.4x。<2.5. 2a<考且a≠1：二次函数y=(a-1)x2-2x+3的 图象与x轴有两个交点，∴.方程(a一1)x2一2x十3=0有 两个不相等的实数根.∴.△=（一2）2一4×(a一1)×3= D 16-12a>0,解得a<号.又a-1≠0，.a≠1，则a的取 值范阁是a<号且a≠1 易错警示 二次函数的二次项系数不能为零 题中的函数是二次函数，则隐含二次项系数不为0 此题容易漏掉α≠1的情况导致错解 3.(1)由图象可知，该函数的图象与x轴交于点（一1,0）， (3,0)...方程ax2十bx十c=0的两个根为x1=一1，x2=3. (2)由图象可知，不等式ax2十bx+c<0的解集为一1< x<3.(3)由图象可知，当0≤x≤3时，y的取值范围是 一4≤y≤0.(4)由图象可知，若方程a.x2+bx十c=k有 正一负两个实数根，则k必须大于抛物线y=ax2十bx十 c与y轴交点的纵坐标一3.∴.k的取值范围是k>一3. 4.D由题意可得，方程a.x2一2a.x十a一3=0的两根异 号，x1c2-a二3<0，解得0<a<3.该函数图象的开 口向上.故A不符合题意.：y-ax2-2ax十a-3(a≠0) 图象的对称轴为直线x=一2210>0，当x>1时， y随x的增大而增大.故B不符合题意.：当x=1时， y=-3,∴.该函数的最小值为一3.故C不符合题意.当 x=2时，y=4a-4a十a-3=a-3.0<a<3,∴.y<0. 故D符合题意 5.A将y=a.x2-2a.x+a十2(a<0)化成顶点式为y= a(x一1)2十2(a<0),∴.抛物线的对称轴为直线x=1. ∴.M,N两点关于直线x=1对称.根据题意，知抛物线在 点M,N之间的部分与线段MN所围区域（包括边界）恰有 5个整点，即这些整点是(0,0)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0) (如图).当x=0时，y=a十2：当x=-1时，y=4a+2, (0a+21, 解得一2a<一1. l4a+20, 3 M 3210 34 (第5题) 6.(108 :抛物线y=a.x2一x十2(a≠0)与x轴只有 一个交点，∴.△=(-1)2一4×aX2=1-8a=0,解得a= 日2)a≤-1或4<a<号 1 如图，观察图象可知，若 a<0,当x=一1时，y2,即a十32，即a一1，此时 六>寸满足条件a≤-1若0>0，当=2时， y≥1，即4a≥1，即a≥，且抛物线与直线MN有交点， 此时-≤2，满足条件，“.a≥是设直线MN对应的函 2a 数表达式为y=kx+m,把M(-1,2),N(2,1)代入，得 -k十m=2, k、1 3 解得 ,,直线MN对应的函数表 2k+m=1, 5 m3 y=ax2-x+2, 达式为y=一子x+号联立 1 1 ,5整理得 =-3x+3 3ax2-2x+1=0.△=(-2)2-4×3a×1=4-12a>0, ∴a<兮}<a<请足条件.综上所述，a的取值范 围是a<-1或a<行 1 0 (第6题) 7.(1)在y=mx十3中，令x=0,则y=3.∴.C(0,3).将 C(0,3)代入y=a(x一1)2+4，得3=a+4,解得a=-1. ∴.y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.(2)令y=-x2+ 2x十3=0，解得x1=一1,2=3.∴.B(3,0).由图象可知， a(x-1)2+4>mx+3的x的取值范围是0<x<3. (3)令-x2+2x十3=mz十3.整理，得x2+(m-2)x=0. 二次函数图象与一次函数图象只有唯一公共点C, ∴.△=(m-2)2=0.∴.m=2. 8.(1)①x=-4或x=0或x=4.②-3<a<1. (2)把(0，-3)代入y=x十b,得b=一3.令x十b= 一(x一2)2十1，整理得x2一3x十b十3=0，则△=（一3）2 46+3)=0,解得6=-子.当函数y=-(-2+ 1的图象与直线y=x十b有三个交点时，b的值为一3或 .3)如图，将函数y=-(x-2y+1的图象向 3 右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度可得到函数 y,=-(x-1-2)2+3的图象.由图象可知，当2<y,≤ 3时，自变量x的取值范围是一2<x<0或2<x<4. (第8题) 21.4二次函数的应用 第1课时几何图形问题 1.B设BE=xm,则AE=(8-x)m,DG=2BE=2xm, AG=(8+2x)m.设绿地AEFG的面积为ym.根据题意， 得y=AE·AG=(8-x)(8+2x)=-2x2+8x+64= 一2(x一2)2+72.一2<0，.当x=2时，y有最大值 72,即当BE=2m时，绿地AEFG的面积最大 2.17.5设BC的长为xm,△ABC的面积为ym,则 AC=(12-x)m,∴.y= 2x(12-x)=-1 (x-6)2+ 18:一<0当x<6时y随x的塔大而塔大由题 意知，x5,·当x=5时，y有最大值，为17.5.∴.△ABC 的最大面积为17.5m2 易错警示 忽视自变量的取值范围致错 在实际问题中，函数的最大值受自变量取值范围的 限制，本题中，由于自变量取不到6，则△ABC的最大面 积就不可能等于18m. 3. 思路导引 设AB的 BC的长为 长为xm (24-3x)m 矩形花圃的面积为x(24-3x)m 二次函数S=24x-3x 结合实际确定自 二次函 变量的取值范围 数的性质 S为45 S的 时x的值 最大值 12拔尖特训·数学（沪科版）九年级上 21.3二次函数与一元二次方程 边一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.[2025合肥期中]二次函数y=ax2一2ax+c中x和y的部分对应值如下表： -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 … -0.31 -0.04 0.25 0.56 0.89 … 关于x的方程ax2一2a.x+c=0的一个较大根xo的取值范围是 ( A.-0.5<xo<-0.4B.-0.5<x0<-0.6C.2.4<xo<2.5 D.2.5<xo<2.6 2.易错题[2025马鞍山花山期中]已知关于x的二次函数y=(a一1)x2一2x十3的图象与x轴有 两个交点，则a的取值范围是 3.二次函数y=ax2十bx十c的图象如图所示，根据图象解答下列问题： (1)写出方程ax2+bx+c=0的两个根， (2)写出不等式ax2+bx十c<0的解集. (3)当0≤x≤3时，写出y的取值范围. (4)若方程ax2+bx十c=k有一正一负两个实数根，求k的取值范围. 3-21012月45x (第3题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.[2025陕西中考]在平面直角坐标系中，二次函数y=a.x2一2a.x+a-3(a≠0)的图象与x轴有 两个交点，且这两个交点位于y轴的两侧，则下列结论正确的是 () A.图象的开口向下 B.当x>0时，y的值随x值的增大而增大 C.函数的最小值小于一3 D.当x=2时，y<0 5.考回新定义题定义：在平面直角坐标系中，若点A满足横、纵坐标都为整数，则把A叫作“整 点”.例如：B(3,0),C(一1,3)都是“整点”.已知抛物线y=a.x2一2ax十a+2(a<0)与x轴交于 M,N两点.若该抛物线在点M,N之间的部分与线段MN所围区域（包括边界）恰有5个整点， 则a的取值范围是 () A.-2≤a<-1 B.-1≤a<0 C-1s<-司 D.-2≤a<0 6.[2025合肥蜀山期末]在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2一x十2(a≠0)和点M,N,其中 点M,N的坐标分别为（一1,2），(2,1). 16 第21章二次函数与反比例函数 (1)若抛物线y=ax2一x十2(a≠0)与x轴只有一个交点，则a的值为 (2)若抛物线y=a.x2一x+2(a≠0)与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是 7.如图①，在平面直角坐标系中，二次函数y=a(x一1)2+4(a为常数，且a≠0)的图象与x轴交 于点A,B(点A在点B的左侧)，与一次函数y=mx+3(m为常数，且m≠0)的图象相交于 y轴，交点为C (1)求二次函数的表达式. (2)如图②，若一次函数图象也经过点B,且a(x一1)2十4>mx十3，根据图象，写出x的取值 范围. (3)若二次函数图象与一次函数图象只有唯一公共点C,求m的值. ② (第7题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 8.数形结合思想小明在学习了二次函数后，对函数y=一(x|一2)2+1进行了研究.他通过列表、描 点、连线得到了如图所示的函数图象，请根据函数图象解答下列问题： (1)①方程一(x一2)2+1=-3的解为 ②当关于x的方程一(|x|一2)2+1=a有四个实数根时，a的取值范围是 (2)当函数y=一(x|一2)2+1的图象与直线y=x+b有三个交点时，求出b的值， (3)将函数y=一(x|一2)2+1的图象经过怎样的平移可得到函数y1=一(x一1一2)2+3的 图象？请写出平移过程，并直接写出当2<y1≤3时，自变量x的取值范围 (第8题) ●“答案与解析”见D11 17