2.2一元二次方程的解法（分层作业，14大题型）数学新教材北师大版九年级上册

分层作业 2.2 一元二次方程的解法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 解一元二次方程——直接开平方法 题型02 解一元二次方程——配方法 题型03 公式法解一元二次方程 题型04 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型05 根据一元二次方程根的情况求参数 题型06 因式分解法解一元二次方程 B组 能力进阶 题型01 配方法的应用 题型02 换元法解一元二次方程 题型03 解分式方程（化为一元二次） 题型04 活用一元二次方程的解法 题型05 实数范围内的因式分解 题型06 几何与方程综合 C组 思维拔高 题型01 一元二次方程的新定义问题 题型02 规律探究 解一元二次方程——直接开平方法题型01 1．方程的解为（   ） A．1 B． C．0或1 D．1或 【答案】D 【分析】本题考查了直接开平方法解方程，根据，得的值是1或 【详解】解：∵， ∴， ∴的值是1或， 故选：D． 2．若方程(x﹣4)2＝a有实数解，则a的取值范围是(   ) A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．a＜0 【答案】B 【分析】利用直接开平方法解方程，然后根据二次根式的被开方数的非负性列出关于a的不等式，然后求得a的取值范围． 【详解】∵方程(x﹣4)2＝a有实数解， ∴x﹣4＝±， ∴a≥0， 故选B． 【点睛】本题考查了解一元二次方程--直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．解答该题时，还利用了二次根式有意义的条件这一知识点． 3．解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据直接开平方法解一元二次方程，即可求解． 【详解】解：由题意可得：或. ∴或 解得：或. ∴.原方程的解是：， 4．解方程： 【答案】当时，原方程的解是，当时，原方程无实数解 【分析】先移项，再合并同类项可得，根据求出，再讨论时，，分别计算出方程的解. 【详解】解：移项得：， 化简得：， ， ， 当时，， 原方程无实数解， 当时，， ， 当时，原方程的解是 当时，原方程无实数解． 【点睛】此题考查解一元二次方程，根据每个方程的特点选择适合的解法是解题的关键. 5．【提出问题】在上次周测应用题中，出现了两个方程，很多同学解不出来 ①② 【问题探究】李老师发现有这样一种解法，很适合解此类方程 如：解方程． 解：原方程可变形，得．，，． 直接开平方并整理，得，． 我们称这种解法为“平均数法”． (1)下面是用“平均数法”解方程时写的解题过程 解：原方程可变形，得 ． ，． 直接开平方并整理，得，． 上述过程中的“▱”，“○”，“☆”，“”表示的数分别为______，______，______，______． (2)【牛刀小试】请用“平均数法”解方程：． (3)【问题解决】请用“平均数法”解方程： ① ② 【答案】(1)4，2．， (2)， (3)①，；②，． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，理解平均数法结合直接开平方法解一元二次方程是解本题的关键． （1）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可； （2）仿照平均数法可把原方程化为，可得，再解方程即可； （3）①先把括号的多项式变号，得到，再利用平均数法结合直接开平方法解一元二次方程； ②先把括号的未知数系数化为相同，再模仿①即可解方程. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． ∴上述过程中的“▱”，“○”，“☆”，“”表示的数分别为4，2．，. （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，． （3）解：①， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，． ② ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， 解得：，． 解一元二次方程——配方法题型02 1．一元二次方程配方后化为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法成为解题的关键． 先将方程变形成，然后两边再加上9，最后根据完全平方公式即可解答． 【详解】解：， ， ， ． 故选A． 2．小思在解方程时，解答的过程如下． ， ，……第一步 ，……第二步 ，……第三步 ，……第四步 ，． 小思的解答开始出错的步骤是（    ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 【答案】A 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程的方法和步骤，掌握配方法的一般步骤是解决问题的关键． 根据配方法解一元二次方程的步骤判断即可． 【详解】解：小思的解答开始出错的步骤是第一步，因为在处理二次项系数化1时，等号右边没有除以2， 故选：A． 3．将一元二次方程化成（a，b 为常数）的形式，则ab＝_____． 【答案】 【分析】方程利用配方法整理后判断即可求出a与b的值． 【详解】解：方程， 变形得：， 配方得：，即， 则， 故， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 4．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程： （1）利用配方法解答，即可求解； （2）利用配方法解答，即可求解． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， 即， ∴， 解得：． 5．已知关于的方程只有一个负根，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 先根据配方法解得，再根据关于的方程只有一个负根，列出一元一次不等式组，解之即可求解． 【详解】解：由配方法解方程得：， ， ， ，且原方程只有一个负根， ， ， 的取值范围：． 公式法解一元二次方程题型03 1．若 的两个根中较小的一个根是，则b+ 等于（ ） A．m B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，的两根中较小的一个根是，得出，再把所得结果进行整理即可求出答案． 【详解】解：∵的两根中较小的一个根是， ∴， ∴， ∴， 故选D． 2．解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点，利用公式法求解即可． 【详解】解：，，， ， 则， 解得：，． 3．用公式法解一元二次方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先把原方程化为一般式，进而确定二次项系数，一次项系数和常数项，再利用公式法求解即可． 【详解】解： 化为一般式得：， 则， ∴， ∴， 解得． 4．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无实数根； (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用求根公式法求解即可； （2）移项后用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴原方程无实数根； （2）解： 即 ∴ ∴或 ∴， 5．嘉嘉解一元二次方程的过程如下： 解：…① ，，，…② …③ 方程无实数根．…④ (1)嘉嘉解方程的方法是 ，他的求解过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 【答案】(1)公式法，② (2) 整理得，， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，掌握公式法解一元二次方程是关键． （1）根据题意可得解方程的方法是公式法，根据一次项的系数与常数项错误可得答案； （2）先求解，再利用公式法求解即可． 【详解】（1）解：嘉嘉解方程的方法是公式法，他的求解过程从第②步开始出现错误； （2） 略 根据判别式判断一元二次方程根的情况题型04 1．一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】D 【详解】∵，∴该方程有两个不相等的实数根． 2．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，在解题时熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的对应情况是解此类题的关键． 根据一元二次方程的系数结合根的判别式计算即可得出，即可得出结论． 【详解】∵在方程中， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3．定义新运算“”：对于任意实数，，都有，例：，若关于的方程，则此方程_________（填“有两个不相等”“有两个相等”“没有”）实数根． 【答案】没有 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，解题的关键是理解题意；根据新定义运算，将方程转化为一元二次方程，计算判别式，根据判别式的值判断根的情况即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴此方程没有实数根． 故答案为：没有． 4．已知关于x的方程：．求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． 【答案】 证明：关于x的方程， 这里，，． ． ∵， ∴． ∴无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． 【分析】本题考查了一元二次方程，掌握根的判别式等知识点是解决本题的关键．先计算根的判别式，再利用非负数的性质得结论． 【详解】略 5．已知关于的一元二次方程． (1)讨论该一元二次方程实数根的情况； (2)若等腰三角形的两条边是方程的两根，边是方程的一个根，求的值． 【答案】(1)当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根 (2)m的值为5或9 【分析】本题考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式的意义； （1）求出根的判别式，通过判别式与0的大小关系分类讨论方程实数根的情况； （2）先解方程求出c的值，再分等腰三角形的两腰为方程相等的根、腰长为5两种情况，结合三角形三边关系确定m的取值． 【详解】（1）解：对于一元二次方程，其中，，， 计算判别式， 当，即时，方程有两个不相等的实数根； 当，即时，方程有两个相等的实数根； 当，即时，方程没有实数根； （2）解方程得：， 因为是三角形的边长， 所以， 情况一：若，则方程有两个相等的实数根， 所以， 解得， 将代入方程得， 解得：， 因为，满足三角形三边关系， 所以此情况成立； 情况二：若或，即是方程的根， 将代入方程得， 解得， 将代入方程得， 解得：，， 因为，满足三角形三边关系， 所以此情况成立； 综上，m的值为5或9． 根据一元二次方程根的情况求参数题型05 1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，可得，解出m的取值范围即可进行判断． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∵， 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况，熟练掌握根的判别式是解题的关键． 2．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1 【答案】C 【详解】根据题意得：k-1≠0且△=22-4（k-1）×（-2）＞0， 解得：k＞且k≠1． 故选：C 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2-4ac，关键是熟练掌握：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 3．若实数a，b，t满足，，则t的最大值与最小值的和为（   ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查根据一元二次方程解的情况求未知系数的取值范围，由题可得，代入原式整理得，然后根据方程有实数根得到，即，然后求出t的取值范围，解题即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 整理得：， ∵存在实数b， ∴方程有实数根， ∴，即， 整理得， 解得， 所以的最大值为，最小值为，最大值和最小值的和为， 故选：C． 4．若一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．由题意得出，求解即可． 【详解】解：一元二次方程有两个相等的实数根， ， 解得：， 故答案为：． 5．已知：关于x的方程x2+4x+（2-k）=0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）取一个k的负整数值，且求出这个一元二次方程的根． 【答案】（1）k＞﹣2；（2）x1=1，x2=3． 【分析】（1）因为方程有两个不相等的实数根，△＞0，由此可求k的取值范围； （2）在k的取值范围内，取负整数，代入方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵方程x2+4x+（2﹣k）=0有两个不相等的实数根， ∴42﹣4（2﹣k）＞0， 即4k+8＞0，解得k＞﹣2； （2）若k是负整数，k只能为﹣1； 如果k=﹣1，原方程为x2+4x+3=0， 解得：x1=−1，x2=−3． 因式分解法解一元二次方程题型06 1．方程（x﹣1）（x+2）=0的解是（ ）． A．x=1 B．x=﹣2 C．x1=﹣1，x2=2 D．x1=1，x2=﹣2 【答案】D 【详解】解：x﹣1=0或x+2=0， 解得：x1=1，x2=﹣2． 故选：D． 2．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，先移项，然后利用因式分解法解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得， 故选：D． 3．方程的解是______． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程中的因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 直接利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 或， 所以， 故答案为：， 4．用十字相乘法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】根据因式分解法求解即可. 【详解】（1）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，； （2）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，； （3）解：方程可以化为：， ∴或， ∴，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． 5．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，此方程总有一个根是定值； (2)若直角三角形的一边为，另两边恰好是这个方程的两根，求的值． 【答案】(1) ∵， ∴， ∴，， ∴无论为何值，此方程总有一个根是定值； (2)或． 【分析】（）先通过因式分解解方程，从而可得到两个因式的积为，从而可求解； （）由（）求出方程的两个根为，，，然后分两种情况讨论即可； 本题主要考查一元二次方程解法，勾股定理，分类思想，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法及其应用． 【详解】（1）略 （2）分两种情况： 当为直角边时，则，得， 又∵边长， ∴， 当为斜边时，则，得， 又∵边长， ∴， 综上所述，的值为或． 配方法的应用题型01 1．一元二次方程配方后可化为（        ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据完全平方公式进行配方即可； 【详解】解：， 移项后得： 配方得：， ， 故选：C． 【点睛】该题主要考查了一元二次方程的配方，解题的关键是熟悉一元二次方程配方法的法则． 2．已知，则（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】利用配方法把原式变形，根据非负数的性质分别求出x，y的值，代入计算即可． 【详解】解： ， ， ，， ，， ， 故选C． 【点睛】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 3．求代数式的最小值． 【答案】1 【分析】通过配方法把化成，便可根据完全平方数的性质求得代数式的最小值． 【详解】解： ∵， ， 的最小值是，此时． 4．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等 例如：分解因式： (1)请用上述方法把分解因式； (2)求多项式的最小值； (3)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【答案】(1) (2) (3) ∵ ， 又∵，， ∴， ∴无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握配方法的应用是解题的关键：配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． （1）按照题干中所给的方法，利用配方法进行因式分解即可； （2）利用配方法将多项式变形为，然后利用完全平方式的非负性即可求出多项式的最小值； （3）利用配方法将多项式变形为，然后利用完全平方式的非负性即可得出结论． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为1； （3）略 5．阅读材料：选取二次三项式中的前两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：选取二次项和一次项配方： ； 请根据阅读材料解决下列问题： (1)【直接应用】，将代数式配方：______； (2)【类比应用】已知，求的值； (3)【知识拓展】求当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 【答案】(1) (2) (3)16 【分析】本题考查了配方法的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，得，即可作答． （2）先整理原式为，再结合非负性，得出，，然后代入计算，即可作答． （3）先整理原式为，因为，所以当，时，取得最小值，最小值为16，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：； （2）解：∵， ∴配方得：， 即， ，， 故． （3）解：依题意， ， ， ，时， 即当，时，则， 即取得最小值，最小值为16． 换元法解一元二次方程题型02 1．若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=−5，则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】设t=y+1，则原方程可化为at2+bt+c=0，根据关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=3，x2=-5，得到t1=3，t2=-5，于是得到结论． 【详解】解：设t=y+1， 则原方程可化为at2+bt+c=0， ∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为x1=3，x2=-5， ∴t1=3，t2=-5， ∴y+1=3或y+1=-5， 解得y1=2，y2=-6． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了换元法解一元二次方程，关键是正确找出两个方程解的关系． 2．用换元法解方程，若设，则原方程可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了换元法解方程，把代入原方程化简，即可求解． 【详解】解：依题意，把代入原方程得：， 方程两边同乘以y整理得：． 故选：D． 3．我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是_____． 【答案】x1=﹣1，x2=﹣3． 【分析】换元法即可求解,见详解. 【详解】令2x+3=t,则方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0化为t2+2t﹣3=0, 解得：t=1或-3,即2x+3=1或2x+3=-3 解得：x1=﹣1，x2=﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程求解方法中的换元法,熟悉换元法的解题步骤是解题关键. 4．已知，则的值是________． 【答案】3 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，设，将原方程化为关于 的方程求解，再根据平方的非负性确定取值； 【详解】解：设 ， 则原方程化为 ， 解得 或 ， ∵， ∴ ， 故答案为：3． 5．阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变形为， 解得，． 当时，，． 当时，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出； (2)利用换元法解方程：． 【答案】(1)；， (2)，，， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，换元法解方程， 对于（1），根据换元法思想，令，把原方程转化为一元二次方程，解方程后的解，代入到原方程中，从而得到原方程的解； 对于（2），利用换元法，把原方程转化为，解该分式方程后，再得到原方程的解． 【详解】（1）解：， 设， ∴原方程变为：， 解得， 当时，， 解得； 当时，， 可知，无解. 所以原方程的解是； （2）， 设，则 ∴原方程可变形为：， 即， 解得， 当时，， 解得； 当时，， 解得， 经检验，所有解均是方程的根， ∴，. 解分式方程（化为一元二次）题型03 1．将分式方程化为整式方程，下列答案正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将分式方程两边同乘最简公分母去掉分母，再整理得到标准整式方程即可． 【详解】∵原方程为，且， 方程两边同乘最简公分母，得：， 移项整理得：． 2．方程的根是______． 【答案】 【分析】本题考查分式方程的求解，熟练掌握解分式方程的步骤是解决此题的关键，需先确定分母不为零，再通过分子相等求解，并排除增根即可． 【详解】解：由方程 ，分母 ，即 ， 两边同乘 ，得 ， 解得 或 ． 检验： 使分母为零，为增根，舍去； 满足条件， 故方程根为 ， 故答案为： ． 3．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，先通过方程两边同乘最简公分母将分式方程化为整式方程，再解整式方程，最后对方程的解进行检验，舍去增根，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 则， ∴， ∴ 解得，， 经检验：当时，则，故舍去； 当时，则， ∴方程的解为． 4．解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，运用公式法解方程，先整理得，再化为整式方程，得，结合公式法解方程，得，最后验根，即可作答． 【详解】解：， 整理得， ∴， 去分母得， ∴， 则， ， 则， ∴． 经检验：都是原分式方程的解． ∴该分式方程的解为． 5．已知关于的方程只有一个实数解，求实数的值． 【答案】或或． 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握根据分式方程解的情况求参是解题的关键，注意分类讨论思想的应用． 将分式方程转化为整式方程，然后结合题意分两种情况：当方程①有两个相等的实数根时，当方程①有两个不相等的实数根时，结合题意求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 整理得：　　① 当方程①有两个相等的实数根时，， 解得， ∴， 解得：， 检验：满足题意； 当方程①有两个不相等的实数根时，， 解得： 若是方程①的根，则原方程有增根，代入①解得， ∴ 解得：另一个根， 检验：当时，满足题意； 若是方程①的根，则原方程有增根，代入①解得， ∴， 解得：另一个根， 检验：当时，满足题意； 综上，或或． 活用一元二次方程的解法题型04 1．解下列方程：①；②；③；④．较简便的方法是（    ） A．①公式法，②配方法，③直接开平方法，④因式分解法 B．①因式分解法，②公式法，③配方法，④直接开平方法 C．①②直接开平方法，③公式法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程的能力，直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 根据各方程的特点逐一判别即可． 【详解】①，适合直接开平方法； ②，适合公式法； ③，适合因式分解法； ④，适合因式分解法． 故选：D． 2．用指定方法解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】此题分别考查了利用配方法和公式法解一元二次方程，其中配方法的关键是方程两边同时加上一次项系数一半的平方，公式法的关键 熟练掌握求根公式． （1）首先移项，然后方程两边同时加上9即可完成配方，然后解方程即可求解； （2）利用求根公式即可求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， ∴， ，， （2）解： ∴ ∵，，， ∴， ∴， ∴，． 3．用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解； （2）方程利用配方法求出解即可； （3）方程利用公式法求出解即可； （4）方程利用因式分解法求出解即可． 【详解】（1）解：， 移项，得， 两边都除以3，得， 两边开平方，得， 移项，得， 解得：，； （2）解：， 两边都除以2，得， 移项，得， 配方，得，即， 解得：， 即，； （3）解：， 这里，，， ， ， 解得：，； （4）解：， 方程左边因式分解，得，即， 解得：，． 【点睛】此题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键． 4．利用指定方法解一元二次方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用一元二次方程的求根公式得到方程的解； （2）先把方程变形为，再利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ∵，，， ∴， ∴ 解得：，． （2）解：， ， ， ， ， 或， 解得：，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程——公式法和因式分解法，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 5．解下列方程： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1)，． (2)，． (3)，． 【分析】（1）先移项，然后系数化为，最后利用直接开平方法解方程即可； （2）方程左边先因式分解，然后再利用平方差公式进行因式分解解方程即可； （3）先化简，然后再利用平方差公式进行因式分解解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得：，． （2）解：， ， ， 或， 解得：，． （3）解：， 化简，得：， ， 解得：，． 实数范围内的因式分解题型05 1．在实数范围内分解因式等于（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数范围内分解因式即实数范围内分解因式是指可以把因式分解到实数的范围（可用无理数的形式来表示），注意配方．先提公因式得，再运用配方法变形得，最后运用平方差公式因式分解即可． 【详解】解： 故选：C 2．在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【分析】先利用公式法求出方程的解，再分解因式即可． 【详解】解：∵方程中的，，， ∴方程根的判别式为，有两个不相等的实数根， ∴方程的解为， 即，， ． 几何与方程综合题型06 1．如图，在直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点，均在轴上．将绕顶点旋转得到，则的坐标为________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：逆时针旋转；顺时针旋转；分别利用等边三角形的性质，旋转的性质和勾股定理求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 逆时针旋转， 如图， 是等边三角形， ， 又， ， 绕顶点逆时针旋转得到， 落在轴上，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， ， ， 设， 落在轴上， ， ， ， 的坐标为； 顺时针旋转， 如图， 是等边三角形， ， 又， ， 绕顶点顺时针旋转得到， 落在轴上，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：或（不合题意，故舍去）， ， ， 过作于点， ， 是等边三角形，且， ， ， ， 设， 则， ， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，三线合一，旋转的性质，已知两点坐标求两点距离，垂线的性质，含度角的直角三角形，勾股定理，直接开平方法解一元二次方程，解一元一次方程等知识点，熟练掌握上述知识点并运用分类讨论思想是解题的关键． 2．已知：如图，在中，于点为上一点，且． (1)判断和的位置关系，并说明理由； (2)连结，作交于点，试判断的形状； (3)若，，求的长． 【答案】(1) 解：．理由： ， ， ， ， ， ， ， ． (2) 解：是等腰直角三角形．理由： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形． (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、等腰三角形的判定以及一元二次方程： （1）证明后，得到，利用三角形内角和为求解即可； （2）利用证明，得到即可判断形状； （3）设，根据得到，利用三角形面积公式计算，进而得到的长度． 【详解】（1）略 （2）略 （3）设， ， ， ， ， ， ， 或（舍）， ， ， ． 3．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为___________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数满足，求的值． 【答案】（1）13（2）（3） 【分析】本题考查了数形结合思想、勾股定理的几何应用以及无理方程的求解，将代数式转化为几何图形中的线段长度（直角三角形斜边），利用“两点之间线段最短”或方程变形规则解题是关键． （1）和对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最短得为最小值； （2）和对应直角三角形斜边，构造共线直角边的三角形后，由线段最短得为最小值； （3）和对应直角三角形直角边，通过移项平方消根号，结合正数条件求解． 【详解】解：（1）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，， 则，， 代数式表示， 的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得： ， 即的最小值为； （2）如图，过点作，交延长线于点，连接， 设，，点在的上方，且，，点在的下方，且，， 则，， 代数式表示， 的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得： ， 即的最小值为； （3） ，（舍去） 的值为． 4．如图所示，在中，，，，是的角平分线． (1)求的长； (2)若点在线段上，是直角三角形，求的长； (3)若点在射线上，是等腰三角形，直接写出的长． 【答案】(1)； (2)当或时，是直角三角形； (3)的长为或或． 【分析】如下图所示，过点作，，根据是的角平分线，可知，根据可得，根据等腰直角三角形的性质可得； 是直角三角形，有两种情况，一种情况是时，另一种情况是，分情况求出线段的长度即可； 是等腰三角形，有三种情况，第一种情况是当点在线段上，；第二种情况是；第三种情况是当点在线段的延长线上时，． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作，， 是的角平分线， ，， ， ， 在中，，，， ， ， ， 解得：， ∵，， ， 在中，； （2）解：如下图所示，当时， 是的角平分线， ， ； 如下图所示，当时，， 由可知， ， 在中，， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：，(舍去)， ， ， ， 综上所述，当或时，是直角三角形； （3）解：如下图所示，当点在线段上，时， 由可知， 则， ； 如下图所示，当点在线段上，时，过点作， 则有， 设，则， 在中，， ， 解得：，(舍去)， ， 则； 如下图所示，当点在线段的延长线上时，， 则． 综上所述，当是等腰三角形时，的长为或或． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、分类讨论的思想，解决本题的关键是根据分类讨论的思想，分情况讨论． 5．如图，矩形中，，对角线与交于点，点，分别为，中点，点为的中点，连接，，． (1)如图1，若，求． (2)如图2，记与交点为，设线段， ①先判断的形状，再说明理由． ②记面积为，请直接写出关于的函数表达式． ③若为等腰三角形，求此时的面积． 【答案】(1) (2)①解：是等腰三角形，理由如下： 如图所示，连接， ∵在矩形中，对角线与交于点， ∴； ∵点，分别为，中点， ∴， ∴； ∵点为的中点，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ②； ③ 【分析】（1）由矩形的性质可得，，证明是等边三角形，得到，则，利用勾股定理求出的长，再由三角形中位线定理可得答案； （2）①连接，由矩形的性质可得；可证明，由三线合一定理得到，则可证明，再证明，得到，则是等腰三角形；②以点B为原点，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系，则，根据中点坐标公式表示出点E，点F和点G的坐标，再根据三角形的面积公式求解即可；③求出直线的解析式为；直线的解析式为，则可求出；再分三种情况：、和，利用两点间的距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，对角线与交于点， ∴，， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴； ∵点，分别为，中点， ∴是的中位线， ∴； （2）①略； ②解：如图所示，以点B为原点，所在的直线分别为轴，轴建立平面直角坐标系， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵对角线与交于点， ∴点O为的中点， ∴，即； ∵点，分别为，中点，点为的中点， ∴，即， ∴，且轴， ∴； ③由（2）②得，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 同理可知直线的解析式为， 联立，解得， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴，此时方程无实数根，不符合题意； 当时，则， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，则， ∴， ∴，此时方程无实数根，不符合题意； 综上所述，． 一元二次方程的新定义问题题型01 1．在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，则方程的解为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】D 【分析】根据规则，方程变形为，移项，直接开方即可解答． 【详解】解：根据规则，方程变形为 ， ， ∴， ∴， 解得：，； 故选：D． 【点睛】本题考查的是新定义运算题，根据方程的特点，灵活选择解方程的方法是解题的关键． 2．已知实数a，将1与a（，1）之差的倒数记为第一次操作后的数，若以后第n（的正整数）次操作后的数都是1与第次操作后的数之差的倒数．对下面判断：①若，则；②若，则；③如果与互为倒数，那么；④如果，那么代数式取值一定为正．这些说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了规律型－数字变化类，分式的运算，解分式方程，认真观察、仔细思考，善用联想是解决这类问题的关键． 通过计算找到规律，逐个进行判断即可． 【详解】解：∵，， 当时，则， 解得，故不正确； ∵， ∴，，，，，， ∴， ∵， ∴，故正确； ∵，， ∴，， ∵与互为倒数， ∴， 解得，故正确； ∵，，， ∴，，， ∴ ， ∵，则 ∴， ∵， ∴，即，故正确； 故选：C． 3．对于符号“”，我们作如下规定：，如，若，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义，一元二次方程的应用，根据题意列方程，即可解答，读懂题意是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故答案为：． 4．对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为______． 【答案】或1 【分析】此题考查了解分式方程，解一元二次方程，解分式方程的基本思想是转化思想，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分和，依据新定义列出关于的分式方程，化为一元二次方程，解方程并检验即可求解． 【详解】①若，即，则，即， 解得：或 负值舍去， 经检验：是原分式方程的解； ②若，即，则，即， 解得：， 经检验：是原分式方程的解； 综上，方程的解为或1． 故答案为：或1． 5．方程思想是重要的数学思想．在解决有些问题中，如果方程思想运用得当，有时会收到很好的效果，请看下列问题： 化简 设 两边平方得 又 所以，移项得， 所以，，，__________． 显然， 所以__________． (1)完成上面填空； (2)化简：； (3)根据以上方法化简：__________． 【答案】(1)2或0；2 (2)2 (3) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，分式方程，利用类比思想解答是解题的关键． （1）根据题意直接计算即可； （2）仿照（1）解题方法解答，即可； （3）设，仿照（1）解题方法解答，即可． 【详解】（1）解：设 两边平方得 又 所以，移项得， 所以，即， ∴， ∴或0． ∵， ∴； 故答案为：2或0；2 （2）解：设 两边平方得 又， 所以，移项得， 所以， 即， ∴或， ∴或． ∵， ∴； （3）解：设， 两边同时减1，得：， ∴， ∴， 解得：， 检验：当时，， ∴是方程的根， ∵， ∴． 故答案为： 规律探究题型02 1．有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由题意可推导一般性规律为，；第个代数式为；则，可判断①的正误；当第个代数式的值为时，，可求或，可判断②的正误；，可判断③的正误． 【详解】解：由题意知，， ， 第3个代数式为， ， 第四个代数式为， ， 第5个代数式为， …… ∴可推导一般性规律为，； 第个代数式为； ∴，正确，故①符合要求； 当第个代数式的值为时， ，整理得，， ∴， 解得，或，错误，故②不符合要求； ，正确，故③符合要求； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减混合运算，整式的规律探究，完全平方公式，直接开平方法解一元二次方程等知识．根据题意推导一般性规律是解题的关键． 2．【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史．围棋使用圆形黑白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．现用黑白棋子围成下列图案： 【规律发现】 （1）请用含 n的式子填空： 第n个图案中黑色棋子的个数为 ，白色棋子的个数为 ； 【规律应用】 （2）结合图案中两色棋子的排列方式及上述规律，求正整数 n，使得黑色和白色棋子之和为265个． 【答案】（1），；（2）11 【分析】本题考查了图形的变化类问题，解题的关键是根据各个图形中棋子的颗数发现规律，难度不大． （1）观察图形发现图形的规律，然后用规律写出第n个图案中黑色棋子的个数与白色棋子的个数即可； （2）由题意得：，解出即可． 【详解】解：（1）第1个图案中黑色棋子的个数为4，白色棋子的个数为1； 第2个图案中黑色棋子的个数为9，白色棋子的个数为4； 第3个图案中黑色棋子的个数为16，白色棋子的个数为9； 第4个图案中黑色棋子的个数为25，白色棋子的个数为16； ， 第n个图案中黑色棋子的个数为，白色棋子的个数为； 故答案为：，； （2）由题意得：， 解方程得： （舍去），， 所以正整数n的值为11． 3．如表：方程1、方程2、方程3、…是按一定规律排列的一列方程． 序号 方程 方程的解 1 x2+x﹣2＝0 x1＝﹣2 x2＝1 2 x2+2x﹣8＝0 x1＝﹣4 x2＝2 3 x2+3x﹣18＝0 x1＝　 　 x2＝　 　 … … … … （1）解方程3，并将它的解填在表中的空白处； （2）请写出这列方程中第10个方程，并用求根公式求其解． （3）根据表中的规律写出第n个方程和这个方程的解． 【答案】（1）x1＝﹣6，x2＝3；（2）x1＝10，x2＝﹣20；（3）x1＝﹣2n，x2＝n． 【分析】（1）可以利用因式分解法解方程，按照前两个方程的根的书写规律，第一个根是负数，第二个是正数，填表即可； （2）仔细观察，发现规律，利用规律写出即可； （3）根据前几个方程解的规律可知第n个方程的解是x1=-2n，x2=n，则方程就是x2+nx-2n2=0． 【详解】解：（1）∵x2+3x﹣18＝0 即（x+6）（x﹣3）＝0 ∴x+6＝0或x﹣3＝0 ∴x1＝﹣6，x2＝3； 故答案为-6，3； （2）方程规律：x2+1•x﹣12•2＝0， x2+2•x﹣22•2＝0， x2+3•x﹣32•2＝0， 即第10个方程为：x2+10x﹣102•2＝0， 所以第10个方程为：x2+10x﹣200＝0， 解得x＝， ∴x1＝10，x2＝﹣20； （3）由（2）得：第n个方程为：x2+nx﹣2n2＝0， 方程的两根为：x1＝﹣2n，x2＝n． 【点睛】本题不但考查了一元二次方程的解，而且考查了通过观察总结规律的能力．此题是个阅读型题目，首先通过阅读所给材料，从中找出隐含的规律，然后利用找到的规律解决一般情况的方程，题目也体现了从一般到特殊，再从特殊到一般的数学思想． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.2 一元二次方程的解法 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 解一元二次方程——直接开平方法 题型02 解一元二次方程——配方法 题型03 公式法解一元二次方程 题型04 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型05 根据一元二次方程根的情况求参数 题型06 因式分解法解一元二次方程 B组 能力进阶 题型01 配方法的应用 题型02 换元法解一元二次方程 题型03 解分式方程（化为一元二次） 题型04 活用一元二次方程的解法 题型05 实数范围内的因式分解 题型06 几何与方程综合 C组 思维拔高 题型01 一元二次方程的新定义问题 题型02 规律探究 解一元二次方程——直接开平方法题型01 1．方程的解为（   ） A．1 B． C．0或1 D．1或 2．若方程(x﹣4)2＝a有实数解，则a的取值范围是(   ) A．a≤0 B．a≥0 C．a＞0 D．a＜0 3．解方程：． 4．解方程： 5．【提出问题】在上次周测应用题中，出现了两个方程，很多同学解不出来 ①② 【问题探究】李老师发现有这样一种解法，很适合解此类方程 如：解方程． 解：原方程可变形，得．，，． 直接开平方并整理，得，． 我们称这种解法为“平均数法”． (1)下面是用“平均数法”解方程时写的解题过程 解：原方程可变形，得 ． ，． 直接开平方并整理，得，． 上述过程中的“▱”，“○”，“☆”，“”表示的数分别为______，______，______，______． (2)【牛刀小试】请用“平均数法”解方程：． (3)【问题解决】请用“平均数法”解方程： ① ② 解一元二次方程——配方法题型02 1．一元二次方程配方后化为（   ） A． B． C． D． 2．小思在解方程时，解答的过程如下． ， ，……第一步 ，……第二步 ，……第三步 ，……第四步 ，． 小思的解答开始出错的步骤是（    ） A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步 3．将一元二次方程化成（a，b 为常数）的形式，则ab＝_____． 4．解下列方程： (1)； (2)． 5．已知关于的方程只有一个负根，求的取值范围． 公式法解一元二次方程题型03 1．若 的两个根中较小的一个根是，则b+ 等于（ ） A．m B． C． D． 2．解方程：． 3．用公式法解一元二次方程： 4．解方程： (1)； (2)． 5．嘉嘉解一元二次方程的过程如下： 解：…① ，，，…② …③ 方程无实数根．…④ (1)嘉嘉解方程的方法是 ，他的求解过程从第 步开始出现错误； (2)请你写出这个方程正确的解题步骤． 根据判别式判断一元二次方程根的情况题型04 1．一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 2．关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 3．定义新运算“”：对于任意实数，，都有，例：，若关于的方程，则此方程_________（填“有两个不相等”“有两个相等”“没有”）实数根． 4．已知关于x的方程：．求证：无论m取何实数，方程总有两个不相等的实数根． 5．已知关于的一元二次方程． (1)讨论该一元二次方程实数根的情况； (2)若等腰三角形的两条边是方程的两根，边是方程的一个根，求的值． 根据一元二次方程根的情况求参数题型05 1．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＞ B．k≥ C．k＞且k≠1 D．k≥且k≠1 3．若实数a，b，t满足，，则t的最大值与最小值的和为（   ） A． B．1 C．2 D．4 4．若一元二次方程有两个相等的实数根，则__________． 5．已知：关于x的方程x2+4x+（2-k）=0有两个不相等的实数根． （1）求实数k的取值范围． （2）取一个k的负整数值，且求出这个一元二次方程的根． 因式分解法解一元二次方程题型06 1．方程（x﹣1）（x+2）=0的解是（ ）． A．x=1 B．x=﹣2 C．x1=﹣1，x2=2 D．x1=1，x2=﹣2 2．一元二次方程的根是（　　） A． B． C． D． 3．方程的解是______． 4．用十字相乘法解方程： (1)； (2)； (3)． 5．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，此方程总有一个根是定值； (2)若直角三角形的一边为，另两边恰好是这个方程的两根，求的值． 配方法的应用题型01 1．一元二次方程配方后可化为（        ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C．1 D．3 3．求代数式的最小值． 4．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等 例如：分解因式： (1)请用上述方法把分解因式； (2)求多项式的最小值； (3)试说明：无论、取任何实数时，多项式的值总为正数． 5．阅读材料：选取二次三项式中的前两项，配成完全平方式的过程叫配方．例如：选取二次项和一次项配方： ； 请根据阅读材料解决下列问题： (1)【直接应用】，将代数式配方：______； (2)【类比应用】已知，求的值； (3)【知识拓展】求当，为何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 换元法解一元二次方程题型02 1．若关于x的方程ax2+bx+c=0的解是x1=3，x2=−5，则关于y的方程a(y+1)2+b(y+1)+c=0的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．用换元法解方程，若设，则原方程可化为（    ） A． B． C． D． 3．我们知道方程x2+2x﹣3=0的解是x1=1，x2=﹣3，现给出另一个方程（2x+3）2+2（2x+3）﹣3=0，它的解是_____． 4．已知，则的值是________． 5．阅读下列材料： 解方程：．这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，那么，于是原方程可变形为， 解得，． 当时，，． 当时，， 所以原方程有四个根：，，，． 在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想． (1)解方程时，若设，则原方程可转化为______，并求出； (2)利用换元法解方程：． 解分式方程（化为一元二次）题型03 1．将分式方程化为整式方程，下列答案正确的是（    ） A． B． C． D． 2．方程的根是______． 3．解方程：． 4．解方程： 5．已知关于的方程只有一个实数解，求实数的值． 活用一元二次方程的解法题型04 1．解下列方程：①；②；③；④．较简便的方法是（    ） A．①公式法，②配方法，③直接开平方法，④因式分解法 B．①因式分解法，②公式法，③配方法，④直接开平方法 C．①②直接开平方法，③公式法，④因式分解法 D．①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 2．用指定方法解一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 3．用指定方法解下列一元二次方程 (1)（直接开平方法） (2)（配方法） (3)（公式法） (4)（因式分解法） 4．利用指定方法解一元二次方程： (1)（公式法）； (2)（因式分解法）． 5．解下列方程： (1)． (2)． (3)． 实数范围内的因式分解题型05 1．在实数范围内分解因式等于（） A． B． C． D． 2．在实数范围内因式分解：______． 几何与方程综合题型06 1．如图，在直角坐标系中，等边三角形的顶点的坐标为，点，均在轴上．将绕顶点旋转得到，则的坐标为________． 2．已知：如图，在中，于点为上一点，且． (1)判断和的位置关系，并说明理由； (2)连结，作交于点，试判断的形状； (3)若，，求的长． 3．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点和重合（图2），这时，问题就变成“点在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为___________； （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）已知正数满足，求的值． 4．如图所示，在中，，，，是的角平分线． (1)求的长； (2)若点在线段上，是直角三角形，求的长； (3)若点在射线上，是等腰三角形，直接写出的长． 5．如图，矩形中，，对角线与交于点，点，分别为，中点，点为的中点，连接，，． (1)如图1，若，求． (2)如图2，记与交点为，设线段， ①先判断的形状，再说明理由． ②记面积为，请直接写出关于的函数表达式． ③若为等腰三角形，求此时的面积． 一元二次方程的新定义问题题型01 1．在实数范围内定义一种运算“”，其规则为，根据这个规则，则方程的解为（    ） A． B． C．， D．， 2．已知实数a，将1与a（，1）之差的倒数记为第一次操作后的数，若以后第n（的正整数）次操作后的数都是1与第次操作后的数之差的倒数．对下面判断：①若，则；②若，则；③如果与互为倒数，那么；④如果，那么代数式取值一定为正．这些说法中，正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．对于符号“”，我们作如下规定：，如，若，则_______． 4．对于两个不相等的实数 ，我们规定符号 表示 中较大的数，如 ，按这个规定，方程 的解为______． 5．方程思想是重要的数学思想．在解决有些问题中，如果方程思想运用得当，有时会收到很好的效果，请看下列问题： 化简 设 两边平方得 又 所以，移项得， 所以，，，__________． 显然， 所以__________． (1)完成上面填空； (2)化简：； (3)根据以上方法化简：__________． 规律探究题型02 1．有两个依次排列的代数式：，用第二个代数式减去第一个代数式得到，将加8得到，将第2个代数式与相加得到第3个代数式，将加8得到，将第3个代数式与相加得到第四个代数式，……依此类推.则以下结论： ①； ②当第个代数式的值为时，或； ③ (n为正整数) ．其中正确的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．【观察思考】 围棋起源于中国，至今已有4000多年的历史．围棋使用圆形黑白两色棋子在方形格状的棋盘上对弈．现用黑白棋子围成下列图案： 【规律发现】 （1）请用含 n的式子填空： 第n个图案中黑色棋子的个数为 ，白色棋子的个数为 ； 【规律应用】 （2）结合图案中两色棋子的排列方式及上述规律，求正整数 n，使得黑色和白色棋子之和为265个． 3．如表：方程1、方程2、方程3、…是按一定规律排列的一列方程． 序号 方程 方程的解 1 x2+x﹣2＝0 x1＝﹣2 x2＝1 2 x2+2x﹣8＝0 x1＝﹣4 x2＝2 3 x2+3x﹣18＝0 x1＝　 　 x2＝　 　 … … … … （1）解方程3，并将它的解填在表中的空白处； （2）请写出这列方程中第10个方程，并用求根公式求其解． （3）根据表中的规律写出第n个方程和这个方程的解． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $