第二章 一元二次方程 2 一元二次方程的解法 第3课时 公式法及根的判别式-【名校作业】2026-2027学年九年级上册数学同步练习（北师大版·新教材）

第3课时公式 风抓基础·达标练 知识点1用公式法解一元二次方程 1.用公式法解一元二次方程2x2+3x=1时，化为 般形式后，a,b,c的值依次为 A.2,-3,1 B.2,3,-1 C.-2,-3,-1 D.-2,3,1 2.把方程(2x-1)(x+3)=x2+1化成ax2+bx+c=0的 形式为 ,计算b2-4ac的结果 是 ,方程的根是 3.小明解方程x2-5x=1的过程如下： ,a=1,b=-5,c=1, 第一步 .b2-4ac=(-5)2-4×1×1=21>0. 第二步 x=5±V27 第三步 5+V215-V21 .X三 第四步 2 2 (1)小明的解答过程从第 步开始出错，错 误的原因是 (2)写出此题正确的解答过程 4.解下列方程： (1)-3x2+2x+2=0; 法及根的判别式 (2)4x2+9=12x; (3)y(y-3)=2+y(1-3y). 知识点2利用根的判别式判断一元二次方程 的根的情况 5.一元二次方程4x2-2x-1=0的根的情况为 A.有两个相等的实数根 。 B.有两个不相等的实数根 2C.只有2个实数根 D.没有实数根 6.若关于x的一元二次方程x2+(2+m)x=0有两 个相等的实数根，则m的值为 7.【教材P45习题T5变式】不解方程，判断下列 方程的根的情况： (1)3x2+1=5x; (2)(x+1)(2x+5)=x; (3)2x2-4V2x+4=0. 第二章一元二次方程351[ 学抓重点·提升练 8.用求根公式解得一元二次方程ax2+bx+c=0的 两根互为相反数，则 ) A.b=0 B.c=0 C.b2-4ac=0 D.6+c=0 9.若关于x的一元二次方程x2+4x+k-1=0有实数 根，则k的取值范围是 10.已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1)x+ m-2=0.求证：无论m取何值，此方程总有两 个不相等的实数根. 11.如图，在等腰直角三角形ABC中，AB=BC=8, 动点P从点A出发以每秒2个单位长度的速度 沿AB边向点B运动，过点P作PR∥BC,PQ小 AC,分别交AC,BC于点R,Q,得到口PQCR.设 点P的运动时间为t秒 (1)口PQCR的面积能否为7？若能，请求出 点P运动的时间；若不能，请说明理由 (2)口PQCR的面积能否为20？若能，请求出 点P的运动时间；若不能，请说明理由. A Q C I川36名校作业数学(BS)9年级上 心抓核心·素养练 12.阅读下面解方程的过程： 解方程：3(x-2)2+7(x-2)+4=0 解：设x-2=y,则原方程化为3y2+7y+4=0. 这里a=3,b=7,c=4. .b2-4ac=72-4×3×4=1>0, -7±V1-7±1 .∴.y= 2×3 6 即y=-1,y3 4 当y=-1时，x-2=-1,∴.=1； 当音时2 2 33 2 .原方程的解为x1,x23 请仿照上面的例题，解一元二次方程：2(x 3)2-5(x-3)-7=0. 卓有 易错点拨未将方程化为一般形式，忽略a,b,c 的符号而出错.（详见T3) 第3课时公式法及根的判别式 1.B解析将2x2+3x=1化为一般形式为2x2+3x-1=0,所 以a=2,b=3,c=-1. 2.45x4-041x=5+V4厘-5-V4刚 2 一，X2 2 解析将方程(2x-1)(x+3)=x2+1化成ax2+bx+c=0的形式 为x2+5x-4=0,这里a=1,b=5,c=-4 .b2-4ac=52-4×1×(-4)=41>0, x5±，团，即5+)Vk5-,厘 2 2 2 3.解：(1)一原方程没有化成一般形式，误把常数1当 成一般式中c的值 （2)将原方程化为一般形式，得x2-5x-1=0. 这里a=1,b=-5,c=-1. ·.b2-4ac=(-5)2-4x1×(-1)=29>0 k5±y2四，即5+V2四，x,5-y2四 —,x2 2 2 2 4.解：(1)这里a=-3,b=2,c=2. .b2-4ac=22-4x(-3)×2=28>0 -2±V281±V7 “x=2x(-3) 3， 即，=1+V71-V7 33 (2)将原方程化为一般形式，得4x2-12x+9=0. 这里a=4,b=-12,c=9. b2-4ac=(-12)2-4×4×9=0, 12±03 …x=2×42 3 即x=X22 (3)将原方程化为一般形式，得4y2-4y-2=0,即2y2-2y 1=0 这里a=2,b=-2,c=-1. .∵b2-4ac=(-2)2-4×2×(-1)=12>0, 2±V121±V3 .y= 2×2 2 即y=1+V3k1-V3 22½2 5.B解析.4=(-2)2-4×4×(-1)=20>0， .·.一元二次方程4x2-2x-1=0有两个不相等的实数根 6.-2解析一元二次方程x2+(2+m)x=0有两个相等 的实数根，.△=b2-4ac=(2+m)2-4×1×0=(2+m)2=0. .∴.m=-2. 7.解：(1)将3x2+1=5x化为一般形式，得3x2-5x+1=0. 这里a=3,b=-5,c=1. ·∵△=b2-4ac=(-5)2-4×3×1=13>0, “.原方程有两个不相等的实数根 (2)将(x+1)(2x+5)=x化为一般形式，得2x2+6x+5=0. 这里a=2,b=6,c=5. :△=b2-4ac=62-4×2×5=-4<0, ∴.原方程没有实数根 (3)这里a=2,b=-4V2,c=4. :△=b2-4ac=(-4V2)2-4×2x4=0, .原方程有两个相等的实数根。 8.A解析用求根公式解得一元二次方程ax2+bx+c=0的 根为x -b+V√62-4ac-b-V-4ac 2a 2a :一元二次方程ax2+bx+c=0的两根互为相反数， ,.x1十x23 b+VB-4ac-b-VB2-4acb=0. 2a 2a ..b=0 9.k≤5解析由题意，得△=42-4(k-1)≥0， .·.k≤5. 10.证明：.'△=(2m+1)2-4x1×(m-2) =4m2+4m+1-4m+8 =4m2+9>0, .无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根. 11.解：(1)能 由题意，得AP=2t,则BP=8-2t. .PR∥BC,∴.∠ARP=∠C .'AB=BC,.∴.∠A=∠C..∴.∠A=∠ARP..PR=AP=2t 根据题意，得PR·BP=7,即2t(8-2)=7. 1 7 解得22 ·点P的运动时间为2秒或秒， (2)不能 根据题意，得2t(8-2t)=20,整理，得2-4t+5=0. b2-4ac=(-4)2-4×1×5=-4<0,∴.此方程没有实数根 .▣PQCR的面积不能为20 12.解：设x-3=y,则原方程化为2y2-5y-7=0. 这里a=2,b=-5,c=-7. .b2-4ac=(-5)2-4x2x(-7)=81>0, y5±V85±9 2×2 4 7 即y=-1,y2 当y=-1时，x-3=-1,∴.x=2; 当时3名号 13 原方程的解为x=2,2 智想 卓育