21.2 第5课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

拔尖精训·数学（沪科版）九年级上 第5课时二次函数y=ax2+b.x+c的图象和性质 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2026六安期末]已知抛物线y=x2一kx十k十3的顶点在x轴上，则k的值为 () A.-12或1 B.-3或4 C.-2或6 D.一6或2 2.*一题多解[2026六安霍邱期末]如果M1(-1,y1),M2(2,y2),M3(3,y3)三点都在抛物线y x2一4x十c上，那么y1,y2,y3之间的大小关系是 () A.y<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y2<y3<y1 D.y3<y2<y1 3.若抛物线y=x2一2x+1平移后的顶点恰好落在直线y=x+1上，则平移后的抛物线与y轴交 点的纵坐标的最小值为 4.舒考回结论开放题如图所示为二次函数y=ax2十b.x十c(a≠0)图象的一部分，其对称轴为直线 x=1. (1)将对称轴直线x=1左边的函数图象补充完整. (2)请写出三个正确的结论. -3-2-1,0123x 3 (第4题) 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.分类过论思想[2025安庆望江期中]已知二次函数y=一x2十2mx(m为常数)，且当0≤x≤1时， y的最大值为4，则m的值是 () A.±2 B.2 C.±2.5 D.2.5 6.考向新定义题[2025安庆段考]若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二 次函数为“美好函数”.已知关于x的二次函数y1=2x2-4x+3和y2=a.x2十bx+5.若y1十y2 与y1为“美好函数”，则函数y2的表达式为 7.已知抛物线y=a.x2-4a2x一2(a为常数，a≠0)，P(m,n)是该抛物线上一点. (1)当a=1时，抛物线的顶点坐标是 (2)若当0≤m≤4时，n≤-2，则a的取值范围是 10 第21章二次函数与反比例函数 8.代数推理题[2026合肥庐阳期末]在平面直角坐标系中，二次函数y=.x2十bx十2的图象 过点A(2,k),B(-1,k). (1)求的值 (2)已知二次函数)=ar2+bx+2的最大值为2-a ①求该二次函数的表达式 ②若Mx1m),N(n)为该二次函数图象上不同的两点，且n≠0，求证，十1D_-8 x1-21 微专题·由图象判断a,b,c及相关代数式的符号 1.[2025安徽中考]二次函数y=ax2+bx十c(a≠0)的图象如图所示，则下列结论正确的是( A.abco B.2a+b<0 C.2b-c<0 D.a-b+c<0 (第1题) (第2题) 2.[2026合肥庐江期未]二次函数y=a.x2+bx十c(a≠0)的图象如图所示.有下列结论：①abc> 0;②4a+2b+c>0;③(a+c)2>b2;④3a+c<0;⑤a+b>m(am+b)(m为实数且m≠ 1).其中，正确的有 A.②④⑤ B.①③④ C.③④⑤ D.②③⑤ ♪“答案与解析”见D6 112:a=子=红+3-1令y=3得3= 十（十3》-1，解得=1或=-7.由题图知.点A在点 C右侧，A(1,3.h=1十3=2.抛物线y, 2 号6-)+k的对称轴为直线=2：点(2，m).(3。 n),(4,p)都在抛物线y1上，抛物线y,的开口向上，∴.当 x≥2时，y随x的增大而增大.：2<3<4，∴.m<n<p. 8把B8,3)代入=合u-2y+:得为=吾 ÷n=-2y+号令x=0,得y=号P(o,号)月 1 在=+32-1中，令x=0得y=号Q0,号)】 9513 .PQ=2-4=4 9.(1):点A(一1,2)在抛物线的对称轴上，∴.抛物线的 对称轴为直线x=一1小h=1.y=子（十1）+6. :B(0,号)是抛物线与y轴的交点，：十k=号。 1 k=1.(2)存在.由(1)可知，y=+1)2+1. :D3,m)是抛物线上一点m=子×(3+1)+1=5. ·D35).如图，作点C关于直线x=-号的对称点C, 连接CD交抛物线的对称轴于点K.由对称性可知， CK=CQ,∴.DK+KQ+QC=DK+KQ+C'K≥C'D+ KQ.当C',K,D三点共线时，CD的长有最小值，即 DK+KQ+QC的值最小.，'抛物线的对称轴为直线 x=一1，QK与抛物线的对称轴垂直，∴.KQ=1.:D(3, 5),CD⊥x轴，.C(3,0)..C(一4,0)..CD= √(3+4)+(5-0)=√74.∴.DK+KQ+QC的最小值 为√74+1.设直线CD对应的函数表达式为y=k'x十b. -4k'+b=0, 将C(一4,0)，D(3,5)代人，得 解得 3k'+b=5, '5 7 :直线CD对应的函数表达式为)y=号x十9 20 b 令x=-1将y=-号+号-号K(-1》点Q D 的坐标为(0.) D 10 B C 10 (第9题) 第5课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1.C将抛物线y=x2一kx十k十3化成顶点式为y= (-》广-号+6十3，“抛物线的顶点坐标为 (停一气+十3)：范物线的顶点在x维上一华+ k十3=0，解得k=-2或k=6..k的值为-2或6. 2.C解法-：当x=-1时，y1=(-1)2-4X(-1)+c= 5十c;当x=2时，y2=2-4×2+c=-4+c;当x=3时， y3=32-4X3+c=-3+c.-4+c<-3+c<5+c, ∴.y2<y3<y1.解法二：：抛物线y=x2一4x十c的对称 一4 轴为直线x=一2X1=2心点M(一1y)关于对称轴对 称的点为(5，y1).:1>0,则抛物线开口向上，.当x≥2 时，y随x的增大而增大.2<3<5，∴.y2<y<y1.解 法三：：抛物线y=x2一4x十c,1>0,∴.抛物线开口向 上，对称抽为直线=一-2“离对称维越近，函数 值越小.又·点M2(2,y2)在对称轴上，点M,(一1，y1)到 对称轴的距离为一1一2|=3，点M(3,y3)到对称轴的距 离为|3-2=1，∴.y2<y<y1 方法归纳 比较二次函数值大小的方法 (1)代入比较法：已知二次函数的表达式，可将几个 点的横坐标分别代入二次函数的表达式，求出对应的函 数值，再比较函数值的大小 (2)增减性比较法：当点都在对称轴的同侧时，可直 接根据函数的增减性比较大小；当点不在对称轴的同侧 时，可利用二次函数图象的对称性，将点转化到对称轴 的同侧，再根据函数的增减性比较大小 (3)根据点到对称轴的距离比较大小：当抛物线开 口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越大； 当抛物线开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的 函数值越小. 3.子设平移后的地物线对应的函数表达式为y=(x h)2+k.:平移后抛物线的顶点恰好落在直线y=x十1 上，k=h十1.∴.平移后的抛物线对应的函数表达式为 y=(x一h)2十h十1.令x=0,得平移后的抛物线与y轴交 点的纵坐标为h2十h十1.设平移后的抛物线与y轴交点的 纵坐标为，则：=十h十1=(6+)+子，当 h=一？时，平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标取得最 小值，最小值为是 4.(1)如图所示.(2)答案不唯一，如当x=1时，函数有 最大值2：当x>1时，y随x的增大而减小；当x<1时，y 随x的增大而增大. 3 2外7 -3-2-1012\8x -31 (第4题) 5.Dy=一x2十2mx=-(x-m)2+m2(m为常数). ①若m<0,当x=0时，y=一(0-m)2十m2=4m不存 在；②若m>1,当x=1时，y=-(1一m)2+m2=4,解得 m=2.5;③若0≤m≤1，当x=m时，y=m2=4,解得 m=2或m=一2，均不合题意，舍去.综上所述，m的值是 2.5. 6.y2=5x2-10x+5:y1=2x2-4x+3=2(x-1)2+ 1,∴.y1+y2=2x2-4x+3+a.x2+bx+5=(a+2)x2+ (b一4)x十8.y1十y2与y1为“美好函数”，.y1+y2 (a+2)(x-1)2+1=(a+2)x2-2(a+2)x+(a+2)+1. :y1=2(x-1)2+1的图象开口向上，∴.y1+y2=(a十 2)(x一1)2+1的图象开口向上...a十2>0，即a>一2. b-4=-2(a十2)， {a=5, 解得 (8=(a+2)+1, b=-10. .函数y的表达 式为y2=5x2-10x+5. 7.(1)(2,-6)当a=1时，y=x2-4x-2=(x-2)2- 6,..抛物线的顶点坐标是(2，一6).(2)a≥1或a<0 易知抛物线y=ax2一4a2x一2的对称轴为直线x= 一4a=2a.当x=0时y=一2，则抛物线与y轴的交点 2a 坐标为(0，-2).P(m,n)是抛物线y=ax2一4a2x-2 (a为常数，a≠0)上一点，当0≤m≤4时，n≤-2，当a>0 时，抛物线开口向上，∴.当x=4时，y≤一2，即a×4一 4a2×4-2≤-2.∴.a≥1.当a<0时，抛物线开口向下，当 0≤m≤4，y随x的增大而减小.：'当x=0时，y=一2， ∴.n≤一2恒成立.综上所述，a的取值范围是a≥1或 a<0. 8.(1)二次函数y=ax2+bm十2的图象过点A(2,k), B(一1，k),∴.该二次函数图象的对称轴为直线x= 2号-名-合名-12⑩：y a ar+红+2-a+r+0)t2-a(e+ )'+, 。:当=一名时，二次函数的最值为 2么.次函数y=a2+b:+2的最大值为 aa<0, 如-昌-，化简得。-8公-2- 0.由(1)知，a =-1,b=-a.a3-a2-2a=0. ∴.a(a+1)(a-2)=0..a≠0，.a十1=0或a一2=0. ∴.a=一1或a=2(舍去.∴.该二次函数的表达式为y= 一x2+x十2.②M(x1,n),N(x2,n)为该二次函数 图象上不同的两点，且≠0，∴.该二次函数图象的对称轴 为直线x=十二.由(1)知，二次函数y=一x2+x十2图 2 象的对称轴为直线=子，小士-令，》 2 2,n=-x7+ x+2=-x号+x2+2.x,十x,=1.+1) x2-2_（x+1)(x1-2)-n(x2-2) x1-2 n(x1-2) (x,+1)(x1-2)(x,+1)-n(x2-2) n(x1-2) (x7-x1-2)(x1+1)-n(x2-2) n(x1-2) -n+1)-(x,-2）=-nx十2-_ n(x1-2) n(x,-2) 二1二)》=0+》=- x1-2 n x1-2 微专题·由图象判断a,b,c及相关代数式的符号- 1.C由图象可知，抛物线交x轴于点(2,0)，另一个交 点的横坐标在一1和0之间.根据对称性可知，2 -2<1,-2a<b<-a,则2a十b>0.故B错误.当 2a x=一1时，y>0,即a一b十c>0.故D错误.由图象可 知，a>0,c<0.-2a<b<-a,∴.b<0.∴.abc>0. 故A错误.由b<-a,得b十a<0,故4b十4a<0①.把 (2,0)代入y=a.x2+bx+c,得4a+2b+c=0,即4a= 一2b一c,代入①式，得4b一2b一c<0,即2b一c<0.故C 正确. 2.A①抛物线开口向下，.a<0.抛物线的对 称轴位于y轴的右侧一名>0.∴6>0：抛物线 与y轴交于正半轴，.c>0.∴.abc<0.故①错误. ②，抛物线的对称轴为直线x=1,∴点(0,0)与点(2， 0)关于对称轴对称.：当x=0时，y>0,∴.当x=2 时，y>0,即4a十2b+十c>0.故②正确.③由函数图象可 知，当x=1时，y=a+b十c>0;当x=一1时，y=a b+c0.∴.(a+b十c)(a-b+c)<0..(a+c)2 b2<0.∴.(a十c)2b2.故③错误.④根据对称轴为直 1得-=1.6=-2a,:当x=二1服 a-b十c<0,∴.a十2a十c<0.∴.3a十c<0.故④正确. ⑤：当x=1时，y的值最大，即y绿大饰=a十b十c, ∴.a+b+c>am2+bm+c(m≠1).∴.a+b>m(am+ b)(m≠1).故⑤正确.综上所述，正确的有②④⑤. 第6课时二次函数表达式的确定 1.A解法一：设该二次函数的表达式为y=ax2十bx十c (a≠0).把（一3,0），(0，一3)，(1,0)代入，得 9a-3b+c=0, a=1, c=-3, 解得b=2,∴.该二次函数的表达式为 a+b+c=0. c=-3. y=x2十2x一3.解法二：由表格可知，该二次函数图象的顶 点坐标为（一1，一4），.设该二次函数的表达式为y= a(x十1)2-4.把(1,0)代人，得4a-4=0,解得a=1..该 二次函数的表达式为y=(x+1)2一4，即y=x2+2x一3. 解法三：由表格可知，该二次函数的图象与x轴交于点 (一3,0)，(1,0)，∴.设该二次函数的表达式为y=a(x十 3)(x-1).将(0，-3)代入，得-3a=-3,解得a=1.∴.该 二次函数的表达式为y=(x十3)(x一1)，即y=x2+ 2x-3. D 方法归纳 根据所给点的坐标，设二次函数表达式的方法 (1)已知任意三点，设一般式。 (2)已知点中有两点的纵坐标都为0时，设交，点式」 (3)已知顶点坐标，设顶点式。 (4)已知点中有两点的纵坐标相等，此时可利用抛 物线的对称性求得顶，点的横坐标，设顶，点式 2.A设“和谐点”为(t,t).把(t,t)代入y=ax2+7x十c, 得at+7t十c=t,整理得at2+6t十c=0..该二次函数 的图象上有且只有一个“和谐点”，∴.t有且只有一个值 ∴.△=62-4ac=0,即ac=9.把(-1，-1)代人y=ax2+ 7x十c,得a-7十c=一1，即c=6-a.把c=6-a代人 ac=9,得a(6-a)=9,解得a1=a2=3.∴.c=6-3=3. .此二次函数的表达式为y=3x2+7x十3. 3.y=3x2+1或y=-3x2+1:抛物线y=ax2+k与 y=3x2的形状相同，∴.a=士3.：其顶点坐标是(0,1)， ∴.所求抛物线对应的函数表达式为y=3x2+1或y= -3x2+1. 易错警示 抛物线的形状相同，则二次项系数的绝对值相等 抛物线y=a1x2十b1x十c1与抛物线y=a2x2十 b2x十c2的形状相同，则a1=a2或a1=一a2,易忽略 a,=一a2这种情况. 4.(1)将A(-2,0),C(0,-2)代入y=x2+bz+c,得 4-2b+c=0,(b=1, .二次函数的表达式为y= c=一2， c=-2. x2十x一2.(2)设P(m,n)(m0,n>0)..△PDB的 S△PmB=2,即 面积是△CDB面积的2倍，·SA 1 BD·n n 号n.0 =2.0=2又C0=2n=2C0=4把 P(m,4)代入y=x2+x-2,得m2+m-2=4,解得，= 一3，m2=2(舍去).∴.点P的坐标为(-3,4). 5.A如图，过点D作DM⊥x轴于点M,过点A作 AN⊥DM交MD的延长线于点N,则∠AND=∠DMC= 90°，∴.∠CDM+∠DCM=90°.·四边形ABCD是正方 形，∴.∠ADC=90°，AD=DC.∴.∠ADN+∠CDM= 8