2.2 第1课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程&第2课时-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

温馨提示：请做完题后再看答案！ 《正文》参考答案 第一章特殊平行四边形 13.若AE=BF,△DEF是等边三 1.1认识特殊平行四边形 角形.证明：连接BD 1.C2.A3.C4.菱5.22.5 ,四边形ABCD是菱形，∴.AB 6.证明略 =BC=CD,∠C=∠A=60°，AD∥ 7.D8.B9.(-2,3) BC,∴.△BCD是等边三角形， 10.(1)△BEC是等腰三角形，证明 ∠ABC=180°-∠A=120°， 如下：，四边形ABCD是矩形， ∠DBE=2∠ABC=60,BD= .AD∥BC,.∠BCE=∠DEC, .EC平分∠BED,.∠BEC= CD,.∠DBE=∠C, ∠DEC,∴.∠BCE=∠BEC, ,AE=BF,∴.AB-AE=BC .'BC=BE, BF,即BE=CF, △BEC是等腰三角形； 在△DBE和△DCF中， (2),四边形ABCD是矩形， BD-CD .∠A=90°， ∠DBE=∠C, 又.∠ABE=45°， BE=CF ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴.△DBE≌△DCF(SAS), 在Rt△ABE中，由勾股定理得： .DE=DF,∠EDB=∠FDC BE=√JAB+AE区=√2， ∴.∠EDB+∠BDF=∠FDCH ∠BDF=∠BDC=60°， .BC=BE=√2. 11.(1)2 ∴.△DEF是等边三角形 (2)过点F作FM⊥AB于点M, 第2课时菱形的判定 1.C2.证明略 在Rt△BCF中，易求BF=23, 3.平行四边形菱形 在Rt△BFM中，易求MF=3, 4.③5.证明略. 则Ss=2X4X3=6. 6.(1)四边形ABCD为菱形.理由略； 12.(1)图略 (2)BD=6. (2)图略.EG的长为12或4√o.7.C8.C9.DF∥AB 1.2菱形的性质与判定 10.(1)略(2)18√5. 第1课时菱形的性质 11.(1)证明略； 1.A2.B3.C4.D5.C (2)先证四边形ABPF是平行 6.菱形ABCD的周长是AD+BC 四边形，再由AB=AF证平行 +CD+AB=4/10: 四边形ABPF是菱形， 7.2或48.D9.120°10.33 1.3矩形的性质与判定 11.(1)证明略；(2)2. 第1课时矩形的性质 12.(1)证明略；(2)∠ADC=150°. 1.C2.B3.B4.B5.C 49 6.(1)证明略：(2)27. 10.证明略. 7.58.C9.C 11.（1)证明略；(2)45°. 10.号 11.①③④ 12.(1)矩形（正方形） (2)略 12.（1)证明略； (3)在正方形ABCD中，.AF= (2)当EF⊥AC时，四边形 CG,AB=BC,∴.FB=BG, AECF是菱形.理由略. ∴.∠AEF=∠AFE=45,∠BFG= 13.证明略. ∠BGF=45°，∴.∠EFG=90°， 第2课时矩形的判定 :∠A=∠C=90°，DA=DC, 1.C2.90 AF=CG, 3.证明略.4.B ∴.△ADF≌△CDG(SAS), 5.对角线相等的平行四边形是矩形 ∴.DF=DG, 6.(1)证明略；(2)AB=BC .AD∥CB,∴.∠EDG=∠DGC, 7.证明略.8.B9.A10.矩形 ,∠DGC=∠DEG, 11.2.4 ∴.∠GDE=∠GED, 12.(1)证明略； ∴.DG=EG,.DF=EG, (2)四边形GCF是矩形.理由略 ∴.四边形DEFG是垂等四边形 13.(1)证明略； 专题一 特殊四边形中的折叠问题 (2)AE的长为√73. 1.B2.A3B4. 15 1.4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 5.(2)①BE= BN,()证明略 1.正方形2.C3.A4.D 专题二特殊四边形中的最值问题 5.22.5°6.6 1.D2.B3.B4.D5.5 7.(1)证明略；(2)EF=5√2. 6.(1)证明略；(2)21. 8.C9.A10.8√511.12 专题三特殊四边形中的动点问题 12.证明略 1.(1)证明略； 13.(1)证明略； (2)①当AM=1时，四边形 (2)仍然成立.理由：首先过点E AMDN是矩形.理由略； 分别作BC,CD的垂线，垂足分 ②当AM=2时，四边形AMDN 别为H,I,然后利用ASA证得 是菱形.理由略. Rt△FEI≌Rt△GEH,则问题得：2.(1)证明略； 证. (2)当点O运动到AC中点处时， 第2课时正方形的判定 四边形AECF是矩形. 1.C2.D3.D 理由略； 4.邻边相等的矩形是正方形 (3)当点O运动到AC中点处时， 5.平行四边形菱形矩形正方形 且△ABC满足∠ACB是直角的 6.证明略， 直角三角形时，四边形AECF为 7.A8.D9.3 正方形 50 理由略。 5.(1)设长为xm,则x(x-2)= 专题四特殊四边形中的类比 120,整理得x2-2x-120=0; 探究问题 (2)设中间的偶数是x,则另外两 1.(1)理由略； 个是x一2，x十2，根据勾股定理， (2)①AC=BD②AC⊥BD 得(x-2)2+x2=(x+2)2,整理 2.(1)证明略； 得x2-8x=0. (2)EF=2√5；(3)成立. 6.-1 章末核心考点与素养提升 7.x2+(x+6.8)2=102 1.D2.121°3.B 8.17.x2+16.x-1=0 4.证明略.5.150 9.15x(30-2m)×2 =750 6.答案不唯一，如：AC=BD 7.B8.A9.B10.25 第2课时一元二次方程的 解和近似解 1.2212.2或3 1.C2.A3.12 13.(1)② 4.填表略；方程的两个解为x= (2)过点Q作QH LPO,连接 2.5,x2=3. OH,HS,则四边形PQHO是平5.-16.x2-3=0 行四边形， 7.x1=10,x2=-2 ∴.PQ∥OH,PQ=OH, 8.(1)311 在平行六边形OPQRST中，PO (2).m是方程2x2-7x+2=0 ∥RS,PO=RS,∴.QH IRS, 的根，.2m2一7m十2=0，方程两 .四边形QRSH为平行四边 形，∴.QR∥HS,QR=HS, 边同时除以2m,得m一号+从 在平行六边形OPQRST中，PQ 0,.m十 1=7 m 2 ∥ST,QR∥OT,∴.OH∥ST, HS∥OT,∴.四边形HSTO为 (m+) =m++2 平行四边形， ..HS-OT,OH-ST, m+动=(m+品)-2 ∴.QR=OT,PQ=ST, ()-29-2-4 .OP-PQ-QR=RS, (3)C ∴.PQ=QR=RS=ST=OT= 2.2 一元二次方程的解法 PO,.平行六边形OPQRST是 第1课时用配方法解二次项系数 菱六边形. 为1的一元二次方程 14.略. 1.D 2.C 第二章一元二次方程 2.1认识一元二次方程 3.(1)=2+√7，x2=2-√7： 第1课时一元二次方程 (2)x=1土5. 1.C2.C3.略 4.B5.D6.±12 4.x(22-2x)=60 7.3或一7 51 8.原式=-216. 方程总有两个实数根； 9.(1)①0=-1，x2=2 (2):x=一(mm-3)±(m+3) 2m ②m1=-1,x2=3 ③.x3=-1,x2=4 m3=-1. (2)①x1=-1,x2=10 ,m为正整数，且方程的两个根 ②略. 均为整数，.m=1或3. 第2课时用配方法解二次项系数 14.(1)k≤4； 不为1的一元二次方程 (2)k的值为3或4. 1.C2.D3.4 1 9 - 第4课时用因式分解法求解一元 4.(0-1或- 二次方程 1.C2.D3.C【变式C (2)x=-1±26 4.x1=1,x2=55.D 31 6.(1)因式分解；(2)直接开平方. 5.竹竿有10尺. 6.B7.C 7.(1)x1=1,x2=2; 8.略. 2w=3 (2)=3+ 29 9.3√2 (3)x1=1+5,.x02=1-√5. 第3课时用公式法求解一元 8.x1=-1,x2=4 二次方程 9.C10.B 1.A2.B 11.16【变式】11或13 3.4-3-241 3+/41 8 12.2 0=3-红 13.(1)x1=- 1 32=-5: 8 1 4.(1)x=-2+E =2 (2)=- 2x2=-1. 2 2 : 14.(1)-3√2x; 2072=1 （2)x1=4,x2=-2. 5.A6.8 1 微课堂 1.(1)x1=5,x2=-1. 7.(1m< 8(2)m= 8 (2)x1=-3,x2=1. (3)m>- 7 2.1或2 8 专题五一元二次方程的解法 8.D9.C10.D11.C 1.(1)x1=3,x2=-1; 12.等腰 13.(1)证明：，m≠0， （2-合4=3 .方程m.x2+(m-3)x-3=0 (3)x1=-2,x2=0: (m≠0)是关于x的一元二次方 (4)x1=2+√3，x2=2-3; 程，∴.△=(m-3)2-4m×(-3) =(m+3)2≥0， (5)x=1,x2=-2: 1 52 (6a=26=8 则2()°-7+1=0， 2.y=2,y=-4. 所以：和可看成方程2x2一7x 3.(1)x0=7,x2=-1; 十1=0的两个根， (2)=6,x2=-1; 所以s+1=2 。.1-1 (3)x=1,2m=-2 1 t2· t 2 4=- 号- 则中子即=号 t 2 所以21十2 7t-2+2 4.A5.y2-2y-3=0 t+3t+1= 712+3t十1 6.x01=-1十2，x2=-1-2. 2 2.3一元二次方程的根 14 13: 与系数的关系 2.4一元二次方程的应用 1.D2.A3.2020 第1课时利用一元二次方程 4(10:2)受 解决几何问题 5.D 1.B2.7m3.16cm 6.另一个根是2+√5，c的值是-1. 4.小路的宽应是2m. 5.所围矩形猪舍的长为10m,宽为 7.A8.D9.C10.D11.14 12.x2-6.x+6=0 8m. 6.127.2 13.(1)k的取值范围为k>一1； 8.该有盖纸盒的底面边长为8cm. (2)1. 14.(1)证明：.△=[-(2m+1)]-4 9.(1)AD=36-3x; (2)当AB=8m时，苗圃园的总面 (m2+m)=4m2+4m十1-4m2 积为96m. 4m=1>0, 10.(1)当t=2s时△PCQ的面积为 .无论m取何值时，方程都有 两个不相等的实数根. △MBC面积的： (2)由题意，得a十b= (2)△PCQ的面积不可能是 -(2m+1D=2m+1, △ABC面积的一半.理由略. 1 第2课时利用一元二次方程 ab=心+m=m+m, 1 解决营销类问题 (2a+b)(a+2b)=20,即2(a+1.D2.D3.10% b)2+ab=20, 4.该市这两年参加健身运动人数的 ∴.2(2m+1)2+m2+m=20, 年均增长率为30%. 整理得：nt十m一2=0，解得：m1=5.D -2,m=1, 6.(3+x)0.5x(4-0.5x)(3 .m的值为-2或1. +x)(4-0.5.x)=15 15.(1)5123 7.50 (2)因为，t满足2s2一7s十1=：8.设每件衬衫应降价x元，由题意， 0,-7t+2=0,且st≠1， 得(40-x)(20+2x)=1200, 53 解得x1=20,x2=10. 综合与实践（一）数形结合与 当x1=20时，20+2x=60件：当 方程思想 x2=10时，20十2x=40件，因为 【理解应用】② 要减少库存，x=20. 【类比迁移】x十号 (x+x+号) 答：每件衬衫应降价20元. 9.(1)设从2026年起该企业智能机 =4x1+()》 x=7 器人工作岗位率的年平均增长率 【拓展应用】士231或3 应达到x,由题意可得28%(1十 综合与实践（二）方程建模与 x)2=35%, 实际应用 (1+x)2=5 任务一：这个矩形的长和宽分别是 2 : 60cm和20cm; x>0, 任务二：按图4上面的做法合适，下 x= 2 -1≈22-1=0.1= 2 面的做法不合适。 10%, 章末核心考点与素养提升 (2)35%×(1+10%)2=35%× 1.-32.-1 1.21=42.35%>40%, 3.(1)x=√2土1： 所以照此速度增长，2029年底该 (2)=8,x2二3、 企业智能机器人工作岗位率可超 4.B 过40%. 5.(1)13;(2)-6;(3)a≤2且a≠0. 10.任务1： 6.(1)当m=1时，四边形ABCD为 设第一季度到第三季度生产量 菱形； 的每季度增长率为x,根据题意 (2)m= 得：200(1+x)2=288, 2 解得x=0.2=20%,x=-2.2 7.10% (不符合题意，舍去)， 8.(1)(60-3a); 答：第一季度到第三季度生产量 (2)a=12. 的每季度增长率为20%； 9.B10.A11.B 任务2： 12.3(x-1)x=6210 设增加a条生产线，则每条生产 18-日 线产能为(300-20a)万个/季 14.x0=-3,x2=2. 度，根据题意得：(1十a)(300 15.(1)1 20a)=1200, (2)01=3+i,x2=3-i 整理得a2-14a十45=0，即(a-5) 第三章图形的相似 (a-9)=0, 3.1相似多边形 解得a1=5,a2=9, 第1课时相似多边形的定义 ,在增加产能同时要节省投入 1.C2.A3.D4.45.B 成本，.a=5. 答：应增加5条生产线。 6125°127.号 5423 2.2一元二次方程的解法 第1课时 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 01 基础达标 6.如果x2+mx十36是一个完全平方式，则m的 值为 知识点 用配方法解二次项系数为1的一元二 7.在实数范围内定义一种运算“”，其规则为@ 次方程 xb=a2一b,根据这个规则，方程(x十2)￥5= 1.用配方法解一元二次方程x2一4x十1=0时， 0的根为 下列变形正确的是 ( 8.已知x2-4x十y2+6y+√-3+13=0，求 A.(x-2)2=1 B.(x-2)2=5 (xy)的值. C.(x+2)2=3 D.(x-2)2=3 2.用配方法解方程m一7m=5,应把方程两边 同时 ( A.加上号B减去号C加上望D.减去9 03思维拓展 3.解下列方程： 9.根据要求，解答下列问题： (1)x2-4x-3=0; (1)①方程x2-一x一2=0的解为 (2)x(x-2)=4. ②方程x2一2x一3=0的解为 ③方程x2-3x一4=0的解为 … (2)根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： ①方程x2-9x一10=0的解为 ②请用配方法解方程x2一9x一10=0，以验证 02能力提升 猜想结论的正确性。 4.下列方程不能直接用开平方法求解的是( A.3x2-2=0 B.4x2-x+1=0 C.7x-2y=4 D.2x2+1=5 5.若关于x的方程(ax一1)2一16=0的根为2， 则a的值为 A号 C或 D号或 第2课时 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 01基础达标 我佩服.”问：竹竿有多少尺？ 知识点一 用配方法解二次项系数不为1的一 元二次方程 1.用配方法解一元二次方程3.x2-6x十4=0，配 方后得到的方程是 ( A.(x-1)=3 B.(x-3)2=1 3 02能力提升 C.(x-10--3 D.(x-3)2=- 1 3 6.若方程4x2一(m一2)x十1=0的左边可以写成 2.用配方法解一元二次方程x2一2x=35时，步 一个完全平方式，则m的值为 () 骤如下：①x2-2x+1=36;②(x-1)2=36: A.-2 B.-2或6 ③x-1=士6：④x=士7，即x1=7,x2=一7.其 C.-2或-6 D.2或-6 7.已知P=2m一3，Q=m2一1(m为任意实数)， 中开始出现错误的步骤是 ( 则P、Q的大小关系为 () A.① B.② C.③ D.④ A.P>Q B.P≤Q 3.把一元二次方程2x2一x一1=0用配方法配成 C.P<Q D.不能确定 a(x一h)2十k=0的形式(a,h,k均为常数)，则8.已知代数式2x一3x2一1，用配方法说明，不论 h= ,k= x取何值，这个代数式的值总是负数， 4.解下列方程： (1)2y2-y-2=-1; (2)3x2+6x-5=0. 03思维拓展 9.【数学文化·方程的图 解法】《几何原本》欧几 号 里得的《几何原本》中记4 载，形如x2十a.x=b(a >0,b>0)的方程的图解法如下：如图，以号和 知识点二用配方法解决实际问题 b为两直角边长作Rt△ABC,再在斜边上截取 5.古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住 BD=号，则AD的长就是所求方程的正根.利 竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭.有个邻 用以上方法解关于x的一元二次方程x2+m.x 居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试， =36时，若构造后的图形满足AD=2BD,则m 不多不少刚抵足.借问竿长多少数，谁人算出 的值为