2.1认识一元二次方程（分层作业，9大题型）数学新教材北师大版九年级上册

分层作业 2.1 认识一元二次方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 一元二次方程的定义 题型02 化成一元二次方程的一般式 题型03 由一元二次方程的定义求参数 题型04 判断是否是一元二次方程的解 题型05 由一元二次方程的解求参数 题型06 一元二次方程的解的估算 题型07 由方程的解构造方程 B组 能力进阶 题型 整体代换求根 C组 思维拔高 题型 新定义问题 一元二次方程的定义题型01 1．（25-26九年级上·广东韶关·期中）下列四个方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 根据一元二次方程的定义分别分析即可得出答案． 【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．（25-26九年级上·期末）若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义，逐一判断即可． 【详解】解：A、，整理得，故选项A符合题意； B、，整理得，是一元一次方程，故选项B不符合题意； C、，整理得，含有两个未知数，故选项C不符合题意； D、，整理得，是一元一次方程，故选项D不符合题意． 故选：A． 3．（25-26九年级·期末）下列关于x的方程①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．根据一元二次方程必须满足两个条件：（）含有一个未知数，未知数的最高次数是；（）二次项系数不为．据此逐项判定即可． 【详解】解：①是整式方程，且只有一个未知数，最高次项为次，是一元二次方程； ②含有分式项，不是整式方程，不是一元二次方程； ③可化为，是整式方程且最高次项为次，是一元二次方程； ④可化为，是整式方程且最高次项为次，是一元二次方程． ∴一元二次方程有①、③、④，共个． 故选：C． 4．下列方程中，①7x2+6＝3x；②＝7；③x2﹣x＝0；④2x2﹣5y＝0；⑤﹣x2＝0中是一元二次方程的有_____． 【答案】①③⑤． 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】①③⑤是一元二次方程，②是分式方程，④是二元二次方程， 故答案为：①③⑤． 【点睛】此题考查一元二次方程的概念，解题关键在于掌握判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 5．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）下列方程：①（m为常数）；②；③；④；⑤（m为常数）；⑥（为常数）．其中一定是一元二次方程的有___________（填序号）． 【答案】①⑥ 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，其一般形式是（， ，为常数，且），根据定义逐一判断即可． 【详解】解：①（m为常数）是一元二次方程； ②，是分式方程，不是一元二次方程； ③，含有两个未知数，不是一元二次方程； ④，整理后是一元一次方程，不是一元二次方程； ⑤（m为常数），当时，不是一元二次方程， ⑥是一元二次方程， 故答案为：①⑥． 化成一元二次方程的一般式题型02 1．将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原方程化为一元二次方程的一般形式，再确定的值． 【详解】解：将方程移项，得：， ∴ ，，． 2．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则a的值为（   ） A．2 B．-2 C． D．0 【答案】B 【分析】由常数项为0，则，结合一元二次方程的定义，即可求出a的值． 【详解】解：根据题意，则 ∵一元二次方程的常数项为0， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握定义进行解题． 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式；将方程化为一般形式，根据不含一次项的条件，令一次项系数为零，且二次项系数不为零，求解． 【详解】解：原方程化为一般形式：， 即， 由于不含一次项，则一次项系数，且二次项系数． 解，得． 由，得， 故． 故答案为：． 4．（24-25八年级下·安徽淮北·联考）把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 【答案】二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，首先把方程化成一般形式即可求解，解题的关键是理解一元二次方程的一般形式是：（，，是常数且）特别要注意的条件，其中叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【详解】解：， ， ∴该方程的二次项系数是，一次项系数是，常数项是． 5．已知每幅年画售价为300元时，平均每天可以卖出20幅．根据调查，每降价1元，平均每天可多卖出1幅，若要使一天的销售总额为22000元，设每幅年画降价x元，请你根据题意列出一元二次方程，并将其化为一般形式． 【答案】，化为一般形式为 【分析】先写出降价后的单价和销量，利用 “销售额 = 单价 × 数量” 列出方程，再去括号、移项整理为一元二次方程的一般形式． 【详解】解：根据题意可知每幅年画降价x元时，售价为元/幅，平均每天的销量为幅，可列方程为， 化为一般形式为： ， ， ， ． 由一元二次方程的定义求参数题型03 1．（24-25九年级上·吉林长春·月考）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义即可求解，解题的关键是熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为的整式方程，叫做一元二次方程，熟记一般形式为． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴，解得：， 故选：． 2．（25-26九年级上·山西吕梁·期中）若关于的一元二次方程的常数项为零，则____________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，根据二次项系数非零及方程的常数项为0，可得出关于c的一元一次方程，解之即可求出c的值． 【详解】解：∵一元二次方程的常数项为零， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知（m﹣2）x|m|+bx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为_____． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义得到未知数x的最高次数为2，即，再结合绝对值的性质解得m的值，最后根据一元二次方程二次项系数不为0解题即可． 【详解】解：由题意得： 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的概念，涉及绝对值的性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 4．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 【答案】(1) (2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为 【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键． （1）利用一元一次方程的定义判断即可； （2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可． 【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程． 由题意得：， ． 当时，此方程是一元一次方程； （2）由题意得：， ． 当时，此方程是一元二次方程． 此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m． 5．判断关于x的方程是否为一元二次方程． 【答案】当时，关于x的方程是一元二次方程； 当时，关于x的方程不是一元二次方程． 【分析】先将原方程整理为整式方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义分类讨论即可． 【详解】解：， ， ， 当，即时，原方程不是一元二次方程； 当，即时，原方程是一元二次方程． 判断是否是一元二次方程的解题型04 1．（25-26九年级上·广西钦州·月考）如表是某代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 10 4 0 0 ．．． A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题关键是熟练掌握一元二次方程根的定义． 观察表格，找出使方程左右两边相等的的值，根据方程解的定义进行解答即可． 【详解】解：通过观察表格可知：当和2时，， ∴方程的根是：或， 故选D． 2．下列各数是方程的解的是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程解的概念，将选项中答案依次代入方程即可判断． 【详解】解：A、当时，，符合题意； B、当时，，不符合题意； C、当时，，不符合题意； D、当时，，不符合题意； 故选：A． 3．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的解，由可知令即成立，则可求出答案． 【详解】解：当时，方程为， 方程必有一个根是， 故选：C． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接． (1)若，求的度数； (2)设，；线段的长度是方程的一个根吗？说明理由． 【答案】(1)； (2) 解：是，理由如下： ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴． 当时， ． ∴的长度是方程的一个根． 【分析】（1）先利用直角三角形两锐角互余求出的度数，再根据等腰三角形两底角相等求出的度数，最后用减去得到的度数； （2）先通过勾股定理求出的长度，进而得到的表达式，再通过代入验证或解一元二次方程的方式，判断是否为方程的根． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）略 5．（25-26九年级上·海南·期中）下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，准确分析判断是解题的关键． 根据二次方程根的性质，两根为和的方程可写为，展开后即为，判断即可． 【详解】解：方程的两根分别为和， 方程可表示为，展开得． 故选：． 由一元二次方程的解求参数题型05 1．（24-25八年级·北京·期末）如果是一元二次方程的一个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把的值代入方程即可得到一个关于的方程，解一元一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得． 故选：A． 2．已知关于x的一元二次方程的一个根为，那么直线经过的象限是（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程来求的值．从而确定直线所经过的象限． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ， 解得：， 根据题意，得， ， ∴． ∴直线经过的象限是第二、四象限． 故选：B． 3．（25-26九年级上·江苏常州·期中）已知是一元二次方程一个根，则的值为_____． 【答案】2026 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义等知识，根据是一元二次方程一个根，得到变形为，把变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵ 是一元二次方程一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2026． 4．（2025·广东潮州·二模）已知． (1)化简P； (2)若a为方程的一个解，求P的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的化简求值、方程的解，正确化简分式P是解答的关键． （1）根据分式的加减混合运算法则和运算顺序化简分式P即可； （2）根据方程的解满足方程得到，代入化简式子中求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵若a为方程的一个解， ∴，即， ∴． 5．已知是方程的一个根，试求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程解的定义，分式的求值，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，，则原式可变形为，进一步变形得到，即，据此可得答案． 【详解】解：∵a是方程一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 一元二次方程的解的估算题型06 1．根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（    ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程解的范围，从表格中选择合适的数据是解题关键．应该在与之间，从表中选择合适的数据即可． 【详解】解：由表中数据得： 当时，， 当时，， 使方程成立的一个解应该在与之间， ． 故选C 2．根据下表确定方程的解的取值范围是（　　） … 4 5 6 13 5 … 5 13 A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据表格数据的变化规律，利用“夹逼法”得到一元二次方程的解的取值范围． 【详解】解：根据表格，当和时，， 当和时，， ∴该方程的解的取值范围为或， 故选：A． 【点睛】本题考查估算一元二次方程的近似解，弄清表格中数据变化规律，掌握利用“夹逼法”探究一元二次方程的近似解是解答的关键． 3．对于方程的两根，下列判断正确的是（　　） A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于，另一根大于2 C．两根都小于0 D．两根都大于2 【答案】A 【分析】本题需先根据一元二次方程的解法，对方程进行计算，分别解出和的值，再进行估算即可得出结果． 【详解】解： ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了对一元二次方程的近似解的估算，解题时要注意在开方的时候不要漏掉方程根，这是解题的关键． 4．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 【答案】（1），，，，（2） 【分析】 （1）第一步: 代入及, 可求出的值, 进而可得出;第二步: 根据及时, 的值，进而可得出； （2）由的结论, 可得出的值约为. 【详解】 解：（1）第一步: 当时, ， 当时, , ∴； 第二步: 当时,， 当时,， ∴ . 故答案为：，，，； （2）通过以上探索,的值约为. 【点睛】 本题考查了估算一元二次方程的近似解，熟练掌握用列举法估算一元二次方程的近似解的方法是解题的关键. 5．关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形： 变形 回答下列问题： (1)表格中t的值为______； (2)观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______； (3)记的两个变形为和，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了方程的变形与根的估算，理解题意，得出为一次项系数的相反数是解此题的关键． （1）将展开后合并同类项即可得解； （2）将展开后合并同类项即可得解； （3）将展开后合并同类项可求得，， 然后利用完全平方公式建立方程，可解得的值，同理可得，的值，最后代入求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 是由变形得到的， ， ， 故的值为； （2）解：，，，， 猜想，证明如下： ， ， ， 是由变形得到的， ， 故m与n满足的等量关系为； （3）解：， ， ， 是由变形得到的， ，， ， ， 同理可得，，， ， ， ． 故的值为． 由方程的解构造方程题型07 1．【结论开放性题】写出一个以为根的一元二次方程：__________ 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义，可构造符合要求的一元二次方程，只要满足代入方程后等式成立即可. 【详解】解：根据一元二次方程根的定义，若是方程的根，可得含有因式， 为得到整系数方程，搭配有理化因式，得到方程： 根据平方差公式展开得： 整理得： 故答案为：（答案不唯一）． 2．问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程， 得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为______． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为______． (3)已知关于x的一元二次方程（）有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程的应用等知识，解题的关键是理解题目中给出的利用方程根的代换求新方程的方法，并应用“换根法”解决问题． （1）设所求方程的根为y，则，得到，然后代入求解即可； （2）设所求方程的根为y，则，得到，然后代入求解即可； （3）设所求方程的根为y，则，得到，然后代入求解即可． 【详解】（1）设所求方程的根为y，则， 所以 把代入，得． 化简得； （2）设所求方程的根是y，则，所以， 把代入方程，得， 化简，得； （3）设所求方程的根为y，则， 所以 把代入，得． 化简得． 整体代换求根题型 1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，由关于x的一元二次方程有一个根为2025，可得出关于的一元二次方程有一个根为2025，解之可得出x的值，此题得解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有一个根为2025， ∴关于的一元二次方程有一个根为2025， 即， 解得：， ∴方程必有一个根为2024． 故选：A． 2．已知是方程的一个实数根，则方程 一定有一个实数根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程根的定义，先将代入已知方程得到和的关系式，进而即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个实数根， ∴ ， 整理得， ，即 ， ∴方程 一定有一个实数根是． 3．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解及定义，由题意可得，进而由方程得，，又由是方程的一个根， 可得，即得，即可得是方程的一个根，据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵是方程的一个根， ∴是方程的一个根， ∴， ∴， ∴是方程的一个根， 即是方程的一个根， 故选：． 4．（24-25八年级下·江苏南通·月考）关于的方程（均为常数，）的解是，则方程的解是___________． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的解．可把方程看作关于的一元二次方程，从而得到或，解之即可得出结论． 【详解】解：可把方程看作关于的一元二次方程， ∵关于x的方程的解是， ∴关于的方程的解是或， ∴或． 故答案为：或． 5．（25-26九年级·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查利用“换根法”求解一元二次方程相关的问题，通过设新方程的根与原方程的根的关系，进行化简和求值是解题的关键． （1）根据“换根法”，利用新方程的根与原方程的根之间的关系，代入原方程即可； （2）将方程进行变形为，利用换元法，假设，由此方程变形为，根据题意可知的根，故可求出的值，为方程的根． 【详解】（1）解：设所求方程的根为，根据题意，是原方程根的相反数，因此， 即， 代入原方程， 得：， 则． （2）解：，； ∵， ∴移项得， ， 设，则方程变为， 故的根为和， 当时，，解得； 当时，，解得； 则方程的两个根是，． 新定义问题题型 1．下列方程中，是二项方程的是（     ） A．； B．； C．； D． 【答案】C 【分析】二项方程的左边只有两项，其中一项含未知数x，这项的次数就是方程的次数；另一项是非0常数项；结合选项进行判断即可． 【详解】A. 中两项都含未知数x，所以不是二项方程； B. 中有三项，所以不是二项方程；     C. 其中一项含未知数x，另一项是非0常数项，所以是二项方程； D. 中有三项，所以不是二项方程. 故选C. 【点睛】本题考查了二项方程的定义，注意二项方程只有两项，一项含未知数，一项是非0常数． 2．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则c的值为_________． 【答案】3 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元二次方程的解，先解一元一次方程得出，再结合题意得出是一元二次方程的解，代入计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解方程可得：， ∵关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”， ∴是一元二次方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（25-26九年级上·湖南·期末）若关于的方程满足，称此方程为“三新”方程．已知方程是“三新”方程，则代数式____________． 【答案】2026 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 根据“三新”方程的定义，可得，从而得到，，，再通过整体代入求值即可． 【详解】解：∵方程是“三新”方程， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：2026 4．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 【答案】(1)3 (2)是， (3) 解：由题意，得． 整理，得． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，，0是方程的根． 【分析】（1）根据直接代入求值即可； （2）根据新定义，将方程化简，进而判断并化成一般形式即可； （3）方法同（2），逐值代入判断方程的根即可 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）解：由题意，得． 整理，得， 是一元二次方程，化成一般形式为． （3）略 【点睛】本题考查了新定义运算，代数式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 5．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据倒方程定义，交换二次项系数与常数项，直接写出倒方程； （2）先写出原方程的倒方程，再将解代入倒方程，解方程求出参数； （3）先写出倒方程，利用方程根的意义得到，整体代入降次，求出代数式的值． 【详解】（1）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是； （2）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的解， ∴把代入方程， 得， 解得； （3）解：根据倒方程的定义可知：一元二次方程的倒方程是， ∵是一元二次方程的倒方程的一个实数根， ∴把代入方程， 得， ∴． 【点睛】本题为新定义题型，读懂“倒方程”：交换二次项系数和常数项，一次项系数不变，再结合方程根的意义、整体代入法求解． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 2.1 认识一元二次方程 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 一元二次方程的定义 题型02 化成一元二次方程的一般式 题型03 由一元二次方程的定义求参数 题型04 判断是否是一元二次方程的解 题型05 由一元二次方程的解求参数 题型06 一元二次方程的解的估算 题型07 由方程的解构造方程 B组 能力进阶 题型 整体代换求根 C组 思维拔高 题型 新定义问题 一元二次方程的定义题型01 1．（25-26九年级上·广东韶关·期中）下列四个方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·期末）若方程是关于的一元二次方程，则“”可以是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级·期末）下列关于x的方程①；②；③；④中，一元二次方程的个数是（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 4．下列方程中，①7x2+6＝3x；②＝7；③x2﹣x＝0；④2x2﹣5y＝0；⑤﹣x2＝0中是一元二次方程的有_____． 5．（25-26九年级上·安徽淮南·月考）下列方程：①（m为常数）；②；③；④；⑤（m为常数）；⑥（为常数）．其中一定是一元二次方程的有___________（填序号）． 化成一元二次方程的一般式题型02 1．将方程化为一般形式后，的值分别是（     ） A． B． C． D． 2．若关于x的一元二次方程的常数项为0，则a的值为（   ） A．2 B．-2 C． D．0 3．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）关于x的一元二次方程化为一般形式后不含一次项，则m的值为__________． 4．（24-25八年级下·安徽淮北·联考）把一元二次方程化为一般形式，并指出它的二次项系数，一次项系数和常数项． 5．已知每幅年画售价为300元时，平均每天可以卖出20幅．根据调查，每降价1元，平均每天可多卖出1幅，若要使一天的销售总额为22000元，设每幅年画降价x元，请你根据题意列出一元二次方程，并将其化为一般形式． 由一元二次方程的定义求参数题型03 1．（24-25九年级上·吉林长春·月考）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山西吕梁·期中）若关于的一元二次方程的常数项为零，则____________． 3．已知（m﹣2）x|m|+bx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为_____． 4．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程 (1)为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项． 5．判断关于x的方程是否为一元二次方程． 判断是否是一元二次方程的解题型04 1．（25-26九年级上·广西钦州·月考）如表是某代数式的值的情况，根据表格可知方程的根是（   ） ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 10 4 0 0 ．．． A． B． C．或 D．或 2．下列各数是方程的解的是（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（25-26九年级上·江苏苏州·月考）若，则必有一个根是（   ） A．0 B． C． D． 4．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）如图，在中，，以点为圆心，的长为半径画弧，交线段于点，以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点，连接． (1)若，求的度数； (2)设，；线段的长度是方程的一个根吗？说明理由． 5．（25-26九年级上·海南·期中）下列方程中，两根分别是和的方程是（   ） A． B． C． D． 由一元二次方程的解求参数题型05 1．（24-25八年级·北京·期末）如果是一元二次方程的一个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于x的一元二次方程的一个根为，那么直线经过的象限是（     ） A．第一、三象限 B．第二、四象限 C．第一、二象限 D．第三、四象限 3．（25-26九年级上·江苏常州·期中）已知是一元二次方程一个根，则的值为_____． 4．（2025·广东潮州·二模）已知． (1)化简P； (2)若a为方程的一个解，求P的值． 5．已知是方程的一个根，试求的值． 一元二次方程的解的估算题型06 1．根据下列表格的对应值，估计方程的一个解的范围是（    ） x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 A． B． C． D． 2．根据下表确定方程的解的取值范围是（　　） … 4 5 6 13 5 … 5 13 A．或 B．或 C．或 D．或 3．对于方程的两根，下列判断正确的是（　　） A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于，另一根大于2 C．两根都小于0 D．两根都大于2 4．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程． 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒．小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得．    他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程． 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________． 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值．（结果保留一位小数） 5．关于的一元二次方程经过适当变形，可以写成的形式．现列表探究的变形： 变形 回答下列问题： (1)表格中t的值为______； (2)观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______； (3)记的两个变形为和，求的值． 由方程的解构造方程题型07 1．【结论开放性题】写出一个以为根的一元二次方程：__________ 2．问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍． 解：设所求方程的根为y，则，所以，把代入已知方程， 得． 化简，得，故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为______． (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程根小1，则所求方程为______． (3)已知关于x的一元二次方程（）有两个实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数． 整体代换求根题型 1．（24-25八年级下·浙江杭州·月考）若关于的一元二次方程有一个根为2025，则方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2023 C．2022 D．2021 2．已知是方程的一个实数根，则方程 一定有一个实数根是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·辽宁葫芦岛·期中）两个关于的一元二次方程与，其中是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·江苏南通·月考）关于的方程（均为常数，）的解是，则方程的解是___________． 5．（25-26九年级·期末）请阅读下列材料： 问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倍． 解：设所求方程的根为， 则，所以． 把代入已知方程，得， 化简，得， 故所求方程为． 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”． 请用阅读材料提供的方法，解答下列问题（要求：把所求方程化为一般形式）： (1)已知方程，求一个关于的一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，请求出所求方程； (2)已知方程的两个根分别是和，尝试求出另一个方程的两个根． 新定义问题题型 1．下列方程中，是二项方程的是（     ） A．； B．； C．； D． 2．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）“程，课程也，二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程．”这是我国古代著名数学家刘徽对《九章算术》中方程一词给出的注释．对于一些特殊的方程，我们给出定义：若两个方程有相同的整数解，则称这两个方程为“相伴方程”，已知关于x的一元二次方程和一元一次方程为“相伴方程”，则c的值为_________． 3．（25-26九年级上·湖南·期末）若关于的方程满足，称此方程为“三新”方程．已知方程是“三新”方程，则代数式____________． 4．在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．例如：．根据这个法则解决下列问题： (1)计算：_________． (2)判断是否为一元二次方程．如果是，请化成一般形式；如果不是，请说明理由． (3)判断，0，2，3中哪些是方程的根，并写出判断过程． 5．“新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且，）．根据此定义解决下列问题： (1)一元二次方程的倒方程是______； (2)若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； (3)若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $