21.2 第6课时二次函数表达式的确定-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

拔尖特训·数学（沪科版）九年级上 第6课时二次函数表达式的确定 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基山 1.★一题多解二次函数中x与y的部分对应值如下表： -3 -2 -1 0 1 2 … 0 -3 一4 -3 0 5 该二次函数的表达式为 A.y=x2+2x-3 B.y=x2+2x+3 C.y=x2-2x+3 D.y=x2-2x-3 2.新考新定义题[2026安庆潜山段考]在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标相等，则 称P为“和谐点”，例如：(1,1)，（一2，-一2），(0.5,0.5)，…都是“和谐点”.若二次函数y=ax2+ 7x+c(a≠0)的图象上有且只有一个“和谐，点”（一1，一1），则此二次函数的表达式为 ()》 A.y=3x2+7x+3B.y=2x2+7x+4C.y=x2+7x+5 D.y=4x2+7x+2 3.易错题[2026六安段考]若抛物线y=ax2十k与y=3x2的形状相同，且其顶点坐标是(0,1)，则 其表达式为 4.教材变式题[2025蚌埠蚌山期中]如图，二次函数y=x2+bx十c的图象与x轴交于A,B两点，与 y轴交于点C,其中A(-2,0),C(0,-2). (1)求二次函数的表达式. (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D,△PDB的面 积是△CDB面积的2倍，求点P的坐标. (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A,C的坐标分别是（一1,5）， 1 (2,0),点D在抛物线y=3x2十kx上，则飞的值是 1 A.3 2 B.3 C.1 D.3 (第5题) 12 第21章二次函数与反比例函数 6.二次函数y=ax2十bx十c的图象的顶点坐标是(2,1)，且图象与y轴交于点(0,9)，将二次 函数y=ax2+bx十c的图象以x轴为对称轴进行折叠，则折叠后的图象对应的函数表达式为 7.考向新定义题我们把对称轴和开口方向都相同的抛物线称为“同向共轴抛物线”.例如：抛物线 y=一3一2+3与=号红一2-1的对称轴都是直线工=2.且开日方向都向下，则这肉条 抛物线为同向共轴地物线若花物线)一a-了十。与y一3)2+1是同向共轴抛物线” 且两抛物线的顶点相距3个单位长度，则该抛物线对应的函数表达式为 8.如图，抛物线y=一x2+bx十c与x轴交于点A(1,0),B(3,0)(点A在点B的左边)，与y轴交 于点C,过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D,过点D作DE∥y轴，交直线BC于点E,点P在 抛物线上，过点P作PQ∥y轴交直线CE于点Q,连接PB,设点P的横坐标为，PQ的长 为d. (1)求抛物线对应的函数表达式. (2)求直线BC对应的函数表达式 (3)当0<m<4时，求d关于m的函数表达式. (4)当△PQB是等腰三角形时，求m的值. (第8题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.如图，在平面直角坐标系中，三角尺ABC的直角边BC紧靠x轴上.将一条不 可伸缩的绳子（与AB等长）的一端固定于点A处，另一端固定在y轴正半轴 上的点M处，铅笔笔尖P紧靠着三角尺AB边把绳子绷紧，当三角尺沿着 M x轴左右平移时笔尖就能画出一条抛物线.已知AB=10,M(0,2),现将点MC 向上平移若干个单位长度后重新作抛物线，所得新抛物线的开口最大宽度增加 (第9题) 了4，则新抛物线对应的函数表达式为 “答案与解析”见D8 13微专题·由图象判断a,b,c及相关代数式的符号- 1.C由图象可知，抛物线交x轴于点(2,0)，另一个交 点的横坐标在一1和0之间.根据对称性可知，2 -2<1,-2a<b<-a,则2a十b>0.故B错误.当 2a x=一1时，y>0,即a一b十c>0.故D错误.由图象可 知，a>0,c<0.-2a<b<-a,∴.b<0.∴.abc>0. 故A错误.由b<-a,得b十a<0,故4b十4a<0①.把 (2,0)代入y=a.x2+bx+c,得4a+2b+c=0,即4a= 一2b一c,代入①式，得4b一2b一c<0,即2b一c<0.故C 正确. 2.A①抛物线开口向下，.a<0.抛物线的对 称轴位于y轴的右侧一名>0.∴6>0：抛物线 与y轴交于正半轴，.c>0.∴.abc<0.故①错误. ②，抛物线的对称轴为直线x=1,∴点(0,0)与点(2， 0)关于对称轴对称.：当x=0时，y>0,∴.当x=2 时，y>0,即4a十2b+十c>0.故②正确.③由函数图象可 知，当x=1时，y=a+b十c>0;当x=一1时，y=a b+c0.∴.(a+b十c)(a-b+c)<0..(a+c)2 b2<0.∴.(a十c)2b2.故③错误.④根据对称轴为直 1得-=1.6=-2a,:当x=二1服 a-b十c<0,∴.a十2a十c<0.∴.3a十c<0.故④正确. ⑤：当x=1时，y的值最大，即y绿大饰=a十b十c, ∴.a+b+c>am2+bm+c(m≠1).∴.a+b>m(am+ b)(m≠1).故⑤正确.综上所述，正确的有②④⑤. 第6课时二次函数表达式的确定 1.A解法一：设该二次函数的表达式为y=ax2十bx十c (a≠0).把（一3,0），(0，一3)，(1,0)代入，得 9a-3b+c=0, a=1, c=-3, 解得b=2,∴.该二次函数的表达式为 a+b+c=0. c=-3. y=x2十2x一3.解法二：由表格可知，该二次函数图象的顶 点坐标为（一1，一4），.设该二次函数的表达式为y= a(x十1)2-4.把(1,0)代人，得4a-4=0,解得a=1..该 二次函数的表达式为y=(x+1)2一4，即y=x2+2x一3. 解法三：由表格可知，该二次函数的图象与x轴交于点 (一3,0)，(1,0)，∴.设该二次函数的表达式为y=a(x十 3)(x-1).将(0，-3)代入，得-3a=-3,解得a=1.∴.该 二次函数的表达式为y=(x十3)(x一1)，即y=x2+ 2x-3. D 方法归纳 根据所给点的坐标，设二次函数表达式的方法 (1)已知任意三点，设一般式。 (2)已知点中有两点的纵坐标都为0时，设交，点式」 (3)已知顶点坐标，设顶点式。 (4)已知点中有两点的纵坐标相等，此时可利用抛 物线的对称性求得顶，点的横坐标，设顶，点式 2.A设“和谐点”为(t,t).把(t,t)代入y=ax2+7x十c, 得at+7t十c=t,整理得at2+6t十c=0..该二次函数 的图象上有且只有一个“和谐点”，∴.t有且只有一个值 ∴.△=62-4ac=0,即ac=9.把(-1，-1)代人y=ax2+ 7x十c,得a-7十c=一1，即c=6-a.把c=6-a代人 ac=9,得a(6-a)=9,解得a1=a2=3.∴.c=6-3=3. .此二次函数的表达式为y=3x2+7x十3. 3.y=3x2+1或y=-3x2+1:抛物线y=ax2+k与 y=3x2的形状相同，∴.a=士3.：其顶点坐标是(0,1)， ∴.所求抛物线对应的函数表达式为y=3x2+1或y= -3x2+1. 易错警示 抛物线的形状相同，则二次项系数的绝对值相等 抛物线y=a1x2十b1x十c1与抛物线y=a2x2十 b2x十c2的形状相同，则a1=a2或a1=一a2,易忽略 a,=一a2这种情况. 4.(1)将A(-2,0),C(0,-2)代入y=x2+bz+c,得 4-2b+c=0,(b=1, .二次函数的表达式为y= c=一2， c=-2. x2十x一2.(2)设P(m,n)(m0,n>0)..△PDB的 S△PmB=2,即 面积是△CDB面积的2倍，·SA 1 BD·n n 号n.0 =2.0=2又C0=2n=2C0=4把 P(m,4)代入y=x2+x-2,得m2+m-2=4,解得，= 一3，m2=2(舍去).∴.点P的坐标为(-3,4). 5.A如图，过点D作DM⊥x轴于点M,过点A作 AN⊥DM交MD的延长线于点N,则∠AND=∠DMC= 90°，∴.∠CDM+∠DCM=90°.·四边形ABCD是正方 形，∴.∠ADC=90°，AD=DC.∴.∠ADN+∠CDM= 8 90°.∴.∠ADN=∠DCM.在△AND和△DMC中， ∠AND=∠DMC, ∠ADN=∠DCM,∴.△AND≌△DMC(AAS). AD=DC, ∴.AN=DM,DN=CM.设D(a,b).点A,C的坐标分 a-2=5-b, a=3, 别是（一1,5），(2,0)，. 解得 a+1=b, b=4. :D3,.:点D在抛物线)=分2十红上号× 1 8+3k=4d6=号 O CM (第5题) 6.y=-2x2+8x-9二次函数y=ax2+bx+c的图 象的顶点坐标是(2,1)，且图象与y轴交于点(0,9)，.折 叠后的函数图象的顶点坐标是(2，一1)，且图象与y轴交 于点(0，一9).设折叠后的图象对应的函数表达式为y= a(x-2)2一1，将(0，-9)代入，得-9=a(0-2)2-1,解得 a=一2.·折叠后的图象对应的函数表达式为y= 一2(x一2)2一1=-2x2+8x一9. 7.y=石x-3+4或y=名x-3)-2由题意知，抛 物线y=女-3)十1的顶点坐标为(3,1)，抛物线y= 4:2-x十c的对称轴为直线x=云：两抛物线为同向 共轴抛物线”，且顶点相距3个单位长度，2a=3,y ax2一x十c的顶点坐标为(3,4)或(3，一2).∴.a= 6,则该 抛物线对应的函数表达式为y一合(：一3)加十4或y 名c-3-2 8.(1)抛物线y=一x2十bx十c与x轴交于点A(1,0), 0=-1+b十c, b=4, B(3,0),. 解得 .抛物线对应 0=一9+3b+c, c=-3. 的函数表达式为y=一x2+4x一3.(2)抛物线y= -x2十4x-3与y轴交于点C,.C(0,-3).设直线BC 对应的函数表达式为y=x一3，将B(3,0)代入，得0= 3k一3.∴.k=1.∴.直线BC对应的函数表达式为y=x 3.(3):点P的横坐标为m,PQ∥y轴，P(m, -m2+4m-3),Q(m,m-3).当0<m<3时，PQ=d= -m2+4m-3-(m-3)=-m2+3m;当3≤m<4时， PQ=d=m-3-(-m2+4m-3)=m2-3.(4)B(3, 0),C(0,一3)，∴.OB=OC=3..∠OCB=∠OBC=45 .PQ∥OC,∴.∠PQB=∠CB=45°.若BP=PQ,则 ∠PQB=∠PBQ=45°..∠BPQ=90°，此时点P与点A 重合.∴.m=1.若BP=QB,则∠BQP=∠BPQ=45°. ∴.∠QBP=90°.∴.易得直线BP对应的函数表达式为 y=-x+3, x=2, y=-x十3.联立 解得 或 y=-x2+4x-3, y=1 x=3, ∴.P(2,1).∴.m=2.若QB=PQ,则(m-3)2十 y=0. (m-3-0)2=(-m2+3m)2.∴.m=±√2.综上所述，m 的值为1或2或土2 9y=8x+2当AB与y轴重合时，：AB=10,M(0, 2),AP+PM=10,.P(0,1).设抛物线对应的函数表达 式为y=ax2+1,当点A,P重合时，AM=AB=10.如图 ①，过点A作AN⊥y轴于点N.:点A的纵坐标为10， 则MN=8,∴.AN=√AM-MN=6..A(-6,10). 将A(-6,10)代人y=ax2+1,得36a+1=10,解得a= 子“抛物线对应的函数表达式为y一子十1.如图@， 1 现将点M向上平移若干个单位长度后重新作抛物线，所得 新抛物线的开口最大宽度增加了4，设M(0,m),,∴.MN= 10-m,AN=6+2=8,AM=10.∴.102=82+(10-m)2, 解得m=4.∴·新抛物线的顶点坐标为P(0,2).设新抛物 线对应的函数表达式为y=ax2十2，将A(-8,10)代人，得 10=64a十2，解得a=尽新抛物线对应的函数表达式 1 为y=8x2+2 y A(P) A(P)ss-------N M 0 0 ① ② (第9题) 专题特训一二次函数中的最值问题 /9a+3b=3, 1.(1)A(3,3)为该二次函数的顶点，. 2a 9