21.2 第4课时二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

拔尖特训·数学（沪科版）九年级上 第4课时二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.教材变式题抛物线y=一3(x十1)2一2经过平移得到抛物线y=一3(x一3)2十5，则平移方式为 () A.向左平移4个单位长度，再向上平移7个单位长度 B.向左平移4个单位长度，再向下平移7个单位长度 C.向右平移4个单位长度，再向上平移7个单位长度 D.向右平移4个单位长度，再向下平移7个单位长度 2.易错题[2025阜阳太和期中]已知二次函数y=(x一m)2一3，且当x<4时，y随x的增大而减 小，则实数m的取值范围是 A.m≤-4 B.m≥-4 C.m≥4 D.m<-4 3.已知二次函数y=一2(x一2)2+3，则当0≤x≤3时，y的最小值与最大值的和是 4.已知抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1，-2). (1)请写出该抛物线的对称轴和顶点坐标. (2)求a的值. (3)若点A(m,y1),B(n,y2)(m<n<3)都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小. 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.易错题已知抛物线y=a(x一1)2一a(a≠0)，且当一1≤x≤4时，y的最小值为一4，则a的值为 () 1 A.2或4 6.[2025阜阳段考]在平面直角坐标系中，已知M(x1,y1),N(m一x1y2)为抛物线y=a(x-2)2十k (a>0)上任意两，点，且当x1<m一x1时，y1<y2,则实数m的取值范围是 () A.m>4 B.m<4 C.m>2 D.m<2 7.向新定义题若抛物线C1的顶点在抛物线C2上，抛物线C2的顶点在抛物线C1上（两个顶 点不重合)，则称抛物线C1和C2互为“和谐抛物线”.已知抛物线C:y=2(x一1)2十2与y轴交 于点A,点B与点A关于抛物线C的对称轴对称，则以B为顶点的抛物线C的“和谐抛物线”对 应的函数表达式为 8 第21章二次函数与反比例函数 8,如图，抛物线1=-h)十k与yg=a(x十3)-1交于点A,分别交y轴于点卫，Q.过点A 作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B,C.已知B(3,3),BC=10. (1)求a的值 (2)若点(2，m),(3,n),(4,p)都在抛物线y1上，试判断m,n,p之间的大小关系. (3)求PQ的长 (第8题) 道三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 9.如图，点A(一1,2)在抛物线)y=(x十h)+k的对称轴上，B0,)是该抛物线与y轴的交点， D为该抛物线上一动点，过点D作x轴的垂线，垂足为C. (1)求h,k的值. (2)若点D的坐标为(3，m),Q为y轴上一动点，直线QK与该抛物线的对称轴垂直，垂足为 K,连接DK,QC,则DK+KQ+QC是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及点Q的坐 标；若不存在，请说明理由. 0 C (第9题) “答案与解析”见D5 93-√5 I= y=x, 2 式为y=x.联立 解得 y=(x-1)2, 3-√5 y= 2 x=3+6 2 (不合题意，舍去).∴点C的坐标为 =3+6 2 (,3）在y=(-1中当x=0时v=1 .点D的坐标为(0,1). 11.(W3n+1,n2)如图，过点P,作P,M⊥x轴于点M. :QQ,=2,△P,QQ,是等边三角形，∴.P,Q=2, ∠P,QQ1=60°，则∠P,QM=30°.∴.P,M=1,MQ。= 5.∴.P,(1+5,1).将P1(1+5,1)代入y=a(x-1)2, 得1=3，a=子y=号x-1.设Q,Q=m,则易 得P(停m+1.m+2小将P(停m十1，m+2)代入 y红-1，得m+2=号×（停+1-) 4或m=-2(舍去).∴.P2(23+1,4).同理可得， P3(33+1,9)…∴.点Pm的坐标为(W3n十1，n2). y P (第11题) 第4课时二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质 1.C抛物线y=一3(x+1)2-2的顶点坐标为（一1， 一2)，抛物线y=一3(x一3)2+5的顶点坐标为(3,5)，∴.平移 方式为向右平移4个单位长度，再向上平移7个单位长度. 2.C由二次函数的表达式，得其图象的对称轴为直线 x=m,开口向上，∴.当x<m时，y随x的增大而减小 .m≥4. 易错警示 忽略讨论对称轴的位置导致错误 此题抛物线开口向上，对称轴为直线x=,当x< 4时，y随x的增大而减小，需分直线x=m与直线x=4 重合和位于直线x=4的右侧两种情况，不要漏解。 3.-2在y=一2(x-2)2+3中，一2<0，∴.抛物线开 口向下，且对称轴为直线x=2.:0≤x≤3,2-0>3一2， D ,当x=0时，y取得最小值，为一5；当x=2时，y取得最 大值，为3.∴.y的最小值与最大值的和是一5+3=一2. 4.(1)该抛物线的对称轴为直线x=3,顶，点坐标为(3,2). (2)抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1，-2)，∴.-2= (1-3)2a+2..a=-1.(3)由(2)，知y=-(x 3)2+2.一1<0，∴.抛物线开口向下，当x<3时，y随x 的增大而增大，当x>3时，y随x的增大而减小.：点 A(m,y1),B(n,y2)(m<n<3)都在该抛物线上， ∴.y1y2 5.D抛物线y=a(x一1)2一a的对称轴为直线x=1,顶 点坐标为(1，一a).①若a>0,在-1≤x≤4中，当x=1 时，函数有最小值一a.:y的最小值为一4，∴.一a=一4， 解得a=4.②若a<0,在一1x4中，当x=4时，函数 有最小值.∴.9a一a=一4，解得a=一 综上所述a的 值为-或4 易错警示 忽略二次函数图象开口方向判断最值导致错误 在二次函数图象的对称轴确定，而开口方向不确定 时，判断二次函数的最值应分开口向上和开口向下两种 情况讨论，容易忽略其中一种情况而导致错误 6.A:a>0,.抛物线开口向上.：x1<m一x1∴.点 M位于点N的左侧，且x1十m一x,=m.·当x1<m x1时，y1<y2,∴.分三种情况讨论：当x1<m一x1≤2时， y1>y2,不满足题意；当m一x1>x1≥2时，满足题意，此 时m>4;当x1<2<m一x1时，要满足条件，则m一1 2>2-x1,解得m>4.综上所述，实数m的取值范围是 m>4. 7.y=一2(x一2)2+4易知抛物线C:y=2(x一1)2+2 的顶点坐标为(1,2)，对称轴为直线x=1.将x=0代入 y=2(x一1)2+2，得y=2十2=4，∴.点A的坐标为(0， 4).点B与点A关于直线x=1对称，∴点B的坐标为 (2,4).设以B为顶点的抛物线C的“和谐抛物线”对应的 函数表达式为y=a(x-2)2+4(a≠0).将x=1,y=2代 入，得2=a十4，解得a=一2..以B为顶点的抛物线C 的“和谐抛物线”对应的函数表达式为y=一2(x一2)2十4. 8.(1)B(3,3),BC=10,∴.C(-7,3).把C(-7,3)代 人y2=a(x十3)2-1，得3=(-7+3)a-1,解得a= 5 2:a=子=红+3-1令y=3得3= 十（十3》-1，解得=1或=-7.由题图知.点A在点 C右侧，A(1,3.h=1十3=2.抛物线y, 2 号6-)+k的对称轴为直线=2：点(2，m).(3。 n),(4,p)都在抛物线y1上，抛物线y,的开口向上，∴.当 x≥2时，y随x的增大而增大.：2<3<4，∴.m<n<p. 8把B8,3)代入=合u-2y+:得为=吾 ÷n=-2y+号令x=0,得y=号P(o,号)月 1 在=+32-1中，令x=0得y=号Q0,号)】 9513 .PQ=2-4=4 9.(1):点A(一1,2)在抛物线的对称轴上，∴.抛物线的 对称轴为直线x=一1小h=1.y=子（十1）+6. :B(0,号)是抛物线与y轴的交点，：十k=号。 1 k=1.(2)存在.由(1)可知，y=+1)2+1. :D3,m)是抛物线上一点m=子×(3+1)+1=5. ·D35).如图，作点C关于直线x=-号的对称点C, 连接CD交抛物线的对称轴于点K.由对称性可知， CK=CQ,∴.DK+KQ+QC=DK+KQ+C'K≥C'D+ KQ.当C',K,D三点共线时，CD的长有最小值，即 DK+KQ+QC的值最小.，'抛物线的对称轴为直线 x=一1，QK与抛物线的对称轴垂直，∴.KQ=1.:D(3, 5),CD⊥x轴，.C(3,0)..C(一4,0)..CD= √(3+4)+(5-0)=√74.∴.DK+KQ+QC的最小值 为√74+1.设直线CD对应的函数表达式为y=k'x十b. -4k'+b=0, 将C(一4,0)，D(3,5)代人，得 解得 3k'+b=5, '5 7 :直线CD对应的函数表达式为)y=号x十9 20 b 令x=-1将y=-号+号-号K(-1》点Q D 的坐标为(0.) D 10 B C 10 (第9题) 第5课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 1.C将抛物线y=x2一kx十k十3化成顶点式为y= (-》广-号+6十3，“抛物线的顶点坐标为 (停一气+十3)：范物线的顶点在x维上一华+ k十3=0，解得k=-2或k=6..k的值为-2或6. 2.C解法-：当x=-1时，y1=(-1)2-4X(-1)+c= 5十c;当x=2时，y2=2-4×2+c=-4+c;当x=3时， y3=32-4X3+c=-3+c.-4+c<-3+c<5+c, ∴.y2<y3<y1.解法二：：抛物线y=x2一4x十c的对称 一4 轴为直线x=一2X1=2心点M(一1y)关于对称轴对 称的点为(5，y1).:1>0,则抛物线开口向上，.当x≥2 时，y随x的增大而增大.2<3<5，∴.y2<y<y1.解 法三：：抛物线y=x2一4x十c,1>0,∴.抛物线开口向 上，对称抽为直线=一-2“离对称维越近，函数 值越小.又·点M2(2,y2)在对称轴上，点M,(一1，y1)到 对称轴的距离为一1一2|=3，点M(3,y3)到对称轴的距 离为|3-2=1，∴.y2<y<y1 方法归纳 比较二次函数值大小的方法 (1)代入比较法：已知二次函数的表达式，可将几个 点的横坐标分别代入二次函数的表达式，求出对应的函 数值，再比较函数值的大小 (2)增减性比较法：当点都在对称轴的同侧时，可直 接根据函数的增减性比较大小；当点不在对称轴的同侧 时，可利用二次函数图象的对称性，将点转化到对称轴 的同侧，再根据函数的增减性比较大小 (3)根据点到对称轴的距离比较大小：当抛物线开 口向上时，点到对称轴的距离越大，相应的函数值越大； 当抛物线开口向下时，点到对称轴的距离越大，相应的 函数值越小.