21.2 第3课时二次函数y=a(x+h)2的图象和性质-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

拔尖特训·数学（沪科版）九年级上 第3课时二次函数y=a(x+h)2的图象和性质 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.*[2025安庆期中]抛物线y=x2+1经过平移得到抛物线y=(x+1)2,则平移方式为() A.向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 B.向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度 C.向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 D.向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度 2.在同一平面直角坐标系中，一次函数y=a.x十c和二次函数y=a(x+c)2的图象可能是() 3.易错题已知点A(2,a)与点B(b,4)关于抛物线y=一2(x+1)2的对称轴对称，则ab y 4.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a.x2(a>0)与y=a(x一2)2交于点B, E 抛物线y=a(x一2)2交y轴于点E,过点B作x轴的平行线与两条抛物线分 B 别交于C,D两点.若A是x轴上两条抛物线顶点之间的一点，连接AD,AC,一 D大 EC,ED,则四边形ACED的面积为 (用含a的代数式表示) (第4题) 5.如图，抛物线y=a(x+1)2的顶点为A,且该抛物线与y轴的负半轴交于点B,且OB=OA. (1)求该抛物线对应的函数表达式. (2)若点C(一3，b)在该抛物线上，求b的值 (3)若点D(2,y1),E(3,y2)在此抛物线上，试比较y1与y2的大小. y个 0 (第5题) 归二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 6.已知二次函数y=a(x一m)2(a>0)的图象经过点A(一1，p),B(3,q),且p<q,则m的值不可 能是 () 5 A.-2 B.-√2 C.0 D.2 6 第21章二次函数与反比例函数 7.设函数y1=一(x一a1)2,y2=一(x一a2)2.直线x=1与函数y1,y2在同一平面直角坐标系中 的图象分别交于点A(1,c1),B(1,c2),则下列说法正确的是 () A.若1<a1<a2,则c1<c2 B.若a1<1<a2,则c1<c2 C.若a1<a2<1,则c1<c2 D.若a1<a2<1,则c2<c1 8.如图，平行于x轴的直线分别与抛物线y=a(x一h)2、抛物线y=b(x一13)2(a<b)相交于点 A,C和点B,D.若AB=8,BC=3,CD=6,则h的值为 B /C D 0 (第8题) 9.分类讨论思想已知二次函数y=一(x一h)2(h是常数)，且自变量的取值范围是2≤x≤5. (1)当h=3时，该函数的最大值是 (2)若该函数的最大值为一1，则h的值是 10.如图，在Rt△OAB中，∠OAB=90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA=AB=1.现把 △OAB沿x轴的正方向平移1个单位长度后得到△AA1B1· (1)求以A为顶点，且经过点B1的抛物线对应的函数表达式 (2)若(1)中的抛物线与OB交于点C,与y轴交于点D,求点C,D的坐标. (第10题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维 11.舒向探究题如图，点P1,P2,P3,…,Pn在抛物线y=a(x一1)2上，点Q1,Q2,Q3,…,Qn在 抛物线的对称轴上.若△P1QQ1,△P2Q1Q2,…,△PQm-1Qm都为等边三角形(Q。是抛物线 的顶点)且QQ1=2,则点P的坐标为 oQ。 (第11题) ●“答案与解析”见D4第3课时二次函数y=a(x+h)2的图象和性质 1.A抛物线y=x2+1的顶点坐标为(0,1)，抛物线 y=(x十1)2的顶点坐标为（一1,0），∴.平移方式为向左平 移1个单位长度，再向下平移1个单位长度. 方法归纳 二次函数y=a(x十h)2与y=ax2+k图象之间的关系 二次函数y=a(x十h)2与y=ax2十k的图象形状 相同，只是位置不同.要找到两条抛物线之间的平移方 式，只需先确定原抛物线与目标抛物线的顶，点坐标，再 通过顶，点坐标的变化确定平移方向和距离， 2.B列表分析如下： 选项 二次函数图象 一次函数图象 判断 A a<o c<0 a>0 c>0 X B a<0 c>0 a<0 c>0 C a>0 c>0 a>0 c<0 X D a>0 c<0 a<o c>0 3.一16由抛物线的表达式可知其对称轴为直线x= 一1，.点A,B关于直线x=一1对称..2十b=一1×2， a=4..b=-4.∴.ab=4×(-4)=-16. 易错警示 要分清对称轴 关于直线x=一1对称的两个，点的横坐标的和等 于一2，纵坐标相等.容易与关于y轴对称的两个，点的横 坐标互为相反数混淆而导致错误。 4.8a:抛物线y=ax2(a>0)与y=a(x-2)2交于点 B,∴.BD=BC=2...DC=4..y=a(x-2)2=ax2 4ax+4a,∴.E(0,4a）.∴.OE=4a..S四边形Acsn= SAxco+SAcDE-DC.OE-2X4X4a-8a. 5.(1):抛物线y=a(x+1)的顶点为A,∴.A(一1， 0).∴.OA=1.OA=OB,.B(0,一1).将B(0,一1)代 入y=a(x十1)2，得-1=(0+1)2a,解得a=-1.∴.该抛 物线对应的函数表达式为y=一(x十1).(2)将 C(-3,b)代入y=-(x+1)2,得b=-(-3+1)2,解得 b=一4.(3)·抛物线y=一(x十1)2的对称轴为直线 x=一1，且开口向下，∴.当x>一1时，y随x的增大而减 小.2<3，∴.y1y2 6.Da0,∴.二次函数y=a(x一m)2的图象开口向 上，对称轴为直线x=m.·该函数图象经过点A(一1， p),B(3,q),且p<q,∴.m+1<3-m或m≤-1，解得 D m<1.结合选项可知，D符合题意 7.C直线x=1与函数y1,y2的图象分别交于点 A(1,c1),B(1,c2).如图①，若1<a1<a2,则c1>c2,故A 错误；如图②③④，若a1<1<a2,则c1>c2或c1<c2或 c,=c2,故B错误；如图⑤，若a1<a2<1,则c1<c2,故C 正确，D错误 |x=1 YI Y ⑤ (第7题) 8.6易知抛物线y=b(x一13)2的对称轴为直线x=13. BC=3,CD=6,∴.BD=9.:点B,D关于直线x=13 对称小=18-号-号=m十0=号+3 2 受，易知抛物线y=a(工-h)P的对称轴为直线x=三n :h=c-ABBC-号-号=6.h的值为6. 2 22 9.(1)0h=3,.该二次函数的表达式为y=一(x一 3)2.2≤x≤5，∴.当x=3时，该函数取得最大值，最大 值为0.(2)1或6二次函数y=-(x-h)(h为常 数，2≤x≤5)的最大值为一1，∴.若5<h,则当x=5时，y 的值最大，则-(5-h)2=一1，解得h,=4(舍去)，h2=6; 若h<2,则当x=2时，y的值最大，则一(2-h)2=一1，解 得h3=1,h=3(舍去)；若2≤h≤5，则y的最大值为0，与 题意不符.综上所述，h的值是1或6. 10.(1)OA=AB=1,∠OAB=90°，∴.A(1,0),B(1, 1).由平移的性质，得A,(2,0),B,(2,1).抛物线的顶点 为A(1,0),∴.可设抛物线对应的函数表达式为y=a(x 1)2.把B,(2,1)代人y=a(x-1),得a=1.∴.以A为顶 点，且经过点B,的抛物线对应的函数表达式为y=(x一 1)2.(2)设直线OB对应的函数表达式为y=x.把 B(1,1)代人y=kx,得k=1.∴.直线OB对应的函数表达 3-√5 I= y=x, 2 式为y=x.联立 解得 y=(x-1)2, 3-√5 y= 2 x=3+6 2 (不合题意，舍去).∴点C的坐标为 =3+6 2 (,3）在y=(-1中当x=0时v=1 .点D的坐标为(0,1). 11.(W3n+1,n2)如图，过点P,作P,M⊥x轴于点M. :QQ,=2,△P,QQ,是等边三角形，∴.P,Q=2, ∠P,QQ1=60°，则∠P,QM=30°.∴.P,M=1,MQ。= 5.∴.P,(1+5,1).将P1(1+5,1)代入y=a(x-1)2, 得1=3，a=子y=号x-1.设Q,Q=m,则易 得P(停m+1.m+2小将P(停m十1，m+2)代入 y红-1，得m+2=号×（停+1-) 4或m=-2(舍去).∴.P2(23+1,4).同理可得， P3(33+1,9)…∴.点Pm的坐标为(W3n十1，n2). y P (第11题) 第4课时二次函数y=a(x+h)2+k的图象和性质 1.C抛物线y=一3(x+1)2-2的顶点坐标为（一1， 一2)，抛物线y=一3(x一3)2+5的顶点坐标为(3,5)，∴.平移 方式为向右平移4个单位长度，再向上平移7个单位长度. 2.C由二次函数的表达式，得其图象的对称轴为直线 x=m,开口向上，∴.当x<m时，y随x的增大而减小 .m≥4. 易错警示 忽略讨论对称轴的位置导致错误 此题抛物线开口向上，对称轴为直线x=,当x< 4时，y随x的增大而减小，需分直线x=m与直线x=4 重合和位于直线x=4的右侧两种情况，不要漏解。 3.-2在y=一2(x-2)2+3中，一2<0，∴.抛物线开 口向下，且对称轴为直线x=2.:0≤x≤3,2-0>3一2， D ,当x=0时，y取得最小值，为一5；当x=2时，y取得最 大值，为3.∴.y的最小值与最大值的和是一5+3=一2. 4.(1)该抛物线的对称轴为直线x=3,顶，点坐标为(3,2). (2)抛物线y=a(x-3)2+2经过点(1，-2)，∴.-2= (1-3)2a+2..a=-1.(3)由(2)，知y=-(x 3)2+2.一1<0，∴.抛物线开口向下，当x<3时，y随x 的增大而增大，当x>3时，y随x的增大而减小.：点 A(m,y1),B(n,y2)(m<n<3)都在该抛物线上， ∴.y1y2 5.D抛物线y=a(x一1)2一a的对称轴为直线x=1,顶 点坐标为(1，一a).①若a>0,在-1≤x≤4中，当x=1 时，函数有最小值一a.:y的最小值为一4，∴.一a=一4， 解得a=4.②若a<0,在一1x4中，当x=4时，函数 有最小值.∴.9a一a=一4，解得a=一 综上所述a的 值为-或4 易错警示 忽略二次函数图象开口方向判断最值导致错误 在二次函数图象的对称轴确定，而开口方向不确定 时，判断二次函数的最值应分开口向上和开口向下两种 情况讨论，容易忽略其中一种情况而导致错误 6.A:a>0,.抛物线开口向上.：x1<m一x1∴.点 M位于点N的左侧，且x1十m一x,=m.·当x1<m x1时，y1<y2,∴.分三种情况讨论：当x1<m一x1≤2时， y1>y2,不满足题意；当m一x1>x1≥2时，满足题意，此 时m>4;当x1<2<m一x1时，要满足条件，则m一1 2>2-x1,解得m>4.综上所述，实数m的取值范围是 m>4. 7.y=一2(x一2)2+4易知抛物线C:y=2(x一1)2+2 的顶点坐标为(1,2)，对称轴为直线x=1.将x=0代入 y=2(x一1)2+2，得y=2十2=4，∴.点A的坐标为(0， 4).点B与点A关于直线x=1对称，∴点B的坐标为 (2,4).设以B为顶点的抛物线C的“和谐抛物线”对应的 函数表达式为y=a(x-2)2+4(a≠0).将x=1,y=2代 入，得2=a十4，解得a=一2..以B为顶点的抛物线C 的“和谐抛物线”对应的函数表达式为y=一2(x一2)2十4. 8.(1)B(3,3),BC=10,∴.C(-7,3).把C(-7,3)代 人y2=a(x十3)2-1，得3=(-7+3)a-1,解得a= 5