第1-2章阶段题型特训：填空题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

第1-2章阶段题型特训：填空题-2026-2027学年数学九年级上册北师大版（2024） 题型汇总 题型：菱形的性质与判定 题型：矩形的性质与判定 题型： 题型：认识一元二次方程 题型：一元二次方程的解法 题型：一元二次方程的根与系数的关系 题型：一元二次方程的应用 跟踪特训 题型：菱形的性质与判定 1．（2026•西山区二模）如图，菱形花坛ABCD，沿着菱形的对角线修建两条小路AC和BD，若AC＝12米，BD＝20米，则菱形花坛ABCD的面积是　 　 平方米． 2．（2026春•渝中区校级期末）菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE⊥AB于点E，交AC于点F，且∠ACD＝∠ADE，则∠BCD＝ 　 　 ；G在OC上，OG＝OF，若AD＝6，则EG＝ 　 　 ． 3．（2026春•东丽区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若AC＝12，S菱形ABCD＝48，则OH的长为　 　 ． 4．（2025秋•钢城区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB于点E，连接OE，若OE＝3，OB＝4，则CE的长为 　 　 ． 题型：矩形的性质与判定 5．（2026•张掖校级三模）如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，BE＝DF，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形AECF是矩形，则该条件可以是 　 　 .（填一个即可） 6．（2026春•思明区校级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若AO＝4，则MN的长为　 　 ． 7．（2026•渠县校级开学）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，则DE+CF的最小值为　 　 ． 8．（2025秋•茂南区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝14cm，点D为AC的中点，则BD＝　 　 cm． 题型： 9．（2026•肇源县校级开学）如图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连结AE交CD于F，则∠AFC＝　 　 ． 10．（2026•辽中区校级开学）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CE，若正方形ABDE的面积为74，则CE的长为　 　 ． 11．（2026•莲湖区一模）如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且BE＝CF，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为　 　 ． 12．（2025秋•长宁县期末）图中有三个正方形，大正方形ABCD与两个小正方形的面积分别记为S，S1，S2，若S﹣（S1+S2）＝38，则AC的长为　 　 ． 题型：认识一元二次方程 13．（2025秋•永定区期末）把一元二次方程x（x+2）＝﹣1化成一般形式：　 　 ． 14．（2026春•高新区校级期中）若x＝m是一元二次方程x2+3x+1＝0的解，则2022﹣3m2﹣9m的值为　 　 ． 15．（2026春•石景山区期末）若x＝1是一元二次方程3x2+kx﹣1＝0的解，则k的值为　 　 ． 16．（2025秋•晋江市校级期末）若关于x的方程2xm﹣2+3x+5＝0是一元二次方程，则m的值为　 　 ． 题型：一元二次方程的解法 17．（2026•鹿城区校级开学）已知关于x的一元二次方程3x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是　 　 ． 18．（2026•象州县二模）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（2x+m+2）2+b＝0的解为　 　 ． 19．（2026春•成武县期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 　 　 ． 20．（2025秋•广元期末）把关于x的一元二次方程x2﹣8x+c＝0配方，得（x﹣m）2＝11，则c＝　 　 ． 题型：一元二次方程的根与系数的关系 21．（2026•北京校级开学）已知x2+x﹣1＝0的两个根分别为x1、x2，则　 　 ． 22．（2026秋•扶绥县校级月考）已知a，b是关于x的一元二次方程x2+（4k+1）x+k2+1＝0的两个实数根，且满足﹣a﹣b＝ab，则k＝　 　 ． 23．（2026•南京校级开学）设a，b是方程x2+20x+1＝0的两个根，c，d是方程x2﹣19x+1＝0的两个根，则代数式（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d）的值为　 　 ． 24．（2026•西安校级开学）关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2，若x1x2+x1+x2﹣1＝0，则k的值是　 　 ． 题型：一元二次方程的应用 25．（2026春•北碚区校级期末）2026年3月重庆西洽会展销售某智能设备5万台，经过大力宣传，该设备5月份的销售量达到7.2万台，设4、5两个月该智能设备销量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为　 　 ． 26．（2026•滨城区校级开学）在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有　 　 支． 27．（2025秋•河东区期末）已知某种营养素在果蔬储存过程中，每天因氧化分解导致含量减少．若经过2天后，该营养素的含量降为原来的．设这种营养素的日平均分解率为x，则根据题意可列方程为　 　 ． 28．（2026秋•同步）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为33米，宽为20米．停车场内车道的宽都相等．若停车位的总占地面积为510平方米，则车道的宽度为　 　 米． 参考答案与试题解析 一．填空题（共28小题） 1．（2026•西山区二模）如图，菱形花坛ABCD，沿着菱形的对角线修建两条小路AC和BD，若AC＝12米，BD＝20米，则菱形花坛ABCD的面积是　120　 平方米． 【解答】解：菱形花坛ABCD，AC＝12米，BD＝20米， ∴菱形花坛ABCD的面积是平方米， 故答案为：120． 2．（2026春•渝中区校级期末）菱形ABCD中，AC与BD交于点O，DE⊥AB于点E，交AC于点F，且∠ACD＝∠ADE，则∠BCD＝ 　60°　 ；G在OC上，OG＝OF，若AD＝6，则EG＝ 　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥CD，AD＝CD，AC平分∠BAD和∠BCD， ∴∠BAC＝∠DAC，∠ACD＝∠BAC， ∴∠ACD＝∠DAC， ∵∠ACD＝∠ADE， ∴∠ADE＝∠DAC． ∴DE⊥AB， ∴∠AED＝90°， ∴∠ADE+∠DAE＝90°， 又∵∠DAE＝∠DAC+∠BAC＝2∠DAC＝2∠ADE， ∴∠ADE+2∠ADE＝90°， ∴∠ADE＝30°， ∴∠BAD＝2∠ADE＝60° ＝∠BCD； ∵四边形ABCD是菱形，AD＝6， ∴AB＝AD＝6，AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD， ∵∠BAD＝60°，AB＝AD， ∴△ABD是等边三角形， ∴BD＝AB＝6，ODBD＝3， 在Rt△AOD中，OA3， ∴AC＝2OA＝6， ∵DE⊥AB，△ABD是等边三角形， ∴AEAB＝3， 在Rt△AEF中，∠EAF＝30°， ∴EFAF， ∴AE2+EF2＝AF2，即32+EF2＝（2EF）2， 解得EF（负值舍去）， ∴AF＝2， ∴OF＝OA﹣AF＝32． ∵OG＝OF， ∴AG＝OA+OG＝34． 过点E作EH⊥AC于点H，如图， 在Rt△AEH中，∠EAH＝30°， ∴EHAE，AH， ∴HG＝AG﹣AH＝4， 在RtAEHG中，EG． 故答案为：60°，． 3．（2026春•东丽区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥AB于点H，连接OH，若AC＝12，S菱形ABCD＝48，则OH的长为　4　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OB＝OD，AC⊥BD， ∵DH⊥AB， ∴∠BHD＝90°， ∴OHBD． ∵菱形ABCD的面积AC•BD12•BD＝48， ∴BD＝8， ∴OHBD＝4； 故答案为：4． 4．（2025秋•钢城区期末）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE⊥AB，交AB于点E，连接OE，若OE＝3，OB＝4，则CE的长为 　　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，OB＝4， ∴OA＝OC，BD＝2OB＝8，AC⊥BD， ∵CE⊥AB， ∴∠CEA＝90°， ∴AC＝2OE＝2×3＝6， ∴OA＝3， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB5， ∵S菱形ABCD＝AB•CEAC•BD6×8＝24， ∴5CE＝24， ∴CE， 故答案为：． 5．（2026•张掖校级三模）如图，在▱ABCD中，AC、BD相交于点O，点E、F在BD上，BE＝DF，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形AECF是矩形，则该条件可以是 　∠EAF＝90°　 .（填一个即可） 【解答】解：添加∠EAF＝90°使得四边形AECF是矩形． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BE＝DF， ∴OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， 又∵∠EAF＝90°， ∴四边形AECF是矩形． 故答案为：∠EAF＝90°． 6．（2026春•思明区校级期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若AO＝4，则MN的长为　2　 ． 【解答】解：由题意可得：，AC＝BD，， ∴AO＝BO＝4， ∵M，N分别为BC，OC的中点， ∴， 故答案为：2． 7．（2026•渠县校级开学）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，E是边BC上一动点，F是对角线BD上一动点，且BE＝DF，则DE+CF的最小值为　　 ． 【解答】解：如图，延长DA到G，使DG＝DB，连接FG，CG， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝2，DC＝AB＝1，∠BAD＝∠GDC＝90°， ∴∠GDF＝∠DBE， 在△DGF和△BDE中， ， ∴△DGF≌△BDE（SAS）． ∴FG＝DE， ∴DE+CF＝FG+CF≥GC， ∴当点G、F、C共线时，FG+CF最小，最小值为CG的长， ∴（DE+CF）最小值为CG， ∵∠BAD＝90°， ∴， 在Rt△GDC中，，∠GDC＝90°， ∴， ∴（DE+CF）最小值为． 故答案为：． 8．（2025秋•茂南区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝14cm，点D为AC的中点，则BD＝　7　 cm． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，点D为AC的中点，AC＝14cm， ∴BDAC14＝7（cm）． 故答案为：7． 9．（2026•肇源县校级开学）如图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CE＝AC，连结AE交CD于F，则∠AFC＝　112.5°　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°， ∴∠FCE＝90°， ∵AC＝CE， ∴∠E＝∠CAE22.5°， ∴∠AFC＝∠E+∠FCE＝112.5°， 故答案为：112.5°． 10．（2026•辽中区校级开学）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，连接CE，若正方形ABDE的面积为74，则CE的长为　13　 ． 【解答】解：∵四边形ABDE是正方形， ∴AB2＝74，AE＝AB，∠EAB＝90°， ∵∠ACB＝90°，AC＝5， ∴， 延长CA，过点E作EF⊥CA的延长线于点F， ∵EF⊥CF， ∴∠EFA＝90°， ∴∠EFA＝∠ACB， ∵∠EAF+∠BAC＝180°﹣∠EAB＝90°，∠ABC+∠BAC＝90°， ∴∠EAF＝∠ABC， 在△AEF和△BAC中， ， ∴△AEF≌△BAC（AAS）， ∴EF＝AC＝5，AF＝BC＝7， ∴CF＝AC+AF＝5+7＝12， ∴． 故答案为：13． 11．（2026•莲湖区一模）如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是边BC，CD上的两个动点，且BE＝CF，连接BF，DE，则BF+DE的最小值为　　 ． 【解答】解：如图1，连接AE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCF＝90°， ∵BE＝CF， ∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴AE＝BF， ∴BF+DE的最小值等于AE+DE的最小值， 如图2，作点A关于BC的对称点H，连接BH，则A、B、H三点共线， 连接DH，DH与BC的交点即为所求的E点， 根据对称性可得AE＝HE， ∴AE+DE＝HE+DE＝DH， 在Rt△ADH中，AH＝AB+BH＝1+1＝2，AD＝1， ∴， ∴BF+DE的最小值等于． 故答案为：． 12．（2025秋•长宁县期末）图中有三个正方形，大正方形ABCD与两个小正方形的面积分别记为S，S1，S2，若S﹣（S1+S2）＝38，则AC的长为　12　 ． 【解答】解：如图，大正方形ABCD与两个小正方形的面积分别记为S，S1，S2， 设正方形ABCD的边长为2a， ∴∠BAC＝45°，∠ABC＝90°， 在直角三角形ABC中，由勾股定理得：AC2a， ∴BE＝EF＝AE＝a，AG＝GH＝HCa， 由题意得：4a2﹣a2﹣（a）2＝38， 解得：a＝3（负值已舍去）， ∴AC＝2a＝12， 故答案为：12． 13．（2025秋•永定区期末）把一元二次方程x（x+2）＝﹣1化成一般形式：x2+2x+1＝0　 ． 【解答】解：x（x+2）＝﹣1， x2+2x＝﹣1， x2+2x+1＝0． 故答案为：x2+2x+1＝0． 14．（2026春•高新区校级期中）若x＝m是一元二次方程x2+3x+1＝0的解，则2022﹣3m2﹣9m的值为　2025　 ． 【解答】解：∵x＝m是一元二次方程x2+3x+1＝0的解， ∴m2+3m+1＝0， ∴2022﹣3m2﹣9m ＝2022﹣3（m2+3m） ＝2022﹣3×（﹣1） ＝2022+3 ＝2025， 故答案为：2025． 15．（2026春•石景山区期末）若x＝1是一元二次方程3x2+kx﹣1＝0的解，则k的值为　﹣2　 ． 【解答】解：由条件可得：3×12+k×1﹣1＝0， 整理得 2+k＝0， 解得 k＝﹣2． 故答案为：﹣2． 16．（2025秋•晋江市校级期末）若关于x的方程2xm﹣2+3x+5＝0是一元二次方程，则m的值为　4　 ． 【解答】解：∵关于x的方程2xm﹣2+3x+5＝0是一元二次方程， ∴m﹣2＝2， 解得m＝4． 故答案为：4． 17．（2026•鹿城区校级开学）已知关于x的一元二次方程3x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的取值范围是c　 ． 【解答】解：由题知， 因为关于x的一元二次方程3x2﹣2x+c＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝（﹣2）2﹣4×3×c＞0， 解得c． 故答案为：c． 18．（2026•象州县二模）已知关于x的方程a（x+m）2+b＝0（a、b、m为常数，a≠0）的解是x1＝2，x2＝﹣1，那么方程a（2x+m+2）2+b＝0的解为x1＝0，　 ． 【解答】解：由条件可知a[（2x+2）+m]2+b＝0， ∵a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1， ∴2x+2＝2或2x+2＝﹣1， 解得x1＝0，． 故答案为：x1＝0，． 19．（2026春•成武县期末）用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是 　3x2+9x+1＝0　 ． 【解答】解：由题意得：a＝3，b＝9，c＝1， ∴该一元二次方程是3x2+9x+1＝0， 故答案为：3x2+9x+1＝0． 20．（2025秋•广元期末）把关于x的一元二次方程x2﹣8x+c＝0配方，得（x﹣m）2＝11，则c＝　5　 ． 【解答】解：∵x2﹣8x+c＝0， ∴x2﹣8x＝﹣c， ∴x2﹣8x+16＝﹣c+16，即（x﹣4）2＝16﹣c， 又∵与给定的（x﹣m）2＝11比较， ∴16﹣c＝11， ∴c＝5． 故答案为：5． 21．（2026•北京校级开学）已知x2+x﹣1＝0的两个根分别为x1、x2，则　1　 ． 【解答】解：由条件可得，， ∴． 故答案为：1． 22．（2026秋•扶绥县校级月考）已知a，b是关于x的一元二次方程x2+（4k+1）x+k2+1＝0的两个实数根，且满足﹣a﹣b＝ab，则k＝　4　 ． 【解答】解：∵a，b是方程x2+（4k+1）x+k2+1＝0的两个实数根， ∴a+b＝﹣（4k+1），ab＝k2+1， Δ＝（4k+1）2﹣4（k2+1）＝12k2+8k﹣3≥0， ∵﹣a﹣b＝ab，即﹣（a+b）＝ab， ∴4k+1＝k2+1， 解得：k＝0或k＝4， 当k＝0时，Δ＝﹣3＜0，不存在两个实数根，舍去， 当k＝4时，Δ＝221＞0，符合条件， 因此k＝4， 故答案为：4． 23．（2026•南京校级开学）设a，b是方程x2+20x+1＝0的两个根，c，d是方程x2﹣19x+1＝0的两个根，则代数式（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d）的值为　﹣39　 ． 【解答】解：由题意可得 a+b＝﹣20，ab＝1，c+d＝19，cd＝1 则（a+c）（b+c）（a﹣d）（b﹣d） ＝[ab+（a+b）c+c2）][ab﹣（a+b）d+d2] ＝（1﹣20c+c2）（1+20d+d2） ＝1+20d+d2﹣20c﹣400﹣20d+c2+20c+1 ＝d2+c2+2﹣400 ＝（c+d）2﹣400 ＝192﹣400 ＝﹣39． 故答案为：﹣39． 24．（2026•西安校级开学）关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2，若x1x2+x1+x2﹣1＝0，则k的值是　﹣3　 ． 【解答】解：由条件可得：x1+x2＝2（k﹣1）、， 代入x1x2+x1+x2﹣1＝0，得： k2+2（k﹣1）﹣1＝0， 解得k1＝1、k2＝﹣3， 又∵Δ＝[﹣2（k﹣1）]2﹣4•1•k2≥0， 解得， ∴k1不符合题意，舍去， 故k＝﹣3． 故答案为：﹣3． 25．（2026春•北碚区校级期末）2026年3月重庆西洽会展销售某智能设备5万台，经过大力宣传，该设备5月份的销售量达到7.2万台，设4、5两个月该智能设备销量的月平均增长率为x，根据题意，可列方程为　5（1+x）2＝7.2　 ． 【解答】解：由题意得：5（1+x）2＝7.2， 故答案为：5（1+x）2＝7.2． 26．（2026•滨城区校级开学）在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有　8　 支． 【解答】解：设参加小组赛的球队有x支， 根据题意得：x（x﹣1）＝56， 解得：x1＝8，x2＝﹣7（不符合题意，舍去）， 即参加小组赛的球队有8支， 故答案为：8． 27．（2025秋•河东区期末）已知某种营养素在果蔬储存过程中，每天因氧化分解导致含量减少．若经过2天后，该营养素的含量降为原来的．设这种营养素的日平均分解率为x，则根据题意可列方程为　（1﹣x）2　 ． 【解答】解：由题意可得， （1﹣x）2， 故答案为：（1﹣x）2． 28．（2026秋•同步）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为33米，宽为20米．停车场内车道的宽都相等．若停车位的总占地面积为510平方米，则车道的宽度为　3　 米． 【解答】解：设车道的宽度为x米，则停车位可合成长为（33﹣x）米，宽为（20﹣x）米的矩形， 根据题意得：（33﹣x）（20﹣x）＝510， 整理得：x2﹣53x+150＝0， 解得：x1＝3，x2＝50（不符合题意，舍去）． 答：车道的宽度为3米． 故答案为：3． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $