21.2 二次函数y=ax2+k的图象和性质 同步练习 2026-2027学年沪科版数学九年级上册

**基本信息** 本同步练通过“基础核心知识精练”与“素养综合创新应用”分层设计，覆盖二次函数图象性质及平移关系，从概念辨析到几何综合，培养推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|二次函数图象性质、平移关系|概念辨析（填空表格）、性质应用（选择填空）、简单解答（求表达式）| |素养层|二次函数与几何综合|结合正方形考查推理能力（全等三角形应用）|

二次函数 的图象和性质 1.二次函数 的图象和性质（纵轴式） (a≠0) a>0 a<0 开口方向 向 向 顶点坐标 ( , ) ( , ) 对称轴 y轴(直线x=0) y轴(直线x=0) 增减性 当x<0时,y 随x的增大而 ；当x>0时,y 随x的增大而 . 当x<0时,y 随x的增大而 ；当x>0时,y 随x的增大而 . 最值 当x=0时,y最小值= 当x=0 时,y最大值= 图象 k>0 k>0 k<0 k<0 2.二次函数 的图象与二次函数y 的图象的关系 抛物线 与 的形状、开口大小和开口方向 ，只是 不同.抛物线 可由抛物线 沿 轴方向平移 个单位得到,当k>0时,向 平移;当 k<0时，向 平移. 基础 核心知识精练 知识点 1 二次函数. 的图象和性质 1.二次函数 的图象不经过的象限为( ) A.第三、第四象限 B.第二、第四象限 C.第一、第二象限 D.第一、第四象限 2.若抛物线 经过点P(m，n)，则下列各点必在该抛物线上的是( ) A.(-m,-n) B.(-m,n) C.(m,-n) D.(n,m) 3.下列函数中，当x>0时，y随x的增大而减小的是( ) A. B. y=x-1 C. D. y=8x 4.]已知抛物线 1的开口向下，则a的取值范围为 . 5.如图，在平面直角坐标系中，已知点 A 是抛物线 上任意一点，则OA 长的最小值为 . 6. 若抛物线 的顶点坐标为(0，2)，且形状与抛物线 相同,则a= ,k= . 7.已知二次函数 的图象经过点(1,-1). (1)求该二次函数的表达式. (2)写出该函数图象的对称轴及顶点坐标. (3)已知点( -2,y₁),(-1,y₂),(1.5,y₃)都在该函数图象上，试比较y₁，y₂，y₃的大小. 知识点 2 抛物线 与抛物线 的关系 8.将抛物线 向上平移3个单位长度，所得抛物线的表达式是( ) A. B. C. D. 9.将抛物线 向下平移5个单位长度，得到的抛物线的表达式是 . 10. 将抛物线 向下平移k个单位长度，得到抛物线的表达式为 则 k的值为 . 11.能否将二次函数 的图象通过上下平移，使得到的新的函数图象过点(3，-3)?若能，求出平移的方向和距离；若不能，请说明理由. 12.如果二次函数 的值恒大于0，那么必有 ( ) A. a>0,m取任意实数 B. a>0,m>0 C. a<0,m>0 D. a，m均可取任意实数 13.在平面直角坐标系中，如果把抛物线 向下平移3个单位长度得到一条新的抛物线，那么下列关于这两条抛物线的描述中不正确的是 ( ) A.开口方向相同 B.对称轴相同 C.顶点的横坐标相同 D.顶点的纵坐标相同 14.已知二次函数 若当x分别取x₁,x₂( 时，函数值相等，则当x取 时，函数值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 15.在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数 的图象可能是 ( ) 16. 已知两点((x₁,y₁),(x₂,y₂)均在抛物线 上，下列说法正确的是( ) A.若 则 B.若 则 C.若 则 D.若 则 17.如图，两条抛物线 与分别经过点( -2,0),(2,0)且平行于y轴的两条平行线围成的阴影部分的面积为 . 18.如图，抛物线y= 与直线y=x+2交于点 B(-1,m)和点 若抛物线的顶点为A，求△ABC的面积. 素养 综合创新应用 19.推理能力：如图，正方形ABCD 的顶点 A,C 在抛物线 y = 上,点 D 在 y轴上.若A,C两点的横坐标分别为m，n(m>n>0)，下列结论正确的是 ( ) A. m+n=1 B. m-n=1 C. mn=1 D. 学科网（北京）股份有限公司 二次函数 的图象和性质 1 A 2 B 3 A 4 a<-1 5 3 6 k=2 7 解:(1)∵二次函数 的图象经过点(1,-1), ∴a+2=-1,解得a=-3, ∴该二次函数的表达式为 (2)该函数图象的对称轴为y轴，顶点坐标为(0，2). (3)当x= -2时, 当x=-1时, 当x=1.5时， 2= - 4.75. ∵-10<-4,75< - 1,∴y₁<y₃<y₂. 8 A 10 2 11 解:能. 设平移后的函数图象的表达式为 由平移后的函数图象过点(3，-3)，得 解得b=-6, 所以把函数 的图象向下平移6个单位长度，得到的图象对应函数的表达式为 该函数的图象过点(3,-3). 12 B 13 D 14 C 15 D 16 D 17 8 18 解:因为点B(-1,m)在直线y=x+2上, 所以m=-1+2=1,所以点 B 的坐标为(-1,1). 因为点C(n, )在直线y=x+2上, 所以 解得 所以点 C的坐标为( ). 因为点 B(-1,1)在抛物线 上， 所以2+k=1,解得k= - 1,所以 所以抛物线的顶点A 的坐标为(0，-1). 设直线：y=x+2与y轴的交点为Q,则点 Q 的坐标为(0,2),所以 19 B 如图，分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为M和N.易得点A 的坐标为 点C 的坐标为(n， 所以AM=m, CN=n,NO= - n²+4.因为四边形ABCD 是正方形,所以AD =CD,∠ADC=90°,所以∠CDN+∠ADM=∠ADM+∠DAM=90°,所以∠CDN=∠DAM. 在 △CDN 和 △DAM 中, 所以△CDN≌△DAM(“一线三等角“模型),所以 DM =CN =n,DN=AM=m,所以MN=DN+DM=m+n.又因为MN=NO- 所以 即(m+n)(m-n)=m+n.因为m>n>0,所以m+n≠0,所以m-n=1. $