1.4《正方形的性质与判定》同步练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

1.4《正方形的性质与判定》同步练习 一、选择题 1.正方形具有，而矩形不一定具有的性质是(). A.对角线互相平分 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分且相等 2.如图，在正方形ABCD中，AB=10,E为AB的中点，连接DE,将△DAE绕点D按逆时针方 向旋转90°得到△DCF,则BF的长为() A.12 B.13 C.14 D.15 3.数学活动课上，小明用四根长度相同的木条制作成能够活动的菱形学具.老师问小明：要 让这个菱形学具成为正方形学具，需要添加的条件可以是() y A.∠B=90° B.AB=BC C.AB∥CD D.∠B=∠D 4.如图，点E是正方形ABCD的对角线AC上的一点，连接BE,过点E作EF LCD,垂足为F, 若CF=8,EB=10,则正方形ABCD的面积为() D B A.196 B.256 C.144 D.100 5.顺次连接一个四边形各边中点得到的四边形叫做这个四边形的中点四边形.如果一个四边 形的中点四边形是矩形，那么原四边形的对角线需满足的条件是() A.互相平分且相等 B.互相平分且垂直C.相等D.互相垂直 6.如图，短形ACD的的4B-号，C=,B为B上点，且4E=,F为4D边上的-个动 点，连接EF,若以EF为边向右侧作等腰直角三角形EFG,EF=EG,连接CG，则CG的最 小值为() √97 A.2 B.2 C.2 D.2V5 AD 8 7.如图，矩形ABCD的面积为288，E、F、G、H分别是边AB,CD的三等分点，若AB9,则 阴影四边形的周长为() B A.20 B.25 C.30 D.40 8.如图，四边形ABCD是正方形，对角线AC,BD交于点O,点E在正方形的内部，且 BE=CE .连接0并廷长交C边于点R,线段E,CE分别与40，D0交于点M水则下列 BC 结论不二定成立的是() D A.EF⊥BC B.∠EBD=∠ECAC.BM=CW D.BF-1BE 2 9.如图，在正方形ABCD中，将边AB绕点A逆时针旋转至AF,使F点落在正方形ABCD内部， 延长BF交∠DAF的平分线于点H,连接FD交AH于点G,则下列比值是定值的是() D F B AF DE AD BF A.BH B.FH C.AH D.GH 10.如图，在平面直角坐标系中，点A在直线y=mx上，且点A的横坐标是1，过点A作 AD⊥X 于点以以4D为边作正方形1DCB,连接DB,若直线OB与DDB 围成的阴影三角 形的面积为3，则下列结论正确的是() A.m的值为2 B.正方形ABCD的边长是4 3 2 C.△AOE的面积是2 D.直线OB的解析式是y=x 二、填空题 11.在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，具有性质“两条对角线相等”的是一；具有 性质“两条对角线互相垂直”的是 12.如图，以正方形ABCD的对角线AC为边作菱形AEFC,则∠FAB= 0 B 13.如图是一个长为x的矩形纸片，在其左侧剪掉一个最大的正方形.若剩余矩形的周长为 y,则y与x之间的关系为 14.如图，在平面直角坐标系O少中，以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交x轴负半轴于 点A,交y轴正半轴于点B;再分别以点A,B为圆心，以OA长为半径画弧，两弧在第二象限 相交于点C,连接0C,AB,若AB=2W5,则点C的坐标为一 15.在矩形ABCD中，AD=4,点E为射线BC上一点，将△ABE沿着AE翻折，使得点B的对应 点F落在射线AD上，若线段AD=2DF,连接AC,则AC的值为 16.如图，点E为正方形ABCD边AD上一动点（不与边AD端点A、D重合），点F为点A关 于BE的对称点，BE与CF的延长线相交于点G.若正方形ABCD的边长为13，CF=I0,则 FG= E B 17.如图，现有正方形纸片ABCD,点E,F分别在BC,CD边上，分别沿AE,AF折叠，使 得B,D两点均落在点G处，然后还原. D F N G B (1)∠EAF= (2)连接BD,分别交两条折痕AE,AF于点M,N,已知BM=1,DN=2,则MN的长为_ 18.如图，直线y=x-I与坐标轴交于A,P两点，过点A作AB⊥AP交y轴于点B,以AB为边 在AB右侧作正方形ABCD,复制正方形ABCD并沿着直线y=x-I向上平移，使得一边重合，得 到正方形CDD,C?,继续复制正方形(CDDC,并沿着直线y=x-1向上平移，使得一边重合， 得到正方形CDDC,依此类推，复制平移2025次后，顶点C22s的坐标为」 三、解答题 19.已知：如图，E,F是正方形ABCD的边AB,BC上的两点，AE=BF,连接DE,AF. (1)求证：DE=AF.(2)求∠EGF的度数. D G 20.如图平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,分别以点B,C为圆心，OC,OB 的长为半径画弧，两弧交于点P，连接BP,CP. (1)求证：四边形BOCP是平行四边形： (2)当口ABCD的对角线满足条件时，四边形BOCP是正方形，并说明理由. D 21.如图，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB=90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°， 得到△CBF.延长AE交CF于点G,连接DE. (1)试判断四边形BEGF的形状，并说明理由； (2)若BE=3,CG=1,求DE. D G 22.如图，在矩形ABCD中，AB>AD,点E是边CD上一点，将△ADE沿AE对折，点D恰好落 在AB边上的F处，在AD上取点G,使得AG=BF,连接GF、CF、GC. (1)求证：四边形ADEF为正方形； (2)判断aGFC是什么三角形，并说明理由. D E G F B 23.如图，四边形ABCD是正方形.过点C在正方形ABCD的外侧作射线CN, ∠DCN=au(0°<<90) 作点D关于射线CW的对称点E,线段DE交射线CW于点M,连接BE交 直线CV于点F (1)当0°<a<45时，依题意补全图1，并直接写出∠EFN的度数：； (2)在(1)的条件下，用等式表示线段FB,FC,FE之间的数量关系，并证明： (3)若CF=2,FM=4,请直接写出线段FB的长： D 图1 备用图 24.综合与实践 如图，在等腰直角△ABC中，点D是斜边AB上的动点（点D与点A不重合），连接CD,以CD 为直角边在CD的右侧构造等腰Rt△CDE,∠ACB=∠DCE=90°，连接BE. 特例感知 (1)如图1，请判断BE与AD之间的位置关系和数量关系，并说明理由； 拓展应用 (2)点F与点C关于DE对称，连接DF,EF,BF,如图2.已知AC=6,设AD=x. ①△CDE的面积为 (用含x的代数式表示)； ②当BF=2时，请直接写出AD的长度. 图1 备用图 参考答案 一、选择题 1.C 解：A、对角线互相平分是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意； B、对角线相等是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意； C、对角线互相垂直是正方形具有而矩形不具有的性质，所以本选项符合题意； D、对角线互相平分且相等是正方形和矩形都具有的性质，所以本选项不符合题意. 故选：C. 2.D 解：，在正方形ABCD中，AB=10,E为AB的中点， ·BC=AB=CD=10, AE=3AB=5 2 .'将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCF, ∴.CF=AE=5, .BF =BC+CF=15, 故选：D. 3.A 解：A.有一个角为直角的菱形为正方形，该选项正确，符合题意； B.该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； C.该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； D.该选项不能判定菱形为正方形，故不符合题意； 故选：A. 4.A 解：如图，过点E作EH⊥BC于H,则∠EHC=∠EHB=90°， ,四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴.∠BCD=90°，∠ECH=∠ECF=45°， .EF LCD, ∴.∠EFC=90°， .四边形EFCH是矩形， .∠ECH=45°，∠EHC=90°， ∴.△CHE是等腰直角三角形， ...CH=EH, 四边形EFCH是正方形， ∴.CH=EH=CF=8, .EB=10 BH=VEB2-EH2-V102-82-6 .∴BC=BH+CH=6+8=14, ∴.正方形ABCD的面积为14×14=196， 故选：A. D C B 5.D 解：根据题意画出图形如下： A E B D M o G H C AC与BD 的位置关系是互相垂直. 证明：点E、FHG分别是AD、AB、BC、CD的中点， 连接EF,FG,HG,EH,EH与BD交于点M, ,四边形EFGH是矩形， .∠FEH=90°， ,F、F分别是AD、AB的中点， ∴.EF∥BD, .∠FEH=∠OMH=90°， EH分别是AD、CD的中点， .EH∥AC, 又.点F、H分别是AD、CD各边的中点， ∴.∠OMH=∠COB=90°， 即AC⊥BD 故选：D. 6.B 解：如图，过点G作GH⊥AB于H,过点G作MN∥AB, B E H ”四边形ABCD是矩形，AB- 2,BC=3, ·∠B=90°，CD=AB= 2,AD=BC=3, AE=1, BE-4B-4E-9 ∠GHE=∠A=∠GEF=90°， ∴.∠GEH+∠EGH=90°，∠GEH+∠FEA=90°， .∠EGH=∠FEA, 又：GE=EF, .△GEH≌△EFA(AAS), .'GH=AE=1, 点G在平行AB且到AB距离为1的直线MN上运动， 当F与D重合时，CG有最小值，此时AF=EH=3, 11 2 cG的最小值 八2 故选：B. 7.A 解：连接FG,如图所示： 矩形ABCD, .AB∥CD :E、F、G、H分别是边AB,CD的三等分点， 4E-4B,c=0, 3 ∴.AE=CG,AE∥CG, .∴.四边形AECG是平行四边形 .AG∥CE, 同理可证：DF∥BH, ∴四边形WKL是平行四边形 .AF=DG,AF∥DG,∠FAD=90°， .四边形AFGD是矩形， ..IA=ID=IG=IF, AI∥EJ 即w, EF FJ 1 同理可证L-2G1, 1G=F, .0=L, 四边形KL是菱形， ,矩形ABCD的面积为288， .AB·AD=288, AD 8 AB9, .设AD=8x,则AB=9x, .8x9x=288, 解得：x=2,负值舍去， AD=16,AB=18, 2 .AF=4B=12 3 :.DF=AG=12+16=20 :FI=号Dr=10 W-)f1=5 2 ∴.菱形JKL的周长为4×5=20， 即阴影部分的周长为20. 故选：A. 8.D 解：：四边形ABCD是正方形，对角线AC,BD交于点O, ∴.OB=OC .BE=CE ∴.EF是BC的垂直平分线 EF⊥BC,故A不符合题意； .OB=OC, ∴.∠OBC=∠OCB BE=CE ∴.∠EBC=∠ECB ∴.∠EBC-∠OBC=∠ECB-∠OCB,即∠EBD=∠ECA,故B不符合题意； .'∠EBD=∠ECA,OB=OC,∠MOB=∠NOC △MOB≌△NOC(ASA) .BM=CV,故C不符合题意； 只有当∠BEF=30时，BF=2BE, 根据题意无法求出∠BF=30,放BF-E不一定成立，故D符合题意. 故选：D 9.B 解：设∠BAF=2x, ,四边形ABCD是正方形， .AB=AD,∠BAD=90°， ∴.∠DAF=∠BAD-∠BAF=90°-2x, 由旋转的性质可得AF=AB=AD, :∠aFB=∠ABF-1s0,2x=90-x, 2 .:BF交∠DAF的平分线于点H, AH DE,DF=2FG,ZHAF=DAF=45-X 21 ∴.∠H=∠AFB-∠HAF=45°， ∴△HFG是等腰直角三角形， ∴.FG=HG, FH=FG2+HG=2FG DF=2 ∴.FH 故选：B. 10.D 解：依题意得： D(1,0)0D=1 当x=1时，y=mx=m, :40m) ∴.在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD=m, B(m+1,m) 设直线OB的解析是y=:, 将点B的坐标代入y=“得： m=k(m+1) 解得：k=m m+1, ·直线0B的解析是y=m m 当x=1时，y= m+1, E1,m 即：气m+1 m ·DE=m+1, 直线OB与AD,DB围成的阴影三角形的面积为： DE:4B=1.m 2m+1 2 解得：m=2,m=3(舍去)， 2 :m的值为2，正方形A8CD的边长是2，直线OB的解析式是y=3,DE=3, E-D-DE △406的面积是：4500-号1-号， 3 .选项A、B、C错误，选项D正确， 故选：D 二、填空题 11. 矩形、正方形 菱形、正方形 解：，正方形的对角线是互相平分、垂直、相等； 矩形的对角线是互相平分、相等； 菱形的对角线是互相平分、垂直 ∴具有性质“两条对角线相等”的是矩形、正方形； ∴具有性质“两条对角线互相垂直”的是菱形、正方形： 故答案为：矩形、正方形；菱形、正方形 12.22.5 解：四边形BACD是正方形， .∠BAC=45°∠ABC=90° “四边形 AEFC 是菱形， ∠FAB=)∠BAC=22.50 故答案为：22.5°」 13.y=2x 解：设这个矩形纸片的宽为a,则其左侧剪掉的最大正方形的边长为a, 由题意得： y=2[a+(x-a] 整理得：y=2x 故答案为：y=2x 14.（io,io) 解：如图，连接CA,CB, ○ 由作图可知OA=OB=AC=BC, 四边形OBCA是菱形， 又.OA⊥OB, .四边形OBCA是正方形， .AC⊥OA,BC⊥OB, AB=25,04=OB, 04-08-4C-BC 2 c(0./0) 15.25或2v13 解：①如图1所示，点F落在线段AD上， AD =2DF,AD=4, ∴.AF=2. ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAF=∠B=90°，BC=AD=4, 由折叠的性质得AB=AF=2,∠AFE=∠B=90°， .四边形ABEF为正方形， ∴.AB=AF=2. 在Rt△ABC中， AC=AB2+BC2=4+16=25 2 4D2 F 6 E B 图1 图2 ②如图2所示，点F落在射线AD上， AD=2DF,AD=4, .DF=2, ∴.AF=AD+DF=6, 四边形ABCD是矩形， ∴.∠BAF=∠B=90°，BC=AD=4, 由①可知四边形ABEF为正方形， ∴.AB=AF=BE=6. 在Rt△ABC中， AC=√AB2+BC2=V36+16=2V13 综上所述，AC的值为25或2W13」 故答案为：25或213 16.7 解：，正方形ABCD的边长为13， ∴.AB=BC=13,∠ABC=90° ,点F为点A关于BE的对称点， ∴.BF=AB=13,∠ABE=∠EBF ∴.BF=BC=13, 如图：过点B作BM⊥CF于点M, G E :.∠CBM=∠MBF,MF=,CF=5 2 BM-1BF2-FM-113-5=12 :∠ABC=∠ABE+∠EBF+∠FBM+∠MBC=90°， ∴.2∠EBF+2∠FBM=90°， .∠EBF+∠FBM=45°， ∴.∠EBM=45°， .BM⊥CF, ∴.△BMG是等腰直角三角形， ∴.MG=BM=12, ∴.FG=MG-FM=12-5=7. 故答案为：7. 17. 450 5 解：(1)由折叠得∠GAF=∠DAF,∠GAE=∠BAE, .∵∠BAD=90°， .2(∠EAG+∠GAF)=90° ∴.∠EAF=∠EAG+∠GAF=45° (2)连接GN,GM, D F E -- B 由折叠可得DF=GF,DN=GN,GE=BE,BM=MG, .·NF=NF,ME=ME △DNF≌aGNF(SSS),△BME≌aGME(SSS)】 ∴.GN=DN=2,GM=BM=l1,∠FGN=∠FDN∠EGM=∠EBM 又·在正方形中，∠FDN=∠EBM=45°， ∴.∠FGN=∠EGM=45° ∴.∠MGN=180°-∠FGN-∠EGM=90° 在RtMGN中，W=VGW+GM=5 故答案为：45°；5. (2026,2027) 18. 解：在y=x-1中，当y=x-1=0时，x=1,当x=0时，y=-1, :1,o以P0,-1) ∴.OA=OP=1, .∠0AP=45°， AB⊥AP,即∠BAP=90°， ∴.∠0AB=45°， .△OAB是等腰直角三角形， ∴.0B=0A=1,∠OBA=45°， 由正方形的性质可得∠ABC=90,BC=AB=OP+OB=V2 ∴.∠DBC=45°， 如图所示，过点C作CD⊥y轴于D,则△BCD是等腰直角三角形， BD-CD-BC=1 2 .OD=OB+BD=2, :c02) 同理可得G(2,3)C(3,4) 以此类推可得， C2025(2026,2027)） (2026,2027) 故答案为： C C D. 、O D B 三、解答题 19.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， .AD=AB,∠B=∠BAD=90°， 又AE=BF, .△BAF≌△ADE(SAS) .'DE=AF; (2)解：.△BAF≌△ADE, ∴.∠BAF=∠ADE, .∠AED+∠ADE=90°， ∴.∠AED+∠BAF=90°， ∴.∠EGF=∠AED+∠BAF=90° 20.(1)解：分别以点B,C为圆心，OC,OB的长为半径画弧，两弧交于点P, ∴.BP=OC,CP=OB, ∴.四边形BOCP是平行四边形； (2)解：AC I BD且AC=BD,理由如下： ,四边形ABCD是平行四边形， ∴.AC=2OC,BD=2B0, AC=BD ∴.OC=BO ,AC⊥BD ∴.∠B0C=90° .平行四边形BOCP是正方形. 21.(1)解：四边形BEGF是正方形，理由如下： D E G ,将Rt△ABE点B按顺时针方向旋转90°， ∴.△ABE≌△CBF∠EBF=90° ∴.∠AEB=∠CFB=90°BE=BF .'∠BEG+∠AEB=180° ∴.∠BEG=180°-∠AEB=90° .∴.∠BEG=∠EBF=∠BFG-90°， ·四边形 EGF 是矩形， 又BE=BF, 心四边形 EGF 是正方形； (2)解：如图，过点D作DH⊥AE于H, D H ,四边形ABCD是正方形， AD=AB∠DAB=90° .∴.∠DAH+∠EAB=90°， .·DH⊥AE .∠AHD=90° ∴.△ADH≌△BAE(AAS) ·'.∠ADH+∠DAH=90°， ∴∠ADH=∠EAB, 又：AD=AB,∠AHD=∠AEB=90°， .△ADH≌△BAE(AAS) .AH=BE=GF=3 DH=AE .CG=1 .DH=AE=CF=3+1=4 ,EH=AE-AH=4-3=1 在R△DEH中，DE=VDH+HE=V军+F=而 22.(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.∠D=∠DAF=90° 由对折可知∠AFE=∠D=90°， 六四边形MDEF 为矩形. 又由对折可知AF=AD, 小四边形ADEF为正方形： (2)解：△GFC是等腰直角三角形.理由如下： 由(1)知，四边形ADEF为正方形， ∴.AF=AD=BC 在△AGF与△BFC中， AG=BF ∠GAF=∠FBC=90° AF=BC ∴.△AGF≌△BFC(SAS) ∴.GF=CF,∠AFG=∠BCF :∠BCF+∠BFC=90° ∴.∠AFG+∠BFC=90° .∠GFC=90° .∴△GFC 是等腰直角三角形. 23.(1)解：(1)由题意补全图形如下： D A M F H 图1 作点D关于射线CN的对称点E, ∴.DC=CE,∠DCN=∠ECN=a 四边形ABCD是正方形， ∴.∠BCD=90°，BC=CD .BC=CE 2CBE=∠CEB=x[80-(00+2a]=459-a, ∴.∠EFN=∠ECN+∠CEB=a+45°-au=45° 故答案为：45； (2)BF=2CF+EF, 证明：过点C作CH⊥CF,交BE于点H, :∠EFN=45o .∠CHF=45° ∴.∠BHC=∠EFC=135o .BC=CE ∴.∠CBH=∠CEF ∴.ACBH≌ACEF(AAS) ..CH=CF BH=EF ..CH=2CF .BF=BH +HF=EF+2CF (3)由对称可知∠CE=90°， FM=4,∠EFN=45° .EF=2FM=42 当0°<a<45°时，如图，由(2)可知BF=EF+V2CF=4V2+2V2=62: D A M E G B 当45°<a<90°时，如图， A D B 图2 同理可得BF=EH=EF-V2CF=4v2-2√2=22， 综上所述，BF的长为2V2或62. 24. 解：(1)AD⊥BE,AD=BE, CE=CD,CB=CA, .∠ACB=∠DCE=90°， ∴.∠ACD=∠BCE,∠A=∠ABC=45°， △ACD≌△BCE(SAS) ∴AD=BE,∠CBE=∠A=45°， .∠ABE=∠CBE+∠ABC=9O°，即AD⊥BE; (2)解：①连接CF交DE于O,则AC=BC=6,∠ACB=90°， AB=AC2+BC2=62+62=6v2 BD=65-,且4D=BE=x,∠D8E=90°， :DE2=BD2+BE2=(62-x+, 点F与点C关于DE对称， ∴.DE垂直平分CF, ∴.CE=EF,CD=DF, .CD=CE, ∴.CD=DF=EF=CE .∠DCE=90° 四边形CDFE是正方形， 5ae=DE2-[65-+r-r-6w2x+36, 故答案为：x2-62x+36: B ②过D作DH⊥AC于H,则△ADH是等腰直角三角形， AH-DHAD 2， CH=6- -x 2, 连接OB,由直角三角形性质得OB=OE=OD=OC=OF, ∴.OB= ∴.∠CBF=90° .BC=6,BF =2 .CF=BC2+BF2=210 则D-cr=2w5 2 .CH2+DH2=CD2 6-, 解得x=4V2或x=2V2, ∴AD=4V2或2W2.