21.1 二次函数&21.2 第1课时二次函数y=ax2的图象和性质-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(沪科版·新教材)

第21章二次函 21.1二次函数 1.C当a=0时，y=ax2+bx十c不是二次函数；y= x2+1中1不是整式，不是二次函数；y=4(x-1)2= 4x2-8x+4,是二次函数；y=(x+1)2-x2=2x+1,是一 次函数，不是二次函数 2.y=-x2+22x:AB=xm,∴.AD=(20+2)-x= (22-x)m.:AB边的长为xm,车棚面积为ym,∴.y 与x之间的函数表达式为y=x(22-x)=一x2十22x. m2-2m-1=2, 3.(1)由题意，得 .m=3.(2)由 m2十m≠0， (1),得该二次函数的表达式为y=12x2一2，故二次项系数 是12，一次项系数是0，常数项是一2. 易错警示 忽略二次函数成立的条件而致错 考虑二次函数时，容易忽略二次项系数不为0 4.y=-20x+1800W=-20x2+3000x-108000由 题意，知平均每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)之 间的函数表达式为y=200+20(80一x).整理，得y= 一20z十1800.平均每月的销售利润W(元)与每件的售价 x(元)之间的函数表达式为W=(x一60)（一20x+1800). 整理，得W=一20x2+3000x-108000. 5.由题意可知，y=(20一x)(35一2x)=2x2一75.x十700. x0, 由题意，得20-x>0,解得0<x<17.5..y关于x的 35-2x>0. 函数表达式为y=2x2一75.x十700，自变量x的取值范围 是0x<17.5. 21.2二次函数的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2的图象和性质 1.B函数y=一3x2是二次函数，且一3<0，∴.二 次函数的图象开口向下，顶点在原点(0,0)，对称轴是 y轴，故B正确.当x=0时y=0,故A错误.当x<0时， y随x的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小，故 C错误.函数图象位于第三、四象限，故D错误. 2.B D 数与反比例函数 思路导引 思路一 代入自变量的值 判断 思路二 利用对称性将点转化到 利用函数的 抛物线对称轴的一侧 增减性判断结果 思路三 判断各，点到 开口向上的抛物线上的，点距 对称轴的距离 离对称轴越近则函数值越小 解法一：将点A,B,C的横坐标分别代入y=mx2,得a= 4m,b=m,c=9m..'m>0,∴.m<4m<9m,即b<a<c. 解法二：根据二次函数图象的对称性知，点C(3,c)关于y轴 的对称点C的坐标为（一3，c).m>0,∴.该函数的图象开 口向上，则当x<0时，y随x的增大而减小.一3<一2< 一1，…∴.b<a<c.解法三：抛物线y=m.x2(m>0)的对称轴 为y轴，点A,B,C到y轴的距离分别是2,1,3.抛物线 开口向上，∴.离y轴越近，函数值越小..b<a<c. 3.0.5(答案不唯-)将x=-2代入y=ax2,得y=4a; 将x=3代入y=a.x2,得y=9a.根据图象可知，当x=一2 时，y=4a<3;当x=3时，y=9a>4,则有 4a∠3·解得 (9a>4, 号<a<子.a的值只要在这个范围内就行，如4-0.反 4 4.(1):函数y=(m十2)x2+m1是y关于x的二次函 m2+m-4=2, 数， 解得m=2或m=一3.∴.m的值 {m+2≠0， 为2或-3.(2)当m=2时，函数为y=4x2,其图象开口 向上，此时抛物线有最低点，当x<0时，y随x的增大而 减小.(3)当m=一3时，函数为y=一x2,其图象开口向 下，此时抛物线有最高点，最高点的坐标为(0,0)，当x<0 时，y随x的增大而增大. 5.C当k>0时，二次函数y=kx2的图象开口向上，一 次函数y=kx一2的图象经过第一、三、四象限，故B,D不 符合题意；当k<0时，二次函数y=kx2的图象开口向下， 一次函数y=kx一2的图象经过第二、三、四象限，故A不 符合题意，C符合题意 61<< 由题图可知，抛物线y=3x2的开口最小， 抛物线y=(k一2)x2的开口其次，抛物线y=(1一k)x2的 |k-2|<3, 开口最大， 11-k<|k-2. 抛物线y=(1一k)x2, y=(k一2)x2的开口向下，∴.k一2<0,1一k<0,则 0<2-k<。1k<2 0>1-k>k-2. 方法归纳 抛物线y=ax2中a的取值与开口的关系 对于抛物线y=ax2,a的正负决定抛物线的开口方 向，|a的大小决定抛物线的开口大小，a越大，开口越 小；a越小，开口越大」 7.(1)过点P作PB⊥y轴于点B.设点P的坐标为 (a.).PM-Pr-+1PB=lal. R△PBF中，BF=VPF-pB=√(a+)-laP- 子a2-1.:OB=子a,F为定点心易得点F的坐标 为(0,1.(2)：PM=PF,∴QP+PF的最小值为 QP+PM的最小值.易知当Q,P,M三点共线时，QP+ PM有最小值，最小值为点Q的纵坐标的绝对值与点M 的纵坐标的绝对值之和.∴.QP+P℉的最小值为|5十 -1=6. 8D0,.根据题意得y-子，则。-子品 1.∴.点F的坐标为(0,1).(2)由题意可知，抛物线y= 的对称轴是y轴，焦点为F,经抛物线反射后所得 1 的光线平行于抛物线的对称轴，即经抛物线反射后所得的 光线平行于y轴..AM∥y轴.AM所在的直线与x轴 的交点坐标为(4,0)，∴.点A的横坐标为4，纵坐标为y 点A的坐标为(4,4).①经抛至 得的光线平行于y轴，∴.BP∥y轴.画出沿射线FB方向 射出的光线的反射光线BP如图所示.②设直线AB对 应的函数表达式为y=kx十b(k≠0).把A(4,4),F(0,1) 4k十b=4, .3 代入，得 解得 b=1, k=1'.直线AB对应的函数 b=1. y= 表达式为y= 4x+1.联立 整理得x2 3 y=4x+1, 3x一4=0，解得x1=一1，x2=4.点B在y轴的左侧， ∴.点B的横坐标为一1.：BP∥y轴，∴.BP所在直线与 x轴的交点坐标为（一1,0） (第8题) D 第2课时二次函数y=ax2+k的图象和性质 1.B一20，.该抛物线开口向下.故A错误.抛 物线y=一2x2十4的对称轴为直线x=0,∴.当x>0时， y随x的增大而减小，当x<0时，y随x的增大而增大，当 x=0时，y取得最大值4.故B正确，C错误.若一2<x≤ 1,则当x=一2时，y取得最小值，最小值为一4；当x=0 时，y取得最大值，最大值为4.∴.当一2<x≤1时，y的取 值范围是一4<y≤4.故D错误 2.C函数y=ax2十2图象的顶点坐标为(0,2)，故A,B 不符合题意.由C,D中二次函数的图象可得，a<0, ∴.一a>0.∴.函数y=ax一a的图象过第一、二、四象限. 故C符合题意，D不符合题意。 3.-4 思路导引 函数有最大值 m+1<0 已知 m=-4 图象平移过原点 m-9-7=0 ,二次函数y=(m十1)x2十m2一9有最大值，.函数图 象开口向下.∴.m十1<0，即m<一1.将原二次函数图象 向下平移7个单位长度后，得y=(m+1)x2十m2一9一7， 即(m+1)x2十m一16的图象.：该函数图象过原点， ∴.m2-16=0,即m=±4.又m<-1,.m=-4. 方法归纳 二次函数y=ax2十k与y=ax2图象之间的关系 二次函数y=ax2十k与y=ax2的图象形状相同， 只是位置不同.抛物线y=ax2十k可由抛物线y=a.x 沿y轴向上（下）平移k|个单位长度得到.当>0时， 将抛物线y=a.x2沿y轴向上平移k个单位长度可得到 抛物线y=ax2十k;当k<0时，将抛物线y=ax2沿 y轴向下平移k个单位长度可得到抛物线y=ax2十k. 4.10抛物线y=ax2+5与y轴交于点A,∴.点A的 坐标为(0,5.在y-号x2中，当y=5时，5=号2，解得 x=士5，.点B的坐标为（一5,5），点C的坐标为(5,5). .BC=5-(-5)=10. 5.(1):二次函数y=a.x2+2的图象经过点(1，一1)， ∴.a十2=一1，解得a=一3.∴.该二次函数的表达式为 y=一3x2+2.(2)该函数的图象如图所示.(3)由(2) 中的函数图象可知，此函数图象的开口向下，对称轴为直 线x=0,顶点坐标为(0,2).（4)当x=一2时，y1= -3×(-2)2+2=-10;当x=-1时，y2=-3×(-1)2+ 2第21章二次函数与反比例函数 21.1二次函数 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2025合肥庐阳期中]下列y关于x的函数中，一定属于二次函数的是 () A.y=ax2+bx+c B.y=x2+1 C.y=4(x-1)2 D.y=(x+1)2-x2 2.舒境生活卖际如图，某小区计划用总长为20m的铁栅栏围成一个两边靠 墙的矩形车棚ABCD(墙足够长)，为了方便停车，在BC(BC>2m)边上开了 一个2m宽的门EF(门不是用铁栅栏做成的).设AB边的长为xm,车棚面 积为ym2,则y与x之间的函数表达式为 (第2题) 3.易错题已知函数y=(m2十m).xm2-2m-1+(m一3)x十m2-11是关于x的二次函数. (1)求m的值. (2)写出二次项系数、一次项系数及常数项. 扫二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 4.某商场销售某种品牌童装，每件的进价为60元，市场调研表明：在一个阶段内销售这种童装，当 售价为每件80元时，平均每月售出200件；每件的售价每降低1元，平均每月多售出20件.这种 童装在这个阶段内，平均每月的销售量y(件)与每件的售价x(元)之间的函数表达式为 ;平均每月的销售利润W(元)与每件的售价x(元)之间的函数表达式为 5.如图，在一块长为35m、宽为20m的矩形空地上修建两条倾斜的小路，剩余部分修建花坛，其中 一条小路的出入口宽度是另一条的两倍.设较窄的一条小路的出入口宽度为x,花坛面积为 ym,求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围. 单位：m 35 (第5题) :注：标“易错题”的设有“易错警示”，标“★”的题目设有“方法归纳”，详见分册“答案与解析”. “答案与解析”见D1 拔尖特训· 数学（沪科版）九年级上 21.2 二次函数的图象和性质 第1课时」 二次函数y=ax2的图象和性质 一阶·基础通关 融通新授知识，夺实双基▲ 1.关于函数y=一√3x2,下列说法正确的是 () A.无论x取何值，y>0 B.其图象的对称轴是y轴 C.y随x的增大而减小 D.其图象在第二、四象限 2.一题多解若点A(-2,a),B(-1,b),C(3,c)都在二次函数y=mx2(m>0)的图象上，则a,b,c 的大小关系是 () A.c<a<b B.b<a<c C.a<b<c D.c<b<a 3.舒考向开放性问题在平面直角坐标系中，点A(一2,3)，B(3,4),函数y=αx2的图象如图所示， 则a的值可以为 B -43-2i,01234x (第3题) 4.已知函数y=(m十2).xm+m-4是y关于x的二次函数. (1)求m的值. (2)当m为何值时，此抛物线有最低点？这时，当x取何值时，y随x的增大而减小？ (3)当m为何值时，此抛物线有最高点？最高点的坐标是多少？这时，当x取何值时，y随x的 增大而增大？ 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能。 5.在同一平面直角坐标系中，二次函数y=kx2(k为常数，且k≠0)和一次函数y=k.x一2的图象 可能是 () 2 第21章二次函数与反比例函数 6.*教材变式题[2025合肥庐阳段考]如图所示为抛物线y=3.x2,y=(1 1y=3x k)x2,y=(k一2)x2,则k的取值范围是 7.已知P为抛物线y}上一动点，直线1经过y轴上一点N,且平行于 y=(1-k)x y=(k-2)x x轴，点N的坐标为(0，一1)，过点P作PM⊥L于点M. (第6题)》 (1)如图①，在对称轴上存在一定点F,使得PM=PF恒成立，求点F的坐标 (2)如图②，在(1)的条件下，若点Q的坐标为(1,5)，求QP十PF的最小值 ① ② (第7题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 8.舒情境学科融合探照灯的内部可以看成是抛物线的一部分经过旋转得到的抛物曲面.其原理是 过某一特殊点的光线，经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，我们称这个特殊点为 抛物线的焦点若抛物线对应的函数表达式为y=a,则地物线的焦点为6，) 如图，在平面 直角坐标系巾，抱物线对应的函数表达式为y=,焦点为F (1)点F的坐标是 (2)过点F的直线与抛物线交于A,B两点，已知沿射线FA方向射出的光线，反射后沿射线 AM射出，AM所在直线与x轴的交点坐标为(4,0). ①画出沿射线FB方向射出的光线的反射光线BP. ②求BP所在直线与x轴的交点坐标 0 (第8题) “答案与解析”见D1 3