1.4 第1课时正方形的性质-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

拔尖特训：数学（北师版）九年级上 4正方形的性质与判定 第1课时 正方形的性质 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基山 1.[2025自贡中考]如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B(0, 一2).若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形A'BCD',则点D'的坐标为() A.(-3,5) B.(5,-3) C.(-2,5) D.(5,-2) D'- C' A' (第1题) (第2题) 2.[2024吉林中考]如图，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是OA的中点，F是OD 上点，连接ER.若∠P0=5.则瓷的值为 3.如图，E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，BD=10,DE=BF,连接AE,AF,CE,CF. (1)求证：△ADE≌△CBF. (2)若四边形AECF的周长为4√34，求EF的长. (第3题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 4.*如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交于点O,M是边AD上一点，连接OM,过点O作ON⊥ OM,交CD于点N.若四边形MOND的面积是1，则AB的长为 () A.1 B.√2 C.2 D.22 M (第4题) (第5题) 5.[2025大庆中考]如图，在正方形ABCD中，AB=3√2，点E,F分别在线段AB,BC上，AE CF=√2，连接EF,AC.过点E,F分别作线段AC的垂线，垂足分别为G,H.动点P在△ACD 内部及边界上运动，四边形EFHG,△PEG,△PEF,△PFH,△PGH的面积分别为S。,S1, 10 第一章特殊平行四边形 S2,S3,S4,若点P在运动过程中始终满足3S。=S1+S2十S3十S4,则满足条件的所有点P组成 的图形长度为 () A.2 品 C.4 D.2π 6.[2025北京中考]如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE,垂足为F.若 AB=1,∠EBC=30°，则△ABF的面积为 7.(1)如图①，四边形ABCD是正方形，点E在正方形ABCD内部，△CBE是等边三 角形，求∠AEB的度数 (第6题) (2)如图②，四边形ABCD是正方形，点E在正方形ABCD外部，△CBE是等边三角形，连接 AE,DE,AC,DE与AC交于点F,连接BF. ①∠AEB的度数为 ;②求证：BF垂直平分AE. ② (第7题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 8.考向探究题小红在学习了正方形的性质后，进一步进行了以下探究活动：在正方形ABCD的 边BC上任意取一点G,以BG为边向外作正方形BEFG,将正方形BEFG绕点B顺时针旋转. (1)如图①，当BG在BC上时，连接DF,AC相交于点P,小红发现P恰为DF的中点.针对小 红发现的结论，请给出证明. (2)如图②，在(1)的条件下，连接EG并延长，与DF相交，小红发现交点恰好也是DF的中点 P.根据小红发现的结论，请判断△APE的形状，并说明理由， (3)如图③，将正方形BEFG绕点B按顺时针方向旋转α，连接DF,P是DF的中点，连接AP, EP,AE,则△APE的形状是否发生改变？请说明理由 ② (第8题) 》“答案与解析”见P7的距离为h1.在矩形ABCD中，AB=CD=4,AD=BC=3, ∠BCD=90°.在Rt△BCD中，BD=√/BC2+CD 3+T=5:Sam=BD·A=0CD :认，=3X4,解得A,-导：四边形ABCD为矩形. .CC=OD.Smo=Sm+oODh= 0D·PE+号0C·PF.PE+PF=A=号 (2)PE+PF-号理由：如图②，连接OP,设点0到AD的 距离为h2.,四边形ABCD是矩形，∴.∠ADC=90°，OD 0A=(0C-0BAC=BD=i÷0D=0A=2AC=号，易得 hCD-2 Sow-m+AD,h:= 20D·PE+0A·PF.号×3x2-=×2PE+ 名×号P.PE+PF=a)PE-PpF=如图 ③，连接OP,BP.:S△BPD=S△OD+S△P+S△p, .PE. :2PE=12+PF+PE.PE-PF-2 C ③ (第9题) 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 1.A四边形ABCD是正方形，且边长为5，∴.AB BC=CD=AD=5.,点B(0,-2),.OB=2.∴.OA= AB一OB=3.由旋转的性质得OA'=OA=3,且点A'在 x轴的负半轴上，正方形A'B'CD'的边长为5，∴.点D的 坐标为（一3,5）】 2分：四边形ABCD是正方形，OA=OD,OA上 OD..∠FEO=45°，∴.∠EFO=∠FE0=45°..∴.OE= OF.,E是OA的中点，.F是OD的中点，即EF是△AOD 的中位线EF=号AD.EF-号C,即瓷=之 BC2 3.(1):四边形ABCD为正方形，.AD=BC,BC∥ AD.∴.∠ADE=∠CBF.在△ADE和△CBF中， AD=BC. ∠ADE=∠CBF,∴.△ADE≌△CBF.(2)连接AC DE=BF. 交BD于点O.,四边形ABCD为正方形，BD=10, :BD垂直平分AC,OA=OC=OB=OD=2BD=5. .AF=CF,AE=CE.由(1)可知△ADE≌△CBF, .AE=CF..AF=CF=AE=CE.∴.四边形AECF是 菱形..OF=OE.∴.EF=2OF.,四边形AECF的周长 为4AF=434,∴.AF=34.在Rt△AOF中，由勾股定 理得OF=√AF2-OA2=√(34)2-52=3，.EF= 2OF=6,即EF的长为6. 4C:四边形ABCD为正方形，OD=号BD,OC AC.AC=BD,AC BD,易得/MD0=乙NCO=4 ∴.OD=OC,∠DOC=90°.ON⊥OM,∴.∠MON= ∠DOC=90°.，.易得∠MOD=∠NOC.,.△OMD≌ △ONC.∴.SAOD=S△OC.∴.S四边形ND=S△OD十 S△DON=S△OC十S△ON=S△c=1.∴.S正方形ABD=4X 1=4.∴.AB=√4=2. 方法归纳 用正方形的旋转对称性解决其旋转问题 正方形每旋转90°便与自身重合，也就是说正方形 是旋转对称图形，旋转中心是两对角线的交，点（中心对 称图形是特殊的旋转对称图形).过旋转中心的每对互 相垂直的直线将正方形分成的四部分全等，恒占正方形 面积的4 5.A在正方形ABCD中，AD=CD=AB=BC=3√2， ∠BAC=∠BCA=45°，∴.AC=√2AB=6.EG⊥AC, FH⊥AC,∴.∠EGA=∠EGC=∠FHC=∠FHG=90°. ∴.∠AEG=∠HFC=45°.∴.△AGE,△HFC为等腰直 角三角形.∴.AG=GE,HC=HF.AE=CF=2,由勾 股定理得AG=GE=HC=HF=1,∴.BE=BF,GH= AC-AG-CH=4.∴.∠BEF=∠BFE=45°. .∠GEF=180°-45°-45°=90°.：∠EGH=∠FHG 90°，∴.四边形GEFH是矩形.∴.S。=EG·GH=1×4= 4.:S1+S2+S3=S。+S4,3S=S1+S2+S3+S4, .S4=4.动点P在△ACD内部及边界上运动，∴.点 P的运动轨迹是△ACD内部及边界上平行于AC的一条 线段MN,则△DMN是等腰直角三角形.如图，取AC的 中点O,连接OD交MN于点Q,则D0=2AC=3, :5,=2×GH0Q=4,GH=400=2D0 OD一OQ=3一2=1..MN=2,即点P组成的图形长度 为2 N (第5题) 6.s 如图，过点F分别作FM⊥BC,FN⊥AB,垂足为 M,N,连接AM,则∠FMC=90°，四边形ABCD为正方 形，∴.∠ABC=90°.∴.∠ABC=∠FMC..AB∥FM. FN=BM.:Sam=)AB·FN,S6w=号AB· BM,∴.S△ABF=S△ABM.,CF⊥BE,垂足为F,AB=1 BC.∠EBC=80∠BFC=90.CF=2BC=2 1 ∠CFM=90°-∠BCF=30..CM=2CF=4 .BM-I-CMSow-oum 0 B M C (第6题) 7.(1):△CBE是等边三角形，四边形ABCD是正方形， ,.AB=BC=BE,∠ABC=90°，∠EBC=60°...∠ABE= 30.∠AEB=号×180-309=75.(2)①15 :△CBE是等边三角形，四边形ABCD是正方形，∴.AB BC=BE,∠ABC=90°，∠CBE=60°.，∴.∠ABE=150° ·∠AEB=∠BAE=专X(180-150=15 ②，·△BCE是等边三角形，四边形ABCD是正方形， .AB=BC=CD,BC=BE=CE,∠DCF=∠BCF= 2∠BCD=45.:CF=CF,.△BCF≌△DCF. .∠CBF=∠CDF..'DC=EC,∠DCE=∠BCD+ ∠BE=90+60°=150..∠EDC=∠DEC=2180° ∠DCE)=15.∴.∠CBF=∠CDF=15°.∠CBE= 60°，∴.∠EBF=75.:∠ABE=∠ABC+∠CBE= 90°+60°=150°，∴.∠ABF=75°=∠EBF.AB=BE, ,∴.BF垂直平分AE. 8.(1)如图①，延长FG,交AC于点H.,四边形ABCD 和四边形BEFG是正方形，.AB=BC=CD,FG=BG, CD∥AE,FGAE,∠ABC=∠CGH=∠BGF=90°.∴.易 得∠ACB=45,CD∥FG.∴.∠CHG=45°=∠ACB, ∠CDP=∠HFP,∠DCP=∠FHP.∴.CG=GH.∴.CG+ BG=GH+FG.∴.BC=FH..CD=FH.∴.△CDP≌ △HFP..DP=FP,即P是DF的中点.(2)△APE 是等腰直角三角形.理由：如图②，延长EG,交AD的延长 线于点M,设DF和EG交于点Q.,四边形ABCD和四 边形BEFG是正方形，.∠BAD=90°，AD=AB,BE= EF,ADBC∥EF,易得∠BAC=∠BEG=45°.∴.∠M= 45°，∠M=∠GEF,∠MDQ=∠EFQ.∴.∠M=∠BEG. .AM=AE..AM-AD=AE-AB,DM BE. ∴.DM=EF.∴.△DQM≌△FQE.∴.DQ=FQ..点Q 和点P重合，即EG与DF的交点恰好也是DF的中点P. ∠BAC=45°，∠BEG=45°，∴.∠APE=90°，AP= EP.∴.△APE是等腰直角三角形.(3)△APE的形状 不发生改变，仍然是等腰直角三角形.理由：如图③，延长 EP至点Q,使PQ=PE,连接DQ,AQ,延长DA,FE,交 于点N.P是DF的中点，∴.DP=PF.又：∠DPQ= ∠FPE,∴.△PDQ≌△PFE.∴.DQ=FE,∠PQD= ∠PEF.∴.DQ∥EF.∴.∠N+∠ADQ=180°.，四边形 ABCD和四边形BEFG是正方形，∴.∠BAN=∠DAB= 90°，∠BEN=∠BEF=90°，AB=AD,BE=EF.∴.∠N+ ∠ABE=360°-∠BAN-∠BEN=360°-90°-90°= 180°，DQ=BE..∠ABE=∠ADQ..△ADQ≌ △ABE.∴.AQ=AE,∠DAQ=∠BAE.∴.∠BAE十 ∠BAQ=∠DAQ+∠BAQ=∠BAD=90°.∴.∠QAE= 9O.AP⊥EQ,AP=PE=2EQ.△APE是等腰直 角三角形 ① ② 0 D N ③ (第8题) 第2课时正方形的判定 1.D由作图知AD=BC,CD=AB,∴.四边形ABCD是 平行四边形.：∠A=90°，∴.四边形ABCD是矩形.添加 ∠ABC=90°，不能判定四边形ABCD是正方形. 2.答案不唯一，如①②：四边形ABCD是平行四边形， AC⊥BD,∴.四边形ABCD是菱形.，AC=BD,∴.四边 形ABCD是正方形.·四边形ABCD是平行四边形 AC⊥BD,∴.四边形ABCD是菱形.：'∠ADC=90°， ∴.四边形ABCD是正方形.正确的组合是①②或①③. 3.(1)当△ABC满足AC=AB时，四边形ADCF为正方 形.理由：：∠CAB=90°，AC=AB,AD是BC边上的中 线，.AD=CD=BD,AD⊥BC.:四边形ADCF是平行 四边形，且AD=CD,∴.四边形ADCF是菱形.：AD⊥ BC,∴.四边形ADCF为正方形.(2)由(1)，得∠ADB= 90°.：AD=BD,AB=6√2，∴易得AD=BD=AF=6. :四边形ADCF为正方形，∴.∠FAD=90°，AF∥CD.在 「∠AEF=∠DEB, △FAE和△BDE中，∠FAE=∠BDE=90°，.△FAE≌ AF=DB. △BDE.AE=DE=号AD=号×6=3，EF=BE. ∴.EF=BE=√AF2+AE=35. 4.A四边形ABCD是正方形，∴.∠C=90°，AD= DC,∠CBG=∠CDG=∠ADG=45°.，GE⊥CD于点 E,GF⊥BC于点F,∴.∠GEC=∠GED=∠GFC= ∠GFB=90°.∴.四边形GFCE是矩形，∠EGD=∠EDG= 45°，∠FGB=∠CBG=45°.∴.DG=√2GE,BG=2GF. :G为BD的中点，.DG=BG..GE=GF..四边形 GFCE是正方形，故①正确.连接GC,:'四边形GFCE是 矩形，∴.EF=GC.在△ADG与△CDG中， (AD=CD. ∠ADG=∠CDG,∴.△ADG≌△CDG.∴.AG=GC. DG=DG, .AG=EF,故②正确.，∠EGD=∠EDG=45°， .GE=ED.四边形GFCE是矩形，.GF=CE. ∴.GE+GF=ED+CE=CD=4,即GE+GF的值为定值 4,故③正确.：EF=GC,.当CG最小时，EF最小 ∴.当CG⊥BD时，CG最小.在Rt△BCD中，BD= VCD+BC=42,:Sam=2BD·0G=BC· CD,∴.42CG=4×4..CG=22.∴.线段EF的最小 值为2√2，故④错误.∴.正确的有①②③. 5.A过点O作OH⊥BC于点H.:四边形ABCD是矩 形，.AD∥BC,∠ABC=90°.EF∥AB,∴.四边形 ABFE是矩形.又，'AE=AB,∴.四边形ABFE是正方 形.∴EF=BF,∠BOF=90°，OB=OF.∴.BH=HF= OH=号BF=号ER.:BF=2CF,易得CH=20H. .OC=OH2+CH2=/50H,20C=/5EF. 6.90 思路导引 CE,CF为∠ACB,∠ACD的平分线 MNI∥BC ∠ACE=∠BCE ∠FEC=∠BCE ∠ACF=∠DCF ∠EFC=∠DCF OE=OC,OC=OF OA=OC OE=OF ∠ECF=909 四边形AECF为平行四边形 若∠ACB=90°，则易知CE=CF四边形AECF为矩形 四边形AECF为正方形