1.2 第2课时菱形的判定-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

拔尖特训·数学（北师版）九年级上 第2课时 菱形的判定 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.依据所标数据，下列四边形中不一定为菱形的是 () 5 5 5命 70 59 A. B. C D. 2.考向探究题如图，小美同学按步骤作四边形ABCD:①画∠MAN;②以，点A为圆心，1个单 位长度为半径画弧，分别交AM,AN于点B,D:③分别以点B,D为圆心，1个单位长度为半径 画弧，两弧交于点C;④连接BC,CD,BD.若∠A=44°，则∠CBD的度数是 () A.64° B.66° C.68° D.70° D N (第2题) (第3题) 3.如图，在△ABC中，D,E分别为AB,BC的中点，过点E作EF∥AB,交AC于点F,连接AE, 有以下条件：①AB=AC;②AE平分∠BAC;③DE=BE;④AE⊥BC.其中，能使四边形 ADEF为菱形的是 .(填序号) 4.[2025徐州中考]如图，在□ABCD中，E为BC的中点，EF⊥AC于点G,交AD于点F,AB⊥ AC,连接AE,CF.求证：(1)△AGF≌△CGE.(2)四边形AECF是菱形， (第4题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.考向探究题如图，在□ABCD中，AD>AB,∠ABC为锐角，将△ABC沿对角线AC边平移， 得到△A'BC',连接AB'和C'D,若使四边形AB'CD是菱形，需添加一个条件，现有三种添加 方案，甲：AB'=DC;乙：BD⊥AC;丙：∠ACB=∠A'CD.其中，正确的方案 () A.只有甲 B.只有甲、乙 C.只有乙、丙 D.有甲、乙、丙 B B' (第5题) 4 第一章特殊平行四边形 6.[2025四川期中]如图，在Rt△ABC中，AB=CB,BE⊥AC,∠BAC的平分线AD交BE于点 G,BO⊥AD于点O,交AC于点F,连接GF,DF.①∠BGD=65°；②四边形BDFG是菱形； ③CE=(W2十1)GE;④S四边DE=S△AB.上述结论中正确的个数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 (第6题) (第7题) (第8题) 7.如图，在四边形ABCD中，E,F分别是AD,BC的中点，G,H分别是BD,AC的中点，依次连接 点E,G,F,H得到四边形EGFH,要使四边形EGFH是菱形，可添加条件： 8.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD交于点O,E为CD的延长线上一点，且CD= DE,连接BE,分别交AC,AD于点F,G,连接AE,OG.有下列结论：①OG=2AB;②与 △DEG全等的三角形共有5个：③四边形ODEG与四边形OBAG面积相等；④由点A,B,D, E构成的四边形是菱形.其中，正确的是 (填序号). 9.[2025大庆中考]如图，在四边形ABCD中，ABCD,对角线AC与BD相交于点O,点B,D关 于AC所在直线对称. (1)求证：四边形ABCD是菱形 (2)过点D作BC的垂线交BC延长线于点E.若CE=3,AD=5,求线段OC的长 (第9题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维。 10.探究题如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分线，P是AD上任 意一点，过点P作EF∥AB,分别交BC,AC于点E,F,过点P作PM∥AC,交AB于点M. (1)求证：四边形PFAM为菱形 (2)当四边形PFAM的面积为四边形BEFM面积的一半时，猜想线段AP与AD之间的数量 关系，并证明你的结论 B E D (第10题) “答案与解析”见P2 58.√I3解法一：在菱形ABCD中，对角线AC与BD相 交于点0，AC=8,BD=12,0A=2AC=4,0B= BD=6.AC BD.AE=2.OE=OA-AE=4 2=2.取OE的中点H,连接GH.,G为BE的中点，H为 OE的中点，GH是△EB0的中位线.∴.GH=2OB 3,GH∥OB...∠GHE=∠BOA=90°..OF=1, :Hf=0H+0F=20E+0F=号×2+1=2在 Rt△GFH中，由勾股定理得GF=√GH+HF= √32+2=√I3.解法二：在菱形ABCD中，对角线AC 与BD相交于点O,AC=8,BD=12,AE=2,OF=1, ..OB=6,0C=4...CE=8-2=6,CF=C-OF=4- 1=3.∴.F为CE的中点.又：G为BE的中点，∴GF为 △BCE的中位线..BC=/62+4=213,∴.FG=/13. 9.(1)四边形ABCD是菱形，A,B分别是CE,CF的 中点，.AB=BC,AB是△CEF的中位线，CF=2BC ∴.EF=2AB.∴.EF=CF.∴.△EFC是等腰三角形. (2)连接BD交AC于点O.,四边形ABCD是菱形， ·ACLBD.A0=C0=2AC=3,B0=D0.又：AC= AE=6,.∴.EO=AE+AO=6+3=9.在Rt△BOE中，BE= √85，由勾股定理得B0=√BE-O=√(85)-9= 2.BD=2BO=4..菱形ABCD的面积=2AC·BD= 2×6x4=12 10.(1)当点N恰好与点O重合时，，四边形ABCD是 菱形，.BC=CD,OB=OD.·∠BCD=60°，，.△BCD 是等边三角形.∴.∠CBD=60°.：MN=BN,∴.△BMN 是等边三角形.，∴.∠BNM=60°.，.∠DNM=180° ∠BNM=120.又·MN=BN,BN=DN,∴.DN= MN.·∠DN=2180-∠DNMW=专×(180 120°)=30°.(2)当点N在AC上运动时，∠DMN的度 数不会发生变化，始终等于30°.理由：连接BD交AC于点 O,连接DN,,·四边形ABCD是菱形，.AC是BD的垂 直平分线.，∴.BN=DN.设∠NBO=∠NDO=a,由(1)可 知，△BCD是等边三角形，∠DBC=60°，依题意有以下两 种情况：①当点N在线段OA上时，如图①，∠NBM ∠DBC+∠NBO=60°+a,,MN=BN,∴.∠NMB= ∠NBM=60°+a.在△NBM中，，∠BNM+∠NMB+ ∠NBM=180°，.∠BNM+60°+a+60°+a=180°. ∴.∠BNM=60°-2a.:AC⊥BD,∠NBO=∠NDO= a,∴.∠BNO=∠DNO=90°-a.∴.∠MNO=∠BNO- ∠BNM=90°-a-(60°-2a)=30°+a.∴.∠MND= ∠MNO+∠DNO=30°+a+90°-a=120°.：BN=DN, MN=BN,MN=DN.÷∠DMN=I80°- ∠MND)=号×(180-120)=30：.@当点N在线段0C 上时，如图②，∠NBM=∠DBC一∠NBO=60°-a, MN=BN,∴.∠NMB=∠NBM=60°-a.在△NBM 中，.'∠BNM+∠NMB+∠NBM=180°，∴.∠BNM+ 60°-a+60°-a=180°.∴.∠BNM=60°+2a.:AC⊥ BD,∠NBO=∠NDO=a,∴.∠BNO=∠DNO=90°-a. ∴.∠MNC=180°-（∠BNO+∠BNM0=180°-(90°-a+ 60°+2a)=30°-a.∠CND=180°-∠DN0=180° (90°-a)=90°+a,∴.∠MND=∠MNC+∠CND= 30°-a+90°+a=120°.：BN=DN,MN=BN,∴.MN= DN.∠DMN=180-∠MND)=2×(I80 120)=30°.综上所述，当点N在AC上运动时，∠DMN 的度数不会发生变化，始终等于30°. D ① ② (第10题) 第2课时 菱形的判定 1.C选项A,32十42=52，可推出四边形的对角线互相垂 直，且对角线互相平分，判定四边形是菱形；选项B,四边形 的四条边相等，判定四边形是菱形；选项C,四边形的对角 线互相平分，只能判定四边形是平行四边形，不能判定四 边形是菱形；选项D,由同旁内角互补，得到四边形的两组 对边平行，而四边形的邻边又相等，由此可判定四边形是 菱形 2.C作图可得AB=AD=BC=DC,∴.四边形ABCD 是菱形.∴.AD∥BC,∠ABD=∠CBD.由条件可得 ∠MBC=∠A=4.∠CBD=2×(180°-4)=68. 3.①②④当AB=AC时，：D,E分别为AB,BC的中 DE-AC-AB-AD.DE/AF.EF/AB. .四边形ADEF是平行四边形.∴.四边形ADEF是菱 形，①正确.当AE平分∠BAC时，同理四边形ADEF是 平行四边形，根据题意得∠DEA=∠EAF=∠DAE, AD=DE.∴.四边形ADEF是菱形，②正确.当DE= BE时无法判定四边形ADEF是菱形，③错误.当AE⊥ BC时，DE=号AB=AD,同理四边形ADEF是平行四边 形，.四边形ADEF是菱形，④正确. 4.(1):AB⊥AC,E为BC的中点，∴.AE=BE=EC. ,EF⊥AC,.EF垂直平分AC.∴.AG=GC.,四边形 ABCD是平行四边形，.AD∥BC.,.∠DAC=∠ACB. 又：∠AGF=∠CGE,∴.△AGF≌△CGE(ASA). (2).△AGF≌△GE,,∴.AF=CE.又.AF∥CE .四边形AECF是平行四边形.又，EF⊥AC,.四边 形AECF是菱形. 5.C根据题意可知AD=B'C,AD∥B'C',∴.四边形 AB'C'D是平行四边形.甲方案，由AB'=DC'不能判定四 边形AB'C'D是菱形.乙方案，，B'D⊥AC',∴.平行四边 形AB'C'D是菱形.丙方案，∠A'CB=∠A'C'D, AD∥B'C',∴.∠DAC'=∠A'C'B'..∠DAC=∠AC'D. ∴.AD=C'D.∴.平行四边形AB'C'D是菱形.正确的方案 只有乙、丙. 6.C在Rt△ABC中，AB=CB,∴.∠BAC=45°.：OA平 分∠BAC,∴.∠BAD=22.5°.∴.∠ADB=90°-22.5°= 67.5.:BE⊥AC,·∠ABG=号∠ABC=45 .∠BGD=∠BAG+∠ABG=22.5°+45°=67.5°，即① 错误.∴.∠BGO=∠BDO.∴.BG=BD.BO⊥AD, .OG=OD.,∠GOB=∠DOB=90°，AD是∠BAC的 平分线，∴.∠BAO=∠FAO..∠ABO=∠AFO.∴.AB= AF..OB=OF.∴.四边形BDFG是平行四边形. DG⊥BF,.四边形BDFG是菱形，故②正确.·四边 形BDFG是菱形，∴.FG=BD,GF∥BC.∴.∠EFG= ∠C=45°，∠EGF=∠EBC=45°.∴.△GEF是等腰直角三 角形.∴.GF=√2GE.设GE=a,则GF=√2a=BD=BG, ∴.CE=BE=EG十BG=(1十√2)a,故③正确.OD= 0G.0F=0B.56s=20D·0F=20G·0B S△GCB.∴.S四边形GDFE=S四边形cE十S△e=S四边形E十 SAE-BE.CE-FES-AE GE=2BE·FE=SA.·SaE=S△，故④正 确.综上，结论中正确的是②③④，即正确的有三个。 7.答案不唯一，如AB=CD:E,F分别是AD,BC的 中点，G,H分别是BD,AC的中点，FH=GE=AB, GF=EH=2CD.当AB=CD时，FH=GE=GF=EH, 此时四边形EGFH是菱形. 8.①③④四边形ABCD是菱形，∴.AB=BC= CD=DA,AB∥CD,OA=OC,OB=OD,AC⊥BD .∠BAG=∠EDG,△ABO≌△CBO≌△CDO≌ △ADO.,CD=DE,∴.AB=DE.在△ABG和△DEG ∠BAG=∠EDG, 中，3∠AGB=∠DGE,∴.△ABG≌△DEG..AG=DG. LAB-DE. :G是△ACD的中位线∴0G-号CD=名AB,放① 正确.：'ABCE,AB=DE,∴.四边形ABDE是平行四 边形.∠BCD=∠BAD=60°，∴.△ABD,△BCD是等 边三角形.∴.AB=BD=AD,∠ODC=60°.∴.易得OD= AG,四边形ABDE是菱形，故④正确.∴.AD⊥BE.由菱形 的性质，得△BGA≌△BGD≌△EGD≌△EGA.在△BGA和 AG-DO. △COD中， ∠BAG=∠CDO,∴.△BGA≌△COD. AB-DC. .∴.△AOB≌△COB≌△COD≌△AOD≌△BGA≌ △BGD≌△EGD≌△EGA,故②不正确.，OB=OD, .S△G=S△G.:四边形ABDE是菱形，S△ABG= S△xE.∴.四边形ODEG与四边形OBAG面积相等，故③ 正确.综上所述，正确的是①③④. 9.(1)点B,D关于AC所在直线对称，∴BD⊥AC, BO=DO.:AB∥CD,∴.∠ABO=∠CDO.在△ABO和 (∠ABO=∠CDO, △CDO中，BO=DO, ∴.△ABO≌△CDO ∠AOB=∠COD. (ASA)..AB=CD.又AB/CD,∴.四边形ABCD是 平行四边形.又·BD⊥AC,∴.四边形ABCD是菱形 (2)由1)得四边形ABCD是菱形，OC=OA=2AC, AD=BC=CD=5...BE=BC+CE=5+3=8..DE BC,∴.∠DEB=90°.在Rt△CED中，由勾股定理，得 DE=√CD2-CE=√52-32=4，在Rt△BED中，由勾 股定理，得BD=√/BE2+DE2=√82+42=4√5】 :S形m=DE·BC,S菱彩D=2AC·BD=OC·BD, :DE·BC=OC·BD.Oc-DE:BC-4X5-5. BD 45 10.(1):EF∥AB,PM∥AC,∴.四边形PFAM为平行 四边形.，AD是∠BAC的平分线，∴.∠CAD=∠BAD. EF∥AB,.∠BAD=∠FPA.∴.∠CAD=∠FPA. .FA=FP.∴.四边形PFAM为菱形.(2)AP 号AD.过点F作FHLBC于点H,设MF与AD交于点 G.由(1)，知四边形PFAM为菱形，.AD⊥MF,AP= 2GP.,·AB=AC,AD是∠BAC的平分线，，.AD⊥BC .MFBC.又·EF∥AB,.四边形BEFM为平行四边 形.SeFw=号MF·AP=MF.GP.SnY MP·FH,当SmEw=2Sw时，GP=?FH. 1 易得GD=FH,GP三2GD..AG=GP=PD :AP-号AD. 3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 1.B在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点， ,.CD是Rt△ABC斜边上的中线.∴.AB=2CD..·CD 1,∴.AB=2.由平移得GE=AB=2. 2.A连接AC,·四边形ABCD是矩形，，AD∥BE, AC=BD,且∠ADB=∠CAD=40°.∴.∠E=∠DAE.又 .BD=CE,∴.CE=CA..∠E=∠CAE.∠CAD= ∠CAE+∠DAE,∴.∠E+∠E=40°，即∠E=20° 3.7,在□ACDF中，小车实际占用位置为矩形 BCEF,∠D=45°，BC=5m,CE=2m,∴.∠A=∠D 45°，BF=CE=2m,∠FBC=90°..∠AFB=∠FBC ∠A=90°-45°=45°..∠A=∠AFB.∴.AB=BF= 2m.∴.AC=AB+BC=2+5=7(m). 4.解法一：如图①，取DE的中点M,连接FM,CM,则FM 为△ADE的中位线.FM/AD/BC,且FM=?AD= 号C又：G为BC的中点0CG=号C0G= FM.∴.四边形CMFG为平行四边形.∴.FG∥CM. ∴.∠FGB=∠MCE.又CM为Rt△CDE的中线， CM=2DE=EM.∠MC=∠McE.又：∠FGB ∠HGE,∠MEC=∠HEG,∴.∠HGE=∠HEG.∴.GH= EH.解法二：如图②，在BC上取一点M,使BM=CE, 连接AM,则易得△ABM≌△DCE,∴.∠AMB=∠DEC. 又，G为BC的中点，.BG=CG..BG-BM=CG CE,即GM=GE.又，F为AE的中点，∴.FG为△AME 的中位线.∴.FG∥AM.∴.∠AMB=∠FGM.又，∠MGF= ∠HGE,∠HEG=∠DEC,∴.∠HGE=∠HEG. ∴.EH=GH. ② (第4题) 5.C,·四边形ABCD是矩形，∠ADB=35°，.AD∥ BC,∠ABC=90°..∠PBF=∠ADB=35.,P是EF 的中点，∴.PB是Rt△BEF的斜边EF上的中线. .PB=PF=PE.∴.∠PFB=∠PBF=35.在△PBF中， ∠BPF=180°-（∠PFB+∠PBF)=110°，.∠DPE= ∠BPF=110° 6.D如图，连接OE交AD于点M,当OF⊥ED时，线段 OF的值最小，，四边形ABCD是矩形，AC=BD, QA-TAC.OD-OB-BD.OD-OA.ADE 是等边三角形，.DE=AE=AD=2,∠DEA=60°. ∴.OE是AD的垂直平分线.∴.∠OEF=30°，DM= 专AD=1.0M=号AB=号X4=2在R△DBM中，BM= √DE2-DM=√22-1平=3，在Rt△OEF中，OE= 8+2,∠0EF=00-0E-8号 2 A (第6题)