1.3 矩形的性质与判定 课后思维训练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

1.3 矩形的性质与判定 课后思维训练2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．下列各选项中，矩形具有而菱形不一定有的性质是（     ） A．对角相等 B．对角线相等 C．邻角互补 D．对角线互相平分 2．如图，矩形的对角线，相交于点，如果，那么的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，对角线，相交于点，若，，则的长为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．矩形相邻两边的长分别为，，设其面积为，则的值（   ） A．在1和2之间 B．在2和3之间 C．在3和4之间 D．在4和5之间 5．如图，四边形是矩形，，两点的坐标分别是，，点在第一象限，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，，点E在上，将矩形沿折叠，点D恰好落在边上的F处，那么的值是（　　） A． B． C． D． 7．在中，，是斜边上的中线，，，则的值是（  ） A． B． C． D．1 8．某商场计划在一块长23米，宽8.8米的矩形空地中，设置两排平行四边形倾斜式停车位若干个（按此方案规划车位，相邻车位间隔的宽度忽略不计）．如图所示，已知规划的倾斜式停车位每个车长5米，宽3米，中间安全空间的距离不小于0.8米，则最多可以设置停车位（   ） A．18个 B．10个 C．9个 D．8个 9．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（     ） A．测量对角线是否相等 B．测量对角线是否互相平分 C．测量是否有三个角相等 D．测量是否有三个角是直角 10．如图，四边形是平行四边形，与相交于点，添加一个条件后，不能判定四边形是菱形的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．四边形中，交于O，给出条件①；②；③；④．其中能推得四边形是矩形的是（填序号）___________． 12．在矩形中，，，，点是边上的动点，将矩形沿折叠，使点落在点处，当为直角三角形时，线段的长为___________． 13．在如图1的矩形中，动点P从B点出发，沿运动至点A停止，设P点运动的路程为x，的面积y，且x与y的关系如图2所示，则的长是_______． 14．矩形中，点在对角线上，过作的平行线交于，交于，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是______． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，，点是线段上一点，过点作轴于点，轴于点．若矩形的周长为8，则点的坐标为_________．    三、解答题 16．如图，与关于点成中心对称，延长至点，使得，连接、、，，求证：四边形是矩形． 17．为实现核心素养导向的学习目标，走向综合性、实践性的课程学习变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“勾股定理在风筝场景中的应用”的项目式学习活动．请阅读资料并解决下列问题． 资料：如图，已知四边形为长方形，点，，，在同一直线上．某小组利用皮尺测得水平距离米，然后根据手中剩余风筝线的长度得出风筝线的长度米，最后测量放风筝的同学的身高米． 数据应用： (1)求此时风筝的垂直高度． (2)若站在点不动，想把风筝沿着的方向从点的位置上升18米到点的位置（上升过程中，线始终保持拉直状态），则还需要放出风筝线多少米？ 18．如图，某课外小组为一幅面积为的画作（图中阴影部分）装裱了衬纸，装裱后整幅图画为矩形，其中，，求边衬（图中空白部分）的面积． 19．平面直角坐标系中，矩形纸片按如图的方式放置．已知，，将这张纸片沿过点B的直线折叠，使点O落在边上，记作点A，折痕与边交于点E． (1)求的长； (2)求点E的坐标及直线的函数关系式； (3)若点P是x轴上的一点，直线上是否存在点Q，能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出相应的点Q的坐标；若不存在，说明理由． 20．在北师大版九上数学课本第12页中，我们一起学习了如下定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． (1)【推理证明】已知：如图1在中，，点是边的中点．求证：． 请你补全证明过程： 证明：如图2，延长至，使，连接，． ∵点是边的中点， ∴ ， 又， ∴四边形是 ， ∴四边形为 ， ， ． (2)【探究问题】如图3，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接，．猜想四边形的形状，并说明理由； (3)【拓展思考】如图4，在四边形中，，点是的中点．若，直接写出的度数． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C C D A B B D C 1．【答案】B 【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明 【分析】根据矩形和菱形的性质，逐项判断各选项是否符合题意即可． 【详解】解：A、矩形和菱形的对角都相等，故此选项不符合题意； B．矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，故此选项符合题意； C、矩形和菱形的邻角都互补，故此选项不符合题意； D、矩形和菱形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意． 2．【答案】D 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角、利用矩形的性质求角度 【分析】根据矩形的性质，等腰三角形性质求解即可． 【详解】解：∵矩形，对角线，相交于点， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 3．【答案】C 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据矩形的性质求线段长 【分析】根据矩形的性质可得，，从而得出是等边三角形，据此计算即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 4．【答案】C 【知识点】无理数的大小估算、二次根式的乘法、根据矩形的性质求面积 【分析】本题考查了矩形，二次根式的乘法，无理数的估算等知识，先根据矩形面积公式和二次根式的乘法法则求出，然后根据“夹逼法”求解即可． 【详解】解∶∵矩形相邻两边的长分别为，， ∴其面积为， ∵， ∴，即， ∴的值在3和4之间， 故选∶C． 5．【答案】D 【知识点】 求矩形在坐标系中的坐标 【分析】根据矩形的性质，结合两点的坐标，即可得出结果. 【详解】解：∵，两点的坐标分别是，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴轴，轴，， 又∵点在第一象限， ∴. 6．【答案】A 【知识点】矩形与折叠问题、求角的余弦值 【分析】本题考查矩形的折叠问题，求角的余弦值，由折叠的性质可得，再根据即可求解． 【详解】解：由折叠得，， 四边形是矩形， ， ， 故选：A． 7．【答案】B 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、求角的正弦值 【分析】本题考查直角三角形性质，求角度的正弦值等．根据题意可得，继而再利用正弦公式即可求出． 【详解】解：∵，是斜边上的中线，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8．【答案】B 【知识点】平行四边形性质的其他应用、利用矩形的性质证明、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意．过点作，交的延长线于点，求出，，进一步求出，从而求出一侧可设5个停车位，再乘以2即可得到结果． 【详解】解，如图，过点作，交的延长线于点， 根据题意得m，m，m， 由勾股定理得，m， 在直角中，， ， ， ， ， ， 在直角中，， ， ， 故取整数5， 另一侧与其对称， ， 故选：B． 9．【答案】D 【知识点】矩形的判定定理理解 【分析】根据矩形的判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：A．对角线相等的四边形不一定是矩形，等腰梯形对角线也相等，故A错误； B．对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B错误； C．三个角相等的四边形不一定是矩形，故C错误； D．有三个角是直角的四边形是矩形，故D正确． 故选：D． 10．【答案】C 【知识点】添一条件使四边形是矩形、添一个条件使四边形是菱形 【详解】解：A、，根据邻边相等的平行四边形为菱形，可以得到平行四边形是菱形，不符合题意； B、，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可以得到平行四边形为菱形，不符合题意； C、，根据对角线相等的平行四边形可以得到矩形，但不是菱形，符合题意； D、∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形，不符合题意； 综上，故选C． 11．【答案】③ 【知识点】证明四边形是矩形、平行四边形性质和判定的应用 【分析】由矩形的判定、平行四边形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可． 【详解】①∵AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； ②， 不能判定四边形ABCD是矩形，不符合题意； ③∵OA＝OB＝OC＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，符合题意； ④， 不能推出四边形ABCD是矩形，不符合题意； 故答案为：③． 【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 12．【答案】或6 【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题 【分析】本题考查的知识点是勾股定理、折叠性质，解题关键是熟练掌握勾股定理和分类讨论． 分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】解：矩形中，，，， ， 由折叠性质可得，，， ，， 分两种情况：①当时，如图， 则，所以点B、、D三点共线， ∴ ∴， 设，， 中，， 即， 解得， ． ②当时 ， 则， ∴四边形是正方形， ∴． 综上，线段的长为3或6． 13．【答案】5 【知识点】从函数的图象获取信息、动点问题的函数图象、根据矩形的性质求线段长 【分析】根据动点P的运动路径，分析的面积y随路程x的变化情况，结合函数图象读取数据计算即可． 【详解】解：由题意可知，当点P在上运动时，的面积y随x的增大而增大， 当时，面积开始保持不变，则此时点P运动到点C，即， 当时，面积开始减小，说明此时点P运动到点D，即， ． 14．【答案】8 【知识点】根据矩形的性质与判定求面积 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵过作的平行线交于，交于， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 15．【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、解一元一次方程（二）——去括号、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】根据题意设，由四边形是矩形，点是线段上一点，进而得，然后，由矩形的周长为8，得关于的方程，解方程可得的值，进而可求得点的坐标． 【详解】解：根据题意设， ∵四边形是矩形，点是线段上一点， ∴， ∵矩形的周长为8， ∴，即，解得， ∴， ∴点的坐标为． 16．【答案】 证明：∵与关于点C成中心对称， ∴， ∴四边形是平行四边形. ∵，且， ∴， 即， ∴四边形是矩形. 【知识点】三线合一、证明四边形是矩形 【分析】本题主要考查了矩形的判定，等腰三角形的性质， 先说明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形的性质可得答案. 【详解】略 17．【答案】(1) (2)米 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）根据长方形的性质得出直角三角形以及线段的长度，然后利用勾股定理求解； （2）利用勾股定理求出，然后求出线段差即可． 【详解】（1）解：∵四边形为长方形， ∴， 由勾股定理得， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 由勾股定理得， ， ∴还需要放出风筝线米． 18．【答案】 【知识点】根据矩形的性质求面积、二次根式的乘法 【分析】先求解矩形的面积，进一步可得边衬的面积． 【详解】解：在矩形中，，， 矩形的面积， 边衬的面积． 答：边衬的面积为． 19．【答案】(1) (2)； (3)或 【知识点】利用平行四边形的性质求解、用勾股定理解三角形、一次函数与几何综合、求一次函数解析式、矩形与折叠问题 【分析】（1）根据矩形性质和折叠性质得到，然后利用勾股定理求解即可； （2）设， 在中，根据勾股定理列方程求得，则，然后利用待定系数法求解即可； （3）先求得，分为①当为平行四边形的对角线时；②当为边时，则与互相平分两种情况求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， 由折叠性质得， ∴； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 设，则， 由折叠知，， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∴，解得， ∴， 设直线的函数关系式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线的函数关系式为； （3）解：存在，由（2）知， ∴， 要能使以A，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形， 有以下两种情况： ①当为平行四边形的对角线时，则， ∵点B，P在x轴， ∴Q的纵坐标等于点A的纵坐标6， ∵点Q在直线上， ∴， ∴， ∴， ②当为边时，则与互相平分， 设， ∴， ∴， ∴， 综上，满足条件的点Q的坐标为或． 20．【答案】(1)证明：如图，延长至，使，连接，． ∵点是边的中点， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形为矩形， ， ． (2)解：四边形是菱形，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，为的中线， ∴； ∵， ∴， ∵点是的中点 ∴ ∴， ∴平行四边形是菱形． (3) 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、证明四边形是菱形、等边对等角、证明四边形是矩形、三角形内角和定理的应用 【分析】（1）根据平行四边形的判定和性质，可得四边形是平行四边形，根据矩形的判定可得，四边形是矩形，推出对角线相等，即可得到； （2）根据平行四边形的判定和性质，可得四边形是平行四边形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推出；，根据菱形的判定，即可； （3）连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，推出，等边对等角，得到，，，根据三角形的外角，求出，，根据三角形的内角和，得到，求出，最后根据，即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：连接， ∵，点是的中点， ∴， ∴，，， 设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $