1.3 第1课时矩形的性质-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

平行四边形.又·BD⊥AC,∴.四边形ABCD是菱形 (2)由1)得四边形ABCD是菱形，OC=OA=2AC, AD=BC=CD=5...BE=BC+CE=5+3=8..DE BC,∴.∠DEB=90°.在Rt△CED中，由勾股定理，得 DE=√CD2-CE=√52-32=4，在Rt△BED中，由勾 股定理，得BD=√/BE2+DE2=√82+42=4√5】 :S形m=DE·BC,S菱彩D=2AC·BD=OC·BD, :DE·BC=OC·BD.Oc-DE:BC-4X5-5. BD 45 10.(1):EF∥AB,PM∥AC,∴.四边形PFAM为平行 四边形.，AD是∠BAC的平分线，∴.∠CAD=∠BAD. EF∥AB,.∠BAD=∠FPA.∴.∠CAD=∠FPA. .FA=FP.∴.四边形PFAM为菱形.(2)AP 号AD.过点F作FHLBC于点H,设MF与AD交于点 G.由(1)，知四边形PFAM为菱形，.AD⊥MF,AP= 2GP.,·AB=AC,AD是∠BAC的平分线，，.AD⊥BC .MFBC.又·EF∥AB,.四边形BEFM为平行四边 形.SeFw=号MF·AP=MF.GP.SnY MP·FH,当SmEw=2Sw时，GP=?FH. 1 易得GD=FH,GP三2GD..AG=GP=PD :AP-号AD. 3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 1.B在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边AB的中点， ,.CD是Rt△ABC斜边上的中线.∴.AB=2CD..·CD 1,∴.AB=2.由平移得GE=AB=2. 2.A连接AC,·四边形ABCD是矩形，，AD∥BE, AC=BD,且∠ADB=∠CAD=40°.∴.∠E=∠DAE.又 .BD=CE,∴.CE=CA..∠E=∠CAE.∠CAD= ∠CAE+∠DAE,∴.∠E+∠E=40°，即∠E=20° 3.7,在□ACDF中，小车实际占用位置为矩形 BCEF,∠D=45°，BC=5m,CE=2m,∴.∠A=∠D 45°，BF=CE=2m,∠FBC=90°..∠AFB=∠FBC ∠A=90°-45°=45°..∠A=∠AFB.∴.AB=BF= 2m.∴.AC=AB+BC=2+5=7(m). 4.解法一：如图①，取DE的中点M,连接FM,CM,则FM 为△ADE的中位线.FM/AD/BC,且FM=?AD= 号C又：G为BC的中点0CG=号C0G= FM.∴.四边形CMFG为平行四边形.∴.FG∥CM. ∴.∠FGB=∠MCE.又CM为Rt△CDE的中线， CM=2DE=EM.∠MC=∠McE.又：∠FGB ∠HGE,∠MEC=∠HEG,∴.∠HGE=∠HEG.∴.GH= EH.解法二：如图②，在BC上取一点M,使BM=CE, 连接AM,则易得△ABM≌△DCE,∴.∠AMB=∠DEC. 又，G为BC的中点，.BG=CG..BG-BM=CG CE,即GM=GE.又，F为AE的中点，∴.FG为△AME 的中位线.∴.FG∥AM.∴.∠AMB=∠FGM.又，∠MGF= ∠HGE,∠HEG=∠DEC,∴.∠HGE=∠HEG. ∴.EH=GH. ② (第4题) 5.C,·四边形ABCD是矩形，∠ADB=35°，.AD∥ BC,∠ABC=90°..∠PBF=∠ADB=35.,P是EF 的中点，∴.PB是Rt△BEF的斜边EF上的中线. .PB=PF=PE.∴.∠PFB=∠PBF=35.在△PBF中， ∠BPF=180°-（∠PFB+∠PBF)=110°，.∠DPE= ∠BPF=110° 6.D如图，连接OE交AD于点M,当OF⊥ED时，线段 OF的值最小，，四边形ABCD是矩形，AC=BD, QA-TAC.OD-OB-BD.OD-OA.ADE 是等边三角形，.DE=AE=AD=2,∠DEA=60°. ∴.OE是AD的垂直平分线.∴.∠OEF=30°，DM= 专AD=1.0M=号AB=号X4=2在R△DBM中，BM= √DE2-DM=√22-1平=3，在Rt△OEF中，OE= 8+2,∠0EF=00-0E-8号 2 A (第6题) 7.48四边形ABCD是矩形，∴.∠BAD=∠ADC= 90°.F,G分别是BE,CE的中点，AF=3,DG=4, .BE=2AF=2×3=6,CE=2DG=2×4=8..'∠AEB= ∠DCE,∴.∠AEB+∠DEC=∠DCE+∠DEC=90°. .∠BEC=180°-（∠AEB+∠DEC)=180°-90°=90° :5x-2BE·CE=号×6X8=24.:SEEm BC·AB=2X7BC·AB=2SAx=2X24=48. a名或背设BE=,则BC=4-云由折，得C EC=4一x.分情况讨论：①当AE=EC'时，AE=4一x. ,四边形ABCD是矩形，∴.∠B=90°.：在Rt△ABE 中，AB+BE2=AE3+2=(4-x,解得x=8 :BE=名.②当AE=AC时，过点A作AHLEC'于点 H,则∠AHE=90°.：四边形ABCD是矩形，∴.∠B= 90°=∠AHE.:EF⊥AE,.∠AEF=∠AEC+ ∠FEC'=90°.∴.∠AEB+∠FEC=90°.由翻折，得 ∠FEC'=∠FEC..∠AEB=∠AEH.:∠B= ∠AHE,AE=AE,∴.△ABE≌△AHE.∴.BE=HE= x.AE=AC',AH⊥EC',.EC'=2HE,即4-x=2x, 解得x=手·BE=专综上所述，当BE=名或号时、 △AEC'是以AE为腰的等腰三角形. 9.(1),·四边形ABCD是矩形，.OA=OC=OB=OD ,CE⊥BD,AG∥BD交CE的延长线于点F,∴.CF⊥ AG.∴.△ACF是直角三角形.∴.OF是Rt△AFC斜边 AC上的中线.∴.BO=OF.(2):FG∥BO,FG=BO, .四边形BOFG为平行四边形.由(1)可知BO=OF, .平行四边形BOFG为菱形 10.(1)连接BD交AC于点O,连接FO.:四边形 ABCD是矩形，∴.∠ABC=90°，AC=BD,AO=CO= 2AC,B0=D0=号BD.A0=C0=B0=D0.又：F 为AE的中点，0为AC的中点F0=2CE.:CE AC,.FO=AO.∴.FO=BO=DO.∴.∠FDO=∠DFO, ∠FBO=∠BFO.又：'∠FDO+∠DFO+∠FBO+ ∠BFO=2(∠DFO+∠BFO)=2∠DFB=180°， ∴.∠DFB=90°，即BF⊥DF.(2)四边形ABCD是 矩形，AD=6,∴.∠ABC=90°，BC=AD=6,AC=BD. ∠ABC=90°，AB=8,BC=6,∴.AC=√AB2+BC2= 10..CE=AC..'.CE=BD=AC=10...BE=CE-BC= 4.∠ABE=180°-∠ABC=90°，∴.AE= √AB2+BE=45.F为AE的中点，∠ABE=90°， BF=号AE=25.由(I,得∠DFB=90.DF= JBD2-BF2=4V5」 方法归纳 直角三角形斜边中线性质的应用技巧 (1)有直角、有中点，作中线，用性质.(2)有直角、 无中点，取中，点，作中线，用性质.(3)有中点、无直角，造 直角，用性质.(4)逆用性质解题， 11.(1),四边形ABCD是矩形，.∠BAD=∠ABC= 90°，AD∥BC,AD=BC.∴.∠ABE=180°-∠ABC=90, ∠ADE=∠CED.:G是DF的中点，.AG=DG=GF. ∴.∠ADE=∠GAD.∴.∠AGE=∠GAD+∠ADG= 2∠ADG.:∠AED=2∠CED,.∠AED=∠AGE. ∴.AE=AG=4.在Rt△ABE中，BE=2,AE=4,∴.由 勾股定理，得AB=√4-2=23.(2)过点G作GH⊥ AB于点H,则∠GHB=90°.：∠DAB=90°，∴.∠DAB= ∠GHB.∴.GH∥AD.:AG=GF,GH⊥AF,.AH HF,即H是AF的中点.又：G是DF的中点，.GH= 合AD-号C.:BC=2ABGH=AB.:AG=AE. .GF=AE.在Rt△GHF和Rt△ABE中，GF=AE, GH=AB,.Rt△GHF≌Rt△ABE.∴.∠GFH= ∠AEB.:∠AED=2∠CED,∠GFH=∠EFB,∴.易得 ∠EFB=∠AEB=3∠CED.,·∠ABE=90°，∴.∠EFB+ ∠BEF=4∠CED=90°..∠CED=22.5.∴.∠AED= 2∠CED=45°. 第2课时矩形的判定 1.D选项A,AB=CD=3,AD=BC=4,∴.四边形 ABCD是平行四边形.，AB=3,BC=4,AC=5,3+ 4=52,∴.∠ABC=90°.∴.四边形ABCD是矩形.选项B, 由题意可知，四边形ABCD的对角线互相平分且相等， ∴.四边形ABCD是矩形.选项C,由题意可知，∠BAD= ∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°，∴.四边形ABCD是矩 形.选项D,由题意可知，AD∥BC,不能判定四边形ABCD 是矩形.拔尖特训·数学（北师版）九年级上 3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基 1.[2025德阳中考]如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿CB方向向右平移至△EGF 处，使EF恰好过边AB的中点D,连接CD,若CD=1,则GE的长为 () A.3 B.2 C.1 D.0.5 ① (第1题) (第2题) (第3题) 2.[2025丹东期末]如图，延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE,若∠ADB 40°，则∠E的度数是 () A.20° B.25 C.30° D.35 3.境生活实际某商场为了方便司机停泊车辆，设计了平行四边形的停车位，如图②，在口ACDF 中，小车实际占用位置为矩形BCEF,若BC=5m,CE=2m,∠D=45°，则AC= m. 4.一题多解如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，若F,G分别是AE,BC的中点，延长DE 交FG的延长线于点H.求证：EH=GH. (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能。 5.如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别在边AB,BC上，连接 EF交对角线BD于点P.若P为EF的中点，∠ADB=35°，则∠DPE的度数为 () A.95 B.100° C.110° D.145° D D A (第5题) (第6题) 6.如图，矩形ABCD的对角线交于点O,AB=4,AD=2,△ADE为等边三角形，F是直线ED上 一点，连接OF,则线段OF的最小值为 () A.1 B.√3 C.2 D3+2 2 6 第一章特殊平行四边形 7.如图，在矩形ABCD中，E是边AD上一点，∠AEB=∠DCE,F,G分别是BE,CE的中点，连 接AF,DG,FG,若AF=3,DG=4,则矩形ABCD的面积为 (第7题) (第8题) 8.分类讨论思想如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,E,F分别是边BC,CD上的点，连接AE, EF⊥AE,将△ECF沿EF翻折得到△EC'F,连接AC.当BE=时，△AEC'是以AE 为腰的等腰三角形 9.[2025长沙期末]如图，在矩形ABCD中，对角线BD与AC交于点O,过点C作CE⊥BD于点 E,过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F,在AF的延长线上截取FG=BO,连接BG, OF.求证： (1)BO=OF. (2)四边形BOFG为菱形 (第9题) 10.★如图，在矩形ABCD中，E为CB的延长线上一点，CE=AC,F为AE的中点，连接DF,BF. (1)求证：BF⊥DF (2)若AB=8,AD=6,求DF的长. E B (第10题) 三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 11.如图，四边形ABCD是矩形，点E在线段CB的延长线上，连接DE交AB于点F,∠AED= 2∠CED,G是DF的中点，连接AG (1)若BE=2,AG=4,求AB的长. (2)若BC=2AB,求∠AED的度数. (第11题) ●“答案与解析”见P4