1.2 菱形的性质与判定 课后拓展练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

1.2 菱形的性质与判定 课后拓展练2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．如图，菱形中，，则（    ） A．60° B．30° C．25° D．15° 2．图，边长为a的正六边形内有一边长为a的菱形，该菱形其中一个内角为，则（    ） A．3 B．4 C．2 D．1 3．具有四条边都相等的性质的四边形是（    ） A．任意四边形 B．平行四边形 C．矩形 D．菱形 4．如图，下列条件之一能使是菱形的为（　　）    ①；②平分；③；④； A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5．如图，小聪在作线段的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，则直线即所求．根据他的作图方法，可知四边形一定是（    ） A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．任意四边形 6．如图，在菱形中，，对角线的长为（     ） A．20 B．15 C． D．5 7．如图在平行四边形中，，于点，为中点，连接、，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①②③④ D．①②④ 8．如图．在平行四边形中，用直尺和圆规作出的平分线，交于点F，若，则长为（   ） A．11 B．12 C．14 D．21 二、填空题 9．对角线互相垂直平分的四边形是_________． 10．指南针，古代叫司南．如图所示的指南针，其磁针可以看作菱形，若的长度为，的长度为，则的面积为___________． 11．如图，在四边形中，与不平行，，E，F，G，H分别是的中点．当 ______时，四边形是菱形． 12．如图，校园中有一扇中式古典花窗，其内部有一个菱形图案．若该菱形的周长为40分米，一条对角线长12分米，则另一条对角线的长为_______________分米． 13．如图，E为菱形的对角线上的动点，以，为邻边作平行四边形．若，，则的最小值为__________． 三、解答题 14．如图，小明想用一张锐角三角形纸片折出一个菱形，首先他将对折，得到折痕，点在边上，请你用尺规作图法作出菱形，使得点，分别落在边，上．（保留作图痕迹，不写作法） 15．菱形景观造型广泛应用于园林设计，结合菱形性质解答问题： 某园林打造菱形景观造型，整体四条边长度全部相等，单条边长为8米，其中一组对角角度相等，结合菱形基础数据； (1)计算该菱形景观整体的外围周长； (2)结合菱形对角线基础规律，简述菱形对角线具备的两项核心特点． 16．如图，点、、、在一条直线上，，，． (1)求证：； (2)连接、，添加一个条件，使四边形是菱形（不需要说明理由）． 17．综合与实践 【问题】尺规作图：如图，，平分交于点M．在上作出点N，使四边形为菱形． 【作图】甲、乙作图的过程如下： 甲的作图 如图，作的平分线交于点N，连接，则四边形是菱形． 乙的作图 如图，以点M为圆心，长为半径作弧，交于点N，连接，则四边形是菱形． 【探究】 (1)判断甲的作图是否正确，说明理由； (2)老师说乙的作图不正确，若添加一个条件后，才能使四边形是菱形．请你添加一个合理的条件，并说明四边形是菱形； (3)请你再给出另外一种符合要求的作图方法（保留作图痕迹，不写作法）． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C D D B D C C 1．【答案】B 【知识点】利用菱形的性质求角度 【分析】由菱形的性质可得AB=BC，∠B=∠D=120°，由菱形的性质可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC，∠B=∠D=120°， ∴∠1=30°， 故选：B 【点睛】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质，掌握菱形的性质是本题的关键． 2．【答案】C 【知识点】多边形的概念与分类、网格中多边形面积比较、利用菱形的性质求面积 【分析】边长为a的正六边形可拆成6个边长为a的等边三角形，图中的菱形有一个∠为60°，则该菱形可以拆成2个边长为a的等边三角形，所求即可解 【详解】下图所示， 由图可知，边长为a的正六边形可拆成6个边长为a的等边三角形，图中的菱形有一个角为60°，则该边长为a的菱形可以拆成2个边长为a的等边三角形， 边长为a的等边三角形的底边上的高也是底边的中线， 则利用勾股定理可得高为：， 边长为a的等边三角形的面积为：， 则可知正六边形的面积为：，空白菱形的面积为：， 则阴影部分的面积为：， 则有， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的基本概念和正多边形的基本概念，通过特殊角以及菱形和正六边形的边长相等，得出正六边形可拆成6个边长为a的等边三角形，菱形可以拆成2个边长为a的等边三角形是解答本题的关键． 3．【答案】D 【知识点】利用菱形的性质证明 【分析】本题考查了菱形的性质，根据“菱形的四边相等”即可求解． 【详解】解：具有四条边都相等的性质的四边形是菱形， 故选：D． 4．【答案】D 【知识点】添一个条件使四边形是菱形 【分析】根据菱形的判定定理判断即可得解． 【详解】解：①，四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形； ②平分，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ③，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形； ④，四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 综上所述，由②③④可证得四边形是菱形． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键． 5．【答案】B 【知识点】作已知线段的垂直平分线、证明四边形是菱形 【分析】根据作法与菱形的判定可得四边都相等的四边形是菱形． 【详解】由作法可知， 根据四条边都相等的四边形是菱形， 可知四边形一定是菱形． 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的判定，解题的关键在于根据四边相等的四边形是菱形判断． 6．【答案】D 【知识点】等边三角形的判定和性质、利用菱形的性质求线段长 【分析】根据菱形的性质证明为等边三角形即可． 【详解】解：在菱形中，，，， ∴，， ∴为等边三角形， ∴． 7．【答案】C 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用平行四边形的性质证明、根据菱形的性质与判定求角度 【分析】延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH．想办法证明EF=FG，BE⊥BG，四边形BCFH是菱形即可解决问题． 【详解】解：如图，延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H，连接FH． ∵CD=2AD，DF=FC， ∴CF=CB， ∴∠CFB=∠CBF， ∵CD∥AB， ∴∠CFB=∠FBH， ∴∠CBF=∠FBH， ∴∠ABC=2∠ABF．故①正确， ∵DE∥CG， ∴∠D=∠FCG， 在△DFE和△CFG中， ， ∴△DFE≌△FCG（ASA）， ∴FE=FG， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB=90°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBG=90°， ∴BF=EF=FG，故②正确， ∵S△DFE=S△CFG， ∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确， ∵AH=HB，DF=CF，AB=CD， ∴CF=BH，∵CF∥BH， ∴四边形BCFH是平行四边形， ∵CF=BC， ∴四边形BCFH是菱形， ∴∠BFC=∠BFH， ∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD， ∴FH⊥BE， ∴∠BFH=∠EFH=∠DEF， ∴∠EFC=3∠DEF，故④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 8．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查菱形的判定和性质，勾股定理，连接，证明四边形为菱形，根据菱形的性质结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：连接，设交于点， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵用直尺和圆规作出的平分线， ∴， ∴， ∴， 由作图可知：， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴； 故选C． 9．【答案】菱形 【知识点】证明四边形是菱形 【分析】本题考查了菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的判定定理．根据菱形的判定定理直接得出结论即可． 【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形是菱形． 故答案为：菱形． 10．【答案】 【知识点】利用菱形的性质求面积 【分析】菱形的面积等于对角线乘积的一半． 【详解】解：∵磁针可以看作菱形，的长度为，的长度为， ∴菱形的面积为， ∴的面积为． 11．【答案】4 【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是平行四边形、添一个条件使四边形是菱形 【分析】本题主要考查了菱形的判定，三角形中位线定理，平行四边形的判定，先由三角形中位线定理证明，则可证明四边形是平行四边形，故当时，四边形是菱形，则当时，四边形是菱形． 【详解】解：∵分别是的中点， ∴是的中位线， ∴， 同理可得， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴当时，四边形是菱形， 故答案为：4． 12．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长 【详解】解：菱形的周长为分米， 菱形的边长为分米， 四边形是菱形， 对角线互相垂直平分， 一条对角线长为分米， 该对角线的一半长为分米， 设另一条对角线长为分米， 由勾股定理得， 解得（负值舍去）. 13．【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质求解、利用菱形的性质求线段长、垂线段最短 【分析】连接，，与交于点，根据可得当，最小，据此即可求解． 【详解】解：如图，连接，，与交于点， ∵菱形， ∴，， ， ， 四边形是平行四边形， ∴， 当，即时，最小， 此时，的最小值为． 14．【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、作已知线段的垂直平分线、证明四边形是菱形 【分析】以点为圆心，以大于长的一半为半径画圆，保持半径不变以点为圆心画圆，连接两个圆的交点，所连成的直线交于点，于点，于点，即可解答． 【详解】解：如图所示，菱形即为所求． 以点为圆心，以大于长的一半为半径画圆，保持半径不变以点为圆心画圆，连接两个圆的交点，所连成的直线交于点，于点，于点，此时垂直平分． 平分 在和中 与互相垂直平分 四边形为菱形． 15．【答案】(1)32（米） (2)对角线互相垂直且互相平分 【知识点】利用菱形的性质求线段长、利用菱形的性质证明 【分析】（1）利用菱形的性质，四条边长度全部相等求周长即可； （2）根据菱形的性质，对角线互相垂直且互相平分． 【详解】（1）解：（米）， 答：该菱形景观整体的外围周长32（米）； （2）解：由菱形的性质，对角线互相垂直且互相平分． 16．【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； (2) 【知识点】全等的性质和SSS综合（SSS）、证明四边形是菱形、添一个条件使四边形是菱形 【分析】（1）因为，所以，再利用证明； （2）由可得，则，又因为得四边形是平行四边形，又因为，则为菱形． 【详解】（1）略； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴为菱形． 17．【答案】(1)解：甲的作图正确，理由如下： ， ，， ∵平分， ， ， ； 同理可得， ， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形； (2)解：添加条件，说明如下： 同理可证明， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， 由作图方法可知， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； (3) 【知识点】作线段(尺规作图)、根据等角对等边证明边相等、等边三角形的判定和性质、作角平分线(尺规作图)、证明四边形是菱形、添一个条件使四边形是菱形 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可证明，则可得到；同理可得，则，据此可证明四边形是菱形； （2）添加条件，可证明是等边三角形，得到，由作图方法可知，则，据此可证明四边形是菱形； （3）以点为圆心，长为半径作弧，交于点N，连接，同理可证明据此可证明四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 学科网（北京）股份有限公司 $