1.2 第2课时 菱形的判定-【探究在线】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂导学案（北师大版·新教材）

@第2课时 基础在线沙知识要点分秦臻 知识点1一组邻边相等的平行四边形是菱形 1.如图，四边形ABCD的两条 D 对角线相交于点O,且互相 平分.添加下列条件，仍不 能判定四边形ABCD为菱形的是 A.AD=CD B.AB-AD C.AC=BD D.∠BAC=∠BCA 2.如图，在□ABCD中，AE⊥BC于点E,CF⊥AB 于点F,且AE=CF.求证：□ABCD是菱形 知识点2四边相等的四边形是菱形 3.(教材P7例2变式)如图，口ABCD的对角线 AC与BD相交于点O,AB=10,AC=12,当 BD= 时，□ABCD是菱形. 4.(中考·宁夏)如图，点P在直线1外. ①在直线1上任取一点A,连接AP; ②以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线 于点B; ③分别以点P和点B为圆心，以大于BP的 长为半径画弧，两弧在∠BAP内交于点Q,作 菱形的判定 射线AQ: ④以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线 AQ于点C; ⑤连接CB,CP, (1)由②得AP与AB的数量关系是； 由③得到的结论是 (2)求证：四边形ABCP是菱形 知识点3对角线互相垂直的平行四边形是 菱形 5.(中考·湖南)如图，在四 边形ABCD中，对角线 AC与BD互相垂直平分， AB=3,则四边形ABCD的周长为 A.6 B.9 C.12 D.18 6.(中考·长春)如图，□ABCD的对角线AC, BD相交于点O,AB=5,OA=4,OB=3.求 证：□ABCD是菱形. 第一章4 易错点对菱形的判定方法掌握不准而出错 7.在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O, 从(1)AB=CD;(2)AB∥CD;(3)OA=OC: (4)OB=OD;(5)AC⊥BD;(6)AC平分∠BAD 这六个条件中，选取三个推出四边形ABCD是 菱形.如(1)(2)(5)→四边形ABCD是菱形，再 写出符合要求的两个： →四边形 ABCD是菱形； → 四边形ABCD是菱形， ②能力在线沙方法规律解合然 8.如图，在△ABC中，D是BC的中点，点E,F分 别在线段AD及其延长线上，且DE=DF.给出 下列条件：①BE⊥EC;②BF∥CE;③AB= AC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱 形，你认为这个条件是 (只填写序号) 第8题图 第9题图 9.如图，在△ABC中，点D,E,F分别是边AB, AC,BC的中点，要判定四边形DBFE是菱 形，下列所添加条件不正确的是 () A.AB=AC B.AB=BC C.BE平分∠ABC D.EF=CF 10.根据以下尺规作图痕迹，在一个平行四边形 内作出的四边形ABCD中，无法确定是菱形 的是 ) 5探究在线 九年级数学（上）·BS 11.如图，已知△ABC,作AC的垂直平分线PQ 分别交AB,AC于点E,D,连接CE,过点C 作CF∥AB交PQ于点F,连接AF. 求证：(1)△AED≌△CFD; (2)四边形AECF是菱形. ③拓展在线沙培代拔尖提升鳞 12.如图①，△ABC为等腰三角形，AB=AC=a,P 是底边BC上的一个动点，PD∥AC,PE∥AB. (1)用a表示四边形ADPE的周长为 (2)点P运动到什么位置时，四边形ADPE 是菱形？请说明理由； (3)如图②，如果△ABC不是等腰三角形，其 他条件不变，点P运动到什么位置时，四边 形ADPE是菱形？（不必说明理由） 图① 图②温警提示：清做完后再看答案！ :四边形ABCD是菱形，边长为8，且点E为AB边中点， ∴.BF=BE=4,DF=DC=8. ..BD=BF+DF=12,OB=OD=6. 参考答案 又，AC⊥BD, ∴.AO=AB2-OB2=2√7，AC=47」 第一章特殊平行四边形 S美w=2AC,BD=号×4万X12=247 1认识特殊的平行四边形 基础在线 CG-S影D=247-3V万. AB 8 1.B2.90°3.8 拓展在线 4.:四边形ABCD是菱形，∴AD=CD. 14.23 ∠D=∠D,DF=DE,∴.△ADF≌△CDE(SAS). 第2课时菱形的判定 ∴∠1=∠2. 基础在线 5.C 1.C 能力在线 6.B7.1 2.AE⊥BC于点E,CF⊥AB于点F, .∠CFB=∠AEB=90°. 8.:四边形ABCD是正方形，∴.BC=CD,∠BCD=90. 在△ABE与△CBF中， .∠BCE+∠DCF=90°. ∠B=∠B, .CE⊥BG,DF⊥CE,.∠BEC=∠CFD=90° .∠BCE+∠CBE=90°.∴.∠CBE=∠DCF ∠AEB=∠CFB, AE=CF, ∴.△BCE≌△CDF(AAS). .△ABE≌△CBF(AAS)...AB=CB. .BE=CF,CE=DF...CE=CF+EF=BE+EF. ∴.DF=BE+EF 四边形ABCD是平行四边形， ∴.□ABCD是菱形 拓展在线 3.16 9.5 4.(1)AP=AB;射线AQ平分∠BAP 2菱形的性质与判定 (2)证明：：以点A为圆心，AP长为半径画弧，交直线1于 第1课时菱形的性质 点B,∴AP=AB. 基础在线 :射线AQ平分∠BAP,∴∠BAC=∠PAC. 1.A2.A 在△ABC和△APC中， 3.四边形ABCD是菱形，AB=BC. (AB=AP, .AE=CF,..AB-AE=BC-CF, ∠BAC=∠PAC 即BE=BF LAC=AC, '∠B=∠B, .△ABC≌△APC(SAS)..BC=PC ∴.△ABF≌△CBE(SAS).∴.AF=CE 又：以点P为圆心，PA长为半径画弧，交射线AQ于点C, 4.A5.B6.C7.B8.12 .PA=PC.,.AP=AB=BC=PC. 9.(1).菱形ABCD的周长为24， 四边形ABCP是菱形. ∴.AB=AD=BC=CD=6. 5.C 又∠BAD=60°，'.△ABD是等边三角形， 6.AB=5,OA=4,OB=3, ∴BD=AB=AD=6,故对角线BD的长为6. ∴.OB2十OA2=32+42=25,AB2=52=25, (2)由菱形的性质可知，对角线AC与BD互相垂直且平分， ..OB2+OA2=AB2. ∴0B=2BD=2×6=3,∠A0B=90 .∠AOB=90°..AC⊥BD 四边形ABCD是平行四边形，.□ABCD是菱形 又AB=6,AO=√AB-OB=√62-32=3√3， 7.(1)(2)(6)(3)(4)(5)或(3)(4)(6) ∴.AC=2A0=6√3， 能力在线 “菱形ABCD的面积为2AC·BD-之×65X6=185. 8.③9.A10.C 11.(1)由垂直平分线得到AE=CE,AD=CD,又由CF∥AB, 故菱形ABCD的面积是18√3， 得∠EAC=∠FCA,∠CFD=∠AED,利用AAS证得△AED 能力在线 ≌△CFD. 10.2装1.丽12.)4v5(27 (2)由全等，得AE=CF, 再由CF=AF, 13.（1)菱形对角线互相垂直且平分， 从而得到CE=AE=CF=AF, ∴.BO=√/AB2-AOY=√/52-42=3. .四边形AECF是菱形， ∴.对角线BD=2BO=6,AC=2AO=8. 拓展在线 ∴S美影D=合×ACX BD=-合×6X8=24 12.(1)2a (2)当P为BC的中点时，四边形ADPE是 (2)如图②，连接AC交BD于点O, 菱形.理由如下：连接AP,PD∥AC,PE '∠BEF=∠CFD,∠BFE=∠CFD, ∥AB, ∠BEF=∠DCF, .四边形ADPE为平行四边形 ..BE=BF,DC=DF. AB=AC,P为BC的中点， 一探究在线·九年 ∴∠PAD=∠PAE. :AC=2OB,∴AC=BD. PE∥AB,∴∠PAD=∠APE. ∴.□ABCD是矩形. ∠PAE=∠APE.EA=EP 7.A .四边形ADPE是菱形. 能力在线 (3)点P运动到∠A的平分线与BC的交点时，四边形 8.B9.D ADPE是菱形. 10.(1)证明：，D,E分别是AC,AB的中点， 3矩形的性质与判定 DE是△ABC的中位线.DE∥BC. 第1课时矩形的性质 ∴.∠FDC+∠ACB=180° 基础在线 :∠ACB=90°，∴∠CDF=90° 1.B2.C3.D BF⊥DF,.∠F=90° 4.(1)证明：，四边形ABCD是矩形 ∴∠BCD=∠CDF=∠F=90. .AB=CD,∠B=∠C=90°. 四边形BCDF是矩形. :∠BAE=∠CDF,∴△ABE≌△DCF(ASA). (2)∠ACB=90°，E为AB的中点，CE=2, (2)△ABE≌△DCF,.AE=DF=13. .AB=2CE=4. ∠B=90°，AB=12,.BE=√AE-AB=5. :∠A=30,BC=2AB=2. 5.B6.D 7.(1)证明：在矩形ABCD中，AD∥BC,∴.AD∥CE AC-AB-BC=2/3.:CD-AC-/. DE∥AC,.四边形ACED是平行四边形. .四边形BCDF的面积为CD·BC=√3X2=2√3. (2)DE∥AC,∠E=35°，∠OCB=∠E=35. 11.(1)证明：.点O为AB的中点，.OA=OB, 在矩形ABCD中，OB=OC, :AE∥BC,∠EAO=∠OBD,∠AEO=∠BDO. ∴∠OBC=∠OCB=35. △AEO≌△BDO(AAS).∴.AE=BD. 在△OBC中，∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB)=110°. :AE∥BD,∴四边形AEBD是平行四边形 8.49.C (2)当AB=AC时，四边形AEBD是矩形. 能力在线 证明如下： 10.B11.D12.(2,4)13.30°14.4 15.(1)如图，△BED即为所求作的三角形. AB=AC,点D是BC边的中点， ∴.AD⊥BC,即∠ADB=90°. (2)四边形ABCD为矩形 ..AD=BC=2,AB=CD=1,AD//BC, 由(1)得四边形AEBD是平行四边形， 四边形AEBD是矩形. ∠A=90°. 拓展在线 .∠ADB=∠CBD. 12.(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， :∠EBD=∠CBD,∴∠FBD=∠FDB. ∴.AD∥BC,AD=BC.∴.∠FAG=∠ECH .BE=DE. :E,F分别是边BC和AD的中点， 设AF=x,则DF=BF=2-x, 在Rt△ABF中，12+x2=(2-x)2, CE=合BC,A=合AD.∴AF=CE, 解得x=是AF的长为子 .AG=CH,∴.△AFG≌△CEH(SAS). 4 (2)当AC=2AB时，四边形EHFG是矩形. 拓展在线 证明：连接EF交AC于点O,如图. 16.130 由(1)知，△AFG≌△CEH, 2 ∴.FG=EH,∠AGF=∠CHE. 第2课时矩形的判定 ∴.∠FGH=∠EHG.∴.FG∥EH. 基础在线 .四边形EHFG是平行四边形 1.90 ..OG=OH. 2.点O是边AB的中点，.OA=OB. :∠A=∠B,∠ADO=∠BCO, AG-CH-AC,.GH-AC-AG-CH-AC. .△AOD≌△BOC(AAS)..AD=BC ∠A=∠B=90°，∴.∠A+∠B=180°. 0G=0H=AG=CH=子AC.:OA=0C=号AC .AD∥BC..四边形ABCD是平行四边形， ,∠A=90°，.平行四边形ABCD是矩形. CE-BE.OE-AB. 3.∠A=90(答案不唯一) “AC=2AB,0E=4AC 4..AB=AC,AD是∠BAC的平分线 .AD⊥BC,∠BAD=∠CAD.∴.∠ADC=90. ∴.OE=OG=OF=OH. ,AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， EF=GH.平行四边形EHFG是矩形 ∴.∠MAN=∠CAN.∴.∠DAE=90°. 4正方形的性质与判定 CE⊥AN,∠AEC=90°. 第1课时正方形的性质 ∴四边形ADCE为矩形. 基础在线 5.D 1.D2.B3.C4.B5.2 6.AD∥BC,AB∥CD, 6.:四边形ABCD是正方形， .四边形ABCD是平行四边形. .AB=BC=DC=AD,∠B=∠D, ∴.OB=OD..BD=2OB. I∠BAE=∠DAF, 级数学（上）·BS一 17