1.1～1.2～1.3 认识特殊平行四边形 菱形的性质与判定 矩形的性质与判定 周练习 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

初中数学同步周练　|　北师大版（2024）　|　一周错题巩固+压轴训练 九年级上册数学周练 第一章 特殊平行四边形（1.1～1.2～1.3） 班级：__________　　姓名：__________　　学号：__________　　得分：__________　　　　时间：60分钟　　满分：100分 一．选择题（共6小题） 1．【A】如图的图形是平行四边形与菱形、矩形、正方形的关系图，在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（　　） A．①有一个角是直角 B．②一组邻边相等 C．③对角线互相平分 D．④有一个角是直角 2．【A】我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以长方形也称为“矩形”．矩形的对称轴的条数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026•和平区一模）·【A】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，GD分别相交于点E，F．若AC＝8，BD＝4，则△BOE与△COF的面积之和为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 4．（2026•榆树市一模）·【A】两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（　　） A．α﹣90° B．180°﹣α C．α﹣45° D．270°﹣α 5．（2026•凉州区一模）·【A】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点．若AC＝8，BC＝6，则CD的长为（　　） A．10 B．6 C．5 D．4 6．（2025•杭州模拟）·【C】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB＝10，OE＝6，则菱形ABCD的面积为（　　） A．48 B．60 C．96 D．192 二．填空题（共6小题） 7．【A】如图，电动伸缩门可自由伸缩，开关方便，它凸显了四边形的 　 　 ． 8．【A】道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶员前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志ABCD的边AB长为2m，∠ABC的度数为60°，则该标志的占地面积为　 　 ． 9．（2025秋•和平区期末）·【A】如图，菱形的对角线AC与BD相交于点O，E是CD的中点，且OE＝3，则CD的长是　 　 ． 10．（2025秋•坪山区期末）·【B】如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，AB＝2，BC＝6，CD＝4，连接AC，恰好平分∠BAE，求AE的长度　 　 ． 11．（2026春•安徽校级期末）·【C】矩形ABCD中，AD＝32厘米，AB＝24厘米，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，则t＝　 　 秒时，点P和Q与点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是菱形． 12．（2026•福田区校级开学）·【C】如图矩形ABCD，对角线AC与BD交于点O，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB'D'，当点B'落在对角线BD上时，C、B'、D′三点共线，则的值＝　 　 ． 三．解答题（共8小题） 13．（2025秋•潜江期末）·【A】如图，在长方形纸片ABCD中，点P在边BC上，将长方形纸片沿AP折叠后，点B的对应点为点B′，PB′交AD于点Q． （1）判断∠DAP和∠APQ的大小关系，并说明理由； （2）连结PD，若PD平分∠QPC，∠PDA＝55°，求∠APB的度数． 14．（2025秋•同步）·【A】有一幅长方形的图案是轴对称图形，分割成下面①②③④四个部分，请把图片的序号写在右边图中相应的位置上，还原成原来的图案．你认为原来这是一幅什么图案？ 15．【B】如图，在菱形ABCD中，∠ABD＝30°，AB＝AD＝6． （1）求BD的长； （2）连接AC，判断△ABC的形状，请说明理由． 16．（2026春•江北区校级月考）·【B】如图，点O为菱形ABCD的对角线AC与BD的交点，AC＝6，BD＝3．E，F是AC上的点（E，F均不与A，C重合），且AE＝CF，连接BE，DF．用x表示线段AE的长度，点E与点F的距离为y1，菱形ABCD的面积为S，△ABE的面积为S1，△CDF的面积为S2，． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 17．（2025秋•管城区校级月考）·【B】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P以每秒1个单位长度的速度从点A向点C方向运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B向点A方向运动，点Q到达点A后，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为t． （1）求点P停止运动时，BP的长． （2）在P，Q两点运动过程中，E是点Q关于直线AC的对称点，是否存在某一时刻，使四边形PQCE为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 18．（2026•开平市模拟）·【B】下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是斜边AC的中线． 求证：BOAC． 方法一 证明：如图，延长BO至点D，使得OD＝OB，连接AD，CD． 方法二 证明：如图，取BC的中点D，连接OD． 19．（2026春•平邑县期末）·【C】【课本再现】 我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 【定理证明】 （1）如图1，已知：在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC＝BD，求证：▱ABCD是矩形． 【知识应用】 （2）如图2，AD是△ABC的中线，AE∥BC，且BC＝2AE，连接DE，CE． ①求证：AB＝DE； ②当△ABC满足条件　 　 时，四边形ADCE是矩形． 20．（2026春•武昌区校级期中）·【C】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为（m，n），且m，n满足：． （1）直接写出点B的坐标为　 　 ． （2）如图1，点D在第二象限，∠ODC＝45°，OD＝21，，求线段AD的长度． （3）如图2，点E在边AB上，AE＝5，F为y轴上一点，AF与OE相交于点G，且∠AGE＝45°，求线段OF的长度． 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B C B C C 一．选择题（共6小题） 1．【A】如图的图形是平行四边形与菱形、矩形、正方形的关系图，在箭头处填写了它们之间转化的条件，其中填写错误的是（　　） A．①有一个角是直角 B．②一组邻边相等 C．③对角线互相平分 D．④有一个角是直角 【答案】C 【解答】解：A．有一个角是直角的平行四边形是矩形，因此选项A不符合题意； B．一组邻边相等的平行四边形是菱形，因此选项B不符合题意； C．对角线垂直的矩形是正方形，因此选项C符合题意； D．有一个角是直角的菱形是正方形，因此选项D不符合题意； 故选：C． 2．【A】我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以长方形也称为“矩形”．矩形的对称轴的条数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：矩形是轴对称图形，对称轴有2条，分别是两条对边的垂直平分线． 故选：B． 3．（2026•和平区一模）·【A】如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O且与边AB，GD分别相交于点E，F．若AC＝8，BD＝4，则△BOE与△COF的面积之和为（　　） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【解答】解：∵菱形ABCD的对角线相交于点O， ∴OD＝OBBD4＝2，OA＝OCAC8＝4，CD∥AB，AC⊥BD， ∴∠FDO＝∠EBO， 在△FDO和△EBO中， ， ∴△FDO≌△EBO（ASA）， ∴S△FDO＝S△EBO， ∴S△EBO+S△COF＝S△FDO+S△COF＝S△CODOD•OC2×4＝4， 故选：C． 4．（2026•榆树市一模）·【A】两个矩形的位置如图所示，若∠1＝α，则∠2＝（　　） A．α﹣90° B．180°﹣α C．α﹣45° D．270°﹣α 【答案】B 【解答】解：如图： ∵四边形ABCD，四边形EFGH都是矩形， ∴∠B＝∠EHG＝90°， ∵∠1是△EBH的一个外角， ∴∠3＝∠1﹣∠B＝α﹣90°， ∴∠2＝∠EHG﹣∠3 ＝90°﹣（α﹣90°） ＝180°﹣α， 故选：B． 5．（2026•凉州区一模）·【A】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为斜边AB的中点．若AC＝8，BC＝6，则CD的长为（　　） A．10 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6， ∴AB10， ∵D为斜边AB的中点， ∴CDAB＝5， 故选：C． 6．（2025•杭州模拟）·【C】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点D作DE⊥AB于点E，连接OE，若AB＝10，OE＝6，则菱形ABCD的面积为（　　） A．48 B．60 C．96 D．192 【答案】C 【解答】解：∵ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OD＝OB， ∵DE⊥AB， ∴OE＝OB＝OD＝6， ∵AO2＝AB2﹣OB2＝102﹣62， ∴AO＝8， ∴AC＝16， ∵BD＝12， ∴菱形ABCD的面积为： AC•BD16×12＝96． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 7．【A】如图，电动伸缩门可自由伸缩，开关方便，它凸显了四边形的 　不稳定性　 ． 【答案】不稳定性． 【解答】解：∵对四边形施加外力时，四边形的内角度数将发生变化， ∴四边形具有不稳定性， ∴电动伸缩门的自由伸缩就是利用了四边形的不稳定性． 故答案为：不稳定性． 8．【A】道路上的菱形标志名称为人行横道预告标线，作用是提示驾驶员前方已接近人行横道，应减速慢行，并需注意行人横过马路．若测得菱形标志ABCD的边AB长为2m，∠ABC的度数为60°，则该标志的占地面积为　　 ． 【答案】． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AB长为2m，∠ABC的度数为60°， ∴AC＝2m，OBm， ∴BD＝2OBm， ∴菱形ABCD的面积（m2）， 故答案为：． 9．（2025秋•和平区期末）·【A】如图，菱形的对角线AC与BD相交于点O，E是CD的中点，且OE＝3，则CD的长是　6　 ． 【答案】6． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴△COD是直角三角形， ∵点E是CD的中点， ∴CD＝2OE＝6， 故答案为：6． 10．（2025秋•坪山区期末）·【B】如图，在五边形ABCDE中，∠B＝∠BCD＝∠D＝90°，AB＝2，BC＝6，CD＝4，连接AC，恰好平分∠BAE，求AE的长度　2.5　 ． 【答案】2.5． 【解答】解：由题意，过C作CF⊥AE于点F，连接CE，作AH⊥CD于H，作EG⊥AH于点G， 又∵AC平分∠BAE，CB⊥AB， ∴BC＝FC＝6． ∴AB＝AF2． 设EF＝x， ∴CE． ∴DE． ∵EG⊥AH，GH⊥CD，∠D＝90°， ∴四边形EGHD为矩形，同理可得四边形ABCH为矩形． ∴GH＝DE，GE＝HD＝CD﹣CH＝4﹣2＝2． 又AH＝BC＝6， ∴AG＝AH﹣GH＝6． 又∵AE＝AF+EF＝x+2， ∴结合AG2+EG2＝AE2，则（6）2+22＝（x+2）2． ∴x或 x＝﹣4（不合题意，舍去）． ∴AE＝x+2＝2.5． 故答案为：2.5． 11．（2026春•安徽校级期末）·【C】矩形ABCD中，AD＝32厘米，AB＝24厘米，点P是线段AD上一动点，O为BD的中点，PO的延长线交BC于Q．若P从点A出发，以1厘米/秒的速度向D运动（不与D重合）．设点P运动时间为t秒，则t＝　7或25　 秒时，点P和Q与点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是菱形． 【答案】7或25． 【解答】解：分两种情况： ①如果四边形PBQD是菱形，则PD＝BP＝（32﹣t）厘米， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， 在Rt△ABP中，由勾股定理得：AB2+AP2＝BP2， 即242+t2＝（32﹣t）2， 解得：t＝7， 即运动时间为7秒时，四边形PBQD是菱形； ②如果四边形APCQ是菱形，AP＝AQ＝CQ＝t． ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABQ＝90°， 在Rt△ABQ中，由勾股定理得：AB2+BQ2＝AQ2， 即242+（32﹣t）2＝t2， 解得：t＝25， 即运动时间为25秒时，四边形APCQ是菱形． 故答案为：7或25． 12．（2026•福田区校级开学）·【C】如图矩形ABCD，对角线AC与BD交于点O，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB'D'，当点B'落在对角线BD上时，C、B'、D′三点共线，则的值＝　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，过点A作AE⊥BD于点E，取B′D′的中点F，连接AF， 设AB＝a（a＞0），AD＝b（b＞0）， ∵四边形ABCD是矩形， ∴，∠BAD＝90°，OC＝OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA，， 由旋转的性质得：∠AB′D′＝∠ABD，，AB′＝AB＝a，∠B′AD′＝∠BAD＝90°， ∴∠AB′B＝∠ABD， ∴∠OAB＝∠OBA＝∠AB′B＝∠AB′D′， ∴∠COB′＝∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝180°﹣∠AB′B﹣∠AB′D′＝∠OB′C， ∴， ∴， ∵在Rt△AB′D′中，点F是斜边B′D′的中点， ∴， ∴B′F＝B′C， 又∵OA＝OC， ∴OB′是△ACF的中位线， ∴， ∴， 又∵AB′＝AB＝a，AE⊥BD， ∴∠AEB＝90°，， 在△ABE和△DBA中， ， ∴△ABE∽△DBA， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三．解答题（共8小题） 13．（2025秋•潜江期末）·【A】如图，在长方形纸片ABCD中，点P在边BC上，将长方形纸片沿AP折叠后，点B的对应点为点B′，PB′交AD于点Q． （1）判断∠DAP和∠APQ的大小关系，并说明理由； （2）连结PD，若PD平分∠QPC，∠PDA＝55°，求∠APB的度数． 【答案】见试题解答内容 （2）先利用角平分线的性质可得∠DPC＝∠DPQ，然后利用平行线的性质可得∠DPC＝∠PDA＝55°，从而可得∠DPQ＝∠DPC＝55°，再利用平角定义可得∠BPQ＝70°，从而可得∠APB＝35°，即可解答． 【解答】解：（1）∠DAP＝∠APQ， 理由：∵长方形纸片ABCD沿AP折叠， ∴∠APB＝∠APQ， ∵四边形ABCD是长方形， ∴AD∥BC， ∴∠APB＝∠DAP， ∴∠DAP＝∠APQ； （2）∵PD平分∠QPC， ∴∠DPC＝∠DPQ， ∵AD∥BC， ∴∠DPC＝∠PDA＝55°， ∴∠DPQ＝∠DPC＝55°， ∴∠BPQ＝180°﹣∠DPC﹣∠DPQ＝70°， ∵∠APB＝∠QPA， ∴． 14．（2025秋•同步）·【A】有一幅长方形的图案是轴对称图形，分割成下面①②③④四个部分，请把图片的序号写在右边图中相应的位置上，还原成原来的图案．你认为原来这是一幅什么图案？ 【答案】 原来这是一幅中国结的图案． 【解答】解： 原来这是一幅中国结的图案． 15．【B】如图，在菱形ABCD中，∠ABD＝30°，AB＝AD＝6． （1）求BD的长； （2）连接AC，判断△ABC的形状，请说明理由． 【答案】（1）； （2）△ABC是等边三角形，理由如下： ∵四边形ABCD是菱形，AB＝AD＝6，∠ABD＝30°， ∴BC＝AB＝6，∠CBD＝∠ABD＝30°， ∴∠ABC＝∠CBD+∠ABD＝60°， 在△ABC中，BC＝AB＝6，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形． （2）由菱形性质得BC＝AB＝6，∠CBD＝∠ABD＝30°，则∠ABC＝60°，在△ABC中，根据BC＝AB＝6，∠ABC＝60°得△ABC是等边三角形． 【解答】解：（1）连接AC交BD于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，对角线接AC与BD交于点O， ∴OB＝OD，AC⊥BD， ∴BD＝2OB，∠AOB＝90°， 在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠ABD＝30°，AB＝6， ∴OAAB＝3， 由勾股定理得：OB， ∴BD＝2OB； （2）△ABC是等边三角形，理由如下： ∵四边形ABCD是菱形，AB＝AD＝6，∠ABD＝30°， ∴BC＝AB＝6，∠CBD＝∠ABD＝30°， ∴∠ABC＝∠CBD+∠ABD＝60°， 在△ABC中，BC＝AB＝6，∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形． 16．（2026春•江北区校级月考）·【B】如图，点O为菱形ABCD的对角线AC与BD的交点，AC＝6，BD＝3．E，F是AC上的点（E，F均不与A，C重合），且AE＝CF，连接BE，DF．用x表示线段AE的长度，点E与点F的距离为y1，菱形ABCD的面积为S，△ABE的面积为S1，△CDF的面积为S2，． （1）请直接写出y1，y2分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数y1，y2图象，并分别写出函数y1，y2的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 【答案】（1），； （2） 函数y1性质为：当0＜x＜3时，y1随x增大而减小，当3≤x＜6时，y1随x增大而增大； 函数y2性质为：当0＜x＜6时，y2随x增大而减小； （3）0＜x＜3.8． （2）根据（1）求得结果在坐标系中画出即可，由图象即可得出对应的性质； （3）先找出y1与y2的交点的横坐标x的取值范围，再结合题意得出对应的结果． 【解答】解：（1）由题意，∵四边形ABCD为菱形， ∴， 要使AE＝CF，此时分情况讨论： ①当点E在AO上，点F在OC上时，AE＝CF＝x， ∴EF＝y1＝AC﹣AE﹣CF＝6﹣2x， 此时AE，CF的取值范围均为0＜x＜3； ②当点E在OC上，点F在AO上时，AE＝CF＝x， ∴CE＝AC﹣AE＝6﹣x，AF＝AC﹣CF＝6﹣x， ∴EF＝y1＝AC﹣AF﹣CE＝6﹣（6﹣x）﹣（6﹣x）＝2x﹣6， 此时AE，CF的取值范围均为3≤x＜6， ∵BD＝3， ∴， ∵△ABE的面积为S1，△CDF的面积为S2， ∴，， ∴； （2）由题意，作图如下： 函数y1性质为：当0＜x＜3时，y1随x增大而减小，当3≤x＜6时，y1随x增大而增大； 函数y2性质为：当0＜x＜6时，y2随x增大而减小； （3）由图象可知，y1与y2的交点的横坐标x位于3.5～4之间， 当y1＜y2时，x的取值范围是0＜x＜3.8． 17．（2025秋•管城区校级月考）·【B】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点P以每秒1个单位长度的速度从点A向点C方向运动，同时点Q以每秒2个单位长度的速度从点B向点A方向运动，点Q到达点A后，点P也停止运动，设点P，Q运动的时间为t． （1）求点P停止运动时，BP的长． （2）在P，Q两点运动过程中，E是点Q关于直线AC的对称点，是否存在某一时刻，使四边形PQCE为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）ts时，四边形PQCE是菱形． （2）如图1中，当四边形PQCE是菱形时，连接QE交AC于K，作QD⊥BC于D．根据DQ＝CK，构建方程即可解决问题． 【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8， ∴AB10， 点Q运动到点A时，t5， ∴AP＝5，PC＝1， 在Rt△PBC中，PB； （2）如图1中，当四边形PQCE是菱形时，连接QE交AC于K，作QD⊥BC于D． ∵四边形PQCE是菱形， ∴PC⊥EQ，PK＝KC， ∵∠QKC＝∠QDC＝∠DCK＝90°， ∴四边形QDCK是矩形， ∴DQ＝CK， ∴•2t（6﹣t）， ∴t． ∴当ts时，四边形PQCE是菱形． 18．（2026•开平市模拟）·【B】下面是证明直角三角形的一个性质的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明． 性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BO是斜边AC的中线． 求证：BOAC． 方法一 证明：如图，延长BO至点D，使得OD＝OB，连接AD，CD． 方法二 证明：如图，取BC的中点D，连接OD． 【答案】方法一证明过程见解答；方法一证明过程见解答． 方法二：取BC的中点D，连接OD，再结合已知可得DO是△ABC的中位线，然后利用三角形的中位线定理可得DO∥AB，从而可得∠ODC＝∠ABC＝90°，进而可得OD是BC的垂直平分线，最后利用线段垂直平分线的性质可得OB＝OC，从而可得BOAC，即可解答． 【解答】解：方法一：如图，延长BO至点D，使得OD＝OB，连接AD，CD， ∵BO是斜边AC的中线， ∴AO＝CO， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD， ∵BO＝DOBD， ∴BOAC； 方法二：如图，取BC的中点D，连接OD， ∵点O是AC的中点， ∴DO是△ABC的中位线， ∴DO∥AB， ∴∠ODC＝∠ABC＝90°， ∴OD是BC的垂直平分线， ∴OB＝OC， ∵AO＝COAC， ∴BOAC． 19．（2026春•平邑县期末）·【C】【课本再现】 我们知道，矩形的对角线相等，反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 【定理证明】 （1）如图1，已知：在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于O，且AC＝BD，求证：▱ABCD是矩形． 【知识应用】 （2）如图2，AD是△ABC的中线，AE∥BC，且BC＝2AE，连接DE，CE． ①求证：AB＝DE； ②当△ABC满足条件AB＝AC或∠B＝∠ACB 时，四边形ADCE是矩形． 【答案】（1）在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，则∠ABC+∠BCD＝180°， 在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SSS）， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴▱ABCD是矩形； （2）①∵AD是△ABC的中线，AE∥BC，且BC＝2AE， ∴DB＝DC，BD＝AE， ∴四边形ABDE是平行四边形，即AB＝DE； ②AB＝AC或∠B＝∠ACB． （2）①由中线定义及BC＝2AE，从而得到BD＝AE，再由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，进而由平行四边形性质即可得证； ②同①证法可得四边形ADCE是平行四边形，再由矩形的判定定理，只要△ABC是等腰三角形即可得到答案． 【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，则∠ABC+∠BCD＝180°， 在△ABC和△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SSS）， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴▱ABCD是矩形； （2）①证明：∵AD是△ABC的中线，AE∥BC，且BC＝2AE， ∴DB＝DC，BD＝AE， ∴四边形ABDE是平行四边形，即AB＝DE； ②解：∵AD是△ABC的中线，AE∥BC，且BC＝2AE， ∴DB＝DC，CD＝AE， ∴四边形ADCE是平行四边形， 由矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形判定，需要补充AC＝DE， 由①可知，AB＝DE， ∴当△ABC满足条件AB＝AC时，四边形ADCE是矩形； ∵∠B＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∴当△ABC满足条件∠B＝∠ACB时，四边形ADCE是矩形； 故答案为：AB＝AC或∠B＝∠ACB． 20．（2026春•武昌区校级期中）·【C】如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴的正半轴上，点B的坐标为（m，n），且m，n满足：． （1）直接写出点B的坐标为　（15，15）　 ． （2）如图1，点D在第二象限，∠ODC＝45°，OD＝21，，求线段AD的长度． （3）如图2，点E在边AB上，AE＝5，F为y轴上一点，AF与OE相交于点G，且∠AGE＝45°，求线段OF的长度． 【答案】（1）（15，15）； （2）； （3）或30． （2）设第二象限内D（x，y）（x＜0），得OD2＝x2+y2＝212＝441，，化简得30y﹣225＝279，解得，得．得． （3）：以OE为斜边构造等腰直角三角形，再构造全等三角形，点F在y轴正半轴或点F在y轴负半轴，分类讨论，求出直线AF的解析式，即可解决问题． 【解答】解：（1）由条件可得：， 解得n＝15， 代入， 得m＝15， 因此B点坐标为：（15，15）； 故答案为：（15，15）； （2）设第二象限内D（x，y）（x＜0）， 根据题意：OD2＝x2+y2＝212＝441，， 两式相减消去x2， 化简得30y﹣225＝279， 解得， 代入得， 结合得． ∴， 因此AD长度为：． （3）设H（x，y）， 过点E作EH∥AF，过点O作OH⊥EH于点H，过点H作IJ⊥y轴于点I，交AB于点J， 则∠OIH＝∠HJE＝∠H＝90°， ∴∠HOI＝∠EHJ， ∴∠EOH＝90°﹣∠OEH＝45°， ∴OH＝EH， ∴△OHI≌△HEJ（AAS）， 当点F在y轴正半轴上时， HI＝EJ＝x，HJ＝OI＝y， IJ＝HI+HJ，x+y＝15， OI＝AJ＝EJ+AE，y＝x+5， 解得x＝5，y＝10， ∴H（5，10）， 设直线EH的解析式为y＝kx+b， 则， 解得， ∴； 设直线AF的解析式为，则， 解得， ∴， 当x＝0时，， ∴， ∴． 当点F在y轴负半轴上时， HI＝EJ＝x，HJ＝OI＝﹣y， IJ＝HI+HJ，x﹣y＝15， OI＝AJ＝EJ﹣AE，﹣y＝x﹣5， 解得x＝10，y＝﹣5， ∴H（10，﹣5）， 设直线EH的解析式为y＝kx+b， 则， 解得， ∴y＝2x﹣25； 设直线AF的解析式为y＝2x+n，则2×15+n＝0， 解得n＝﹣30， ∴y＝2x﹣30， 当x＝0时，y＝﹣30， ∴F（0，﹣30）， ∴OF＝30． 综上，OF的长度为或30． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $