第二十四章 圆（九年级上册）-【3分钟速记核心知识】2026年初中数学知识清单（河南专版）

81> 核心知识1圆的有关概念及垂径定理 考频★★☆ 主干知识速记 弦、直径、弧 连接圆上任意两点的线段叫做弦；经过圆 心的弦叫做直径；圆上任意两点间的部分 叫做圆弧，简称弧。 优孤ABC, 产记作ABC B 直径AB 弦AC 劣孤AC, 记作AC 第二十四章 2垂径定理 必考 圆 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对 的两条弧. 如图，CD是直径，AB是弦， 0 CD⊥AB于点E,则AE= A B B,AD=BD,AC=BC」 D 打卡首记时间月日第2天第3天第5天第8天第16天第32天 187 重点知识速记 ①圆的相关性质 (1)圆中有无数条弦，其中直径是最长的弦： (2)弧包括优弧、劣弧和半圆；半圆不是劣弧， 也不是优弧.小于半圆的弧叫做劣弧，大于半 圆的弧叫做优弧 (3)能够重合的两个圆叫做等圆.容易看出： 半径相等的两个圆是等圆.反过来，同圆或等 圆的半径相等，等圆只与半径大小有关，与圆 心的位置无关 (4)在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫 做等弧，但长度相等的弧不一定是等弧， 2圆的对称性 (1)圆是轴对称图形，任何一条直径所在的 直线都是圆的对称轴，圆有无数条对称轴· (2)圆是中心对称图形，对称中心为圆心. (3)圆具有旋转不变性，把圆绕圆心旋转任 意一个角度，所得的图形与原图形重合，这也 是圆与一般中心对称图形的区别之处！ 188 3垂径定理的相关结论 (1)推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧· 如图，若AE=EB,CD是直径，则CD⊥AB, AD=BD,AC=BC (2)在垂径定理及其推论中，知道过圆心 垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分 弦所对的劣弧这五个条件中任意两个，就能推 出其他三个.（注意：“过圆心、平分弦”作 为题设时，平分的弦不能是直径) 3分钟回顾速记 ©小于半圆的孤叫做劣孤，大于半圆 的孤叫做优孫 。用垂径定理解决问题时，常连接圆 心和弦的一端构造直角三角形 189 82核心知识2弧、弦、圆心角之间的关系 考频★★☆ 主干知识速记 ①定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 相等，所对的弦也相等 如图，若∠AOB=LCOD, B 则AB=CD,AB=CD 第二十四章 2重要结论 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它 圆 们对的圆心角相等，所对的弦相等. 如图，若B=CD, 则 ∠AOB=∠COD,AB=CD. 打卡首记时间月日第2天第3天第5天第8天第16天第32天 190 重点知识速记 1顶点在圆心的角叫做圆心角，一条弧所对的圆 心角只有一个 2不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提，如图， 两个圆圆心相同，AB与AB对应同一个圆心角， 但AB≠AB,AB≠A'B: B 3在同一个圆中，一条弦对应两条弧，则这条弦 也对应两个圆心角.由于弦所对的弧有两条， 所以不可以说“在同圆或等圆中，相等的弦所 对的弧相等” 3分钟回顾速记 ④在同圆或等圆中，两条孤、两条弦、 两个圆心角中，只要有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量也分别 相等. 191 83> 核心知识3 圆周角定理及其推论 考频★★★ 主干知识速记 D圆周角定理 (必考 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角 的一半 .1=2 2圆周角定理的推论 二十四章 (1)同弧或等弧所对的圆周角相等 (2)半圆（或直径)所对的圆周角是直角； 圆 90°的圆周角所对的弦是直径. 如图，AB是直径， B ∠D=∠C=90°. 打卡首记时间月日第2天第3天第5天第8天第16天第32天 192 重点知识速记 1圆周角定理的注意事项 (1)因为圆中同一条弦（非直径）所对的圆 周角大小有两种，所以不能根据弦相等得到圆 周角相等. (2)在同圆或等圆中，一条弦（非直径）所 对的圆周角相等或互补，即圆周角在弦的同侧 时相等，异侧时互补. (3)圆周角的顶点在圆上，两边都与圆相交.同 一条弧所对的圆周角有无数个。 2圆内接四边形 (1)定义：如果一个四边形的所有顶点都在 同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形， 这个圆叫做这个四边形的外接圆. (2)性质：圆内接四边形的对角互补。 3分钟回顾速记 。一条孤所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半。 ④圆内接四边形的对角互补」 193 84核心知识4 点和圆的位置关系及确定 圆的条件 考频★☆☆ 主干知识速记 1 点和圆的位置关系 设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP= d,若d>r,则点在圆外；若d=r,则点在 圆上；若d<r,则点在圆内. 第二十四章 d>r d=r d<r 2确定圆的条件 圆 不在同一条直线上的三个点可以确定一 个圆 我的三个顶点可 以确定一个圆 打卡首记时间月日第2天第3天第5天第8天第16天第32天 194 重点知识速记 已知点到圆心的距离与半径的大小关系，可以 确定该点和圆的位置关系；反过来，由点和圆 的位置关系也可以确定该点到圆心的距离与 半径的大小关系 2确定圆的条件的注意事项 (1)对于已知圆上的某段弧，作出全部圆的 问题，实质上是属于过不在同一条直线上的三 个点作圆问题.解决此类问题的方法是在弧上 任意找三点，连接成两条线段，这两条线段的 垂直平分线的交点就是圆心，圆心到圆弧上任 意一点的距离就是半径，圆心和半径确定了， 圆就可以轻松画出来了. (2)过在同一条直线上的三个点不能作出圆， 过任意四点不一定能作出圆 3分钟回顾速记 ©判断点和圆的位置关系的实质是判 断点到圆心的距离和半径的大小关系 。不在同一条直线上的三个点可以确 定一个圆 195 85核心知识5三角形的外接圆与反证法 考频★☆☆ 主干知识速记 ①三角形的外接圆 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这 个圆叫做三角形的外接圆，这个三角形叫 做圆的内接三角形 亲爱的小伙伴们，直 角三角形外接圆的半 A B 径就是其斜边的一半， 圆心为斜边的中点. 第二十四章 2反证法 难点 假设命题的结论不成立，由此经过推理得出 矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得 四 到原命题成立 如何证明不存在最小的正有理数？ 假设a(a>0)是 取6=受 则0<b< 最小的正有理数 a,故假设不成立. 打卡首记时间月日第2天第3天第5天第8天第16天第32天 196 重点知识速记 1三角形的外心 (1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平 分线的交点.三角形的外心到三角形三个顶点 的距离相等，等于其外接圆的半径， (2)锐角三角形的外心在三角形的内部，直 角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的 外心在三角形的外部 2用反证法证明命题的一般步骤 (1)假设命题的结论不成立· (2)从假设出发，经过推理论证，得出与公理、 定理或已知条件相矛盾的结论· (3)由矛盾断定所作假设不正确，从而肯定 原命题的结论正确 3分钟回顾速记 ©三角形的外心是三角形三条边的垂 直平分线的交点， 。当命题从正面不易证明时，采用反 证法 197 86核心知识6切线的判定定理和性质定理 考频★★★ 主干知识速记 1直线和圆的位置关系 相交、相切、相离. 2切线的判定定理 (必考 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线 是圆的切线 如图，若OA是⊙0的半 径，OA⊥直线I于点A, 第二十四章 则直线l是⊙0的切线： 圆 A 3切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 如图，若直线l是⊙0的切线， A为切点，则直线1⊥OA. 打卡首记时间月日第2天第3天第5天第8天第16天第32天 198 重点知识速记 1相交、相切、相离的区别 名称 相交 相切 相离 图示 d 公共点 0 个数 2 1 d与r 的关系 d<r d=r d>r 公共点 名称 交点 切点 2切线的判定方法 (1)定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆 的切线. (2)数量关系法：到圆心的距离等于半径的 直线是圆的切线. (3)判定定理法：经过半径的外端并且垂直 199 于这条半径的直线是圆的切线， 3证明圆的切线的方法 (1)当直线和圆有一个公共点时，把圆心和 这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这 条半径，简称：“连半径，证垂直” (2)当直线和圆的公共点没有明确时，可过 圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等 于半径，简称：“作垂直，证半径” 4切线的性质定理的推论 (1)经过圆心且垂直于切线的直线必经过 切点 (2)经过切点且垂直于切线的直线必经过 圆心· 3分钟回顾速记 ④切线的性质：见切点，连半径，得 垂直 。切线的判定：连半径，证垂直，得 切线。 200 87> 核心知识7切线长及切线长定理 考频★☆☆ 主干知识速记 1切线长 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之 间线段的长，叫做这点到圆的切线长 嘿，兄弟， 咱俩的长度 都是切线长 2切线长定理 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的 第二十四章 切线长相等，这一点和圆心的连线平分两 圆 条切线的夹角。 过我可以作圆 过我只能作圆 的两条切线· 的一条切线. 打卡首记时间月日第2天第3天第5天第8天第16天第32天 201 重点知识速记 1切线和切线长 切线长是指圆外一点和切点之间线段的长，不 是“切线的长”的简称.切线是一条直线，而 非线段. 2切线长定理的两个结论 线段相等和角相等.如图，若PA,PB是⊙O 的两条切线，则PA=PB,∠APO=∠BPO= 分∠APR B 注意：切线长定理是证明线段相等、角相等、 孤相等以及垂直关系的重要依据 3分钟回顾速记 。从圆外一点可以引圆的两条切线 它们的切线长相等，这一点和圆心的 连线平分两条切线的夹角 202 88核心知识8 圆和圆的位置关系、三角 形的内切圆 考频★☆☆ 主干知识速记 1圆和圆的位置关系 外离、外切、相交、内切、内含. 内含 外切 内切 2三角形的内切圆和内心 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内 第二十四章 切圆，这个三角形叫做这个圆的外切三角形 圆 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心. 我的圆心到你三 边的距离相等 打卡首记时间月日第2天第3天第5天第8天第16天第32天 203 重点知识速记 圆和圆的五种位置关系 圆和圆 公共 圆心距d与两 圆半径r1,T2 的位置 图示 点个 的关系（r2> 关系 数 n) 相 离 外离 0 02 d>r+r2 0 内含 0≤d<r2-T1 外切 0 .02 d=r+r2 相 切 内切 1 002 d=r2-r1 T2-r1<d< 相交 0 02 2 r1+r2 204 2三角形的内切圆 (1)一个圆可以有无数个外切三角形，但是 一个三角形只有一个内切圆. (2)三角形内切圆的作法： ①确定圆心：三角形两条角平分线的交点即为 圆心. ②确定半径：交点到三角形任意一边的距离即 为内切圆的半径， 3三角形的内心 (1)三角形的内心是三角形三条角平分线的 交点.三角形的内心到三角形三条边的距离 相等，且等于其内切圆的半径（注：三角形的 外心到三角形的三个顶点距离相等) (2)三角形的内心一定在三角形的内部， 3分钟回顾速记 ©判断圆和圆的位置关系的关健是确 定d,r1,r2的关系. 。三角形的内心到三角形三边的距离 相等 205 89核心知识9正多边形和圆 考频★☆☆ 主干知识速记 1各边相等、各角也相等的多边形是正多边形， 正多边形家族 你走错地方了，我们 家族不只是各边相 等，各角也得相等 正六 边 G 第二十四章 正五 菱形》 边形 等等我，我也 圆 是你们家族的 2正多边形的外角和是360°. 正n边形的每个外角都相 等，并且都等于 360° n 打卡首记时间月日第2天第3天第5天第8天第16天第32天 206 重点知识速记 1圆内接正多边形的相关概念 名称 概念 图示 一个正多边形的外 中心 接圆的圆心叫做这 个正多边形的中心 正多边形的外接圆 半径 的半径叫做正多边 中)半径R 形的半径 0 边心 距r 中心 正多边形每一边所 对的圆心角叫做正 角 多边形的中心角 正多边形的中心到 边心 正多边形一边的距 距 离叫做正多边形的 边心距 2正多边形的性质 (1)所有的正多边形都是轴对称图形，一个 正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过 207 正n边形的中心.n为偶数时它还是中心对称 图形，它的中心就是对称中心 (2)正多边形的内角与外角互补. (3)正多边形的中心角等于外角. (4)正多边形的内角和中心角互补， 3正多边形的有关计算 (1)正n边形的每个内角都等于 n-2)180° 九 360° (2)正n边形的每个中心角都等于 九 360° (3)正n边形的每个外角都等于 (4)设正n边形的半径为R,边长为a,边心 距为r,则有①半径、边长、边心距的关系为 R-=(受)3，②周长1=a;③面积S=m· 3分钟回顾速记 。正多边形的外角和是360°」 。正多边形的外接圆和内切圆是同 心圆. 208 90 核心知识10弧长和扇形面积 考频★★☆ 主干知识速记 1n°的圆心角所对的弧长为l=nπR. 180 我得用泰长公 式算一算要多 远才到家. R n i= nTR 180 S扇形=nTP。 2 1,1 360 R·R=之R,其 2· 180 第二十四章 中L为扇形的弧长，R为半径. 圆 R C扇形=2R+1. 打卡首记时间月日第2天第3天第5天第8天第16天第32天 209 重点知识速记 ①弧长 (1)若圆心角的单位不全是度，则需要先化 为度后再计算弧长.弧长公式中的n和180表 示倍数关系，没有单位 (2)题中若没有写明精确度，可用含π的代 数式表示弧长，如弧长为2π，36π等. (3)弧相等指两条弧全等，弧长相等指弧的 长度相等.弧长相等的弧不一定是等弧，只有 在同圆或等圆中才是等弧 2扇形面积 (1)扇形面积公式中的几是弧所对圆心角的度 数，在计算扇形面积时，n和360都不带单位. (2)已知S扇形，l,n,R四个量中的任意两个量， 就可以求出另外两个量 (3)扇形面积公式的选择：当已知半径R和 圆心角的度数求扇形面积时，应选用公式 S扇形 360 当已知半径R和弧长1求扇形 210 面积时，应选用公式S扇形= 该公式与 三角形面积公式十分相似，只要把扇形看成一 个底边为曲边的等腰三角形，把弧长看成底， R看成底边上的高即可. 3弓形的面积 弓形面积可以看作是扇形面积和三角形面积的 分解与组合，实际应用时，可根据具体图形选 择下列公式： M ② 如图①，S号形=S扇形AOB-S△0AB时 如图②，S号形=S扇形AMOB+S△OAB· 3分钟回顾速记 张长公式l=nTR ◇ 180 ◆S痛形=nπR2 360 211 核心知识11 圆锥的相关概念和计算 考频★☆☆ 主干知识速记 1圆锥的母线 连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线 段叫做圆锥的母线. 母线有无 百零一条， 数条，你 百零 永远也画 条， 8南务。5 不完啦！ 第二十四章 2圆锥的侧面积和全面积 S侧=Trl,S全=S侧+S底=Trl+π己. 圆 2Tr 打卡首记时间月日第2天第3天第5天第8天第16天第32天 212 重点知识速记 1圆锥的相关概念 圆锥是由一个底面和一个侧面围成的几何体， 连接圆锥顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高 圆锥底面圆周上任意一点与顶点间的线段都是 圆锥的母线。 2圆锥的基本特征 (1)圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面 (2)圆锥的母线长都相等. 3若圆锥的母线长为1，底面半径为r,高为h, 则2+h2=2 4沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到圆锥 的侧面展开图是一个扇形.圆锥侧面展开图的 半径是圆锥的母线长，不能认为是圆锥的底面 半径 3分钟回顾速记 。圆维侧面展开图的半径是圆维的母 线长，要与底面半径区别开来 ◆S制=πl,S金=πrl+π子 213