专题02 相似三角形（知识&考点&公式&8高频&3易错&2重难&6模型，期中知识清单）九年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题02 相似三角形 目 录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(10类) 公式清单(20类) 辨析清单(8类) 题型类 高频题型清单(8类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(2类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点01 成比例线段 1．比例的基本性质：若 ，则 ad = ________（填乘积式）。 2．合比性质： ________。 3．等比性质：（分母和________）时， ________。 4．成比例线段：四条线段满足 ________（写比例式），则称这四条线段成比例线段。 5．黄金分割： ________ = ________（填比值与近似值），点 C 为 AB 的黄金分割点。 6．平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的 ________ 成比例。 7．三角形一边的平行线（A字型）： ________ = ________。 8．三角形重心：重心分每条中线为 ________ 两段（填长度比）。 知识点02 相似三角形 1．判定：① 两角对应 ________（AA）；② 两边对应 ________ 且夹角 ________（SAS）；③ 三边对应 ________（SSS）；④ 斜边和一直角边对应 ________（HL）；⑤ 平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形 ________。 2．性质：对应高的比 = 对应中线的比 = 对应角平分线的比 = ________；周长比 = ________；面积比 = ________。 3．全等是相似比等于 ________ 的特殊情形。 知识点03 相似多边形 1．相似多边形需同时满足：① 对应角 ________；② 对应边 ________。 2．相似多边形周长比 = ________；面积比 = ________。 知识点04 位似多边形 1．位似多边形除满足相似外，还要求对应顶点连线 ________（共点，即位似中心），且对应边 ________（或共线）。 2．位似比 = ________；对应点到位似中心的距离之比 = ________。 3．以原点为位似中心、相似比为 k：点 (x, y) 的对应点为 ________ 或 ________。 序号 考点 考查要求 常考题型 重要程度 1 比例性质（基本、合比、等比） 掌握比例性质，会用设 k 法求比值、代入求值 选择、填空、解答第1问 ★★★ 2 成比例线段与比例中项 判断四条线段是否成比例，求第四比例项、比例中项 选择、填空 ★★ 3 黄金分割 求黄金比，判断某点是否为黄金分割点 填空、解答 ★★ 4 平行线分线段成比例／三角形一边的平行线 由平行线比例关系求线段长，识别 A字型、8字型 选择、填空、解答 ★★★ 5 三角形重心 利用重心性质求线段比、线段长 填空、解答 ★★ 6 相似三角形判定 证明两三角形相似（AA、SAS、SSS、HL） 解答证明题 ★★★ 7 相似三角形性质 由相似比求边长、周长、面积（含面积比=相似比²） 选择、填空、解答 ★★★ 8 相似多边形性质 利用周长比、面积比求值 选择、填空 ★★ 9 位似图形（含坐标系） 判断位似、求位似中心、由位似比求对应点坐标 选择、填空、作图 ★★ 10 相似与全等、几何综合 相似判定与性质的综合应用，与四边形、函数结合 解答压轴 ★★★ 名称 公式 适用条件／说明 比例基本性质 a、b、c、d 均不为零 更比性质 反比性质 a、c 不为零 合比性质 分比性质 a>b、c>d 等比性质 分母和 b+d+…+n≠0 比例中项 b 是 a、c 的比例中项 黄金比 C 为 AB 的黄金分割点，AC>BC 平行线分线段成比例 三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例 定理 三角形一边的平行线（A字型） DE∥BC，点 D、E 在边 AB、AC 上 三角形一边的平行线（8字型） D、E 在延长线上，注意对应 三角形重心 G 为重心，D 为对边中点 相似三角形判定（AA） 两角对应相等 → 两三角形相似 相似三角形判定（SAS） 两边对应成比例且夹角相等 → 相似 夹角必须是两边的夹角 相似三角形判定（SSS） 三边对应成比例 → 相似 直角三角形相似（HL） 斜边与一直角边对应成比例 → 相似 两直角三角形 对应线段比 k 为相似比（高、中线、角平分线） 周长比 k 为相似比 面积比 面积比等于相似比的平方 坐标系位似 或 原点为位似中心，相似比 k 易混项 本质区别 常见误区／判别 记忆口诀 相似比与面积比、周长比 面积比 = 相似比的平方；周长比 = 相似比 求面积比时先求相似比再平方；切忌直接用相似比当作面积比 记“面积平方，周长一次” 全等与相似 全等 = 相似且对应边相等（相似比=1） 全等的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）是相似判定加对应边相等；全等是相似的特例 相似比等于 1 即全等 相似多边形与位似多边形 位似 = 相似 + 对应顶点连线共点（位似中心）+ 对应边平行 所有位似多边形一定相似，但相似多边形不一定位似 位似多了“中心”与“平行”两个条件 对应边与对应线段 对应线段（高、中线、角平分线）的比都等于相似比 只要是“对应线段”，其比均为相似比；面积比不满足 线段比 = 相似比；面积比 = 相似比² 平行线分线段成比例与三角形一边的平行线 前者是三条平行线截两条直线的一般结论；后者是前者在三角形中的特殊情形（A字、8字） 三角形一边平行线可直接用“对应线段成比例”，勿混淆上段/下段/全段的比例 三角形内找平行线，优先用三角形结论 更比、反比、合比、分比、等比 各自变形形式不同，且等比性质要求分母和不为零 用等比性质前先检查 b+d+…+n≠0；合比、分比注意分子加减 “等比看分母和，合比分比看加减” 内位似与外位似 位似中心在图形内部为内位似；在图形外部为外位似 坐标系中以原点为位似中心，同侧（k>0）与异侧（k<0）对应点坐标符号不同 k>0 同侧，k<0 异侧（坐标变号） 黄金分割点的位置 线段 AB 的黄金分割点有两个（靠近 A 与靠近 B 各一个） 题目指明 AC>BC 或某段较长时，只取对应那一个 黄金分割点不唯一，成对出现 【题型一】比例性质求值 【例1】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26九年级上·上海闵行·期中）如果，那么代数式的值是______． 【变式1-2】已知，则__________． 【变式1-3】已知，，求的值． 【题型二】黄金分割 【例2】（24-25九年级上·上海·期中）点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 【变式2-1】（25-26九年级上·上海·期中）已知点P为线段AB的黄金分割点，被分得较长的线段，那么较短的线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26九年级上·上海闵行·期中）点是在线段上，且，如果，那么的长为______． 【变式2-3】（25-26九年级上·上海·期中）如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在中，，是黄金角，点在边上，且点是的黄金分割点（）,联结．如果，那么的长是______． 【题型三】三角形一边的平行线（A字、8字） 【例3】（24-25九年级上·上海黄浦·期中）已知线段、、，求作第四比例线段，则以下正确的作图是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】在中，点D、E分别在边的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知，求作x，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，点D在边上，，．求证：． 【题型四】平行线分线段成比例 【例4】（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，，则________． 【变式4-1】（25-26九年级上·上海虹口·期中）如图，直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．已知． (1)求的长； (2)点O是直线与的交点，如果，求的长． 【变式4-2】（25-26九年级上·上海·期中）如图，，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F． (1)若，，，求EF的长； (2)若，，，求BE的长． 【变式4-3】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，直线、、分别交两条直线于点A，B，C，D，E，F，且， ，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型五】相似三角形判定 【例5】如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求 【变式5-1】（2025·上海崇明·一模）如图，在中，是边上的中线，点在上（不与重合），连接、，并延长交于点． (1)求证：； (2)当时，求证：． 【变式5-2】如图，已知在中，，点、分别在边、的延长线上，且，的延长线交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【题型六】相似三角形性质（边长·周长·面积） 【例6】（25-26九年级上·上海·期中）如果，且的面积为的面积为，那么与的周长之比为___________． 【变式6-1】（25-26九年级上·上海松江·期中）两个相似三角形中，我们把连接两条对应边中点的中位线称为这两个相似三角形的对应中位线．如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形的对应中位线之比为______． 【变式6-2】（25-26九年级上·上海·期中）如图，矩形的四个顶点都在的边上，且边落在上，．若，，，那么的长为_______________． 【变式6-3】（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，在四边形中，对角线与交于点E，，    (1)求证：； (2)如果，求的值． 【题型七】相似多边形 【例7】（25-26九年级上·上海崇明·期中）下列两个图形中，一定相似的是（   ） A．两个直角三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个矩形 【变式7-1】（25-26九年级上·上海松江·期中）以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子： 如图，设O是矩形对角线上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点P、Q，直线分别与边交于点R、S，那么由矩形与矩形的面积相等可以得到：，这个结论通常表示为 部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题： 命题甲：矩形与矩形相似． 命题乙：如果将矩形、矩形、矩形的面积依次记为、、，那么是和的比例中项． 关于这两个命题，下列判断正确的是（    ） A．命题甲是真命题，命题乙是假命题 B．命题甲是假命题，命题乙是真命题 C．命题甲、命题乙都是真命题 D．命题甲、命题乙都是假命题 【变式7-2】（25-26九年级上·上海嘉定·阶段检测）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”） (1)①三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题） ②两个大小不同的正方形相似．（ 命题） (2)如图，在凸四边形和凸四边形中，，=， = = ， 求证：四边形和四边形相似． 【变式7-3】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）． (1)①四条边成比例的两个凸四边形相似（_____命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，（_____命题） ③两个大小不同的正方形相似．（_____命题） (2)如图，在凸四边形和凸四边形中，，，求证：四边形和四边形相似 【题型八】坐标系中的位似 【例8】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．将点的横坐标、纵坐标都乘，得到点． (1)请写出点的坐标，并在所给的坐标系中画出； (2)与位似吗？如果位似，直接写出位似中心的坐标和相似比；否则，说明理由． 【变式8-3】已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为．与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中找出点P并写出点P的坐标； (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形，使与相似比为； (3)若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为______． 【题型一】等比性质忽略分母≠0 【例1】若，求的值． 【变式1-1】已知，则一次函数的图像一定经过第几象限？ 【变式1-2】若，求直线经过的象限． 【变式1-3】已知、、是非零实数，且满足,求的值． 【题型二】黄金分割点不唯一 【例2】．（25-26九年级上·上海青浦·期中）已知线段长度为，点P在线段上，且点P是线段的黄金分割点，则线段的长为_____． 【变式2-1】舞台的形状是一个矩形，宽为米，如果主持人站立的位置是宽的黄金分割点，那么主持人从台侧点沿走到主持的位置至少需走 米． 【变式2-2】点是线段的黄金分割点，求的值． 【变式2-3】（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长 （2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值． 【题型三】选择或补充条件判定相似三角形 【例3】（24-25九年级上·上海金山·期中）中，点是边上一点，联结，下列条件中，不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知的三边都不相等，如果与相似，且，那么下列等式一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，点是的边上一点，在下列四个条件中：①；②；③；④，其中能使得与一定相似的是（   ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【变式3-3】（24-25九年级上·上海闵行·期中）已知D、E分别是的边上的点（不与端点重合），且与不平行，要使得与相似____________（只填一个）． 【题型一】相似与函数综合 【例1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知：如图，在梯形ABCD中，，，，，点E在AD边上，且，连接CE．点P是边BC上的一个动点（点P与点B、C不重合），过点P作，交边AB于点Q．设，． (1)求梯形的面积； (2)求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)如果，求x的值． 【变式1-1】（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在等腰中，，，点是射线上的一点，连接，以为底边作等腰（点与点在直线两侧），且，连接． (1)求边的长； (2)当点在线段上时，设线段的长为，的面积为，求关于的函数解析式； (3)当是直角三角形时，求的值． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在直角图形中，，，对角线交于点，已知，，点是射线上任意一点，过点作，垂足为点，交射线于点M，射线于点H． (1)当点是线段中点时，求线段的长． (2)当点在线段上时（不与重合），设，，求关于x的函数解析式及定义域． (3)联结，如果线段与直角梯形中的一条边（除外）垂直时，求的值． 【变式1-3】（25-26九年级上·上海普陀·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、． (1)求抛物线的表达式和顶点M的坐标； (2)点D在抛物线对称轴上，，求点D的坐标； (3)抛物线的对称轴和x轴相交于点H，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为N，，的延长线交原抛物线于点E，，求新抛物线的表达式． 【题型二】相似与四边形 【例2】（25-26九年级下·上海长宁·期中）如图，正方形中，点E在对角线上，点F在边上（点F与点C不重合），且． (1)求证：； (2)在图中延长与交于点H，如果，求证：． 【变式2-1】（24-25九年级上·上海·期中）如图1，已知四边形是菱形，G是线段上任意一点时，联结交于点F，过点F作交于点H，可以证明结论成立（不必证明）． (1)探究：如图2，上述条件，若点G在的延长线上，其他条件不变时，结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． (2)计算：若菱形中，，点G在直线上，且，联结交所在的直线于点F，过点F作交所在直线于点H，求与的长． (3)发现：通过上述过程，你发现G在直线上，结论是否仍然成立？为什么？ 【变式2-2】（24-25九年级上·上海·期中）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，连接．求证：． (2)已知． ①如图2所示，连接，如果垂直平分线的交点P恰好落在的平分线上，求的长． ②如图3所示，如果点M在边上，连接、、，与交于点N，如果，且，，求边的长． 【模型一】设 k 法 模型 识别特征 方法／结论 记忆要点 模型1　设 k 法 出现连比例 或比值条件 令比值 = k，各量用 k 表示后代入求值、整体约分 “设 k—代 k—约 k”三步 【例1】（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知，且，求的值． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海·期中）已知a、b、c满足．求的值． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知，且，求、、值． 【变式1-3】（25-26九年级上·上海虹口·期中）已知：，，求的值． 【模型二】A字型 / 8字型 A字模型 如图一 如图二 如图三 8字——平行型 条件：CD∥AB, 结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似); 左右不一定相似,不一定全等，但面积相等; 四边形ABCD为一般梯形. 条件：CD∥AB,PD=PC. 结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似) ΔPAD≅ΔPBC左右全等； 四边形ABCD为等腰梯形； 8字——不平行型 条件：∠CDP=∠BAP. 结论：ΔAPB∼ΔDPC(上下相似); ΔAPD∼ΔBPC(左右相似); 【例2】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，在平行四边形中，E是边上一点，与相交于点O，与的延长线相交于点G，已知，，那么 ． 【变式2-1】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在中，，点、分别在边、上，，，．求 (1)线段的长； (2)的面积． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，已知在中，点D在边上，过点A作，交的延长线于点E，点F是延长线上一点，联结，如果． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 【变式2-3】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在平行四边形中，，点是对角线上的两点，且，的延长线交于点，的延长线交于点． (1)求的长： (2)设的面积为，求四边形的面积．（用含的代数式表示） 【模型三】三角形内接矩形 模型展示： 三角形内接正方形 三角形内接矩形 在∆ABC中，若水平底边BC=x，对应高AN=y 在正方形GFED中，边长为a，则， 在矩形GFED中，竖直边长为ma，水平边长为na，则 【例3】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在中，，正方形的边在的边上，顶点E、H分别在边、上，如果其面积为24，那么的值为 ． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上．已知长为60厘米，如果正方形的边长为20厘米，那么的高为 厘米． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，，高，正方形一边在上，点E，F分别在上，交于点N，求的长 【变式3-3】（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知在中，是上的高，且，，矩形的顶点、在边上，顶点、分别在边、上．    (1)设，矩形的周长为，求关于的函数解析式； (2)当为正方形时，求EF的长度． 【模型四】母子相似型 【例4】（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，已知点D、E分别是边、上的点，， (1)在线段上取点F，连接，如果，求证：； (2)连接，如果，求证：． 【变式4-1】（2025·上海奉贤·二模）如图，已知平行四边形中，点F是对角线上一点，，延长交边于点E． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 【变式4-2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图1，在中，是锐角，交边于点，点是边上一点，连接且满足，交边于点． (1)如图2，当点是边中点时，求证：； (2)当，且是直角三角形时，求此时的正切值； (3)记的面积为，的面积为，的面积为，若是和的比例中项，求的值． 【模型五】一线三等角 模型展示：如图，已知：∠A＝∠CPD＝∠B，则△ACP∽△BPD.因为图中一条直线上有三个相等的角，故称为“一线三等角”型相似． 【例5】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知等边 的边长为8，点D、P、E分别在边上，，E为中点，当与相似时，求的值． 【变式5-1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知，等边三角形的边长为4，D在边上，且． (1)填空：的长为_____； (2)求证：； (3)求的面积． 【变式5-2】（23-24九年级上·上海浦东新·期中）在矩形中，，．点是边上的一点（与端点、不重合）．      (1)如图1，当时，连结交于点，求线段的长度； (2)如图2，当时，求四边形的面积； (3)如图3，过点作的垂线，交边于点，交于点．设，，求关于的函数关系式，并写出定义域． 【变式5-3】（25-26九年级上·上海·阶段检测）在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 【模型六】旋转相似（手拉手） 模型展示： 将图①中的△ADE绕点A旋转一定角度，则得图②，图②为“旋转型”相似的基本图形 结论：∆ABD∽∆ACE，∆ADE∽∆ABC 【例6】（2024-2025学年九年级上上海市黄浦区期中）定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”如图，已知，与之间的距离为．“等高底”是钝角三角形，且，的“等底”在直线上，点在直线，有一边的长是的倍．将绕点按顺时针方向旋转得到，所在直线交于，则 ． 【变式6-1】（24-25九年级上·上海·期中）将大小两把含的直角三角尺按如图1摆放，大小直角尺的直角顶点C重合，小三角尺的顶点分别在大三角尺的直角边上，此时小三角尺的斜边恰好经过大三角尺的重心G．已知． (1)求小三角尺的直角边的长． (2)将小三角尺绕点C逆时针旋转，当点D第一次落在大三角尺的边上，求之间的距离． 【变式6-2】（1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且点不与、重合，点不与、重合，，，，求的长．小明利用正方形的性质，通过把旋转到的位置（如图2），就计算出了的长为_____． （2）如图3，是正方形的边上的任意一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接．求的度数． （3）如图4，正方形中，过点再作，垂足为，连接．求证：． 【变式6-3】（2024-2025学年九年级上上海市建平实验中学期中）在中，，绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在斜边上的点D，设点A旋转后与点E重合，连接，过点E作直线与射线垂直，交点为M． (1)若点M与点B重合如图1，求的值； (2)若点M在边上如图2，设边长，点M与点B不重合，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)若，求斜边的长． 序号 技巧 操作要点 1 判相似，先找角 优先找公共角、对顶角、平行线产生的同位角/内错角、直角、等腰三角形的底角；找到两角相等即可用 AA，不必证全等条件 2 连比例，统一设 k 出现 先设 k，切忌分别设未知数造成混乱 3 面积比↔相似比 由面积比求相似比要开平方；由相似比求面积比要平方；先辨清题目给的是哪种比 4 写比例式要对齐 先标出对应顶点，再写对应边比例；比例式书写顺序一致，避免错位 5 求线段，先判定再比 优先用平行线分线段成比例或相似三角形对应边成比例；注意“分线段/全线段”关系 6 位似看中心和方向 先确定位似中心与位似比，再分同侧（k>0）、异侧（k<0）书写坐标或作图 7 用性质先验条件 等比性质先验分母和≠0；黄金分割看清较长/较短段；比例中项注意开方取正 8 辅助线构造相似 遇比例/线段比无从下手时，作平行线构造 A字型/8字型，或寻找母子相似、一线三等角 9 书写规范 证明相似写明判定依据（AA/SAS/SSS/HL），比例式标注对应关系，最后作答前复核单位与符号 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 相似三角形 目 录 识记类 思维导图 知识清单(4类) 考点清单(10类) 公式清单(20类) 辨析清单(8类) 题型类 高频题型清单(8类) 易错题型清单(3类) 重难题型清单(2类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点01 成比例线段 1．比例及其性质（ 均不为零）： ① 基本性质：；反之，若 ，则 。 ② 更比性质：。 ③ 反比性质：（）。 ④ 合比性质：。 ⑤ 分比性质：（）。 ⑥ 等比性质：若 （），则 。 2．成比例线段：四条线段 中，若 （或 ），则这四条线段叫做成比例线段。其中 为外项， 为内项； 称为第四比例项。 3．比例中项：若 （即 ），则 叫做 的比例中项。 4．黄金分割：点 把线段 分成两段 、（），若 ，即 ，则点 是线段 的黄金分割点。黄金比：（较短段与较长段之比亦为黄金比）。 5．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 6．三角形一边的平行线（性质定理）：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例。 　　A字型（点在线段上）：；　8字型（点在延长线上）：（注意对应）。 7．三角形一边的平行线（判定定理）：一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 8．三角形重心：三角形三条中线的交点叫做重心。重心到顶点的距离等于它到对边中点的距离的 2 倍，即 （ 为重心， 为对边中点）。 知识点02 相似三角形 1．定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，记作“”。相似用符号“”表示，读作“相似于”。 2．判定定理： ① 两角对应相等，两三角形相似（AA）； ② 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）； ③ 三边对应成比例，两三角形相似（SSS）； ④ 直角三角形：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似（HL）； ⑤ 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似。 3．性质： ① 对应角相等，对应边成比例； ② 对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比； ③ 周长的比等于相似比； ④ 面积的比等于相似比的平方。 4．与全等的关系：全等三角形是相似比为 1 的特殊相似三角形；全等的判定条件（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）是相似判定（SSS、SAS、AA、HL）加上对应边相等。 知识点03 相似多边形 1．定义：两个边数相同的多边形，如果对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。 2．相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比（注意：两个相似多边形的相似比互为倒数，书写时要分清顺序）。 3．判定：对应角相等且对应边成比例的多边形相似（多边形相似必须同时满足“角”与“边”两个条件，仅角相等或仅边成比例均不充分）。 4．性质：① 对应角相等，对应边成比例；② 周长比等于相似比；③ 面积比等于相似比的平方。 知识点04 位似多边形 1．定义：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点所在的直线都经过同一点，对应边互相平行（或共线），那么这两个多边形叫做位似多边形，这个点叫做位似中心，相似比叫做位似比。 2．位似中心：两个位似图形的对应顶点连线相交于位似中心；位似中心可位于图形的内部（内位似）、外部（外位似）或边上。 3．性质：① 对应边互相平行（或在同一直线上）且成比例；② 对应顶点与位似中心在同一直线上；③ 对应点到位似中心的距离之比等于位似比。 4．位似作图：以某点为位似中心，取定比例系数（位似比）放大或缩小图形，关键是确定各顶点的对应点，再依次连接。 5．坐标系中的位似：以原点为位似中心，相似比为 ，原图形上点 的对应点为 或 （异侧取负）。 序号 考点 考查要求 常考题型 重要程度 1 比例性质（基本、合比、等比） 掌握比例性质，会用设 k 法求比值、代入求值 选择、填空、解答第1问 ★★★ 2 成比例线段与比例中项 判断四条线段是否成比例，求第四比例项、比例中项 选择、填空 ★★ 3 黄金分割 求黄金比，判断某点是否为黄金分割点 填空、解答 ★★ 4 平行线分线段成比例／三角形一边的平行线 由平行线比例关系求线段长，识别 A字型、8字型 选择、填空、解答 ★★★ 5 三角形重心 利用重心性质求线段比、线段长 填空、解答 ★★ 6 相似三角形判定 证明两三角形相似（AA、SAS、SSS、HL） 解答证明题 ★★★ 7 相似三角形性质 由相似比求边长、周长、面积（含面积比=相似比²） 选择、填空、解答 ★★★ 8 相似多边形性质 利用周长比、面积比求值 选择、填空 ★★ 9 位似图形（含坐标系） 判断位似、求位似中心、由位似比求对应点坐标 选择、填空、作图 ★★ 10 相似与全等、几何综合 相似判定与性质的综合应用，与四边形、函数结合 解答压轴 ★★★ 名称 公式 适用条件／说明 比例基本性质 a、b、c、d 均不为零 更比性质 反比性质 a、c 不为零 合比性质 分比性质 a>b、c>d 等比性质 分母和 b+d+…+n≠0 比例中项 b 是 a、c 的比例中项 黄金比 C 为 AB 的黄金分割点，AC>BC 平行线分线段成比例 三条平行线截两条直线，所得对应线段成比例 定理 三角形一边的平行线（A字型） DE∥BC，点 D、E 在边 AB、AC 上 三角形一边的平行线（8字型） D、E 在延长线上，注意对应 三角形重心 G 为重心，D 为对边中点 相似三角形判定（AA） 两角对应相等 → 两三角形相似 相似三角形判定（SAS） 两边对应成比例且夹角相等 → 相似 夹角必须是两边的夹角 相似三角形判定（SSS） 三边对应成比例 → 相似 直角三角形相似（HL） 斜边与一直角边对应成比例 → 相似 两直角三角形 对应线段比 k 为相似比（高、中线、角平分线） 周长比 k 为相似比 面积比 面积比等于相似比的平方 坐标系位似 或 原点为位似中心，相似比 k 易混项 本质区别 常见误区／判别 记忆口诀 相似比与面积比、周长比 面积比 = 相似比的平方；周长比 = 相似比 求面积比时先求相似比再平方；切忌直接用相似比当作面积比 记“面积平方，周长一次” 全等与相似 全等 = 相似且对应边相等（相似比=1） 全等的判定（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）是相似判定加对应边相等；全等是相似的特例 相似比等于 1 即全等 相似多边形与位似多边形 位似 = 相似 + 对应顶点连线共点（位似中心）+ 对应边平行 所有位似多边形一定相似，但相似多边形不一定位似 位似多了“中心”与“平行”两个条件 对应边与对应线段 对应线段（高、中线、角平分线）的比都等于相似比 只要是“对应线段”，其比均为相似比；面积比不满足 线段比 = 相似比；面积比 = 相似比² 平行线分线段成比例与三角形一边的平行线 前者是三条平行线截两条直线的一般结论；后者是前者在三角形中的特殊情形（A字、8字） 三角形一边平行线可直接用“对应线段成比例”，勿混淆上段/下段/全段的比例 三角形内找平行线，优先用三角形结论 更比、反比、合比、分比、等比 各自变形形式不同，且等比性质要求分母和不为零 用等比性质前先检查 b+d+…+n≠0；合比、分比注意分子加减 “等比看分母和，合比分比看加减” 内位似与外位似 位似中心在图形内部为内位似；在图形外部为外位似 坐标系中以原点为位似中心，同侧（k>0）与异侧（k<0）对应点坐标符号不同 k>0 同侧，k<0 异侧（坐标变号） 黄金分割点的位置 线段 AB 的黄金分割点有两个（靠近 A 与靠近 B 各一个） 题目指明 AC>BC 或某段较长时，只取对应那一个 黄金分割点不唯一，成对出现 【题型一】比例性质求值 【例1】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知，，那么下列等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由得， A、，则， ∴，故不符合题意； B、，则， ∴，故不符合题意； C、，则， ∴，故不符合题意； D、，则， ∴，故符合题意， 故选：D． 【变式1-1】（25-26九年级上·上海闵行·期中）如果，那么代数式的值是______． 【答案】 【详解】解：由 ，得 ． 所以 ． 故答案为 ． 【变式1-2】已知，则__________． 【答案】 【详解】解：∵，且，，作为分母不为， ∴，，， 将其代入所求分式得： ． 【变式1-3】已知，，求的值． 【答案】44 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 【题型二】黄金分割 【例2】（24-25九年级上·上海·期中）点P是线段的黄金分割点， 且 ，那么 _______． 【答案】 【详解】解： 点是线段的黄金分割点， ， ， ， ， ． 【变式2-1】（25-26九年级上·上海·期中）已知点P为线段AB的黄金分割点，被分得较长的线段，那么较短的线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的黄金分割点，且是较长的部分， ， 设，则， ， 交叉相乘得：，即， 整理得：， 解方程： ， ， ， ． 故选． 【变式2-2】（25-26九年级上·上海闵行·期中）点是在线段上，且，如果，那么的长为______． 【答案】 【详解】解：点是在线段上，且， 点是线段的黄金分割点， ， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26九年级上·上海·期中）如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在中，，是黄金角，点在边上，且点是的黄金分割点（）,联结．如果，那么的长是______． 【答案】 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴， 在中，，是黄金角， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型三】三角形一边的平行线（A字、8字） 【例3】（24-25九年级上·上海黄浦·期中）已知线段、、，求作第四比例线段，则以下正确的作图是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵线段x为线段a、b、c的第四比例线段， ∴， A、根据作图可知，故本选项错误； B、根据作图可知，故本选项错误； C、根据作图可知，故本选项错误； D、根据作图可知，故本选项正确． 故选：D． 【变式3-1】在中，点D、E分别在边的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：当时，，A选项正确，符合题意； 当时，不能判定，B、C选项错误，不符合题意； 当时，不能判定，D选项错误，不符合题意． 故选：A． 【变式3-2】已知，求作x，那么下列作图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵， ∴或． A．作出的为，故不符合题意； B．该情况无法作图，故不符合题意； C．作出的为，故符合题意； D．作出的为，故不符合题意； 故选C． 【变式3-3】（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，点D在边上，，．求证：． 【详解】证明：， ， ， ， ． 【题型四】平行线分线段成比例 【例4】（24-25九年级上·上海青浦·期中）如图，，则________． 【答案】6 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 则 ∴ 故答案为：6 【变式4-1】（25-26九年级上·上海虹口·期中）如图，直线、、分别交直线于点A、B、C，交直线于点D、E、F，且．已知． (1)求的长； (2)点O是直线与的交点，如果，求的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 答：的长为． （2）∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得． 答：的长为5． 【变式4-2】（25-26九年级上·上海·期中）如图，，直线m、n与a、b、c分别相交于点A、B、C和点D、E、F． (1)若，，，求EF的长； (2)若，，，求BE的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：过点A作交于点G，交于点H， ∵， ∴四边形均为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得， ∴． 【变式4-3】（25-26九年级上·上海浦东新·期中）如图，直线、、分别交两条直线于点A，B，C，D，E，F，且， ，，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【详解】(1)证明：过点D作，交于点N，交的延长线于点M， ，即， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 设， ：：3， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ； （2）解：，，， ， ， ，，，， ， ， ， ， ， 的长为 【题型五】相似三角形判定 【例5】如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． (1)求证：； (2)当时，求 【详解】(1)证明：∵四边形为菱形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接交于点O， ∵四边形为菱形，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 【变式5-1】（2025·上海崇明·一模）如图，在中，是边上的中线，点在上（不与重合），连接、，并延长交于点． (1)求证：； (2)当时，求证：． 【详解】(1)证明：∵， ， ， 又是边上中线， ， ， 又， ； (2)证明：，   ， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ． 【变式5-2】如图，已知在中，，点、分别在边、的延长线上，且，的延长线交于点． (1)求证：； (2)如果，求证：． 【详解】(1)证明：， ． 、分别是和的外角， ，， ， ． 又， ． (2)证明：，， ． ， ， ， 即． 在和中， ， ， ， ． 【题型六】相似三角形性质（边长·周长·面积） 【例6】（25-26九年级上·上海·期中）如果，且的面积为的面积为，那么与的周长之比为___________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴与的面积比为， ∴与的相似比为， ∴与的周长比为． 故答案为． 【变式6-1】（25-26九年级上·上海松江·期中）两个相似三角形中，我们把连接两条对应边中点的中位线称为这两个相似三角形的对应中位线．如果两个相似三角形的面积之比为，那么这两个三角形的对应中位线之比为______． 【答案】 【详解】解：设相似比为，则面积比为． ∵面积比为， ∴，解得：（取正值）， ∴相似比为 ． ∵对应中位线是连接对应边中点的线段， ∴其长度比等于相似比，即对应中位线之比为 ． 故答案为：． 【变式6-2】（25-26九年级上·上海·期中）如图，矩形的四个顶点都在的边上，且边落在上，．若，，，那么的长为_______________． 【答案】 【详解】解：如图：设交于点M． ∵四边形是矩形， ， ， ， 设，则有，， ，解得：， 【变式6-3】（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，在四边形中，对角线与交于点E，，    (1)求证：； (2)如果，求的值． 【详解】(1)证明：， 又， ； （2）解：， ， ， ， ， ． ∴． 【题型七】相似多边形 【例7】（25-26九年级上·上海崇明·期中）下列两个图形中，一定相似的是（   ） A．两个直角三角形 B．两个菱形 C．两个正方形 D．两个矩形 【答案】C 【详解】解：A、两个直角三角形的形状不一定相同，不一定相似，不符合题意； B、两个菱形的形状不一定相同（对应角不一定相等），不一定相似，不符合题意； C、两个正方形的形状一定相同，一定相似，符合题意； D、两个矩形的形状不一定相同（对应边不一定成比例），不一定相似，不符合题意； 故选：C 【变式7-1】（25-26九年级上·上海松江·期中）以下是利用出入相补原理解决比例线段问题的一个例子： 如图，设O是矩形对角线上任意一点，过点O分别作一组邻边的平行线，直线分别与边交于点P、Q，直线分别与边交于点R、S，那么由矩形与矩形的面积相等可以得到：，这个结论通常表示为 部分同学进一步研究了这个图形，提出以下两个命题： 命题甲：矩形与矩形相似． 命题乙：如果将矩形、矩形、矩形的面积依次记为、、，那么是和的比例中项． 关于这两个命题，下列判断正确的是（    ） A．命题甲是真命题，命题乙是假命题 B．命题甲是假命题，命题乙是真命题 C．命题甲、命题乙都是真命题 D．命题甲、命题乙都是假命题 【答案】C 【详解】解：，， 四边形为平行四边形， ∵， 四边形为矩形， ， ， ， 矩形矩形， 命题甲为真命题； 设， ，， ，， ，， ，， ， ，， ，， ， 是和的比例中项， 命题乙也是真命题． 故选：C． 【变式7-2】（25-26九年级上·上海嘉定·阶段检测）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”） (1)①三个角分别相等的两个凸四边形相似；（ 命题） ②两个大小不同的正方形相似．（ 命题） (2)如图，在凸四边形和凸四边形中，，=， = = ， 求证：四边形和四边形相似． 【详解】（1）解：根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，可得： ①三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例； ②两个大小不同的正方形四个角分别相等，四条边对应成比例，所以两个大小不同的正方形相似，是真命题； 故答案为：假，真； (2)证明：连接， ∵，， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，，，，， ∴四边形和四边形相似． 【变式7-3】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，相似四边形对应边的比叫做相似比．某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）． (1)①四条边成比例的两个凸四边形相似（_____命题） ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，（_____命题） ③两个大小不同的正方形相似．（_____命题） (2)如图，在凸四边形和凸四边形中，，，求证：四边形和四边形相似 【详解】（1）解：根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边对应成比例的两个凸四边形叫做相似四边形，可得： ①四条边成比例的两个凸四边形相似，是假命题，角不一定相等； ②三个角分别相等的两个凸四边形相似，是假命题，边不一定成比例； ③两个大小不同的正方形四个角分别相等，四条边对应成比例，所以两个大小不同的正方形相似，是真命题； 故答案为：假，假，真； (2)证明：∵，， ∴， ∴，，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，，， ∴，，，，， ∴四边形和四边形相似． 【题型八】坐标系中的位似 【例8】如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵以原点为位似中心，将按的相似比缩小得到， ∴点的坐标是，即． 【变式8-1】如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是，则的对应点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形与四边形是位似图形，位似中心为点，位似比是 ， ∴，即 ， 由图可知，点与点在位似中心的同侧 ， ∴点的横、纵坐标均为点横、纵坐标的2倍 ， ∵， ∴点的坐标为，即． 【变式8-2】如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，．将点的横坐标、纵坐标都乘，得到点． (1)请写出点的坐标，并在所给的坐标系中画出； (2)与位似吗？如果位似，直接写出位似中心的坐标和相似比；否则，说明理由． 【答案】(1)； 如图，即为所求． (2)位似；位似中心的坐标为原点；相似比为 【详解】（1）解：∵点， ∴点的横坐标、纵坐标都乘，得 的坐标，即； 的坐标，即； 的坐标，即； 在坐标系中画出，再依次连接这三个点， 即可得到； （2）解：位似；位似中心的坐标为原点；相似比为。 如图：连接与、与、与，三条连线都经过原点， 各对应顶点的横、纵坐标的绝对值的比都是，所以相似比(位似比)为， 因此，与位似，位似中心的坐标为，位似比为． 【变式8-3】已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为．与是以点P为位似中心的位似图形． (1)在图中找出点P并写出点P的坐标； (2)以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形，使与相似比为； (3)若点为内一点，则点M在内的对应点的坐标为______． 【详解】(1)如图，点P即为所求，； (2)如图，即为所求； （3）解：由题意，点M在内的对应点的坐标为． 【题型一】等比性质忽略分母≠0 【例1】若，求的值． 【答案】6或． 【解析】（1）时，根据比例的等比性； （2）时，可得，则． 【变式1-1】已知，则一次函数的图像一定经过第几象限？ 【答案】三、四． 【解析】（1）时，根据比例的等比性，此时一次函数 经过一、三、四象限； （2）时，可得，则，此时一次函数经过二、三、四象限； 综上所述，函数必经过三、四象限． 【变式1-2】若，求直线经过的象限． 【答案】一、二、三或二、三、四． 【解析】（1）时，根据比例的等比性，此时一次函数 经过一、二、三象限； （2） 时，可得，则，此时一次函数 经过二、三、四象限． 【变式1-3】已知、、是非零实数，且满足,求的值． 【答案】8或． 【解析】设． （1）当时，根据比例的等比性， 此时有， 可得， 代入所求代数式，可得：； （2）当时，可得，，， 代入所求代数式，可得：． 【题型二】黄金分割点不唯一 【例2】．（25-26九年级上·上海青浦·期中）已知线段长度为，点P在线段上，且点P是线段的黄金分割点，则线段的长为_____． 【答案】或 【详解】解：∵线段长度为，点是线段的黄金分割点， ∴ 或 ， 把代入得， 或 ， 解得 或 . 【变式2-1】舞台的形状是一个矩形，宽为米，如果主持人站立的位置是宽的黄金分割点，那么主持人从台侧点沿走到主持的位置至少需走 米． 【答案】或． 【解析】注意线段的黄金分割点有两个，黄金比为，主持人需走的路程为 ；另一个比例则为，主持人需走的路程为． 【变式2-2】点是线段的黄金分割点，求的值． 【答案】或． 【解析】根据黄金分割点的定义，，即，两边同时除以，可解得=；或，类似的可得=． 【变式2-3】（1）点是线段的黄金分割点，，厘米，求的长 （2）已知点是线段的黄金分割点，，求的值． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】（1）根据黄金分割点定义，且，可知，此时； （2） 线段的黄金分割点有两个，与原线段比例分别为和，故或． 【题型三】选择或补充条件判定相似三角形 【例3】（24-25九年级上·上海金山·期中）中，点是边上一点，联结，下列条件中，不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图所示， A．， ， ， ， 故A不符合题意； B．， ， ， 不能判定与相似， 故B符合题意； C．， ， 故C不符合题意； D．，， ， 故D不符合题意； 故选：B． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）已知的三边都不相等，如果与相似，且，那么下列等式一定不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图， A、，，故，不符合题意； B、，，故，，不符合题意； C、，夹角不对应相等，故不能证明相似，符合题意； D、，若，则，不符合题意， 故选：C． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海松江·期中）已知，点是的边上一点，在下列四个条件中：①；②；③；④，其中能使得与一定相似的是（   ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【详解】解：如图： ∵是公共角， ∴当或时，（有两角对应相等的三角形相似），故①与②正确； 当，即时，（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故④正确； 当，即时，不是夹角，故不能判定与相似，故③错误； 综上，①②④正确． 故选：B． 【变式3-3】（24-25九年级上·上海闵行·期中）已知D、E分别是的边上的点（不与端点重合），且与不平行，要使得与相似____________（只填一个）． 【答案】或或（答案不唯一） 【详解】解：已知D、E分别是的边，且与不平行，， ∴， 故添加条件即可求得． 或添加条件即可求得． 或添加条件即可求得． 故答案为：或或（答案不唯一）． 【题型一】相似与函数综合 【例1】（25-26九年级上·上海·阶段检测）已知：如图，在梯形ABCD中，，，，，点E在AD边上，且，连接CE．点P是边BC上的一个动点（点P与点B、C不重合），过点P作，交边AB于点Q．设，． (1)求梯形的面积； (2)求y与x的函数解析式，并写出函数的定义域； (3)如果，求x的值． 【详解】（1）解：过点作于，过点作于． 则, ∵，， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∴, ∴. 在中，，， 由勾股定理得. ∴梯形的面积. 答：梯形的面积为． （2）解：∵，， ∴，． 过点作，交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）， ∴（平行四边形对边相等）． ∵， ∴， ∵，， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）． 在中，， 由平行线分线段成比例定理得 ∵，，，， ∴， 化简得，即． ∵点与不重合（），点在边上： 当时，，此时与重合； 当时，，不在上，不符合； 综上，函数取值范围为． 答：与的函数解析式为（）． （3）解：在等腰梯形中，，， ∴，即（在上）． ∵，且， 根据“两边对应成比例且夹角相等”，分两种对应比例情况： 情况1： ∵，，，， ∴，解得 代入，得， 化简得，解得（，符合取值范围）． 情况2： ∴，解得． 代入，得， 化简得，解得（，符合取值范围）． 综上，的值为或． 答：的值为或． 【变式1-1】（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，在等腰中，，，点是射线上的一点，连接，以为底边作等腰（点与点在直线两侧），且，连接． (1)求边的长； (2)当点在线段上时，设线段的长为，的面积为，求关于的函数解析式； (3)当是直角三角形时，求的值． 【详解】（1）解：如图1中，过点作于点， ∵，， ∴，， 设，，则， ∴， ∴， ∴； （2）解：如下图所示，与交于点，过作于点， ∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，设线段的长为， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴，， ∴， （3）解：当时， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，如图2，作于点， 同理，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）如图，在直角图形中，，，对角线交于点，已知，，点是射线上任意一点，过点作，垂足为点，交射线于点M，射线于点H． (1)当点是线段中点时，求线段的长． (2)当点在线段上时（不与重合），设，，求关于x的函数解析式及定义域． (3)联结，如果线段与直角梯形中的一条边（除外）垂直时，求的值． 【详解】（1）解：∵点是线段中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， 在中，，， ∴，则， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，又， ∴， 过M作交延长线于N， 则，即， ∵，， ∴，又， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 设，则， ∵点在线段上时（不与重合），且， ∴,， ∴， 解得，即， ∴， 即，定义域为； （3）解：当时，则， ∴， ∴，即， 由（2）知，，又， ∴， ∴， ∴ ，则， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵ ， ∴， 解得：，（舍）； 当时，如上图，则，又， ∴，， ∴，，，即， ∵，， ∴， ∴，则， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，即， 整理得：，即， 解得，（舍）， 综上，或． 【变式1-3】（25-26九年级上·上海普陀·期中）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点、、． (1)求抛物线的表达式和顶点M的坐标； (2)点D在抛物线对称轴上，，求点D的坐标； (3)抛物线的对称轴和x轴相交于点H，把抛物线平移，得到新抛物线的顶点为N，，的延长线交原抛物线于点E，，求新抛物线的表达式． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、、， ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为． ∴顶点M的坐标是； （2）解：由顶点坐标得，抛物线的对称轴为直线． ∵点D在抛物线对称轴上， ∴直线轴，则． ∵， ∴． ∴． ∵由勾股定理得，，， ∴． ∴， ∴点D的坐标是； （3）解：作轴于点F，轴于点G，则， ∴， ∵， ∴点N在线段的垂直平分线上． ∴点N的横坐标为． ∴． ∴． 把代入，得． ∴． ∴． ∴N． ∴新抛物线的表达式为． 【题型二】相似与四边形 【例2】（25-26九年级下·上海长宁·期中）如图，正方形中，点E在对角线上，点F在边上（点F与点C不重合），且． (1)求证：； (2)在图中延长与交于点H，如果，求证：． 【详解】(1)证明：如图，连接， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； (2)证明：如图， 设，则， ， 四边形是正方形， 、， 在中，由勾股定理得：， 由（1）知，， ， ， 解得， ， 四边形是正方形， 、，即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2-1】（24-25九年级上·上海·期中）如图1，已知四边形是菱形，G是线段上任意一点时，联结交于点F，过点F作交于点H，可以证明结论成立（不必证明）． (1)探究：如图2，上述条件，若点G在的延长线上，其他条件不变时，结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由． (2)计算：若菱形中，，点G在直线上，且，联结交所在的直线于点F，过点F作交所在直线于点H，求与的长． (3)发现：通过上述过程，你发现G在直线上，结论是否仍然成立？为什么？ 【详解】(1)结论成立． 证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴ ． （2）解：∵G在直线上， ∴分两种情况讨论如下： ∵四边形是菱形， ∴ ①点G在的延长线上时，， 如图，过B作于点Q， 由于四边形ABCD是菱形，， ， ， ∴， ， 又由， ∴， ∵是等边三角形， ， ∴即， 解得． 由（1）知， ； ②点G在的延长线上时，，如图，过B作于Q， ∵四边形是菱形，， ． ， ∴， ． 又由， ∴， ∴， ， ， ， ∴， ， ． (3)成立； 理由：由题干与小题（1）知点G在线段或的延长线上时都成立， 当G在的延长线上时， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ∴ 成立． 结合上述过程，发现G在直线CD上时，结论还成立． 【变式2-2】（24-25九年级上·上海·期中）在梯形中，，点E在边上，且． (1)如图1所示，点F在边上，且，连接．求证：． (2)已知． ①如图2所示，连接，如果垂直平分线的交点P恰好落在的平分线上，求的长． ②如图3所示，如果点M在边上，连接、、，与交于点N，如果，且，，求边的长． 【详解】(1)证明：如图：延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴, ∴； （2）解：①如图：过点P作于点F，连接， ∵点P为垂直平分线的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴，解得； ②如图：延长交于点K，过点E作，垂足为点Q， ∵， ∴， ∴， 由①知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由， 得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴设， ∵，， ∴ ∴，即， ∴，解得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得，， ∵， ∴． 【模型一】设 k 法 模型 识别特征 方法／结论 记忆要点 模型1　设 k 法 出现连比例 或比值条件 令比值 = k，各量用 k 表示后代入求值、整体约分 “设 k—代 k—约 k”三步 【例1】（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知，且，求的值． 【答案】 【详解】解：∵， ∴可设， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1-1】（24-25九年级上·上海·期中）已知a、b、c满足．求的值． 【答案】1 【详解】解：设， 则，，， 则． 【变式1-2】（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知，且，求、、值． 【答案】，， 【详解】解：因为， 所以设，，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，，． 【变式1-3】（25-26九年级上·上海虹口·期中）已知：，，求的值． 【答案】 【详解】解：∵ ∴设， ∵， ∴， 解得， ∴． 【模型二】A字型 / 8字型 A字模型 如图一 如图二 如图三 8字——平行型 条件：CD∥AB, 结论：ΔPAB∼ΔPCD(上下相似); 左右不一定相似,不一定全等，但面积相等; 四边形ABCD为一般梯形. 条件：CD∥AB,PD=PC. 结论：ΔPAB∼ΔPCD∼ΔPDC(上下相似) ΔPAD≅ΔPBC左右全等； 四边形ABCD为等腰梯形； 8字——不平行型 条件：∠CDP=∠BAP. 结论：ΔAPB∼ΔDPC(上下相似); ΔAPD∼ΔBPC(左右相似); 【例2】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如图，在平行四边形中，E是边上一点，与相交于点O，与的延长线相交于点G，已知，，那么 ． 【答案】5 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：5． 【变式2-1】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在中，，点、分别在边、上，，，．求 (1)线段的长； (2)的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ 【变式2-2】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，已知在中，点D在边上，过点A作，交的延长线于点E，点F是延长线上一点，联结，如果． (1)求证：； (2)如果，，求的值． 【详解】(1)证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 【变式2-3】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在平行四边形中，，点是对角线上的两点，且，的延长线交于点，的延长线交于点． (1)求的长： (2)设的面积为，求四边形的面积．（用含的代数式表示） 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，， ，， 点、是对角线上的两点，且， ， ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）， ， ， ， ， 四边形的面积为 【模型三】三角形内接矩形 模型展示： 三角形内接正方形 三角形内接矩形 在∆ABC中，若水平底边BC=x，对应高AN=y 在正方形GFED中，边长为a，则， 在矩形GFED中，竖直边长为ma，水平边长为na，则 【例3】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在中，，正方形的边在的边上，顶点E、H分别在边、上，如果其面积为24，那么的值为 ． 【答案】24 【详解】正方形面积为24， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上．已知长为60厘米，如果正方形的边长为20厘米，那么的高为 厘米． 【答案】 【详解】解：设的高为厘米． 由正方形得，，即， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴，， ∵长为厘米，正方形的边长为厘米， ∴， 解得． 即厘米． 故答案为：． 【变式3-2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，，高，正方形一边在上，点E，F分别在上，交于点N，求的长 【详解】解：设正方形的边长， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【变式3-3】（23-24九年级上·上海松江·期中）如图，已知在中，是上的高，且，，矩形的顶点、在边上，顶点、分别在边、上．    (1)设，矩形的周长为，求关于的函数解析式； (2)当为正方形时，求EF的长度． 【详解】（1）解：设交于点，    四边形是矩形，是上的高， ， ， ， ，， ， ， ， ， 故关于的函数解析式为：； （2）解：当为正方形时， ， ， 解得：，即． 【模型四】母子相似型 【例4】（25-26九年级上·上海闵行·期中）如图，已知点D、E分别是边、上的点，， (1)在线段上取点F，连接，如果，求证：； (2)连接，如果，求证：． 【详解】(1)证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； (2)证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， ∴． 【变式4-1】（2025·上海奉贤·二模）如图，已知平行四边形中，点F是对角线上一点，，延长交边于点E． (1)求证：； (2)当时，求证：四边形是菱形． 【详解】(1)证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 又∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴ ∴ ∴ (2)证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【变式4-2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图1，在中，是锐角，交边于点，点是边上一点，连接且满足，交边于点． (1)如图2，当点是边中点时，求证：； (2)当，且是直角三角形时，求此时的正切值； (3)记的面积为，的面积为，的面积为，若是和的比例中项，求的值． 【详解】(1)证明：过点作， ∴，， ∴ ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴，则， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴，则， 由，设，，则， ∴，则， ∴，即：， 当时，则， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 当时，过点作垂直于的延长线于， 则， ∴， ∵，，， ∴，， 则，， ∴，， 则， ∴； 综上，当是直角三角形时，的正切值为或； （3）由（2）可知，，， ∴， 设的面积为，则， 由题意可知，， ∴，令，则， 解得：（负值舍去），即：， ∴，，则，， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 则， ∴． 【模型五】一线三等角 模型展示：如图，已知：∠A＝∠CPD＝∠B，则△ACP∽△BPD.因为图中一条直线上有三个相等的角，故称为“一线三等角”型相似． 【例5】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知等边 的边长为8，点D、P、E分别在边上，，E为中点，当与相似时，求的值． 【答案】2或6或 【详解】解：设， ∵等边的边长为8， ∴， ∵E为中点， ∴， ①和是对应边时，， ∴， 即， 整理得，， 解得，， 即的长为2或6， ②和是对应边时，， ∴， 即， 解得， 即， 综上所述，的值是2或6或． 【变式5-1】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知，等边三角形的边长为4，D在边上，且． (1)填空：的长为_____； (2)求证：； (3)求的面积． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）解：作于F， ∵是等边三角形，，, ∴的高， ∴， 由（1）知， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式5-2】（23-24九年级上·上海浦东新·期中）在矩形中，，．点是边上的一点（与端点、不重合）．      (1)如图1，当时，连结交于点，求线段的长度； (2)如图2，当时，求四边形的面积； (3)如图3，过点作的垂线，交边于点，交于点．设，，求关于的函数关系式，并写出定义域． 【详解】（1）∵四边形是矩形，，， ，，． 又， ． 在中，，，， ． ∵， ． ． ． （2）∵，， ． ． ∵，， ． ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴, 四边形的面积为 四边形的面积为． （3）过点作交于点，则．    ∵四边形是矩形， ． ∵，， ． ． ． ． ∵，， ，． ∵， ． ∵，，， ． ． ∵，， ． ． 即． 整理得，（）． 【变式5-3】（25-26九年级上·上海·阶段检测）在中，，，点在边上运动（不与、点重合），点在边边上，且．    (1)如图1，求证：； (2)如图1，当时，求的长； (3)过点作交射线于点，连接，当时，求的长． 【详解】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ， ∵，， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ， ； （3）解：①当点F在的延长线上，作于，于，于，则，    ∴四边形为矩形， ，， ∵，，， ， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∵，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； ②当点F在线段上，如图所示：    同理①可得：， ， 当时，由点不与点重合，可知为等腰三角形， ， ， ； 综上所述：当时，． 【模型六】旋转相似（手拉手） 模型展示： 将图①中的△ADE绕点A旋转一定角度，则得图②，图②为“旋转型”相似的基本图形 结论：∆ABD∽∆ACE，∆ADE∽∆ABC 【例6】（2024-2025学年九年级上上海市黄浦区期中）定义：如果一个三角形一条边上的高等于这条边，那么这个三角形叫做“等高底”三角形，这条边叫做这个三角形的“等底”如图，已知，与之间的距离为．“等高底”是钝角三角形，且，的“等底”在直线上，点在直线，有一边的长是的倍．将绕点按顺时针方向旋转得到，所在直线交于，则 ． 【答案】或 【详解】解：分别过点作于点，点作于点，如图所示： 由题意可得：， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ①当时，则在中，由勾股定理得：， ∴， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ②当时，则在中，由勾股定理得：， ∴在中，由勾股定理得：， ∵， ∴，即， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述：或； 故答案为或； 【变式6-1】（24-25九年级上·上海·期中）将大小两把含的直角三角尺按如图1摆放，大小直角尺的直角顶点C重合，小三角尺的顶点分别在大三角尺的直角边上，此时小三角尺的斜边恰好经过大三角尺的重心G．已知． (1)求小三角尺的直角边的长． (2)将小三角尺绕点C逆时针旋转，当点D第一次落在大三角尺的边上，求之间的距离． 【详解】（1）解：∵， ∴， 连接并延长，交于点， ∵G为的重心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）连接， 由（1）知：，同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作，交于点，设，则：， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）； ∴， ∴． 【变式6-2】（1）如图1，在正方形中，点在边上，点在边上，且点不与、重合，点不与、重合，，，，求的长．小明利用正方形的性质，通过把旋转到的位置（如图2），就计算出了的长为_____． （2）如图3，是正方形的边上的任意一点，过点作的垂线交的延长线于点，连接．求的度数． （3）如图4，正方形中，过点再作，垂足为，连接．求证：． 【详解】（1）解：∵正方形 ， ∴，， ∵把旋转到的位置，如图2， ∴，，，， ∴， ，即、、在同一直线上， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， （2） 四边形是正方形， ，， ，， ， ，即 ， ， ， 是等腰直角三角形． ； （3）证明：如图4，连接， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∵四边形是正方形，是对角线， ∴是等腰直角三角形，，， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴， ∴． 【变式6-3】（2024-2025学年九年级上上海市建平实验中学期中）在中，，绕着点B按顺时针方向旋转，使点C落在斜边上的点D，设点A旋转后与点E重合，连接，过点E作直线与射线垂直，交点为M． (1)若点M与点B重合如图1，求的值； (2)若点M在边上如图2，设边长，点M与点B不重合，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； (3)若，求斜边的长． 【详解】（1）解：由旋转可知，， ， ， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ； （2）解：设与边交于G， 由（1）有，，， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ， ， ， ， ， ； （3）解：延长，交于H，如图， 由旋转有，， ， ∵， ， ， ， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（舍）， 当点M在延长线时，如图， ， ， ， ， ， ， ，， ， 即：或4． 序号 技巧 操作要点 1 判相似，先找角 优先找公共角、对顶角、平行线产生的同位角/内错角、直角、等腰三角形的底角；找到两角相等即可用 AA，不必证全等条件 2 连比例，统一设 k 出现 先设 k，切忌分别设未知数造成混乱 3 面积比↔相似比 由面积比求相似比要开平方；由相似比求面积比要平方；先辨清题目给的是哪种比 4 写比例式要对齐 先标出对应顶点，再写对应边比例；比例式书写顺序一致，避免错位 5 求线段，先判定再比 优先用平行线分线段成比例或相似三角形对应边成比例；注意“分线段/全线段”关系 6 位似看中心和方向 先确定位似中心与位似比，再分同侧（k>0）、异侧（k<0）书写坐标或作图 7 用性质先验条件 等比性质先验分母和≠0；黄金分割看清较长/较短段；比例中项注意开方取正 8 辅助线构造相似 遇比例/线段比无从下手时，作平行线构造 A字型/8字型，或寻找母子相似、一线三等角 9 书写规范 证明相似写明判定依据（AA/SAS/SSS/HL），比例式标注对应关系，最后作答前复核单位与符号 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $