第二十二章 二次函数（九年级上册）-【3分钟速记核心知识】2026年初中数学知识清单（河南专版）

2核心知识1二次函数的概念 考频★★☆ 主干知识速记 1二次函数的概念 必考 一 般地，形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数， a≠0)的函数，叫做二次函数.其中，x是 自变量，a,b,c分别是函数解析式的二次 项系数、一次项系数和常数项 全体都有，开始报数！ ax 第二十二章 我是二 我是一 我是常 次项 次项 数项 二次函数 2二次函数的一般形式 y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)叫 做二次函数的一般形式 打卡首记时间月日第2天第3天第5天第8天第16天第32天 167 重点知识速记 1二次函数必须满足的条件 (1)函数解析式是整式 (2)化简整理后自变量的最高次数是②. (3)二次项系数不为 0 2在y=ax2+bx+c(a≠0)中，x的取值范围 是全体实数 3二次项系数、一次项系数、常数项均是在二次 函数的一般式的前提下找的. 4 在y=ax2+bx+c中，若a=0,b≠0，c≠0， 则y=bx+c,是一次函数；若a=0,b=0, 则y=c,是常值函数. 5 当y=ax2+bx+c为函数时，a可以为0；当y= ax2+bx+c为二次函数时，a不能为0. 3分钟回顾速记 @二次函数的一般形式是y=ax2+bx+ c(a,b,c是常数，a≠0) 。判断一个函数是不是二次函数，要 先化简再判断 168 73 核心知识2y=ax(a≠0)的图象和性质 考频★★☆ 主干知识速记 二次函数y=ax2的图象和性质 y=ax2 a>0 a<0 图象 0 2 开口方向 向上 向下 对称轴 y轴 顶点坐标 (0,0) 第二十二章 当x<0时，y随 当x<0时，y随 x的增大而减小： x的增大而增大； 增减性 当x>0时，y随 当x>0时，y随 二次函数 x的增大而增大 x的增大而减小 最值 当x=0时，y有 当x=0时，y有 最小值，y最小值=0 最大值，y大值=0 打卡首记时间月日第2天第3天第5天第8天第16天第32天 169 重点知识速记 1二次函数的图象以其对称轴为“界”、顶点为 “限”，在对称轴的左侧和右侧，它的增减性 恰好相反.抛物线是向两方无限延伸的，左右 两侧应关于对称轴对称， 2 对于抛物线y=ax2,Ial越大，抛物线的开口 越小；Ial越小，抛物线的开口越大.如果两 个函数图象的形状是完全相同的，那么它们的 二次函数中Ial一定相等. 3在画函数图象时，图象必须平滑，顶端不能画 成尖的.为了准确快速地作出抛物线，往往采 用“五点法”来描点作图，作抛物线y=ax2的 图象时，以（0,0)为中心在其左右两侧各 取两组对称的点.连线时，必须按照自变量由 大到小（或由小到大)的顺序. 3分钟回顾速记 ◆二次函数y=ax2的图象是一条抛物 线，它的对称轴是y轴，顶点是原点 170 74核心知识3 y=a(x-h)2+k(a≠0)》 的图象和性质 考频★★☆ 主干知识速记 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 y=a (x- a<0 h)2+k a>0 信 h>0,k>0h<0,k>0h>0,k>0 h<0,k>0 图象 第二十二章 h<0,k<0h>0,<0h<0,k<0 h>0,k<0 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x=h 二次函数 顶点坐标 (h,k) 当x=h时， 当x=h时， 最值 y有最小值， y有最大值， Y最小值=k Y最大值=飞 打卡首记时间月日第2天第3天第5天第8天第16天第32天 171 重点知识速记 1二次函数图象的平移 向右或向左平移 y=ax 向右或向左平移个单位长度，再 Ihl个单位长度 =a(x-h)2 向上或向下平移k个单位长度 向右或向左平移 y=ax +k Ihl个单位长度 Y= a(x-h)}+ 2 二次函数y=a(x-h)2+k（a≠0)的图象 的画法 二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象是 与y=ax2(a≠0)的图象形状相同，顶点坐 标为(h,k)的一条抛物线，画这条抛物线时， 可以用描点法，也可以用平移法 3分钟回顾速记 二次函数y=a(x+h)2+k的对称 轴为x=h,顶点坐标为（-h,) 172 5核心知识4 y=ax2+bx+c(a≠0)的 图象和性质 考频★★★ 主干知识速记 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 必考 y=ax2+bx+c a>0 a<0 2a 图象 2a 开口方向 向上 向下 对称轴 直线x= b 第二十二章 2a 顶点坐标 (- b 4ac-b) 2a 4a 二次函数 当x=- b 时， 当么时 2a 最值 y有最小值， y有最大值， 4ac-b2 最值= 4ac-62 Aa Yy最大值= Aa 打卡首记时间月日第2天第3天第5天第8天第16天第32天 173 ③重点知识速记 1二次函数y=ax2+bx+c的图象是轴对称图形， 它关于直线 b 对称，对称轴与抛物线 2a 的交点为二次函数图象的顶点· 2在二次函数y=ax2+bx+c中，当对称轴在y 轴左侧时，~元30，a,6异号；当对称轴在 y轴右侧时，-云0，a,6同号. 3抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点在y轴正半 轴时，c>0;在y轴负半轴时，c<0. 4若两个二次函数的图象形状完全相同且开口方 向相同，则它们的二次项系数必相等 3分钟回顾速记 抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为 直线x=-b,顶点坐标为(- 2a 2a 4ac-b2) 4a 174 76核心知识5 图象特征与字母系数的 关系 考频★★☆ 主干知识速记 二次函数的图象与字母系数的关系 字母 字母的符号 图象的特征 a>0 开口向上 a a<0 开口向下 b=0 对称轴为y轴 b ab>0(a,b同号) 对称轴在y轴左侧 ab<0(a,b异号) 对称轴在y轴右侧 c=0 过原点 c>0 与y轴正半轴相交 第二十二章 c<0 与y轴负半轴相交 2 二次函数 8a>0b>0 a>U 打卡首记时间月日第2天第3天第5天第8天第16天第32天 175 重点知识速记 1由a的符号可确定抛物线的开口方向，简记为 “上正下负” 2由a,b的符号可确定对称轴的位置，简记为 “左同右异” 3由c的符号可确定抛物线与y轴的交点的位置， 简记为“上正下负”· 4a+b+c的正负看函数在x=1时函数值的情 况；a-b+c的正负看函数在x=-1时函数值的 情况. 54a+2b+c的正负看函数在x=2时函数值的情 况；4a-2b+c的正负看函数在x=-2时函数值 的情况. 由。的符号和对称轴x=-云的位置可确定6 6 的符号. 3分钟回顾速记 ◇ 抛物线y=ax2+bx+c中，a的符号 决定开口方向，a,b的符号决定对称 轴的大致位置，C的符号决定与y轴交 点的大致位置 176 分>核心知识6 二次函数与一元二次方程 的关系 考频★★☆ 主干知识速记 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数y=ax2+bx+c 判别 一元二次方程 式情 ax2+bx+c= 况 0的根的情况 a>0 a<0 AY 两个不相等的 4>0 实数根 第二十二章 2 两个相等的实 △=0 数根 二次函数 1（x2） A △<0 0 没有实数根 打卡首记时间月日第2天第3天第5天第8天第16天第32天 177 ③重点知识速记 1对于抛物线y=ax2+bx+c,当y=0时，得到 一元二次方程ax2+bx+c=0,所以一元二次 方程的根就是抛物线与x轴交点的横坐标： 2二次函数与x轴只有一个交点时，其坐标为 3抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方的点的纵坐标 都为正，所对应的x的所有值就是不等式x2+ bx+c>0的解集；在x轴下方的点的纵坐标都 为负，所对应的x的所有值就是不等式ax+bx+ c<0的解集. 4 抛物线y=ax2+bx+c与直线y=kx+m的交点 的坐标是方程组x+~的解. 3分钟回顾速记 。抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点 的横坐标就是一元二次方程ax2+bx+ c=0的根 178 78核心知识7 二次函数解析式的求法及 应用 考频★★★ 主干知识速记 ①二次函数解析式的三种形式 一般式、顶点式、交点式： 选娜种方法求 a,b,c好呢？ 我们是任 我是最 意三点， 低点. 我们是与x轴的交点 第二十二章 2利用二次函数解决实际问题的基本思路 审、设、列、解、验、答 不好，再往前会不会碰乱了发型！ 二次函数 打卡首记时间月日第2天第3天第5天第8天第16天第32天 179 重点知识速记 ①函数解析式形式的选择 (1)当已知抛物线上三点的坐标时，可设函 数的解析式为y=ax2+bx+c. (2)当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值 时，可设函数的解析式为y=a(x-h)2+k. (3)当已知抛物线与x轴的两个交点（x1,0), (x2,0)时，可设函数的解析式为y=a（x- x1）（x-x2） 2利用二次函数解决实际问题时的注意事项 (1)利用二次函数解决图形面积的最值问题 时，可以把面积最值问题转化为二次函数的最 值问题.通常是根据图形中线段的关系，找到 相应线段与面积之间的函数关系，将其转化为 二次函数问题. (2)利用二次函数解决最大利润问题时，要 熟练掌握利润问题中相关数量的意义以及常用 的数量关系.常见销售问题中的数量关系：利 润=售价-进价，总利润=单件商品的利润× 180 总销售量，利润率= 利润 ×100%. 进价 (3)利用二次函数解决抛物线形问题时，要 先根据实际情况建立适当的平面直角坐标系， 再将实际问题中的条件转化为平面直角坐标系 中的点和线的问题. (4)利用二次函数求解实际问题时，检验容 易被忽略，求得的结果除了要满足题中的数量 关系，还要符合实际问题的意义。 3设函数解析式的技巧 (1)若抛物线的顶点在原点，可设函数解析 式为y=ax2. (2)若抛物线的顶点在y轴上，可设函数解析 式为y=ax2+c. (3)若抛物线的顶点在x轴上，可设函数解析 式为y=a(x-h)2 3分钟回顾速记 。在求解实际问题中的最值问题时， 可以针对函数解析式用顶点坐标公式 计算函数的最值 181