第二十一章 一元二次方程（九年级上册）-【3分钟速记核心知识】2026年初中数学知识清单（河南专版）

68核心知识1一元二次方程的相关概念 考频★★☆ @主干知识速记 11 一元二次方程 必考 一元二次方程满足的三个条件：①等号两 边都是整式；②只含有一个未知数；③未 知数的最高次数是2.一元二次方程的一般 形式为ax2+bx+c=0(a≠0) 2x2+3x+5=0;2x2+3x=0;2x2= 0都是一元二次方程的一般形式· 2一元二次方程的解（根） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的 第二十一章 值就是这个一元二次方程的解（根). 一元二次方程 x+6x+5=0 U 打卡首记时间月日第2天第3天第5天第8天第16天第32天 157 重点知识速记 概念中的“等号两边都是整式”是对原方程而 言的，而不是将整式合并之后.“只含有一个未 知数，并且未知数的最高次数是2”是对将方 程整理化简之后而言的. 2一元二次方程的项及系数是针对一般形式而言 的.指明一元二次方程各项系数时注意不要漏 掉前面的符号.如5x2-3x-2=0的二次项、 一次项、常数项分别为5x2,-3x,-2,二次项 系数、一次项系数分别为5，-3. 3将一个数代入一元二次方程中，若能使方程左 右两边的值相等，则这个数是一元二次方程的 根；反之，它不是一元二次方程的根. 3分钟回顾速记 ④只有当a≠0时，方程ax2+bx+c= 0才是一元二次方程 。并不是所有的一元二次方程都有实 数根 158 69> 核心知识2一元二次方程的解法(（1) 考频★★☆ 主干知识速记 D直接开平方法 利用平方根的意义直接开平方，求一元二 次方程的解. 有个平方在头 要去平方我我啊.我 上，我都不知 往两边一站，就知 道自己是谁了. 道你是±√6 6 2配方法 (难点 通过配成完全平方的形式来解一元二次方程 第二十一章 -4x+4=0 配方机 一元二次方程 哇！我怎么变成 这个样子了？ (x-2)2=0 打卡首记时间月日第2天第3天第5天第8天第16天第32天 159 重点知识速记 直接开平方法的应用 (1)形如x2=a,可直接开平方求解： ①若a>0,则x=±a,表示为x1=a,x2= -√a,有两个不相等的实数根； ②若a=0,则x=0,表示为x1=x2=0,有两 个相等的实数根； ③若a<0,则方程无实数根 (2)形如(ax+n)2=m(a≠0，m≥0)， 可直接开平方求解，两根是刘=”+ ,x2= -n-√m a (3)用直接开平方法解方程时，要先将方程 化成左边是含未知数的完全平方式，右边是常 数的形式.要注意开平方的结果取正、负两种 情况. 2配方法解一元二次方程 (1）配方法解一元二次方程的一般步骤： ①移项：将常数项移到右边，含未知数的项移 到左边 160 ②二次项系数化为1：如果二次项系数不是1， 将方程两边同时除以二次项系数. ③配方：方程两边同时加上一次项系数一半的 平方 ④开平方：利用平方根的意义直接开平方. ⑤解一元一次方程：移项，合并同类项. (2)配方法关键的一步是“配方”，若二次 项系数是1，则方程两边都加上一次项系数一 半的平方；若二次项系数不是1，通常先将二 次项系数化为1，再在方程两边都加上一次项 系数一半的平方.一次项系数的符号决定了左 边的完全平方式中是两数差的平方还是两数和 的平方 3分钟回顾速记 ©直接开平方法：利用平方根的意义 直接开平方. 。配方法：使方程左边是一个含有未 知数的完全平方式，右边是一个常数 的形式 161 0核心知识3 一元二次方程的解法(2) 考频★★★ 主干知识速记 D根的判别式和求根公式 (必考 根的判别式：△=b2-4ac; 求根公式：x=-b±VB-4a@ (-4ac≥0). 2a 无实数根△<0 不要乱行，听我指挥！ 两个不相等的 两个相等的实 实数根△>0 数根△=0 第二十一章 ax2+bx+c=0(a≠0) 2因式分解法的依据 元二次方程 若ab=0,则a=0或b=0或a=b=0. 更=0 x>+1 5xr-13 (+5x)+(-13x)=-8x 即5x2-8x-13=（x+1)(5x-13)=0. 打卡首记时间月日第2天第3天第5天第8天第16天第32天 162 重点知识速记 1公式法和判别式的应用 (1)公式法解一元二次方程的一般步骤： 化 把一元二次方程化为一般形式 定 确定a,b,c的值 计算b2-4ac的值 在b2-4ac≥0的前提下，将a,b,c的 求 值代入求根公式求解（若2-4ac<0, 则方程无实数根)》 (2)应用根的判别式时，要先将一元二次方 程化为一般形式，再确定a,b,c的值，判别 式的使用前提是在一元二次方程中，注意隐含 条件a≠0 (3)一元二次方程有实数根包括一元二次方 程有两个不相等的实数根和有两个相等的实数 根这两种情况，此时Δ≥0 2因式分解法的应用 (1)因式分解法解一元二次方程的一般步骤： 163 ①将方程右边化为0； ②将方程左边分解为两个一次式的积； ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一 次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方 程的解 (2)常用的因式分解法：提取公因式法，公式 法（平方差公式、完全平方公式)，十字相乘法. (3)能用因式分解法求解的一元二次方程的 结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解 成两个一次因式的积 (4)用因式分解法解一元二次方程时，方程 两边不能同时除以含有未知数的代数式.如 (2x+1)（x-2)=（3x-1)（x-2),若两边 同时除以（x-2)，则会造成失根. 3分钟回顾速记 ④公式法适用于所有有实数根的一元 二次方程 。因式分解法适用于部分有实数根的 一元二次方程 164 核心知识4根与系数的关系和实际问题 考频★★☆ 主干知识速记 根与系数的关系 必考 如果方程ax2+bx+c=0（a≠0)有两个 实数根x,,那么x1+=- a，12= a 真讨厌，有加法 的总少不了“” 做分母的命啊！ ●X2 第二十一章 2列一元二次方程解决实际问题的步骤 审、设、列、解、验、答 没文化， 算出来了，1=1， 真可怕 一元二次方程 x2=-2,这根笔 可能是1元，也 可能是-2元. 打卡首记时间月日第2天第3天第5天第8天第16天第32天 165 重点知识速记 常见的公式变形 (1）x12+22=(1+x2）2-2x1x2 (2)(x1-x2)2=（x1+x2）2-4x12 (3)1+1=+ X1 X2 X1X2 (4)(x1+m)(x2+m)=2+m(1+x2)+m2. (5)名+=(x1+名2)2-22 X2 X1X2 2列一元二次方程解决实际问题应注意以下几点 (1)设未知数时必须写清单位，方程两边的 单位必须一致，答时必须写上单位. (2)要检验方程的解是否有意义及符合题意， 如人数必须为自然数，几何图形的边长为正数等 (3)注意各类实际问题中常见的等量关系. 3分钟回顾速记 。应用根与系数的关系的两个前提条 件：①方程是一元二次方程：②方程 有实数根 166