专题04 投影与视图（知识&考点&公式&5高频&2易错&5重难&6模型，期中知识清单）九年级数学上学期新教材沪教版五四制

专题04 投影与视图 目 录 识记类 思维导图 知识清单(3类) 考点清单(6类) 公式清单(11类) 辨析清单(7类) 题型类 高频题型清单(5类) 易错题型清单(2类) 重难题型清单(5类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点01 投影 1．投影：物体在光线照射下，在某个平面内形成的影子叫做投影。　相关概念：投影线（形成投影的光线）；投影面（影子所在的平面） 2．平行投影：投影线互相平行的投影，如太阳光照射物体形成的投影。　相关概念：同一时刻，物体的物高与影长成正比例 3．中心投影：投影线都经过同一点（投影中心）的投影，如路灯、台灯、手电筒等点光源。　相关概念：投影中心即光源位置；投影线交于一点 4．正投影：平行投影中，投影线垂直于投影面的投影。　相关概念：正投影是特殊的平行投影 5．斜投影：平行投影中，投影线不垂直于投影面的投影。　相关概念：正投影以外的平行投影 6．正投影规律：平面图形平行于投影面时，其正投影形状、大小都不变；与投影面倾斜时，正投影是形状改变的图形；垂直于投影面时，正投影为一条线段。　相关概念：口诀：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段 知识点02 三视图 1．三视图：从正面、左面、上面三个方向观察同一物体，分别得到的投影（正投影）叫主视图、左视图、俯视图，统称三视图。　相关概念：主视图（正面）、左视图（左面）、俯视图（上面） 2．三视图反映的尺寸：主视图反映物体的长和高；俯视图反映物体的长和宽；左视图反映物体的宽和高。　相关概念：记忆：正面看长高，上面看长宽，左面看宽高 3．三视图的位置：主视图在上方，俯视图画在主视图正下方，左视图画在主视图正右方。　相关概念：画图先画主视图 4．三视图投影规律：主视图与俯视图长对正；主视图与左视图高平齐；俯视图与左视图宽相等。　相关概念：即“长对正、高平齐、宽相等” 5．画法三原则：位置原则（摆放顺序）、大小原则（长对正、高平齐、宽相等）、线的虚实原则（可见轮廓线画实线，被遮挡的轮廓线画虚线）。　相关概念：可见实、遮挡虚 6．直棱柱：有两个全等的多边形底面且所在平面互相平行，其余各面都是矩形的立体图形。　相关概念：直三棱柱、直四棱柱（长方体、正方体）等 7．常见几何体的三视图：正方体：三个视图都是正方形；圆柱：主、左视图是矩形，俯视图是圆；圆锥：主、左视图是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆；球：三个视图都是圆。　相关概念：随观察方向不同而不同，抓住轮廓特征 知识点03 立体模型的制作 根据三视图或平面展开图确定几何体的结构，设计并制作立体模型。　相关概念：三视图、展开图与几何体相互转化 考点1　投影类型的辨析（平行投影与中心投影） 考向：给定生活场景或图形，判断属于平行投影还是中心投影。判据是看投影线——投影线互相平行的是平行投影（如太阳光、平行光）；投影线交于同一点的是中心投影（如路灯、台灯、手电筒等点光源）。 考点2　正投影的规律 考向：判断平面图形在正投影下的形状。记住口诀“平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段”，关键是看图形所在平面与投影面的位置关系。 考点3　三视图的概念与识别 考向：由几何体（含组合体）判断或选择其主视图、俯视图、左视图。关键是先明确观察方向，再抓轮廓特征（矩形、圆、等腰三角形、正方形等）。 考点4　三视图的画法与补图 考向：依据“长对正、高平齐、宽相等”画三视图或补画缺视图，注意可见轮廓画实线、被遮挡轮廓画虚线。 考点5　由三视图还原几何体并求面积、体积 考向：先根据三视图确定立体图形的形状，再由视图确定长、宽、高或底面半径等尺寸，最后代入表面积、体积公式计算。 考点6　平行投影测高与中心投影比例 考向：利用同一时刻物高与影长成正比例测物高；利用中心投影构造相似三角形求物高或影长。解题关键是分清平行投影（正比例）与中心投影（相似三角形）。 类别 公式名称 公式（数学式） 投影 同一时刻物高与影长比例 正方体 表面积 正方体 体积 长方体 表面积 长方体 体积 圆柱 侧面积 圆柱 表面积 圆柱 体积 圆锥 侧面积 圆锥 表面积 圆锥 体积 易混对象 区别要点 特别提醒 平行投影与中心投影 投影线互相平行（如太阳光）；投影线交于一点（如灯光）。判据看投影线是否相交于同一点。 判断依据是投影线的位置关系，而非物体位置 正投影与斜投影 都是平行投影，区别在于投影线是否垂直于投影面；垂直于投影面的是正投影，否则是斜投影。 正投影是特殊的平行投影 投影与视图 投影是光线照到平面上形成的影子，一般有平影/中心投影之分；视图是取正投影得到的图形。三视图是物体三个方向正投影的统称。 视图是正投影思想的直接应用 主视图与左视图、俯视图的尺寸 主视图反映长和高；俯视图反映长和宽；左视图反映宽和高。三者“长对正、高平齐、宽相等”。 最容易把“宽”放错位置：宽相等只在俯视图与左视图之间 三视图中的实线与虚线 可见的轮廓线画实线；被遮挡的、看不见的轮廓线画虚线。 漏画虚线是常见错误 平行投影与中心投影下的比例 平行投影同一时刻物高与影长成正比例；中心投影需借助相似三角形（物高/物到光源水平距离等关系）。 中心投影不能直接用“正比例” 正方体、圆柱、圆锥、球三视图 正方体三视图都是正方形；圆柱主、左为矩形、俯为圆；圆锥主、左为等腰三角形、俯为带圆心圆；球三视图都是圆。 抓轮廓特征，勿把“圆”与“矩形”混淆 【题型一】平面图形正投影的形状 【例1】图中圆锥体的正投影是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：圆锥体的投影是， 故选：C ． 【变式1-1】如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：当正方体一个顶点朝上立放，且纸面与太阳光垂直时，其正投影是正六边形．因为正方体的棱边在垂直投影下，会呈现出六边形的轮廓． 故选：C ． 【变式1-2】如图①、图②所示，这两个图形的正投影分别是______． 【答案】圆、矩形 【详解】解： 因为圆锥的底面是圆，从顶点向底面作正投影， 得到的是圆，所以圆锥在平行光线的正投影下，其投影形状为圆； 因为圆柱的侧面展开图是矩形，从侧面作正投影，得到的是矩形，所以圆柱在平行光线的正投影下，其投影形状为矩形； 故答案为：圆、矩形． 【变式1-3】如图，观察图形，三角形的正投影可以是___________，也可以是___________；一条线段的正投影可以是___________，也可以是___________． 【答案】 一个三角形 一条线段 一条线段 一个点 【详解】解：观察图形，三角形的正投影可以是一个三角形，也可以是一条线段，一条线段的正投影可以是一条线段，也可以是一个点， 故答案为：一个三角形，一条线段，一条线段，一个点． 【题型二】补画（补全）三视图 【例2】补全下列几何体的三种视图． (1) (2) 【详解】(1)解：如图所示， (2)解：如图所示， 【变式2-1】如图①是由六棱柱与圆柱组合而成的几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名称，并画出第三种视图． 【详解】解：如图如下： 第三种视图如下： 【变式2-2】如图1，是一个长方体截成的几何体，请在网格中依次画出这个几何体的三视图． 【详解】这个几何体的三视图如下： 【变式2-3】分别画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． (1) (2) 【详解】(1)如图， (2)如图， 【题型三】由俯视图确定小正方体个数（最多/最少） 【例3】一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图和左视图如图所示，组成该几何体所需小正方体的个数最多是（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【详解】解：从俯视图可看出，该几何体有两行三列，从左视图可看出后面一行最多都是两层，最前面一行最高是一层， ∴所需的小正方体的个数最多是， 故选：C． 【变式3-1】由一些大小相同的小正方体搭建的几何体的主视图和俯视图如图所示，这种几何体所需小正方体个数最多是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解：如图所示，每个位置小立方体最多的情况如下： ∴这种几何体所需小正方体个数最多是， 故选：C． 【变式3-2】一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最多个数与最少个数的差是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：根据主视图和俯视图，这个几何体的底层有7个小正方体， 第二层最多有6个小正方体，最少有2个小正方体， 第三层最多有3个小正方体，最少有1个小正方体， 因此组成这个几何体的小正方体最多有16个，最少有10个小正方体． 如图， 则所需小正方体的个数最多个数与最少个数的差是6， 故选：B． 【变式3-3】一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据俯视图可知，这个几何体的底层有个小正方体， 第二层最少有个小正方体， 因此，组成这个几何体所需的小正方体的个数最少是（个）． 故选：A． 【题型四】物高与影长比例计算（测高） 【例4】长3米的旗杆直立在水平面上，它的阳光下的影子长为米．此时，某棵水杉的影子长为21米，该水杉的高为（   ）米 A．35 B． C．36 D． 【答案】A 【详解】解：设该水杉的高为米， ∵同一时刻物体高度与影子长度的比值相等， ∴， 解得：， 即该水杉的高为35米， 故选：A． 【变式4-1】如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图， 即， ， ， ， ，． ． ， ． ． 故选∶D． 【变式4-2】某校数学小组在测量校园内一棵古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（   ） A．9米 B．9.2米 C．9.5米 D．11米 【答案】C 【详解】解：如图，延长，交的延长线于点， 根据题意得：米，米，米，米， ∵同一时刻物高与影长成比例， ∴， ∴， ∴， 又， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（米）． 【变式4-3】一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 【答案】B 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵米，米，米 则米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∵米，米，则米， ∴， ∴米， 故选：B． 【题型五】由三视图求表面积、体积 【例5】某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是______． 【答案】 【详解】解：由三视图可得，该包装盒是一个底面直径为，高为的圆柱， ∴该包装盒的体积为， 故答案为：． 【变式5-1】某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位cm）．则制作一个茶叶罐所需铁皮的面积是___________（结果保留π）． 【答案】 【详解】解：由三视图可知茶叶罐的形状为圆柱体，并且茶叶罐的底面直径为，高h为， 则底面半径， ∵每个茶叶罐所需铁皮的面积即为该圆柱体的表面积， ∴ ， 故制作每个茶叶罐所需铁皮的面积为． 【变式5-2】某几何体是由棱长为的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是_________． 【答案】14 【详解】解：综合三视图可得，该几何体只有1层，该层有2排，前排有2个小正方体，后排有1个小正方体，共3个小正方体． 故表面积为． 【变式5-3】一个几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积为______．（得数保留） 【答案】 【详解】解：由题意，该几何体的体积为. 【题型一】判断投影类型 【例1】下列现象中，不属于中心投影的是（   ） A．路灯下人的影子 B．电影院银幕上的影子 C．阳光下窗框的影子 D．路灯下物体的影子 【答案】C 【详解】解：∵中心投影是由同一点（点光源）发出的光线所形成的投影， ∴路灯、电影院放映机均属于点光源，其形成的影子是中心投影，太阳光属于平行光线，阳光下窗框的影子是平行投影，不属于中心投影． 故选：C． 【变式1-1】下面属于平行投影的是（   ） A．阳光下的树影 B．皮影戏 C．路灯下的人影 D．台灯下的笔影 【答案】A 【详解】解： 、阳光下的树影属于平行投影，符合题意； 、皮影戏属于中心投影，不符合题意； 、路灯下的人影属于中心投影，不符合题意； 、台灯下的笔影属于中心投影，不符合题意； 故选：． 【变式1-2】小星夜晚在一盏路灯下行走时，他观察到自己在这盏路灯下的影子越来越长，则他相对这盏路灯的位置是（    ） A．逐渐远离路灯 B．在路灯正下方 C．逐渐走向路灯 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：如图所示： 由图得，它的影子越长，那么离路灯越远， ∵他观察到自己在这盏路灯下的影子越来越长， 则他相对这盏路灯的位置是逐渐远离路灯 故选：A 【变式1-3】以下说法错误的是（   ） A．三角形的外心到三角形各边的距离相等 B．由平行光线形成的投影叫做平行投影 C．由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影 D．从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 【答案】A 【详解】解：A．三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等，到各边距离相等的是三角形的内心（角平分线交点），选项A说法错误； B．平行投影的定义是由平行光线形成的投影，选项B说法正确； C．中心投影的定义是由同一点发出的光线形成的投影，选项C说法正确； D．根据切线长定理，从圆外一点引圆的两条切线，该点与圆心的连线平分两条切线的夹角，选项D说法正确． 故选A． 【题型二】常见几何体三视图的识别 【例2】如图所示，该几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 解：由图可知，该几何体的俯视图是． 【变式2-1】如图，该几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、是该几何体的俯视图，故不符合题意； B、是该几何体的左视图，故不符合题意； C、不是该几何体的三视图，故不符合题意； D、 是该几何体的主视图，故符合题意． 【变式2-2】如图所示的沙发凳是一个底面为正六边形的直六棱柱，它的主视图是（　　） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】解：从正面看“底面为正六边形的直六棱柱”， “正对的面”看到的是长方形的，而左右两个侧面，由于与“正面”有一定的角度， 因此看到的是比“正面”稍“窄”的长方形，所以选项C中的图形符合题意． 故选：C． 【变式2-3】如图所示，该几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由左视图的概念可得，这个几何体的左视图为： ． 【题型一】组合体（多层小正方体）的三视图与计数最值 【例1】几个相同的正方体叠合在一起，该组合体的主视图与俯视图如图所示，那么组合体中正方体的个数至少有几个？至多有几个？ 【答案】组合体中正方体的个数至少有8个，至多有10个 【详解】解：如图， 至少有（个）； 至多有（个）. 答：组合体中正方体的个数至少有8个，至多有10个. 【变式1-1】如图是由棱长都为1cm的5块小正方体组成的简单几何体． (1)请在方格中分别画出这个几何体的三视图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，那么最多可以再添加______________块小正方体． 【详解】(1)三视图如下： （2）解：主视图有上下两层，左视图有上下两层， 在主视图下层从左往右的第二列增加一个，第三列增加三个，上层从左往右的第三列增加一个，此时的视图如下， ∴最多再添加块小正方体， 故答案为：5． 【变式1-2】在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由______个小正方体组成，请画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加______个小正方体． 【详解】(1)这个几何体是由8个小正方体组成； 从三个方向看的图形如下： （2）解：保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加的小正方体的位置和数量在俯视图上标注如图所示， 所以最多可以添加个． 【变式1-3】如图，是由一些棱长都为1的小正方体组合成的简单几何体． (1)该几何体的表面积（含下底面）为________； (2)请画出这个几何体的三视图并用阴影表示出来； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，那么最多可以再添加________个小正方体． 【详解】（1）解： ， 所以该几何体的表面积（含下底面）为， 故答案为：； (2)解：如图所示： （3）解：根据保持这个几何体的主视图和俯视图不变，可知添加小正方体是左侧前两列的第二、三层，即最多可以再添加3个. 故答案为：3． 【题型二】由三视图还原几何体求表面积、体积（含挖去、空心部分） 【例2】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__．（结果保留） 【答案】 【详解】解：由三视图可知，原几何体是一个正方体中间去掉一个圆柱体，如图： 正方体的边长为，圆柱体的直径为2，两者的高度都为3， 该几何体的体积为， 故答案为∶． 【变式2-1】已知某几何体的三视图如图所示，它的主视图和左视图均为矩形，俯视图为等边三角形． (1)请写出该几何体的名称：________； (2)根据图中数据，求该几何体的体积． 【详解】（1）解：由三视图可得，该几何体为正三棱柱． （2）解：如图，过点作于点， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴该几何体的体积为：． 【变式2-2】已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形． (1)该几何体的形状是什么？ (2)求该几何体的表面积． 【详解】（1）解：该几何体是一个三棱柱， （2）解：如图，底面等边三角形边长为，过点作于点， ， ， 底面三角形的面积为， 该几何体的表面积为． 【变式2-3】某工厂要加工一批上、下底面密封的纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图①． (1)密封纸盒的形状为_______． (2)根据该几何体的三视图，在图②中补全它的表面展开图． (3)请你根据图①中的数据，计算这个密封纸盒的表面积和体积（结果保留根号）． 【详解】（1）解：由三视图可知，密封纸盒的形状为正六棱柱．   (2)解：如图所示： （3）解：由（2）可知，密封纸盒的高为，底面边长为， ∴密封纸盒的表面积为， 体积为． 【题型三】含内部、遮挡结构的综合三视图 【例3】小明家购买了一款新型吹风机．如图所示，吹风机的主体是由一个空心圆柱体构成，手柄可近似看作一个圆柱体，这个几何体的主视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是选项C． 【变式3-1】如图所示的几何体的左视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察几何体，其左侧面为完整的矩形， 从左向右观察，外轮廓为矩形， 几何体右上方被切去一部分，产生一条内部棱， 该棱从左向右看被左侧面遮挡，不可见，应画为虚线， 所以左视图为矩形且内部有一条斜虚线． 【变式3-2】如图所示的几何体的俯视图为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：几何体的俯视图为： 【变式3-3】若一种机器零部件如图所示，则该零部件的主视图是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：从正面观察，外部正方体轮廓可见为实线，内部圆柱通孔看不到为虚线，所以D答案正确． 【题型四】中心投影动态问题（物体移动、影长变化） 【例4】数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点，并测得点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为．实践小组的相关探究如下： 实践探究一： 如图，将木棒水平放置于板面上，在直线上．在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． (1)请判断长度的变化情况为：______________； A．逐渐变长  B．逐渐变短 C．不变 (2)请证明（1）的结论； 实践探究二： (3)如图，将木棒垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，当木棒平移至某处时，，请计算此时投影的长度． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为，从点出发，将木棒沿方向平移，且点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为， ∴、、的值不变， ∴的值不变，即长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变； (2)证明：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在直线上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为，从点出发，将木棒沿方向平移，且点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为， ∴、、的值不变， ∴的值不变，即长度不变， ∴将木棒沿方向平移，其投影长度不变； （3）解：∵，，，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴，即， 解得：， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∴， ∴此时投影的长度为． 【变式4-1】为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【详解】（1）解：由题意知：米，米， （米）， ， ， 即， 解得：（米）， 答：路灯的高度是米； （2）解：由题意知，米，米，米， ， ， ， 即， 解得：（米）， （米）， 答：当走到处时，他行走的路程是米； （3）解：如图2，连接并延长交于点，过点作于点，交于点， 则四边形是矩形，四边形是矩形， 设米， 则米，米，米， 米，米， ， ， ， 即， 解得：， 答：此时小明在墙上的影子有1米高． 【变式4-2】【问题情境】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影子称为中心投影． (1)画图操作：如图①，三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源O的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． (2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为______； (3)【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 【详解】(1)如图，光源O、线段即为所求； （2）解：B； 根据题意可知影子越来越短，至最短，随后越来越长，可知B符合题意； （3）解：如图所示，设， 由题意得，， ， ， ， ， ， 解得， ∴ ． ∵， 解得， ∴灯杆高度为． 【变式4-3】在学习了投影一章的知识后，老师布置了一项利用相关知识测量校园内假山高度的作业，于是小明设计了这样的方案： 如图1，假山的顶端有一盏照明灯，小明在假山的一侧垂直于地面树立一根高度为的标杆，移动标杆的位置，测量照明灯下标杆投影的长度，以及标杆底端到假山正下方点的距离，便可以求出假山的高度． (1)若，，请用关于，的代数式表示假山的高度为______． (2)在实际操作中，小明测得，但在测量的长度时，发现假山正下方的点处根本无法直接到达，小明稍加思索，便得出了改进方案，如图2所示，他将竖直标杆移动到点处，测得此时标杆在照明灯下的影长变为，请画出这一刻标杆在点的影子并根据这些数据帮助小明求出假山的高度． 【详解】（1）解：,, ， , , , 则， ， 故答案为：． （2）即为所求． ，，， ，，， ，， 又， ， 设， 则， 解得， 由（1）得， ， 假山的高度为． 故答案为：． 【题型五】三视图与展开图、立体模型制作综合 【例5】有12个棱长相等的小正方体，用其中6个小正方体粘合成了如图的几何体，在剩下的小正方体粘合成的下列几何体中，能够和这个几何体拼成一个长方体的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将A选项中的几何体向后面连续翻折两次即可原图组成一个长方体． 故选：A． 【变式5-1】有高度相同的一段方木和一段圆木，体积之比是1:1．在高度不变的情况下，如果将方木加工成尽可能大的圆柱，将圆木加工成尽可能大的长方体，则得到的圆柱和长方体的体积之比为____． 【答案】 【详解】正方形内作最大的圆： 设圆的半径为r，圆的面积与正方形的面积比是： 圆内作最大的正方形： 设圆的半径为，正方形的面积与圆的面积比是： ， 因为,方木与圆木的体积和高度都相等,说明底面积也相等,即图(1)的大正方形面积等于图(２)的大圆的面积， 所以，现在的圆柱体积和长方体的体积的比值是： ； 答：圆柱体积和长方体的体积的比值为. 故答案为：． 【变式5-2】如图，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长为多少？ 【答案】13cm 【详解】长方体侧面展开图是长方形，长为2×(2＋4)＝12(cm)，宽为5 cm， 如图， 由勾股定理得蚂蚁爬行的最短路径PQ长为＝13(cm)． 模型一　“三字诀”验证法（画、验三视图） 【操作步骤】 适用：画三视图、补图、判断视图是否正确。 步骤：①定位置——主视图在上，俯视在下、左视在右；②定大小——长对正、高平齐、宽相等；③定虚实——可见实线、遮挡虚线。 模型二　还原几何体“先底后高”法 【操作步骤】 适用：由三视图还原几何体。 步骤：①由俯视图定底面轮廓与长宽；②由主视图定前后方向的高度；③由左视图定左右方向的宽度与高度，三者综合确定几何体。 模型三　小正方体计数“三口诀” 【操作步骤】 适用：堆叠小正方体求个数（最多、最少）。 口诀：俯视图打地基（确定底面格子），主视图盖高楼（每列按主视图层数），左视图拆违章（核对每行层数）。每格层数取列高与行高的交集。 模型四　平行投影测高“正比例法” 【操作步骤】 适用：同一时刻测物高、影长。 步骤：确认同一时刻→统一单位→列比例式（物高₁/影长₁=物高₂/影长₂）→解方程。 模型五　中心投影“相似三角形法” 【操作步骤】 适用：点光源下求影长、物高、位置关系。 步骤：画示意图→标光源、物体、影→构造相似三角形→列比例求解。 模型六　三视图求面积体积“还原—定尺寸—代公式” 【操作步骤】 适用：由三视图求表面积、体积。 步骤：①还原几何体形状；②由三视图确定长、宽、高、半径等尺寸；③代入相应公式计算（注意挖空结构的表面积处理）。 技巧1．看光源判投影：太阳光、平行光→平行投影；路灯、台灯、手电→中心投影。 技巧2．判断正投影形状背口诀：平行形不变、倾斜形改变、垂直成线段。 技巧3．画三视图三步走：定位置→定大小（长对正、高平齐、宽相等）→定虚实（可见实、遮挡虚）。 巧4．补第三视图用“三字诀”逐一核对，重点检查“宽相等”是否落在俯、左视图之间。 技巧5．三视图尺寸要记牢：主视图看长和高，俯视图看长和宽，左视图看宽和高。 技巧6．数小正方体用“俯视打地基、正视盖高楼、左视拆违章”，先求最多最少，再作答。 技巧7．测高先统一单位，再用同一时刻正比例；中心投影改构造相似三角形。 技巧8．由三视图求面积、体积：先还原形状、再定尺寸、后代公式；有虚线（内部结构）时别漏算表面。 技巧9．看到三视图先判断“有没有虚线”，虚线表示被遮挡或内部轮廓，是还原与画图的关键。 技巧10．答完检查：三视图方向是否摆对、有无漏虚线、尺寸是否对应、单位是否统一。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 投影与视图 目 录 识记类 思维导图 知识清单(3类) 考点清单(6类) 公式清单(11类) 辨析清单(7类) 题型类 高频题型清单(5类) 易错题型清单(2类) 重难题型清单(5类) 答题类 解题模型清单(6类) 答题技巧清单 知识点01 投影 1．投影的定义：物体在光线照射下，在某个平面内形成的影子叫做＿＿＿＿。形成投影的光线叫＿＿＿＿，影子所在的平面叫＿＿＿＿。 2．平行投影：投影线＿＿＿＿＿＿的投影叫平行投影，如＿＿＿＿光下物体的投影；同一时刻，物高与影长成＿＿＿＿比例。 3．中心投影：投影线都经过＿＿＿＿＿＿的投影叫中心投影，投影中心即＿＿＿＿的位置，如路灯、＿＿＿＿等点光源。 4．正投影与斜投影：平行投影中，投影线＿＿＿＿投影面的叫正投影；投影线＿＿＿＿投影面的叫斜投影。正投影是特殊的＿＿＿＿投影。 5．正投影规律：平面图形平行于投影面时正投影形状、大小＿＿＿＿；倾斜时形状＿＿＿＿；垂直于投影面时正投影为一条＿＿＿＿。口诀：＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿、＿＿＿＿＿。 知识点02 三视图 1．三视图的定义：从＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿三个方向观察同一物体，分别得到＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿，统称三视图。 2．反映的尺寸：主视图反映＿＿＿和＿＿＿；俯视图反映＿＿＿和＿＿＿；左视图反映＿＿＿和＿＿＿。 3．投影规律：主视图与俯视图＿＿＿对正；主视图与左视图＿＿＿平齐；俯视图与左视图＿＿＿相等。 4．画法三原则：①位置原则；②大小原则（＿＿＿、＿＿＿、＿＿＿）；③线的虚实原则（可见轮廓线画＿＿＿，被遮挡的轮廓线画＿＿＿）。 5．直棱柱：有两个全等的＿＿＿底面且所在平面＿＿＿＿，其余各面都是＿＿＿的立体图形；底面是三角形、四边形、五边形分别叫直＿＿＿棱柱、直＿＿＿棱柱、直＿＿＿棱柱。 6．常见几何体三视图：正方体三视图都是＿＿＿；圆柱主、左视图是＿＿＿，俯视图是＿＿＿；圆锥主、左视图是＿＿＿＿＿＿，俯视图是带＿＿＿的圆；球三视图都是＿＿＿。 知识点03 立体模型的制作 模型制作：根据＿＿＿或＿＿＿＿＿＿确定几何体的结构，设计并制作立体模型。 考点1　投影类型的辨析（平行投影与中心投影） 考向：给定生活场景或图形，判断属于平行投影还是中心投影。判据是看投影线——投影线互相平行的是平行投影（如太阳光、平行光）；投影线交于同一点的是中心投影（如路灯、台灯、手电筒等点光源）。 考点2　正投影的规律 考向：判断平面图形在正投影下的形状。记住口诀“平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段”，关键是看图形所在平面与投影面的位置关系。 考点3　三视图的概念与识别 考向：由几何体（含组合体）判断或选择其主视图、俯视图、左视图。关键是先明确观察方向，再抓轮廓特征（矩形、圆、等腰三角形、正方形等）。 考点4　三视图的画法与补图 考向：依据“长对正、高平齐、宽相等”画三视图或补画缺视图，注意可见轮廓画实线、被遮挡轮廓画虚线。 考点5　由三视图还原几何体并求面积、体积 考向：先根据三视图确定立体图形的形状，再由视图确定长、宽、高或底面半径等尺寸，最后代入表面积、体积公式计算。 考点6　平行投影测高与中心投影比例 考向：利用同一时刻物高与影长成正比例测物高；利用中心投影构造相似三角形求物高或影长。解题关键是分清平行投影（正比例）与中心投影（相似三角形）。 类别 公式名称 公式（数学式） 投影 同一时刻物高与影长比例 正方体 表面积 正方体 体积 长方体 表面积 长方体 体积 圆柱 侧面积 圆柱 表面积 圆柱 体积 圆锥 侧面积 圆锥 表面积 圆锥 体积 易混对象 区别要点 特别提醒 平行投影与中心投影 投影线互相平行（如太阳光）；投影线交于一点（如灯光）。判据看投影线是否相交于同一点。 判断依据是投影线的位置关系，而非物体位置 正投影与斜投影 都是平行投影，区别在于投影线是否垂直于投影面；垂直于投影面的是正投影，否则是斜投影。 正投影是特殊的平行投影 投影与视图 投影是光线照到平面上形成的影子，一般有平影/中心投影之分；视图是取正投影得到的图形。三视图是物体三个方向正投影的统称。 视图是正投影思想的直接应用 主视图与左视图、俯视图的尺寸 主视图反映长和高；俯视图反映长和宽；左视图反映宽和高。三者“长对正、高平齐、宽相等”。 最容易把“宽”放错位置：宽相等只在俯视图与左视图之间 三视图中的实线与虚线 可见的轮廓线画实线；被遮挡的、看不见的轮廓线画虚线。 漏画虚线是常见错误 平行投影与中心投影下的比例 平行投影同一时刻物高与影长成正比例；中心投影需借助相似三角形（物高/物到光源水平距离等关系）。 中心投影不能直接用“正比例” 正方体、圆柱、圆锥、球三视图 正方体三视图都是正方形；圆柱主、左为矩形、俯为圆；圆锥主、左为等腰三角形、俯为带圆心圆；球三视图都是圆。 抓轮廓特征，勿把“圆”与“矩形”混淆 【题型一】平面图形正投影的形状 【例1】图中圆锥体的正投影是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】如图①、图②所示，这两个图形的正投影分别是______． 【变式1-3】如图，观察图形，三角形的正投影可以是___________，也可以是___________；一条线段的正投影可以是___________，也可以是___________． 【题型二】补画（补全）三视图 【例2】补全下列几何体的三种视图． (1) (2) 【变式2-1】如图①是由六棱柱与圆柱组合而成的几何体，右边是它的两种视图，在右边横线上填写出两种视图名称，并画出第三种视图． 【变式2-2】如图1，是一个长方体截成的几何体，请在网格中依次画出这个几何体的三视图． 【变式2-3】分别画出如图所示几何体的主视图、左视图和俯视图． (1) (2) 【题型三】由俯视图确定小正方体个数（最多/最少） 【例3】一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的俯视图和左视图如图所示，组成该几何体所需小正方体的个数最多是（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【变式3-1】由一些大小相同的小正方体搭建的几何体的主视图和俯视图如图所示，这种几何体所需小正方体个数最多是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式3-2】一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最多个数与最少个数的差是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式3-3】一个由若干个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的主视图和俯视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少是（    ） A． B． C． D． 【题型四】物高与影长比例计算（测高） 【例4】长3米的旗杆直立在水平面上，它的阳光下的影子长为米．此时，某棵水杉的影子长为21米，该水杉的高为（   ）米 A．35 B． C．36 D． 【变式4-1】如图，小明在时测得某树的影长为，时又测得该树的影长为，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】某校数学小组在测量校园内一棵古树高度时，采用了如下方法：如图，在阳光下，一名身高1.6米的同学站在距古树8米处，树的影子恰好落在地面和一座高3米的墙上，该同学的影子顶端恰好落在墙角下，测得该同学的影长为2米，墙上树影高为1.5米，则古树的高度为（   ） A．9米 B．9.2米 C．9.5米 D．11米 【变式4-3】一个正在装修的房间里，有一个靠墙竖立的梯子（梯子顶端靠在墙上，底端在地面）．离梯子底端1米处（）有一把垂直于地面的椅子，椅子的影长米（影子投射在地面上）．为了测量椅子的高度，小明在梯子的另一侧离梯子底端4米处（）竖起一根1米高的竹竿，测得竹竿的影长米，则椅子的高度为（   ） A．2米 B．1.5米 C．3米 D．2.5米 【题型五】由三视图求表面积、体积 【例5】某商品的外包装盒的三视图如图所示，则这个包装盒的体积是______． 【变式5-1】某工厂加工一批茶叶罐．设计者给出了茶叶罐的三视图如图所示（单位cm）．则制作一个茶叶罐所需铁皮的面积是___________（结果保留π）． 【变式5-2】某几何体是由棱长为的小正方体组合而成，下图是这个几何体的三视图，则这个几何体的表面积是_________． 【变式5-3】一个几何体的主视图、左视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积为______．（得数保留） 【题型一】判断投影类型 【例1】下列现象中，不属于中心投影的是（   ） A．路灯下人的影子 B．电影院银幕上的影子 C．阳光下窗框的影子 D．路灯下物体的影子 【变式1-1】下面属于平行投影的是（   ） A．阳光下的树影 B．皮影戏 C．路灯下的人影 D．台灯下的笔影 【变式1-2】小星夜晚在一盏路灯下行走时，他观察到自己在这盏路灯下的影子越来越长，则他相对这盏路灯的位置是（    ） A．逐渐远离路灯 B．在路灯正下方 C．逐渐走向路灯 D．无法确定 【变式1-3】以下说法错误的是（   ） A．三角形的外心到三角形各边的距离相等 B．由平行光线形成的投影叫做平行投影 C．由同一点发出的光线形成的投影叫做中心投影 D．从圆外一点可以引圆的两条切线，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角 【题型二】常见几何体三视图的识别 【例2】如图所示，该几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，该几何体的主视图是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】如图所示的沙发凳是一个底面为正六边形的直六棱柱，它的主视图是（　　） A．B． C． D． 【变式2-3】如图所示，该几何体的左视图是（     ） A． B． C． D． 【题型一】组合体（多层小正方体）的三视图与计数最值 【例1】几个相同的正方体叠合在一起，该组合体的主视图与俯视图如图所示，那么组合体中正方体的个数至少有几个？至多有几个？ 【变式1-1】如图是由棱长都为1cm的5块小正方体组成的简单几何体． (1)请在方格中分别画出这个几何体的三视图； (2)如果在这个几何体上再添加一些小正方体，并保持主视图和左视图不变，那么最多可以再添加______________块小正方体． 【变式1-2】在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示： (1)这个几何体是由______个小正方体组成，请画出这个几何体从三个方向看的图形； (2)若你手头还有一些相同的小正方体，如果保持从上面看和从左面看到的图形不变，最多可再添加______个小正方体． 【变式1-3】如图，是由一些棱长都为1的小正方体组合成的简单几何体． (1)该几何体的表面积（含下底面）为________； (2)请画出这个几何体的三视图并用阴影表示出来； (3)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持这个几何体的主视图和俯视图不变，那么最多可以再添加________个小正方体． 【题型二】由三视图还原几何体求表面积、体积（含挖去、空心部分） 【例2】已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为__．（结果保留） 【变式2-1】已知某几何体的三视图如图所示，它的主视图和左视图均为矩形，俯视图为等边三角形． (1)请写出该几何体的名称：________； (2)根据图中数据，求该几何体的体积． 【变式2-2】已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形． (1)该几何体的形状是什么？ (2)求该几何体的表面积． 【变式2-3】某工厂要加工一批上、下底面密封的纸盒，设计者给出了密封纸盒的三视图，如图①． (1)密封纸盒的形状为_______． (2)根据该几何体的三视图，在图②中补全它的表面展开图． (3)请你根据图①中的数据，计算这个密封纸盒的表面积和体积（结果保留根号）． 【题型三】含内部、遮挡结构的综合三视图 【例3】小明家购买了一款新型吹风机．如图所示，吹风机的主体是由一个空心圆柱体构成，手柄可近似看作一个圆柱体，这个几何体的主视图为（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图所示的几何体的左视图为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图所示的几何体的俯视图为（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】若一种机器零部件如图所示，则该零部件的主视图是（    ） A． B． C． D． 【题型四】中心投影动态问题（物体移动、影长变化） 【例4】数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点，并测得点光源到板面的垂直距离为，点光源到地面的垂直距离为，木棒的长度为．实践小组的相关探究如下： 实践探究一： 如图，将木棒水平放置于板面上，在直线上．在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，观察其投影长度的变化情况． (1)请判断长度的变化情况为：______________； A．逐渐变长  B．逐渐变短 C．不变 (2)请证明（1）的结论； 实践探究二： (3)如图，将木棒垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒在地面上形成的投影为．从点出发，将木棒沿方向平移，当木棒平移至某处时，，请计算此时投影的长度． 【变式4-1】为响应国家节能减排的号召，某地乡村道路安装太阳能路灯．如图是一种新型太阳能路灯，已知太阳能路灯与墙相距18米，身高米的小明在离路灯3米的处时，测得自身影长为1米． (1)求路灯的高度； (2)小明沿着走至处时，头顶的影子刚好落到墙脚处，则他行走的路程是事多少米； (3)小明继续往前走（如图2），在距离墙2米的处停下，求此时小明在墙上的影子高度． 【变式4-2】【问题情境】通常，路灯、台灯、手电筒……的光可以看成是从一个点发出的，在点光源的照射下，物体所产生的影子称为中心投影． (1)画图操作：如图①，三根竖直的竹竿在同一光源下的影子如图所示，其中竹竿的影子为，竹竿的影子为．确定光源O的位置，并画出影子为的竹竿（用线段表示）． (2)【数学思考】如图②，夜晚，小明从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间函数关系的图象大致为______； (3)【解决问题】如图③，河对岸有一灯杆，在灯光下，小明在点D处测得自己的影长，沿方向前进到达点F处测得自己的影长．已知小明的身高为，求灯杆的高度． 【变式4-3】在学习了投影一章的知识后，老师布置了一项利用相关知识测量校园内假山高度的作业，于是小明设计了这样的方案： 如图1，假山的顶端有一盏照明灯，小明在假山的一侧垂直于地面树立一根高度为的标杆，移动标杆的位置，测量照明灯下标杆投影的长度，以及标杆底端到假山正下方点的距离，便可以求出假山的高度． (1)若，，请用关于，的代数式表示假山的高度为______． (2)在实际操作中，小明测得，但在测量的长度时，发现假山正下方的点处根本无法直接到达，小明稍加思索，便得出了改进方案，如图2所示，他将竖直标杆移动到点处，测得此时标杆在照明灯下的影长变为，请画出这一刻标杆在点的影子并根据这些数据帮助小明求出假山的高度． 【题型五】三视图与展开图、立体模型制作综合 【例5】有12个棱长相等的小正方体，用其中6个小正方体粘合成了如图的几何体，在剩下的小正方体粘合成的下列几何体中，能够和这个几何体拼成一个长方体的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】有高度相同的一段方木和一段圆木，体积之比是1:1．在高度不变的情况下，如果将方木加工成尽可能大的圆柱，将圆木加工成尽可能大的长方体，则得到的圆柱和长方体的体积之比为____． 【变式5-2】如图，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长为多少？ 模型一　“三字诀”验证法（画、验三视图） 【操作步骤】 适用：画三视图、补图、判断视图是否正确。 步骤：①定位置——主视图在上，俯视在下、左视在右；②定大小——长对正、高平齐、宽相等；③定虚实——可见实线、遮挡虚线。 模型二　还原几何体“先底后高”法 【操作步骤】 适用：由三视图还原几何体。 步骤：①由俯视图定底面轮廓与长宽；②由主视图定前后方向的高度；③由左视图定左右方向的宽度与高度，三者综合确定几何体。 模型三　小正方体计数“三口诀” 【操作步骤】 适用：堆叠小正方体求个数（最多、最少）。 口诀：俯视图打地基（确定底面格子），主视图盖高楼（每列按主视图层数），左视图拆违章（核对每行层数）。每格层数取列高与行高的交集。 模型四　平行投影测高“正比例法” 【操作步骤】 适用：同一时刻测物高、影长。 步骤：确认同一时刻→统一单位→列比例式（物高₁/影长₁=物高₂/影长₂）→解方程。 模型五　中心投影“相似三角形法” 【操作步骤】 适用：点光源下求影长、物高、位置关系。 步骤：画示意图→标光源、物体、影→构造相似三角形→列比例求解。 模型六　三视图求面积体积“还原—定尺寸—代公式” 【操作步骤】 适用：由三视图求表面积、体积。 步骤：①还原几何体形状；②由三视图确定长、宽、高、半径等尺寸；③代入相应公式计算（注意挖空结构的表面积处理）。 技巧1．看光源判投影：太阳光、平行光→平行投影；路灯、台灯、手电→中心投影。 技巧2．判断正投影形状背口诀：平行形不变、倾斜形改变、垂直成线段。 技巧3．画三视图三步走：定位置→定大小（长对正、高平齐、宽相等）→定虚实（可见实、遮挡虚）。 巧4．补第三视图用“三字诀”逐一核对，重点检查“宽相等”是否落在俯、左视图之间。 技巧5．三视图尺寸要记牢：主视图看长和高，俯视图看长和宽，左视图看宽和高。 技巧6．数小正方体用“俯视打地基、正视盖高楼、左视拆违章”，先求最多最少，再作答。 技巧7．测高先统一单位，再用同一时刻正比例；中心投影改构造相似三角形。 技巧8．由三视图求面积、体积：先还原形状、再定尺寸、后代公式；有虚线（内部结构）时别漏算表面。 技巧9．看到三视图先判断“有没有虚线”，虚线表示被遮挡或内部轮廓，是还原与画图的关键。 技巧10．答完检查：三视图方向是否摆对、有无漏虚线、尺寸是否对应、单位是否统一。 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $