6.1.1 向量的概念（教学课件）高一数学人教B版必修第二册

【新教材】人教B版·高一必修第二册 第六章 平面向量初步 6.1.1 向量的概念 6.1平面向量及其线性运算 学 习 目 标 1 2 了解向量的实际背景，理解向量、数量的概念，明确向量大小、方向两个要素。 掌握向量的两种表示：有向线段几何表示、字母符号表示；理解向量的模、零向量、单位向量、位置向量概念。 理解相等向量、平行（共线）向量的含义，能判断向量间的相等、平行关系，知道向量是自由向量。 重点：向量的概念、向量的表示、相等向量与共线向量 难点：对共线（平行）向量、自由向量的理解，区分有向线段与向量 位移差异 知识讲解 互动探究 新课引入 一人从 A 地向东走 50 米到达 B 地；另一人从 A 地向西走 50 米到达 C 地。两次行走路程都是 50 米，但最终位置完全不同。 提问：路程只描述了距离，为什么结果不一样？什么量还需要兼顾方向？ B A C 3 位移差异 知识讲解 互动探究 新课引入 我们在物理学中已经学过位移的有关知识，知道位移是表示物体位置变化的物理量。如图所示，当物体从A运动到B时，不管沿着什么轨迹，它的位移都是一样的，即“向北300m” (1)图中，从B到A的位移是“向南300m”，它与从A到B的位移有什么关系？ (2)怎样直观地表示位移？用你的方法表示出图中从A到B，从A到C，从A到D的位移，说出这三个位移之间的关系 二者方向相反 AB与AC、AD的位移方向不同，AC的位移与AD的位移方向相同 4 目标一：位移与向量 位移的概念 知识讲解 互动探究 新课引入 只考虑质点的终点相对于起点的“方向”和“直线距离”，就说质点在平面上做了一次位移，即位移被“方向”和“距离”唯一确定。 注意 (1)质点的位移只表示质点的起点、终点间的位置关系，而与质点的实际运动路线无关。 (2)从两个不同点出发的位移，只要方向相同，距离相等，我们就把它们看成相同的位移或相 6 向量的概念 知识讲解 互动探究 新课引入 向量的定义:既有大小又有方向的量称为向量(也称为矢量)(如图所示)。 向量的模:向量的大小称为向量的模(或长度)，记作||。 注意： 向量不同于数量，数量之间可以比较大小，“大于”“小于”的概念对数量是适用的。而向量由模、方向来确定，由于方向不能比较大小，因此，“大于”“小于”对向量来说是没有意义的。 向量的模(是正数或零)可以比较大小 7 给出下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤路程;⑥功;⑦加速度。其中是向量的有( )。 A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 对点体验 解 速度、位移、力、加速度，这4个物理量是向量，它们都有大小和方向。 目标二：向量的表示方法 几何表示法 知识讲解 互动探究 新课引入 具有方向的线段，叫作有向线段，有向线段就是向量的直观表示。有向线段的方向表示向量的方向，有向线段的长度表示向量的大小。用有向线段来表示向量，显示了向量的几何特征，为进一步学习向量提供了几何方法，这也体现了数形结合的数学思想，应注意有向线段是向量的直观表示，并不是说向量就是有向线段。 10 字母表示法 知识讲解 互动探究 新课引入 向量可以用表示有向线段的起点和终点的字母表示，书写时要注意起点写在终点的前面。向量还可以用小写字母来表示（要注意手写体与印刷体的不同）。 几何表示法为用向量处理几何问题打下了基础，而字母表示法便于向量的运算。 11 在如图所示边长为1的小正方形组成的方格纸中，用直尺和圆规画出下列向量。 (1) ，点 在点 正西方向； (2) ，点 在点 北偏西 方向； (3) ，点 在点 南偏东 方向。 对点体验 解 画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定终点，并标出箭头方向。 中国象棋中规定：马走“日”字，如图所示是中国象棋的半个棋盘，若马在 处，可跳到 处，也可跳到 处，用向量 或 表示马走了“一步”。试在图中画出马在 ， 处走了“一步”的所有情况。 对点体验 答 根据规则，画出符合要求的所有向量，马在 处走了“一步”的情况如图①所示；马在 处走了“一步”的情况如图②所示。 目标三 ：两个特殊向量 零向量的概念 知识讲解 互动探究 新课引入 始点与终点相同的向量称为零向量. 零向量的写法：零向量在印刷时，通常用加粗的阿拉伯数字零表示，即 0；书写时，通常用带箭头的阿拉伯数字零表示，即 . 零向量的模：零向量的模为0，即 |0|=0. 零向量的性质：零向量本质上是一个点，因此可以认为零向量的方向是不确定的. 模不为0的向量通常称为非零向量. 15 单位向量的概念 知识讲解 互动探究 新课引入 模等于1的向量称为单位向量，这就是说，如果 e 是单位向量，则 |e|=1 反之也成立. 单位向量的充要条件：e 是单位向量的充要条件是 |e|=1. 16 零向量的概念 知识讲解 互动探究 新课引入 始点与终点相同的向量称为零向量. 零向量的写法：零向量在印刷时，通常用加粗的阿拉伯数字零表示，即 0；书写时，通常用带箭头的阿拉伯数字零表示，即 . 零向量的模：零向量的模为0，即 |0|=0. 零向量的性质：零向量本质上是一个点，因此可以认为零向量的方向是不确定的. 模不为0的向量通常称为非零向量. 17 目标四 ：向量相等和共线向量 情境思考 知识讲解 互动探究 新课引入 上体育课时，当某一排同学整理好队形，并执行完老师的口令“向前三步走，向右看齐”之后，同学们位移的方向是否相同？位移的大小是否相等？能否认为同学们的位移是相同的？ 可以认为，情境中同学们位移的方向和大小都相等，即位移相同. 19 向量相等的概念 知识讲解 互动探究 新课引入 我们把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量. 向量 和 b 相等，记作：=b. 上图中，相等的向量有 ，=，=. 20 对点体验 如图，已知四边形 ，则“”是“四边形 为平行四边形”的什么条件？ 如果 ，那就表示这两个向量的方向相同且大小相等，由图可知 且 ， 因此四边形 为平行四边形. 反之，如果四边形 为平行四边形，则 且 ，由此由图可知 . 综上，“”是“四边形 为平行四边形”的充要条件. 对点体验 如图所示， 是正六边形 的中心，以图中字母为始点或终点，分别写出与向量 ，， 相等的向量. 因为两个向量相等，只要方向相同大小相等即可，因此 ， ， . 向量平行和向量共线的概念 知识讲解 互动探究 新课引入 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行，两个向量 和 b 平行，记作：∥b； 两个向量平行也称两个向量共线. 特殊的平行向量： 零向量与任意向量平行. 23 对点体验 如图所示，找出其中共线的向量，并写出共线向量模之间的关系. 不难看出 且 ， 且 ， 且 . 共线向量问题 知识讲解 互动探究 新课引入 判断向量是否共线，一般是看向量的起点和终点是否都在同一条直线上或观察其所在直线是否平行。 (2) 寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再确定同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量。 25 对点体验 如图 ，设 是正六边形 的中心。 (1) 分别写出图中与 ， 共线的向量； (2) 分别写出图中与 的模相等的向量以及方向相同的向量。 答 (1) 与 共线的向量为 ，，，，；与 共线的向量为 ，，，，。 (2) 与 的模相等的向量为 ，，，；与 方向相同的向量为 ，，。 对点体验 如图 ， 和 是在各边的 处相交的两个全等的等边三角形。设 的边长为 ，图中标出了长度均为 的若干个向量，则： (1) 与向量 相等的向量有________； (2) 与向量 共线，且模相等的向量有________； (3) 与向量 共线，且模相等的向量有________。 解 向量相等 向量方向相同且模相等。 向量共线 表示向量的有向线段所在的直线平行或重合。 答 (1) ， (2) ，，，， (3) ，，，， (1) 在平面图形中寻找共线向量时，应逐个列举，做到不重不漏，可先找在同一条直线上的共线向量，然后找平行直线上的共线向量，要注意一条线段对应两个共线向量，方向相同但大小不等的向量是不同的共线向量。 (2) 相等向量一定是共线向量，因此在找相等向量时，可以从共线向量中筛选，找出大小相等且方向相同的共线向量即可。 在平面图形中找相等向量、共线向量时，要注意利用三角形的中位线定理、平行四边形的性质等平面几何知识寻找线线之间的相等或平行关系。 在平面图形中寻找共线、相等向量的方法 目标五 ：利用平面向量解决问题 利用向量可以证明线段相等、判断图形的形状（如平行四边形等）、证明多点共线等问题，以及解决生活中的实际问题。如利用向量相等，可以证明线段相等或直线与直线平行，在证直线与直线平行时，需说明两向量所在的直线无公共点。 利用向量关系证明或判断线段平行或相等的方法 (1) 证明或判断线段相等，只需证明或判断相应向量的长度（模）相等。 (2) 证明线段平行，先证明相应的向量共线，再说明线段不共线。 几何问题 对点体验 如图 ，半圆的直径 ， 是半圆上的一点， 分别是 上的点，且 ，，。 (1) 求证：； (2) 求 。 答 (1) 由题意知，在 中，， ，，， 是直角三角形，。 又 点 为半圆上一点，。 ，故 。 (2) 由 知 ， ，即 ， ，即 。 (1) 由于生活中很多量是向量，如力、速度、位移等，因此向量的知识广泛应用于实际生活中，利用向量的基本知识在实际问题中的简单应用可以方便地解决一些实际问题。 (2) 运用向量解决实际问题要特别注意： ①位移被“方向”和“距离”唯一确定，位移只表示质点位置的变化，表示起点、终点间位置关系，而与质点实际运动的路线无关。 应用问题 对点体验 飞机从 地按北偏西 的方向飞行 到达 地，再从 地按南偏东 的方向飞行 到达 地，那么 地在 地的什么方向上？ 地距 地多远？ 答 如图 ， 表示飞机从 地按北偏西 方向飞行到 地的位移， 则 。 表示飞机从 地按南偏东 方向飞行到 地的位移，则 。 所以 为飞机从 地到 地的位移。 在 中，，且 ， 所以 为等边三角形， 所以 ，， 所以 地在 地北偏东 方向上，距离 地 。 目标六 ：针对训练 举一反三 1.下列物理量中不是向量的是() A.重力 B.时间 C.加速度 D.位移 解析： 向量既有大小又有方向.时间只有大小，没有方向.故选 B. 2.对于物理量:①路程，②时间，③速度，④体积，⑤长度，⑥重力，以下说法正确的是() A.①②④是数量，③⑤⑥是向量 B.①④⑤是数量，②③⑥是向量 C.①④是数量，②③⑤⑥是向量 D.①②④⑤是数量，③⑥是向量 解析： 路程，时间，体积，长度只有大小，没有方向，是数量； 速度，重力既有大小又有方向，是向量，故选:D. 举一反三 3.下列有关向量的概念错误的是() A.长度为 0 的向量是零向量，零向量的方向是任意的 B.零向量和任意向量都是共线向量 C.相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等 D.若 与 不相等，则 与 一定不共线 解析： 对于 A，零向量的长度为 0，且方向是任意的，故 A 正确； 对于 B，规定零向量与任意向量共线，故 B 正确； 对于 C，相等向量的模长和方向都相同，故相等向量一定是共线向量，但共线向量是方向相同或者相反的两个向量，模长不一定相等，故共线向量不一定相等，C 正确； 对于 D， 与 不相等，有可能 与 方向相同，但模不同，此时 与 共线，故 D 错误.故选 D. 举一反三 4.以下说法错误的是() A.零向量与任一非零向量平行 B.零向量与单位向量的模不相等 C.平行向量方向相同 D.平行向量一定是共线向量 解析： 数学规定:零向量与任一非零向量平行，故 A 说法正确； 零向量的模为零，单位向量的模为 1，故 B 说法正确； 平行向量的方向相同或相反，故 C 说法不正确； 平行向量也叫共线向量，故 D 说法正确.故选：C. 举一反三 5.下列说法中，正确的是() ①长度为 0 的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的； ③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线. A.①② B.②③ C.②④ D.①④ 解析： ①长度为 0 的向量都是零向量，正确； ②零向量的方向任意，故错误； ③单位向量只是模长都为 1 的向量，方向不一定相同，故错误； ④任意向量与零向量都共线，正确；故选：D 举一反三 6.下列各量中，是向量的是 .(填序号) ①密度；②体积；③重力；④质量. 解析： 向量指具有大小和方向的量.①②④仅有大小，没有方向；③既有大小又有方向.故答案为：③. 目标七 ：小结 学海拾贝 1. 两个概念区分 •向量：既有大小，又有方向的量 •数量：只有大小、没有方向的量，可以直接比较大小 向量不能直接比较大小，只能比较模的大小。 2. 向量的表示 几何表示：有向线段 符号表示：、a 模：表示向量的大小 学海拾贝 3. 特殊向量 零向量 0：模为 0，方向任意 单位向量：模等于 1 的向量 4. 向量间关系（自由向量） •相等向量：大小相等，方向相同，与起点位置无关 •平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量；规定零向量与任意向量共线 学海拾贝 5. 思想方法 从物理实例抽象数学概念，向量兼顾"大小 + 方向"双重属性，是连接几何与代数的工具，为后续向量运算打基础。 6.易错点提醒： •有向线段 ≠ 向量，向量可自由平移 •共线向量不一定在同一条直线上 •零向量方向是任意的 【新教材】人教B版·高一必修第二册 感谢聆听! $