6.1.1 向量的概念-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦“向量的概念”，涵盖向量定义、表示及零向量、单位向量等特殊向量知识。通过物理中位移、速度实例导入，结合问题思考引导从具体到抽象，以微提醒和自主检测为支架衔接前后知识。 其亮点是结合物理情境培养数学抽象，借助几何图形分析共线、相等向量培养直观想象。题型分层设计并总结规律方法，助力学生构建知识体系。学生能深化概念理解，教师可利用完整资源提升教学效率。

6.1.1　向量的概念 　 第六章　6.1 平面向量及其线性运算 知识层面 1．理解向量、零向量、单位向量、向量模的意义．　 2．掌握向量的几何表示，会用字母表示向量，会用向量表示点的位置．　 3．了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量共线(平行)、相等的关系． 素养层面 通过向量相关概念的学习，培养数学抽象素养；借助向量的表示及应用，培养直观想象素养． 新知导学 1 合作探究 2 随堂演练 3 课时测评 4 内容索引 新知导学 返回 观察下面两个例子 1．学校位于小明家北偏东60°方向，距离小明家2 000 m．从小明家到学校，可能有长短不同的几条路．无论走哪条路，位移都向北偏东60°方向移动了2 000 m(如图①)； 2．某著名运动员投掷标枪时，其中的一次记录为：出手角度θ＝43.242°，出手速率为v＝28.35 m/s(如图②). 问题导思 问题1．上述两个实例中反映的物理量有什么共同的特点？ 提示：上述反映的物理量为位移，速度，既有大小又有方向，在物理中称为矢量；与表示物理中的长度、面积、质量等只有大小的量不同． 问题2．在物理中，位移、速度、力通常用一条带有箭头的线段表示，箭头表示方向，线段的长度表示这些量的大小，而在数学中既有大小又有方向的量如何表示呢？ 提示：利用有向线段表示，有向线段的方向表示向量的方向，长度表示向量的大小． 知识点一　向量的定义与表示 1．定义：既有 又有 的量． 2．表示方法： (1)几何表示法：用以 ，以 作有向线段 . (2)字母表示法：在印刷时，通常用加粗的斜体小写字母如a，b，c，…表示向量，在书写时，可写成带箭头的小写字母如 …. 3．向量的模：向量的大小也称为向量的长度或模，如a， 的模分别记作|a|，| |. 新知构建 大小 方向 A为始点 B为终点 微提醒 (1)向量不仅有大小，而且有方向．大小是代数特征，方向是几何特征．看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素，二者缺一不可． (2)要准确画出向量，应先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点． 知识点二　特殊向量 1．零向量： 的向量称为零向量，记作0. 2．单位向量：长度(或模)为1的向量称为单位向量． 3．相等向量：大小相等且方向相同的向量称为相等向量．向量a与b相等，记作 ． 4．平行向量或共线向量： 的非零向量称为平行向量，也称为共线向量．向量a平行于b，记作a∥b.规定零向量平行于任何向量． 始点和终点相同 a＝b 方向相同或相反 微提醒 (1)0与0不同，0是一个实数，0是一个向量，且|0|＝0.0有方向，其方向是任意的． (2)若a＝b，意味着|a|＝|b|，且a与b的方向相同． (3)向量平行与几何中的平行不同，向量平行包括基线重合的情况，故也称向量共线． 1．下列量：悬挂物受到的拉力；压强；摩擦力；频率；加速度，是向量的有____个 A．1 B．2 C．3 D．4 自主检测 √ ①拉力既有大小又有方向，故拉力是向量； ②压强只有大小没有方向，故压强不是向量； ③摩擦力既有大小又有方向，故摩擦力是向量； ④频率只有大小没有方向，故频率不是向量； ⑤加速度既有大小又有方向，故加速度是向量， 综上，①悬挂物受到的拉力；③摩擦力；⑤加速度为向量，共3个．故选C. 由向量不能比较大小，可知选C. 2．汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题中正确的是 A．汽车的速度大于摩托车的速度 B．汽车的位移大于摩托车的位移 C．汽车走的路程大于摩托车走的路程 D．以上都不对 √ 由题图可知三向量方向不同，但长度相等． 3．如图，在圆O中，向量 是 A．有相同起点的向量 B．单位向量 C．模相等的向量 D．相等的向量 √ 向量不能比较大小，所以A不正确；a＝b需满足两个条件：a，b同向，且|a|＝|b|，所以B不正确；C正确；若a＝2b则a≠b且a，b共线，故D正确． 4．(多选)下列说法正确的是 A．若|a|>|b|，则a>b B．若|a|＝|b|，则a＝b C．若a＝b，则a∥b D．若a≠b，则a，b可能是共线向量 √ √ 5．如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为始点和终点，可以写出________个向量． 12 返回 合作探究 返回 题型一　向量中的概念 　 在下列判断中，正确的是 ①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③长度相等的向量都是单位向量；④单位向量都是同方向；⑤向量 与向量 的长度相等. A．①②③　　　　　　 B．①③⑤ C．①②⑤ D．①⑤ [思路点拨]　由零向量，单位向量的概念逐一判断． 例1 √ 长度为0的向量都是零向量，①正确；零向量的方向是任意的，②错误；单位向量的长度为1，③错误；单位向量的方向不确定，④错误；向量 与向量 的长度相等，⑤正确．故选D. 规律方法 理解零向量和单位向量应注意的问题 1．零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等． 2．单位向量不一定相等，易忽略向量的方向． [注意]两个单位向量的长度相等，但这两个单位向量不一定相等．　　 ①不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； ②不正确，若a与b中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相反； ③正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小． ③ 对点练1．下列命题中，正确的是________(填序号). ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； ③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小． 题型二　共线向量与相等向量问题 　如图所示，△ABC中，三边长均不相等，E，F， D分别是AC，AB，BC的中点． (1)写出与 共线的向量；(2)写出与 长度相等的向量； (3)写出与 相等的向量． [思路点拨]　(1)共线向量只需在图中找出与线段EF平行或共线的所有线段，再把它们表示成向量即可．(2)在图中找出与线段EF长度相等的所有线段，再把它们表示成向量即可．(3)相等向量必须满足两个条件：方向相同，长度相等，与起始点的位置无关，所以只需在图中找与线段EF平行或共线且长度相等的所有线段，将它们表示成向量，再从中找出方向与 的方向相同的向量即可． 例2 (1)写出与 共线的向量； (2)写出与 长度相等的向量； 所以EF＝BD＝DC. 因为AB，BC，AC均不相等， (3)写出与 相等的向量． 规律方法 1．寻找相等向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向且共线的． 2．寻找共线向量的方法：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向或反向的向量． 3．共线向量与相等向量的关系：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量．若两向量相等，则两向量方向相同，模相等；若两向量共线，则两向量方向相同或相反．　　 对点练2．如图，EF是△ABC的中位线，AD是BC边上的中线，在以A，B，C，D，E，F为端点的有向线段表示的向量中，请分别写出： (1)与向量 共线的向量； 解：因为在△ABC中，AD是BC边上的中线， 所以D为BC边的中点， 又因为EF是△ABC的中位线， (2)与向量 的模相等的向量； (3)与向量 相等的向量． 题型三　向量在平面几何中的应用 例3 6 规律方法 1．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点． 2．利用向量的相等，可以证明线段相等或直线平行，但需说明两向量所在的基线无公共点．用平行向量可证明(判断)直线平行，但证明直线平行时，除说明向量平行外还需说明向量所在的基线无公共点．　　 返回 所以四边形ABCD是平行四边形，所以 且DA∥CB.同理可证四边形CNAM是平行四边形， 随堂演练 返回 1．下列命题正确的是 A．单位向量都相等 B．任一向量与它的相反向量不相等 C．平行向量不一定是共线向量 D．模为0的向量与任意向量共线 对于A，模为1的向量叫做单位向量，但是单位向量不一定相等，因为方向不一定相同，故A错误；对于B，零向量的相反向量依然是零向量，零向量相等，故B错误；对于C，平行向量即共线向量，故C错误；对于D，模为0的向量叫零向量，零向量和任意向量共线，故D正确．故选D. √ 2．(多选)如图所示，设O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是 √ √ √ 将向量平行转化为边平行，将向量模的关系转化为边长的关系来求解．在四边形ABCD中， 梯形 4．在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量．正确的命题是________(填序号). 由向量的相关概念可知④⑥正确． ④⑥ 返回 课时测评 返回 向量不能比较大小，但是向量的模是实数，可以比较大小． 1．下列说法正确的是 A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小 C．向量的大小与方向有关 D．向量的模可以比较大小 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2．(多选)下面的命题正确的有 A．方向相反的两个非零向量一定共线 B．单位向量都相等 C．若a，b满足 且a与b同向，则a＞b D．“若A、B、C、D是不共线的四点，且 ”⇔“四边形ABCD是平行四边形” √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，由相反向量的概念可知A正确；对于B，任意两个单位向量的模相等，其方向未必相同，故B错误；对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且 ，可得AB∥DC，且AB＝DC，故四边形ABCD是平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，可知AB∥DC，且AB＝DC，此时A、B、C、D是不共线的四点，且 ，故D正确．故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 其中真命题的个数是 A．0 B．1 C．2 D．3 ①真命题．因为向量 和向量 是方向相反，模相等的两个向量；②假命题．向量是用有向线段来表示的，不能把两者等同起来；③假命题．0是一个向量，而0是一个数，|0|＝0；④假命题．向量不能比较大小，这是向量与数量的显著区别，向量的模可以比较大小．故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5．下列命题中正确的是 A．若 是共线向量，A，B，C，D则四点共线 B．若a∥b，b∥c，则a∥c C．不相等的两个向量一定不平行 D．两个相等向量的模相等 A中， 是共线向量时，A，B，C，D四点不一定共线，判定A错误；B中，a∥b，若b＝0，则a∥c不成立，故B错误；C中，零向量的方向不确定，因此人们规定它可以与任何向量平行，则C错误；D中，两个相等向量的模是一定相等的，故D正确．故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6．以正方形的4个顶点中的一个顶点为始点，另一个顶点为终点作向量，可以作出的互不相等的向量有_____个． 如图所示，正方形ABCD，以其中一个顶点为始点，另一个顶点为终点作向量有： 8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 相等向量一定是共线向量，①能使a∥b； ，不能确定方向，所以②不能确定a∥b，方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a∥b；零向量与任一向量平行，④成立，单位向量的模相等，但方向不确定，所以⑤不能推出a∥b. ①③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8．已知A，B，C是不共线的三点，向量m与 是平行向量，与 是共线向量，则m＝________． 0 因为A，B，C不共线，所以 与 不共线，又m与 ， 都共线，所以m＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 9．(10分)O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在如图所示的向量中： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10．(10分)如图，已知D，E，F分别是等边三角形ABC各边的中点，且△ABC的边长为2，连接BF，CD. (1)图中已标出的向量中，模为2的向量有哪些？(4分) 解：因为E，F分别为CB，CA的中点， 解：由题图中向量及BA＝BC＝CA＝2可知，模为2的向量有 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11．(5分)(多选)下列命题中，不正确的是 A．有相同起点的两个非零向量不共线 B．a＝b的充要条件是 且a∥b C．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 D．向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 对于A，有相同起点的两个非零向量也可以平行，也称为共线，因此A错误；对于B，a＝b的充要条件是 且方向相同，因此B错误；对于C，当b＝0时，则a与c不一定共线，因此C错误；对于D，向量a与b不共线，则a与b都是非零向量，D正确．故选ABC. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 12．(5分)设四边形ABCD中， 则这个四边形是 A．平行四边形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 所以四边形为等腰梯形．故选C. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13．(10分)某次军事演习中，红方一支装甲分队为完成对蓝军的穿插包围，先从A处出发向西迂回了100 km到达B地，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km到达C地，最后又改变方向，向东突进100 km到达D处，完成了对蓝军的包围． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以四边形ABCD为平行四边形． 所以在四边形ABCD中，AB綊CD， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14．(5分)中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田”字．如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量 表示马走了“一步”.若马在B处或C处，则以B，C为起点表示马走了“一步”的向量共有________个． 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 此题中，马在A处有两条路可走，在B处有三条路可走，在C处有八条路可走．如图，以B点为起点作向量，共3个；以C点为起点作向量，共8个．所以共有11个． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (1)△ABC≌△A′B′C′；(5分) 所以四边形AA′B′B是平行四边形． 所以△ABC≌△A′B′C′. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 证明：由(1)知四边形AA′B′B是平行四边形， 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 谢 谢 观 看 ！ 第 六 章 　 平 面 向 量 初 步 返回 ，，， ，， 由向量的几何表示，知可以写出12个向量，它们分别是，，，，，，，，，，，. 解：因为E，F分别是AC，AB的中点，所以EF∥BC，所以与共线的向量为，，，，，，. 解：与相等的向量为，. 解：因为E，F，D分别是AC，AB，BC的中点，所以EF＝BC，BD＝DC＝BC， 所以与长度相等的向量为，，，，. 与向量共线的向量有，，，，，，. 所以EF∥BC，EF＝BC. 同理：ED∥AC，ED＝AC；DF∥AB，DF＝AB. 解：与向量相等的向量有，. 解：与向量的模相等的向量有，，，，. 所以＝，所以E，D，C三点共线． 所以||＝||＋||＝2||＝6. 如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，若||＝3，则向量的模为________． [思路点拨]　建立||与||的联系即可求得的模． 在▱ABCD和▱ABDE中，易知＝，＝， 因为||＝||，||＝||，所以||＝||，即与的模相等， 又与的方向相同，所以＝. ||＝|| 对点练3．如图所示，在四边形ABCD中，＝，N，M分别是AD，BC上的点，且＝. 求证：＝. 证明：因为＝，所以||＝||且AB∥CD. 所以＝. A．＝　　　　　 B．∥ C．与共线 D．＝ 因为与方向相同，长度相等，故A正确；因为A，O，C三点在一条直线上，所以∥，故B正确；因为AB∥DC，所以与共线，故C正确；因为与方向不同，所以二者不相等，故D错误．故选ABC. 3．在四边形ABCD中，若∥，且||≠||，则四边形ABCD的形状是________． 因为∥，所以AB∥CD.又因为||≠||，所以四边形ABCD为梯形． ＞ ＝ ＝ ＝ 3．如图，四边形ABCD，其中＝，则相等的向量是 A．与 B．与 C．与 D．与 因为＝，所以AB＝DC，且AB∥DC，则四边形ABCD为平行四边形，O为BD的中点，所以＝，又与方向相同，所以＝.故选D. 4．给出下列四个命题：①向量和向量的长度相等；②有向线段就是向量，向量就是有向线段；③0＝0；④向量大于向量. 与 与 ，，；，，；，，；，，，共12个，其中＝，＝，＝，＝，所以满足条件的向量有8个． 7．给出以下5个条件：①a＝b；②＝；③a与b的方向相反；④＝0或＝0；⑤a与b都是单位向量．其中能使a∥b成立的是________(填序号). ＝ (4)向量与是否相等？(3分) 解：＝，＝. 解：与共线的向量有：，，. 解：与模相等的向量有：，，，，，，. 解：向量与不相等，因为它们的方向不相同． (1)分别找出与，相等的向量；(2分) (2)找出与共线的向量；(2分) (3)找出与模相等的向量；(3分) 所以||＝1.由勾股定理得BF＝＝＝.同理CD＝. 所以||＝，||＝. (2)试求||，||，||.(6分) ，，. 所以EF＝AB＝1. ＝ ＝ 有＝且＝， 因为＝，所以DC∥AB，且DC≠AB.又＝， (1)作出向量，，；(4分) 解：向量，，，如图所示． 又||＝||， 所以＝，||＝||＝200 km. (2)求||.(6分) 解：由题意，易知与方向相反， 故与共线． 1，2 又因为A不在上，所以AA′∥BB′. 所以||＝||. 同理||＝||，||＝||. 15．(15分)如图所示，已知＝＝.求证： 证明：(1)因为＝， 所以||＝||，且∥. (2)＝，＝.(10分) 所以与方向相同，且||＝||， 所以＝.同理可证＝. $