第6章 6.1.2 向量的加法（配套课件PPT）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第二册学习笔记（人教B版）

该高中数学课件聚焦向量加法，涵盖概念、三角形法则、平行四边形法则及运算律，通过类比实数运算提出问题，搭建从实数运算到向量运算的学习支架，引导学生建立知识联系。 其亮点是以位移、力的合成等现实情境引入，用数学眼光抽象向量加法，通过问题探究模长关系、证明运算律发展数学思维，用几何图形和符号语言精准表达（如法则对比表格）。学生能直观理解几何意义，教师可借助结构化内容提升教学效率。

6.1.2 向量的加法 第六章　§6.1　平面向量及其线性运算 <<< 1.理解并掌握向量加法的概念. 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则做两个向量的加法运算. 3.了解向量加法的交换律和结合律，并能作图解释向量加法运算律的合理性. 学习目标 我们知道，实数可以进行运算，如1+2=3，2×3=6，正是有了运算，数字才有了无穷的威力，在运算中，我们还有加法交换律和结合律，乘法交换律、分配律和结合律，那么向量是否也能像数一样进行运算呢？它的运算规则又是怎样的呢？是不是也有相应的运算律？今天我们就从向量的加法开始，来研究向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用. 导 语 一、向量加法的三角形法则 二、向量加法的平行四边形法则 课时对点练 三、多个向量相加 随堂演练 内容索引 向量加法的三角形法则 一 某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？ 问题1 提示　这个质点两次位移，的结果，与从点A直接到点C的位移的结果相同，因此位移可以看成是位移与合成的，即可以算作是与的和. 请结合课本例1，探索一下|a+b|与|a|，|b|之间的关系？ 问题2 提示　(1)当向量a与b不共线时，a+b的方向与a，b方向不同，且|a+b|<|a|+|b|. (2)当a与b同向时，a+b，a，b同向，且|a+b|=|a|+|b|. (3)当a与b反向时，若|a|>|b|，则a+b的方向与a相同，且|a+b|=|a|-|b|；若|a|<|b|，则a+b的方向与b相同，且|a+b|=|b|-|a|. 1.一般地，平面上任意给定两个向量a，b，在该平面内任取一点A，作=a，=b，作出向量，则向量称为向量a与b的和(也称为向量a与b的和向量).向量a与b的和向量记作 ，因此+=.当a与b不共线时，求它们的和可用图表示，此时a，b，a+b正好能构成一个三角形，所以上述求两向量和的作图方法也常称为向量加法的 . a+b 三角形法则 知识梳理 2.对任意向量a，有a+0= =a. 3.向量a，b的模与a+b的模之间满足不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. 0+a 知识梳理 运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，连首尾”. 注 意 点 <<< 10 　(1)如图所示， 例 1 ①a+b=　　；  ②c+d=　　；  ③a+b+d=　　；  ④c+d+e=　　.  c f f g 11 (2)设|a|=8，|b|=12，则|a+b|的最大值与最小值分别为　　　，　　　.  20 4 当a，b共线且同向时， |a+b|=|a|+|b|=8+12=20， 当a，b共线且反向时，|a+b|=||a|-|b||=4. 当a，b不共线时，||a|-|b||<|a+b|<|a|+|b|，即4<|a+b|<20， 综上可知，4≤|a+b|≤20，所以最大值为20，最小值为4. 解析 12 　(2)(课本例1)已知|a|=3，|b|=4，求|a+b|的最大值和最小值，并说明取得最大值和最小值时a与b的关系. 例 1 由|a+b|≤|a|+|b|可知，|a+b|的最大值为|a|+|b|=3+4=7， 当且仅当a与b方向相同时取得最大值. 由|a+b|≥||a|-|b||可知，|a+b|的最小值为||a|-|b||=|3-4|=1， 当且仅当a与b方向相反时取得最小值. 解 13 向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，即++……+=. 反 思 感 悟 14 　(1)如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，点F为线段DE延长线上一点，DE∥BC，AB∥CF，连接CD，那么(在横线上只填一个向量)： 跟踪训练 1 ①+=　　　；  ②+=　　　.  15 如题图，由已知得四边形DFCB为平行四边形，由向量加法的运算法则可知 +=+=， +=+=. 解析 16 (2)若a，b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则 A.a∥b，且a与b方向相同 B.a，b是方向相反的向量 C.a=-b D.a，b无论什么关系均可 √ 17 由向量加法的几何意义可知，若a，b为非零向量，且|a+b|=|a|+|b|，则有a∥b，且a与b方向相同，A正确； 若a，b是方向相反的向量，则|a+b|=||a|-|b||，B错误； 若a=-b，则a+b=0，|a+b|=0，C错误； 若a，b为任意非零向量，有|a+b|≤|a|+|b|，D错误. 解析 18 二 向量加法的平行四边形法则 提示　F=F1+F2；平行四边形法则. 图(1)表示橡皮条ME在两个力F1和F2的作用下，沿MC方向伸长了EO；图(2)表示橡皮条ME在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度EO.从力学的观点分析，力F与F1，F2之间的关系如何？你能从这个问题出发，给出求解向量之和的另一种方法吗？ 问题3 1.平面上任意给定两个不共线的向量a，b，在该平面内任取一点A，作=a，=b，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，作出向量，因为=，所以=+=+，这种求两向量和的作图方法也常称为向量加法的平行四边形法则. 知识梳理 2.从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的. 3.向量的加法运算满足交换律，即对于任意的向量a，b，都有a+b= . b+a 知识梳理 运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同. 注 意 点 <<< 23 (1)如图①所示，求作向量a+b； 例 2 图① 首先作向量=a，然后作向量=b，则向量=a+b.如图③所示. 解 图③ 24 (2)如图②所示，求作向量a+b+c. 图② 25 方法一　(三角形法则)如图④所示， 首先在平面内任取一点O，作向量=a，再作向量=b，则向量=a+b，然后作向量=c，则向量=(a+b)+c=a+b+c即为所求. 解 方法二　(平行四边形法则)如图⑤所示， 首先在平面内任取一点O，作向量=a，=b，=c， 以OA，OB为邻边作▱OADB，连接OD， 则=+=a+b. 再以OD，OC为邻边作▱ODEC，连接OE， 则=+=a+b+c即为所求. 图④　　 图⑤ 26 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 反 思 感 悟   区别 联系 三角形 法则 (1)首尾相接； (2)适用于任何两个非零向量求和 当两个向量不共线时，三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半 平行四边形法则 (1)共起点； (2)仅适用于不共线的两个向量求和 27 如图所示，O为正六边形ABCDEF的中心，化简下列向量. 跟踪训练 2 因为四边形OABC是以OA，OC为邻边的平行四边形，OB是其对角线，故+=. 解析 (1)+=　　　　；  28 (2)+=　　　；  因为=，故+与方向相同，长度为的长度的2倍， 故+=. 解析 29 (3)+=　　　.  因为=，故+=+=0. 解析 30 多个向量相加 三 提示　如图，不难证明满足结合律. 我们知道实数的加法满足交换律与结合律，向量的加法也满足交换律，是否也满足结合律呢？你能证明自己的猜想吗？ 问题4 (a+b)+c 加法结合律 =a+(b+c). 知识梳理 (课本例2)化简下列各式： (1)++； 例 3 ++=(+)+=+=. 解 34 (2)++++. ++++ =++(++) =++=(+)+ =+ ==0. 解 35 化简： (1)+； 例 3 +=+=. 解 (2)++； ++=++ =(+)+=+=0. 解 36 (3)++++. ++++ =++++ =+++ =++ =+=0. 解 37 向量加法运算律的意义和应用原则 (1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. (2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序. 反 思 感 悟 38 ++++等于 A. B.0 C. D. 跟踪训练3 ++++ =+ =0+0=0. 解析 √ 39 1.知识清单： (1)向量加法的三角形法则. (2)向量加法的平行四边形法则. (3)向量加法的运算律. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：向量加法的三角形法则要注意向量首尾相接，平行四边形法则要注意把向量移到共同起点. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.化简++等于 A. B. C. D. 根据平面向量的加法运算，得++=(+)+=+=. 解析 √ 1 2 3 4 2.正方形ABCD的边长为1，则|+|为 A.1 B. C.3 D.2 √ 在正方形ABCD中，AB=1，易知AC=，所以|+|=||=AC=. 解析 1 2 3 4 3.(多选)下列等式不正确的是 A.a+(b+c)=(a+c)+b B.+=0 C.=++ D.|a+b|=|a|+|b| √ √ B错误，+=0； D错误，当a，b方向相同时成立，故选BD. 解析 1 2 3 4 4.如图，四边形ABCD是梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则+++等于 A. B. C. D. +++=+++=++=+=. 解析 √ 课时对点练 五 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B A A C D (1)　(2)0 题号 8 11 12 13 14 15 答案 1　 C D AC 0 3 对一对 9. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)++=+=. (2)++=(+)+=+=. (3)++=++=+=. 10. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，设此人游泳的速度为，水流的速度为，以，为邻边作▱OACB，则此人的实际速度为+=. 由勾股定理知||=8，且在Rt△ACO中，∠COA=60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/时. 16. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，=+， =+，=+. 由平面几何知识可知，=，=， 所以++=(+)+(+)+(+) =(+++)+(+) =(+++)+0 =++=++=0. 基础巩固 1.++++等于 A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ++++=(+)+(+)+=++=(+) +=+=. 解析 2.若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a+b表示 A.向东北方向航行2 km B.向北偏东30°方向航行2 km C.向北偏东60°方向航行2 km D.向东北方向航行(1+)km 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，易知tan α=，所以α=30°.故a+b的方向是北偏东30°. 又|a+b|=2 km，故选B. 解析 3.如图，在平行四边形ABCD中，O为对角线的交点，则++等于  A. B. C. D.0 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ++=+=. 解析 √ 4.设a，b是非零向量，则“|a+b|=|a|-|b|”是“a∥b”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于充分性，易知|a+b|=|a|-|b|成立的条件是a，b方向相反，且|a|≥|b|， 所以由|a+b|=|a|-|b|可得a∥b，所以充分性成立； 对于必要性，若a∥b，当a，b的方向相同时，|a+b|=|a|+|b|，因此必要性不成立， 所以“|a+b|=|a|-|b|”是“a∥b”的充分不必要条件. 解析 5.在如图所示的方格中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则+等于  A. B. C. D. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 利用平行四边形法则作出向量+(图略)，平移即可发现+= . 解析 6.若在△ABC中，=a，=b，且|a|=|b|=1，|a+b|=，则△ABC的形状是 A.正三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由于||=|a|=1，||=|b|=1，||=|a+b|=，所以△ABC为等腰直角三角形. 解析 √ 7.如图，在平行四边形ABCD中，O是AC和BD的交点.则 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)++=　　　　；  (2)++=　　　　.  8.在边长为1的等边三角形ABC中，|+|=　　，|+|=　　　　.  易知|+|=||=1，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC， 则|+|=||=2||×sin 60°=2×1×=. 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 9.如图所示，在△ABC中，O为重心，D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，化简下列各式： (1)++； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ++=+=. 解 (2)++； 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ++=(+)+=+=. 解 (3)++. ++=++=+=. 解 10.某人在静水中游泳，速度大小为4 千米/时，他在水流速度大小为4千米/时的河中游泳.若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度大小为多少？ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图，设此人游泳的速度为，水流的速度为，以，为邻边作▱OACB，则此人的实际速度为+=. 解 由勾股定理知||=8，且在Rt△ACO中，∠COA=60°，故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米/时. 11.在矩形ABCD中，||=2，设=a，=b，=c，则|a+b+c|的值为 A.2 B.3 C.4 D.5 综合运用 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知a+b+c=++=+， 如图，延长BC至点E，使CE=BC，连接DE， 解析 ∴CE∥AD，CE=AD， ∴四边形ACED是平行四边形， ∴=， ∴+=+=， ∴|a+b+c|=||=4. 12.已知△ABC的三个顶点A，B，C及平面内一点P满足+=，则下列结论中正确的是 A.P在△ABC的内部 B.P在△ABC的边AB上 C.P在AB边所在的直线上 D.P在△ABC的外部 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 +=，根据向量加法的平行四边形法则，如图，则点P在△ABC外. 解析 13.(多选)设a=(+)+(+)，b是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为 A.a∥b B.a+b=a C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b| 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由条件得，a=(+)+(+)=+++=0，所以选项中a与b的关系，即0与b的关系，易知A，C正确. 解析 √ √ 14.已知点G是△ABC的重心，则++=　　　.  答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如图所示，连接AG并延长交BC于点E，则点E为BC的中点，延长AE到点D，使GE=ED， 则+=，+=0， ∴++=0. 解析 15.设|a|=2，e为单位向量，则|a+e|的最大值为　　　.  拓广探究 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 在平面内任取一点O，作=a，=e，则a+e=+=， 因为e为单位向量， 所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)， 由图可知当点B在点B1的位置时，O，A，B1三 点共线，||即|a+e|最大，最大值是3. 解析 16.如图，已知D，E，F分别为△ABC的三边BC，AC，AB的中点，求证：++=0. 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，=+， =+，=+. 由平面几何知识可知，=，=， 所以++=(+)+(+)+(+) =(+++)+(+) =(+++)+0 =++=++=0. 证明 第六章　§6.1　平面向量及其线性运算 <<< $