3.2.1单调性与最大（小）值 期中专项训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一上数学期中专题复习：《单调性与最大（小）值》核心题型总结 （八大题型，共39小题） 题型一:函数单调性的判断与证明 1．下列四个函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（　　） A．f（x）＝﹣x+3 B．f（x）＝（x+1）2 C．f（x）＝﹣|x﹣1| D． 2．下列函数中，在区间（0，+∞）上是减函数的是（　　） A．y＝3x+2 B．y＝x3 C．y＝x2﹣1 D． 3．设，则（　　） A．f（x）+g（x）在区间（0，+∞）上单调递增 B．f（x）+g（x）在区间（0，+∞）上单调递减 C．f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上单调递增 D．f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上单调递减 4．已知函数，其中a∈R，f（2）＝0．求a的值并用定义法证明函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递减． 5．已知函数． （1）求函数f（x）的定义域和值域； （2）判断函数f（x）在区间（2，5）上单调性，并用定义来证明所得结论． 题型二：求函数的单调区间 6．函数的单调递增区间为（　　） A． B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣3] D． 7．已知函数f（x）＝|x2﹣5x+6|，则函数f（x）的单调递增区间是（　　） A． B． C．和（3，+∞） D．（﹣∞，2）和 8．函数y＝|x2﹣x|的单调增区间为____________________ ． 9．已知函数，且f（1）＝2． （1）求实数a的值； （2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并用定义证明； （3）求函数f（x）在[1，3）上的值域． 题型三：根据函数的单调性求参数 10．已知函数f（x）＝x2﹣kx+2025在[3，4]上具有单调性，则实数k的取值范围是（　　） A．[6，8] B．（﹣∞，6]∪[8，+∞） C．（8，+∞） D．（﹣∞，6] 11．已知函数f（x），若∀x1，x2∈R且x1≠x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0，则a的取值范围是（　　） A．[﹣3，﹣2] B．[﹣3，﹣1] C．[﹣2，﹣1] D．（﹣∞，﹣2] 12．（多选）已知函数在区间（﹣2，+∞）上单调递减，则实数a的可能取值为（　　） A．0 B． C．﹣1 D．1 13． 已知函数f（x）＝|x2﹣24x|在（m，m+2）上单调递增，则m的取值范围是____________________ ． 14．已知函数f（x）． （1）当a＝1时，用定义证明f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减； （2）若f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减，求a的取值范围． 题型四：利用函数的单调性比较大小 15．函数f（x）在区间（﹣1，3]上单调递减，则有（　　） A．f（﹣2）＞f（2） B．f（0）＜f（3） C．f（﹣1）＞f（3） D．f（0）＞f（3） 16．已知函数y＝f（x）在[﹣1，1]上单调递减，且函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，设，b＝f（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c 17．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）＝0，f（2﹣x）＝f（x），且f（x）在[﹣1，1]内单调递增，则（　　） A．f（8）＜f（5.5）＜f（﹣3） B．f（8）＞f（5.5）＞f（﹣3） C．f（8）＞f（﹣3）＞f（5.5） D．f（8）＜f（﹣3）＜f（5.5） 18．定义在区间（﹣1，1）上的函数f（x）满足：f（x）﹣f（y）＝f（），x∈（﹣1，0）时f（x）＜0，若a＝f（）+f（），b＝f（），c＝f（0），则三个实数a，b，c从小到大排列的顺序为 __________ ． 题型五：利用函数的单调性解不等式 19．已知函数f（x）是定义在（0，1）上的减函数，则满足的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 20．定义在（0，+∞）上的增函数f（x），满足对于任意正实数x，y恒有f（xy）＝f（x）+f（y），且f（3）＝1，则不等式f（x）+f（x﹣8）＜2的解集是（　　） A．（﹣1，9） B．（0，8） C．（8，9） D．（0，9） 21．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对∀x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有0成立，且f（2）＝4，则不等式f（x）＞2x的解集为（　　） A．（4，+∞） B．（0，4） C．（0，2） D．（2，+∞） 22．已知f（x）的定义域为R，对任意的x1、x2∈R，且x1≠x2都有且f（5）＝18，则不等式f（3x﹣1）＞9x的解集为 ___________ ． 23．函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）＝f（a）+f（b）﹣1，并且当x＞0时，f（x）＞1． （1）求证：f（x）是R上的增函数； （2）若f（4）＝5，解不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3． 24．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）＝f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0．若f（3）＝1． （1）判断并证明f（x）的单调性； （2）解关于x的不等式． 25．函数f（x）对任意实数a，b都有f（a+b）＝f（a）+f（b）﹣1，并且当x＞0时，f（x）＞1， （1）求证：f（x）在R上是增函数； （2）若不等式f（ax2﹣2x﹣2）∠f（x2﹣1）在R上恒成立，求实数a的取值范围； （3）若f（3）＝4，且a＞0，解关于x的不等式f（）＞2． 题型六：求函数的最值或值域 26．（多选）当x＞0时，下列函数最小值为2的是（　　） A．y＝x（2x） B．y C．y D．y＝x21 27．若a，b∈R，记，则函数f（x）＝min{|x|，﹣x2+2}（x∈R）的最大值为（　　） A．0 B． C．1 D．3 28．已知函数f（x）＝x2﹣2，g（x）＝x+4定义：函数M（x）＝max{f（x），g（x）}，即M（x）表示函数f（x），g（x）中的较大者．例如M（2）＝max{f（2），g（2）}＝max{2，6}＝{6}，则M（x）的最小值为（　　） A．0 B．7 C．4 D．2 29．函数f（x）在区间[3，4]上的最小值为 _____ ，最大值为 _____ ． 30．已知函数f（x）． （1）判断并用定义证明函数f（x）在区间（﹣1，+∞）上的单调性； （2）求该函数在区间[1，4]上的最大值和最小值． 题型七：根据函数的最值求参数 31．若函数y＝﹣x2+（m+3）x+1在区间（2，3）内存在最大值，则m的取值范围是（　　） A．（﹣2，0） B．（﹣3，﹣1） C．（0，2） D．（1，3） 32．已知函数，x∈（m，n]的最小值为8，则实数m的取值范围是（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（1，2] D．[1，2） 33．已知函数f（x）＝ax+1+|2x2+ax﹣1|（a∈R）的最小值为0，则a＝（　　） A． B．﹣1 C．±1 D．± 34．已知函数f（x）＝x2+a|x|+1． （1）若a＞0，求不等式f（2x）≤f（1﹣x）； （2）若a≤0，函数g（x）＝f（x）+2x在[﹣1，+∞）上的最小值大于﹣3，求a的取值范围． 题型八：函数不等式恒、能成立问题 35．已知函数f（x）＝x2﹣mx+4，．若“∀x1∈[1，4]，∃x2∈[2，4]，使得f（x1）＞g（x2）成立”为真命题，则实数m的取值范围是（　　） A．（0，2） B．（﹣1，0） C． D．（﹣4，2） 36．已知函数f（x）＝x|x|，若对任意x∈[t，t+1]，不等式f（x2+t）≤4f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（　　） A．[，0] B．[0，] C．[，] D．[，1] 37．已知函数f（x）对∀x1，x2∈R，总有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，若不等式f（3a﹣x）≤f（x+a2）对∀x∈（a﹣1，a）恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣1，2] B．[0，1] C．（﹣∞，0]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） 38．已知函数，x∈[1，2]，g（x）＝ax+2a﹣1，x∈[﹣1，3]．对于任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[﹣1，3]，使得f（x1）≥g（x2），则a的取值范围是 ___________ ． 39．已知函数f（x）＝2x2﹣2ax+2﹣a2，g（x）＝x2+3x﹣a2﹣4（a∈R）． （1）当a＝1时，解不等式f（x）＞g（x）； （2）若对任意x＞0，都有f（x）＞g（x）成立，求实数a的取值范围； （3）若对∀x1∈[0，1]，∃x2∈[0，1]，使得不等式f（x1）＞g（x2）成立，求实数a的取值范围． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一上数学期中专题复习：《单调性与最大（小）值》核心题型总结 （八大题型，共39小题） 题型一:函数单调性的判断与证明 1．下列四个函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（　　） A．f（x）＝﹣x+3 B．f（x）＝（x+1）2 C．f（x）＝﹣|x﹣1| D． 【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合可得答案． 【解答】解：根据题意，依次分析选项： 对于A，f（x）＝﹣x+3，是一次函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不符合题意； 对于B，f（x）＝（x+1）2，是二次函数，在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意； 对于C，f（x）＝﹣|x﹣1|，在区间（1，+∞）上单调递减，不符合题意； 对于D，f（x），是反比例函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查函数的单调性的判断和证明，注意增函数的定义，属于基础题 2．下列函数中，在区间（0，+∞）上是减函数的是（　　） A．y＝3x+2 B．y＝x3 C．y＝x2﹣1 D． 【分析】利用函数解析式直接判断各选项中的函数单调性即得． 【解答】解：函数y＝3x+2、y＝x3在R上单调递增，AB不是； 函数y＝x2﹣1在（0，+∞）上单调递增，C不是； 函数在（0，+∞）上单调递减，D是． 故选：D． 【点评】本题考查函数单调性的判断，注意常见函数的单调性，属于基础题． 3．设，则（　　） A．f（x）+g（x）在区间（0，+∞）上单调递增 B．f（x）+g（x）在区间（0，+∞）上单调递减 C．f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上单调递增 D．f（x）﹣g（x）在区间（0，+∞）上单调递减 【分析】由已知结合基本函数单调性即可判断． 【解答】解：因为f（x）＝x在（0，+∞）上单调递增，g（x）在（0，+∞）上单调递增， 故f（x）+g（x）在（0，+∞）上单调递增，A正确，B错误； 因为f（x）﹣g（x）＝x在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，C，D错误． 故选：A． 【点评】本题主要考查了基本初等函数单调性的判断，属于基础题． 4．已知函数，其中a∈R，f（2）＝0．求a的值并用定义法证明函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递减． 【分析】由f（2）＝0可得a，然后由单调性定义可完成证明． 【解答】解：由于f（2）＝0，所以，解得a＝4， 所以． 下面证明f（x）在区间[1，+∞）上单调递减． 证明：设1≤x1＜x2， 由于， 则， 因为1≤x1＜x2，所以x2﹣x1＞0，x1x2+4＞0，x1x2＞0， 所以f（x1）﹣f（x2），即f（x1）＞f（x2）， 故函数f（x）在区间[1，+∞）上单调递减． 【点评】本题考查函数单调性的证明，涉及函数解析式的求法，属于基础题． 5．已知函数． （1）求函数f（x）的定义域和值域； （2）判断函数f（x）在区间（2，5）上单调性，并用定义来证明所得结论． 【分析】（1）将f（x）变形为f（x）＝1，由此能求出f（x）的定义域和值域． （2）由函数解析式得该函数在（2，5）是减函数，利用定义法能进行证明． 【解答】解：（1）f（x）1， ∴f（x）的定义域为{x|x≠1}， 函数的值域为{y|y≠1}． （2）由函数解析式得该函数在（2，5）是减函数， 下面证明此结论： 任取x1，x2∈（2，5），设x1＜x2， 则f（x1）﹣f（x2）， ∵2＜x1＜x2＜5， ∴x2﹣x1＞0，x1﹣1＞0，x2﹣1＞0， ∴f（x1）＞f（x2）， 故函数f（x）在（2，5）单调递减． 【点评】本题考查函数的定义域和值域的求法，考查函数的单调性的判断与证明，是基础题，解题时要注意定义法的合理运用． 题型二：求函数的单调区间 6．函数的单调递增区间为（　　） A． B．[2，+∞） C．（﹣∞，﹣3] D． 【分析】首先求出函数的定义域，然后再利用二次函数的单调性即可求解． 【解答】解：解不等式x2+x﹣6≥0，得函数的定义域为（﹣∞，﹣3]∪[2，+∞）， 又y＝x2+x﹣6的单调递增区间为， 在[0，+∞）上单调递增， 故函数的单调递增区间为[2，+∞）． 故选：B． 【点评】本题考查复合函数单调性判断方法，属于中档题． 7．已知函数f（x）＝|x2﹣5x+6|，则函数f（x）的单调递增区间是（　　） A． B． C．和（3，+∞） D．（﹣∞，2）和 【分析】根据题意，将函数写成分段函数的形式，结合二次函数的性质分析可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f（x）＝|x2﹣5x+6|， 其递增区间为（2，）和（3，+∞）． 故选：C． 【点评】本题考查函数单调性的判断，涉及函数解析式的变形，属于基础题． 8．函数y＝|x2﹣x|的单调增区间为　[0，]和[1，+∞）　 ． 【分析】去掉绝对值化简解析式为y＝|x2﹣x|＝|x||x﹣1|，画出函数的图象，根据图象写出单调增区间． 【解答】解：y＝|x2﹣x|＝|x||x﹣1|， 其图象如右图所示，根据图象可得， 函数y＝|x2﹣x|的单调增区间为[0，]和[1，+∞）， 故答案为：[0，]和[1，+∞）． 【点评】本题考查了带有绝对值的函数的单调性，对于带有绝对值的函数一般根据绝对值的定义讨论去掉绝对值，转化为分段函数，根据分段的函数图象分析观察函数的单调性，体现分类讨论与数形结合的数学思想方法，属于基础题． 9．已知函数，且f（1）＝2． （1）求实数a的值； （2）判断函数f（x）在[1，+∞）上的单调性，并用定义证明； （3）求函数f（x）在[1，3）上的值域． 【分析】（1）由f（1）＝2，得，由此能求出a． （2）在[1，+∞）上单调递增，利用定义法进行证明． （3）函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，[1，3）⊆[1，+∞），从而f（x）在[1，3）上单调递增，由此能求出f（x）在[1，3）上的值域． 【解答】解：（1）∵函数，且f（1）＝2． ∴，解得a＝1． （2）由（1）得， 函数f（x）在[1，+∞）上单调递增， 证明：∀x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2， 则， ∵1≤x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，x1x2﹣1＞0，x1x2＞0， ∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）， ∴函数f（x）在[1，+∞）上单调递增函数． （3）∵函数f（x）在[1，+∞）上单调递增函数， ∵[1，3）⊆[1，+∞），∴f（x）在[1，3）上是单调递增函数， 又， ∴f（x）在[1，3）上的值域是． 【点评】本题考查函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 题型三：根据函数的单调性求参数 10．已知函数f（x）＝x2﹣kx+2025在[3，4]上具有单调性，则实数k的取值范围是（　　） A．[6，8] B．（﹣∞，6]∪[8，+∞） C．（8，+∞） D．（﹣∞，6] 【分析】要使得二次函数在[3，4]上单调，则二次函数对称轴在3的左侧或4的右侧（包含端点），据此作答即可． 【解答】解：二次函数f（x）＝x2﹣kx+2025的对称轴为， ∵函数f（x）＝x2﹣kx+2025在[3，4]上具有单调性， ∴或， ∴k≤6或k≥8， ∴实数k的取值范围是{k|k≤6或k≥8}． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 11．已知函数f（x），若∀x1，x2∈R且x1≠x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0，则a的取值范围是（　　） A．[﹣3，﹣2] B．[﹣3，﹣1] C．[﹣2，﹣1] D．（﹣∞，﹣2] 【分析】结合二次函数及反比例函数的单调性及分段函数的性质即可求解． 【解答】解：因为f（x）， 若∀x1，x2∈R且x1≠x2，都有[f（x1）﹣f（x2）]（x1﹣x2）＞0， 则f（x）在R上单调递增， 所以，解得﹣3≤a≤﹣2． 故选：A． 【点评】本题主要考查了由函数单调性求解参数范围，属于基础题． （多选）12．已知函数在区间（﹣2，+∞）上单调递减，则实数a的可能取值为（　　） A．0 B． C．﹣1 D．1 【分析】先将f（x）分离常数得，结合f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递减，则有1﹣2a＞0，进而可解得a的取值范围． 【解答】解：因为， 因为f（x）在区间（﹣2，+∞）上单调递减， 所以1﹣2a＞0，即， 故选项中只有AC满足， 故选：AC． 【点评】本题考查了分离常数法的应用，考查了反比例型函数的性质，属于基础题． 13．已知函数f（x）＝|x2﹣24x|在（m，m+2）上单调递增，则m的取值范围是　{m|0≤m≤10或m≥24}　 ． 【分析】根据题意，将f（x）写出分段函数的形式，分析可得关于m的不等式，解可得答案． 【解答】解：根据题意，f（x）＝|x2﹣24x|， 易得f（x）在区间[0，12]和[24，+∞）上递增， 则有或m≥24， 解可得0≤m≤10或m≥24， 即m的取值范围为{m|0≤m≤10或m≥24}． 故答案为：{m|0≤m≤10或m≥24}． 【点评】本题考查函数单调性的性质和应用，涉及分段函数的解析式，属于基础题． 14．已知函数f（x）． （1）当a＝1时，用定义证明f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减； （2）若f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减，求a的取值范围． 【分析】（1）a＝1时，分离常数得到，根据减函数的定义，设任意的x1＜x2＜﹣1，然后作差，通分，证明f（x1）＞f（x2），这样即可得出f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减； （2）分离常数得出，由于f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减，这样根据反比例函数的单调性即可得出，从而得出a的取值范围． 【解答】解：（1）证明：a＝1时，； 设x1＜x2＜﹣1，则： ； ∵x1＜x2＜﹣1； ∴x2﹣x1＞0，x1+1＜0，x2+1＜0； ∴； ∴f（x1）＞f（x2）； ∴f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减； （2）； ∵f（x）在（﹣1，+∞）上单调递减； ∴； ∴﹣1＜a≤1； ∴a的取值范围为（﹣1，1]． 【点评】考查分离常数法的运用，减函数的定义，根据减函数定义证明一个函数为减函数的方法和过程，以及反比例函数的单调性． 题型四：利用函数的单调性比较大小 15．函数f（x）在区间（﹣1，3]上单调递减，则有（　　） A．f（﹣2）＞f（2） B．f（0）＜f（3） C．f（﹣1）＞f（3） D．f（0）＞f（3） 【分析】根据题意，由函数单调性的定义分析选项，即可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f（x）在区间（﹣1，3]上单调递减， 则f（0）＞f（3）． 故选：D． 【点评】本题考查函数单调性的性质，注意函数单调性的定义，属于基础题． 16．已知函数y＝f（x）在[﹣1，1]上单调递减，且函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，设，b＝f（2），c＝f（3），则a，b，c的大小关系为（　　） A．a＜b＜c B．c＜b＜a C．b＜c＜a D．b＜a＜c 【分析】根据题意，由函数的对称性可得f（x）在[1，3]上递增且f（）＝f（），结合函数的单调性分析可得答案． 【解答】解：根据题意，函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，则f（）＝f（）， 又由函数y＝f（x）在[﹣1，1]上单调递减，则f（x）在[1，3]上递增， 则有f（2）＜f（）＝f（）＜f（3），即b＜a＜c， 故选：D． 【点评】本题考查函数的单调性和对称性的应用，涉及抽象函数的性质应用，属于基础题． 17．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（﹣x）+f（x）＝0，f（2﹣x）＝f（x），且f（x）在[﹣1，1]内单调递增，则（　　） A．f（8）＜f（5.5）＜f（﹣3） B．f（8）＞f（5.5）＞f（﹣3） C．f（8）＞f（﹣3）＞f（5.5） D．f（8）＜f（﹣3）＜f（5.5） 【分析】根据题意，可得函数f（x）是周期为4的函数，化简可得f（8）＝f（0），f（﹣3）＝f（1），f（5.5）＝f（0.5），根据函数单调性即可比较大小． 【解答】解：由题意，f（﹣x）+f（x）＝0，则f（x）＝﹣f（﹣x）， 又f（2﹣x）＝f（x），所以f（2﹣x）＝﹣f（﹣x），即f（2+x）＝﹣f（x）， 可得f（4+x）＝﹣f（2+x）＝f（x）， 所以f（8）＝f（0），f（﹣3）＝f（1），f（5.5）＝f（1.5），又f（2﹣x）＝f（x），所以f（5.5）＝f（1.5）＝f（0.5）， 又f（x）在[﹣1，1]内单调递增，所以f（1）＞f（0.5）＞f（0）， 即f（﹣3）＞f（5.5）＞f（8）． 故选：A． 【点评】本题主要考查了函数的单调性，周期性在函数值大小比较中的应用，属于基础题． 18．定义在区间（﹣1，1）上的函数f（x）满足：f（x）﹣f（y）＝f（），x∈（﹣1，0）时f（x）＜0，若a＝f（）+f（），b＝f（），c＝f（0），则三个实数a，b，c从小到大排列的顺序为 c＜a＜b ． 【分析】利用已知的恒等式进行赋值，由函数单调性的定义判断函数的单调性，由恒等式将a转化为f（），利用单调性比较大小即可． 【解答】解：因为定义在区间（﹣1，1）上的函数f（x）满足：f（x）﹣f（y）＝f（）， 令x＝y＝0，则f（0）﹣f（0）＝f（0），解得f（0）＝0， 设x＜y，且满足﹣1＜x＜y＜1，则﹣10， 因为x∈（﹣1，0）时f（x）＜0， 所以f（）＜0，即f（x）﹣f（y）＜0， 所以f（x）＜f（y）， 故函数f（x）在（﹣1，1）上为单调递增函数， 因为f（x）﹣f（y）＝f（）， 所以f（x）＝f（y）+f（）， 取y，，则x， 则a＝f（）+f（）＝f（）， 因为， 所以，即c＜a＜b． 故答案为：c＜a＜b． 【点评】本题考查了抽象函数的理解与应用，函数单调性定义的应用，函数单调性的应用，对于抽象函数中恒等式，赋值法是常用的方法，考查了逻辑推理能力与转化化归能力，属于中档题． 题型五：利用函数的单调性解不等式 19．已知函数f（x）是定义在（0，1）上的减函数，则满足的x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据函数的单调性结合函数的定义域列出不等式求解即可． 【解答】解：因为f（x）是定义在（0，1）上的减函数， 所以不等式化为，即，解得． 故选：A． 【点评】本题主要考查由函数的单调性解不等式，属于基础题． 20．定义在（0，+∞）上的增函数f（x），满足对于任意正实数x，y恒有f（xy）＝f（x）+f（y），且f（3）＝1，则不等式f（x）+f（x﹣8）＜2的解集是（　　） A．（﹣1，9） B．（0，8） C．（8，9） D．（0，9） 【分析】根据抽象函数的关系将不等式进行转化，利用赋值法将不等式进行转化结合函数单调性即可得到结论． 【解答】解：∵f（xy）＝f（x）+f（y），f（3）＝1， ∴2＝2f（3）＝f（3）+f（3）＝f（3×3）＝f（9）， 则不等式f（x）+f（x﹣8）＜2等价为f[x（x﹣8）]＜f（9）， ∵函数f（x）在定义域（0，+∞）上为增函数， ∴不等式等价为， 即，解得8＜x＜9， ∴不等式的解集为（8，9）， 故选：C． 【点评】本题主要考查不等式的求解，根据抽象函数的关系将不等式进行转化是解决本题的关键． 21．定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足：对∀x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有0成立，且f（2）＝4，则不等式f（x）＞2x的解集为（　　） A．（4，+∞） B．（0，4） C．（0，2） D．（2，+∞） 【分析】根据题意，设g（x），利用作差法分析可得g（x）在区间（0，+∞）上为增函数，由f（2）的值求出g（2）的值，则原不等式变形可得g（x）＞g（2），结合g（x）的单调性分析可得答案． 【解答】解：根据题意，设g（x）， 对于任意x1＞x2＞0，g（x1）﹣g（x2）， 对∀x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有0成立，此时x1＞x2＞0，即x1﹣x2＞0，则有x2f（x1）﹣x1f（x2）＞0， 又由x1x2＞0，则g（x1）﹣g（x2）0， 即函数g（x）在区间（0，+∞）上为增函数， f（2）＝4，则g（2）2， f（x）＞2x即2⇒g（x）＞g（2），必有x＞2，即不等式f（x）＞2x的解集为（2，+∞）， 故选：D． 【点评】本题考查抽象函数的单调性判断以及应用，注意构造新函数g（x），并分析g（x）的单调性，属于基础题． 22．已知f（x）的定义域为R，对任意的x1、x2∈R，且x1≠x2都有且f（5）＝18，则不等式f（3x﹣1）＞9x的解集为 　（2，+∞）　 ． 【分析】根据题意，设x1＞x2，由已知可得出f（x1）﹣3x1＞f（x2）﹣3x2，令g（x）＝f（x）﹣3x，分析可知g（x）在R上单调递增，将所求不等式变形为g（3x﹣1）＞g（5），可得出关于x的不等式，解之即可． 【解答】解：根据题意，对任意的x1、x2∈R，且x1≠x2都有， 不妨设x1＞x2，由，则有f（x1）﹣f（x2）＞3x1﹣3x2， 所以，f（x1）﹣3x1＞f（x2）﹣3x2， 令g（x）＝f（x）﹣3x，则g（x1）＞g（x2），所以，函数g（x）在R上单调递增， 由f（3x﹣1）＞9x可得f（3x﹣1）﹣3（3x﹣1）＞3， 又因为g（5）＝f（5）﹣3×5＝18﹣15＝3， 由f（3x﹣1）﹣3（3x﹣1）＞3可得g（3x﹣1）＞g（5），则3x﹣1＞5，解得x＞2， 因此，不等式f（3x﹣1）＞9x的解集为（2，+∞）． 故答案为：（2，+∞）． 【点评】本题考查函数单调性的性质以及应用，涉及不等式的解法，属于基础题． 23．函数f（x）对任意的a，b∈R，都有f（a+b）＝f（a）+f（b）﹣1，并且当x＞0时，f（x）＞1． （1）求证：f（x）是R上的增函数； （2）若f（4）＝5，解不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3． 【分析】（1）先任取x1＜x2，x2﹣x1＞0．由当x＞0时，f（x）＞1．得到f（x2﹣x1）＞1，再对f（x2）按照f（a+b）＝f（a）+f（b）﹣1变形得到结论． （2）由f（4）＝f（2）+f（2）﹣1求得f（2）＝3，再将f（3m2﹣m﹣2）＜3转化为f（3m2﹣m﹣2）＜f（2），由（1）中的结论，利用单调性求解． 【解答】解：（1）证明：任取x1＜x2， ∴x2﹣x1＞0． ∴f（x2﹣x1）＞1． ∴f（x2）＝f[x1+（x2﹣x1）] ＝f（x1）+f（x2﹣x1）﹣1＞f（x1）， ∴f（x）是R上的增函数． （2）∵f（4）＝f（2）+f（2）﹣1＝5， ∴f（2）＝3． ∴f（3m2﹣m﹣2）＜3＝f（2）． 又由（1）的结论知，f（x）是R上的增函数， ∴3m2﹣m﹣2＜2， 3m2﹣m﹣4＜0， ∴﹣1＜m． 【点评】本题主要考查抽象函数的单调性证明和利用单调性定义解抽象不等式，属于中档题． 24．已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）满足f（xy）＝f（x）+f（y），且当x＞1时，f（x）＞0．若f（3）＝1． （1）判断并证明f（x）的单调性； （2）解关于x的不等式． 【分析】（1）设x1＞x2＞0，由题意得，再根据函数单调性的定义，证明即可； （2）利用函数的单调性“脱去f”，再解不等式即可． 【解答】（1）证明：f（x）在（0，+∞）上单调递增，证明过程如下： 设x1＞x2＞0，则， 因为f（xy）＝f（x）+f（y）， 所以， 又，所以， 所以f（x1）＞f（x2）， 即f（x）在（0，+∞）上单调递增． （2）解：在中，令x1＝9，x2＝3，则f（9）﹣f（3）＝f（3）， 所以f（9）＝2f（3）＝2， 所以不等式，等价于，即， 所以f（3x+6）＞f（9x）， 因为函数f（x）在（0，+∞）上为增函数， 所以3x+6＞9x＞0，解得0＜x＜1， 故原不等式的解集为（0，1）． 【点评】本题考查函数的单调性，熟练掌握函数单调性的定义，以及运用函数的单调性解不等式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题． 25．函数f（x）对任意实数a，b都有f（a+b）＝f（a）+f（b）﹣1，并且当x＞0时，f（x）＞1， （1）求证：f（x）在R上是增函数； （2）若不等式f（ax2﹣2x﹣2）∠f（x2﹣1）在R上恒成立，求实数a的取值范围； （3）若f（3）＝4，且a＞0，解关于x的不等式f（）＞2． 【分析】（1）设x1＜x2，则f（x2）＝f（x2﹣x1+x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1，故而f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）﹣1＞0，结论得证； （2）根据单调性得出ax2﹣2x﹣2＜x2﹣1在R上恒成立，根据二次函数的性质得出a的范围； （3）求出f（1）＝2，再得出1，讨论a的范围得出不等式的解． 【解答】（1）证明：设x1，x2是R上任意两个数，且x1＜x2，则f（x2﹣x1）＞1． ∴f（x2）＝f（x2﹣x1+x1）＝f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1， ∴f（x2）﹣f（x1）＝f（x2﹣x1）﹣1＞0，即f（x1）＜f（x2）． ∴f（x）在R上是增函数． （2）解：∵f（x）是增函数，且f（ax2﹣2x﹣2）＜f（x2﹣1）在R上恒成立， ∴ax2﹣2x﹣2＜x2﹣1在R上恒成立，即（a﹣1）x2﹣2x﹣1＜0恒成立． ∴，解得：a＜0． （3）∵f（3）＝f（1）+f（2）﹣1＝f（1）+f（1）+f（1）﹣1﹣1＝3f（1）﹣2＝4， ∴f（1）＝2． ∴f（）＞2等价于f（）＞f（1）． ∴1． ∴或． 若a＝1，则方程组的解为x＞2． 若a＞1，则方程组的解为x＞2或x， 若0＜a＜1，则方程组的解为2＜x． 【点评】本题考查了函数单调性的判断与应用，属于中档题． 题型六：求函数的最值或值域 （多选）26．当x＞0时，下列函数最小值为2的是（　　） A．y＝x（2x） B．y C．y D．y＝x21 【分析】由已知结合基本不等式及对勾函数的单调性分别求解各选项中函数的最值，即可判断． 【解答】解：x＞0， y＝x（2）2，当且仅当x＝2即x时取等号，A不正确； yx2，当且仅当x，即x＝1时取等号，此时函数取得最小值2，B正确； 令t，由对勾函数的性质得，y＝t在[）上单调递增，故当t时，函数取得最小值，C不正确； 令t＝x2+1＞1，则y＝t22＝2，当且仅当t即t＝x2+1＝2，即x＝1时取等号，此时函数取得最小值2，D正确． 故选：BD． 【点评】本题主要考查了利用基本不等式及对勾函数单调性求解函数的最值，解题中要注意基本不等式应用条件的检验． 27．若a，b∈R，记，则函数f（x）＝min{|x|，﹣x2+2}（x∈R）的最大值为（　　） A．0 B． C．1 D．3 【分析】根据题意作出函数的图象，进而求出函数的最大值． 【解答】解：比较函数y＝|x|与y＝﹣x2+2函数值的大小，取较小值，得到如图所示的图像： 当x≥0时，令|x|＝﹣x2+2，则x2+x﹣2＝0解得，x＝1； 当x＜0时，令|x|＝﹣x2+2，则x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1， 所以函数y＝|x|与y＝﹣x2+2的交点坐标为（±1，1）， ， 由图可知x＝±1时，函数有最大值1． 故选：C． 【点评】本题属于新概念题，考查了分段函数的性质、数形结合思想，作出图象是解答本题的关键点，属于中档题． 28．已知函数f（x）＝x2﹣2，g（x）＝x+4定义：函数M（x）＝max{f（x），g（x）}，即M（x）表示函数f（x），g（x）中的较大者．例如M（2）＝max{f（2），g（2）}＝max{2，6}＝{6}，则M（x）的最小值为（　　） A．0 B．7 C．4 D．2 【分析】根据函数的解析式，由一次函数和二次函数的图象作图，即可求出函数的最小值，从而可得出答案． 【解答】解：令f（x）≥g（x），即x2﹣2≥x+4，解得x≤﹣2或x≥3， 令f（x）＜g（x），即x2﹣2＜x+4，解得﹣2＜x＜3， 故， 作出M（x）的图象（图中的实线部分）， 由图象结合函数解析式可知，M（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增， 当x＝﹣2时，M（x）的最小值为2． 故选：D． 【点评】本题考查了函数最值的计算，属于中档题． 29．函数f（x）在区间[3，4]上的最小值为 　2　 ，最大值为 　3　 ． 【分析】将分式化简后，结合函数平移和单调性的知识即可求解． 【解答】解：， 函数f（x）是反比例函数向右平移2个单位， 向上平移1个单位得到的，所以函数f（x）在[3，4]上单调递减． 所以函数f（x）在x＝3取得最大值，在x＝4取得最小值． f（3）＝3，f（4）＝2． 故答案为：2；3． 【点评】本题主要考查函数最值的问题，可以通过平移的知识进行综合理解． 30．已知函数f（x）． （1）判断并用定义证明函数f（x）在区间（﹣1，+∞）上的单调性； （2）求该函数在区间[1，4]上的最大值和最小值． 【分析】（1）利用函数单调性的定义来证明函数的单调性； （2）根据函数的单调性来求函数在给定区间上的最值问题． 【解答】解：（1）f（x）在（﹣1，+∞）上为增函数，证明如下： 任取﹣1＜x1＜x2，则 f（x1）﹣f（x2）； ∵﹣1＜x1＜x2⇒x1+1＞0，x2+1＞0，x1﹣x2＜0； ∴f（x1）﹣f（x2）＜0⇒f（x1）＜f（x2）； 所以，f（x）在（﹣1，+∞）上为增函数． （2）：由（1）知 f（x）[1，4]上单调递增， ∴f（x）的最小值为f（1），最大值f（4）． 【点评】本题主要考查了函数单调性的定义、函数的最值问题，属于基础题． 题型七：根据函数的最值求参数 31．若函数y＝﹣x2+（m+3）x+1在区间（2，3）内存在最大值，则m的取值范围是（　　） A．（﹣2，0） B．（﹣3，﹣1） C．（0，2） D．（1，3） 【分析】根据给定条件，利用二次函数的性质列式计算即可． 【解答】解：因为函数y＝﹣x2+（m+3）x+1图象的对称轴为直线，开口向下， 由函数在区间（2，3）内存在最大值， 得，解得1＜m＜3． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数性质的应用，属于基础题． 32．已知函数，x∈（m，n]的最小值为8，则实数m的取值范围是（　　） A．（0，1） B．（1，2） C．（1，2] D．[1，2） 【分析】由已知结合反比例函数的性质及函数图象的变换及函数的最值可先求出n，再由函数定义域可求m的范围． 【解答】解：3， 根据反比例函数的性质可知，当x∈（m，n]时，函数单调递减， 故当x＝n时，函数取得最小值38， 解得n＝2， 又x≠1， 则1≤m＜2． 故选：D． 【点评】本题主要考查了反比例函数的性质及函数图象的变换在函数最值求解中的应用，属于基础题． 33．已知函数f（x）＝ax+1+|2x2+ax﹣1|（a∈R）的最小值为0，则a＝（　　） A． B．﹣1 C．±1 D．± 【分析】设，解得g（x），h（x）的解析式，通过图象的特点，结合f（x）的最小值为0，可得所求值． 【解答】解：设，所以， 则f（x）＝g（x）+h（x）+|g（x）﹣h（x）|， 由于g（x）＝x（x+a）的图象恒过（0，0），（﹣a，0），h（x）的图象为开口向下， 且过（﹣1，0），（1，0）的抛物线， 且f（x）的最小值为0，结合图象可得﹣a＝1或﹣a＝﹣1，即有a＝±1． 故选：C． 【点评】本题考查含绝对值函数的图象和性质，注意运用转化思想和数形结合思想，考查运算能力，属于中档题． 34．已知函数f（x）＝x2+a|x|+1． （1）若a＞0，求不等式f（2x）≤f（1﹣x）； （2）若a≤0，函数g（x）＝f（x）+2x在[﹣1，+∞）上的最小值大于﹣3，求a的取值范围． 【分析】（1）根据单调性和奇偶性解不等式即可； （2）分a＜﹣2和﹣2≤a≤0两种情况讨论g（x）的单调性得到最值，然后列不等式求解即可． 【解答】解：（1）因为f（x）＝x2+a|x|+1的定义域为R， f（﹣x）＝（﹣x）2+a|﹣x|+1＝x2+a|x|+1＝f（x）， 所以f（x）是偶函数． 当x≥0时，f（x）＝x2+ax+1，开口向上， 又因为a＞0，所以对称轴为x0， 得f（x）在[0，+∞）上单调递增． 因为f（x）是偶函数，所以由f（2x）≤f（1﹣x），得|2x|≤|x﹣1|， 平方得，4x2≤x2﹣2x+1，即3x2+2x﹣1≤0， 解得， 故不等式的解集为； （2）， 若a＜﹣2，则，， 则g（x）在（﹣1，0）和上单调递增，在上单调递减， 由g（x）在[﹣1，+∞）上的最小值大于﹣3， 得，即， 解得﹣3＜a＜﹣2； 若﹣2≤a≤0，则，， 则g（x）在[﹣1，+∞）上单调递增， 由g（x）在[﹣1，+∞）上的最小值大于﹣3， 得g（﹣1）＝a＞﹣3，则﹣2≤a≤0． 综上所述，a的取值范围为（﹣3，0]． 【点评】本题考查了利用函数的奇偶性、单调性解不等式，考查了二次函数的性质及分类讨论思想，属于中档题． 题型八：函数不等式恒、能成立问题 35．已知函数f（x）＝x2﹣mx+4，．若“∀x1∈[1，4]，∃x2∈[2，4]，使得f（x1）＞g（x2）成立”为真命题，则实数m的取值范围是（　　） A．（0，2） B．（﹣1，0） C． D．（﹣4，2） 【分析】由题意，将问题转化成∀x1∈[1，4]，f（x1）＞g（x2）min，即x2﹣mx+3＞0在x∈[1，4]上恒成立，分离参数利用基本不等式求解f（x）最小值即可． 【解答】解：当x2∈[2，4]时，g（x2）∈[1，2]， 若“∀x1∈[1，4]，∃x2∈[2，4]，使得f（x1）＞g（x2）成立”， 此时∀x1∈[1，4]，f（x1）＞1， 所以x2﹣mx+3＞0在x∈[1，4]上恒成立， 即在x∈[1，4]上恒成立， 因为当x∈[1，4]，， 当且仅当时，等号成立， 则． 故选：C． 【点评】本题考查不等式恒成立问题，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力，属于中档题． 36．已知函数f（x）＝x|x|，若对任意x∈[t，t+1]，不等式f（x2+t）≤4f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（　　） A．[，0] B．[0，] C．[，] D．[，1] 【分析】先由解析式得到f（x）＝x|x|在R上单调递增，由于4f（x）＝f（2x），结合f（x2+t）≤4f（x）可得到x2﹣2x+t＝（x﹣1）2+t﹣1≤0在x∈[t，t+1]恒成立，即可得到答案． 【解答】解：， 因为y＝x2在x≥0上单调递增，y＝﹣x2在x＜0上单调递增， 所以f（x）＝x|x|在R上单调递增， 因为4f（x）＝4x|x|＝2x|2x|＝f（2x），且f（x2+t）≤4f（x）， 所以f（x2+t）≤f（2x），所以x2+t≤2x，即x2﹣2x+t＝（x﹣1）2+t﹣1≤0在x∈[t，t+1]恒成立， 所以，即，解得， 所以实数t的取值范围是 故选：B． 【点评】本题考查了函数的恒成立问题，属于中档题． 37．已知函数f（x）对∀x1，x2∈R，总有（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，若不等式f（3a﹣x）≤f（x+a2）对∀x∈（a﹣1，a）恒成立，则实数a的取值范围是（　　） A．[﹣1，2] B．[0，1] C．（﹣∞，0]∪[1，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞） 【分析】分析可知函数f（x）是R上的增函数，可得出3a﹣a2≤2x在（a﹣1，a）上恒成立，可得出关于实数a的不等式，进而可求得实数a的取值范围． 【解答】解：不妨设x1＜x2，由（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0可，得f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）是R上的增函数， 由不等式f（3a﹣x）≤f（x+a2）在（a﹣1，a）上恒成立，可得到3a﹣x≤x+a2在（a﹣1，a）上恒成立， 所以3a﹣a2≤2x在（a﹣1，a）上恒成立，故有3a﹣a2≤2（a﹣1），即a2﹣a﹣2≥0， 解得a≤﹣1或a≥2． 故选：D． 【点评】本题考查函数的恒成立问题，考查学生的运算能力，属于中档题． 38．已知函数，x∈[1，2]，g（x）＝ax+2a﹣1，x∈[﹣1，3]．对于任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[﹣1，3]，使得f（x1）≥g（x2），则a的取值范围是 　（﹣∞，5]　 ． 【分析】根据条件，得到f（x）∈[4，8]，由题设有f（x）min≥g（x）min，再分a≥0和a＜0两种情况，求出g（x）＝ax+2a﹣1的最小值，即可求解． 【解答】解：因为，x∈[1，2]，所以f（x）∈[4，8]， 又对于任意的x1∈[1，2]，存在x2∈[﹣1，3]，使得f（x1）≥g（x2）， 则f（x）min≥g（x）min， 又g（x）＝ax+2a﹣1，x∈[﹣1，3]， 当a＞0时，g（x）＝ax+2a﹣1在x∈[﹣1，3]上单调递增， 所以g（x）min＝g（﹣1）＝﹣a+2a﹣1＝a﹣1， 所以4≥a﹣1，解得0＜a≤5； 当a＜0时，g（x）＝ax+2a﹣1在x∈[﹣1，3]上单调递减， 所以g（x）min＝g（3）＝3a+2a﹣1＝5a﹣1， 所以4≥5a﹣1，解得a＜0； 当a＝0时，g（x）＝﹣1＜4恒成立，满足题意； 综上，a的取值范围是a≤5． 故答案为：（﹣∞，5]． 【点评】本题考查了转化思想、分类讨论思想，属于中档题． 39．已知函数f（x）＝2x2﹣2ax+2﹣a2，g（x）＝x2+3x﹣a2﹣4（a∈R）． （1）当a＝1时，解不等式f（x）＞g（x）； （2）若对任意x＞0，都有f（x）＞g（x）成立，求实数a的取值范围； （3）若对∀x1∈[0，1]，∃x2∈[0，1]，使得不等式f（x1）＞g（x2）成立，求实数a的取值范围． 【分析】（1）作差后解一元二次不等式即可； （2）分离参数，即不等式转化为2a+3＜x对任意x＞0恒成立，利用基本不等式求解x的最小值即可求解； （3）把问题转化为f（x）min＞g（x）min，利用动轴定区间分类讨论即可求解． 【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝2x2﹣2x+1，g（x）＝x2+3x﹣5， 所以f（x）﹣g（x）＝x2﹣5x+6＞0，解得x＜2或x＞3， 所以不等式f（x）＞g（x）的解集为（﹣∞，2）∪（3，+∞）． （2）若对任意x＞0，都有f（x）＞g（x）成立，即x2﹣（2a+3）x+6＞0对任意x＞0恒成立， 不等式可化为（2a+3）x＜x2+6，即2a+3＜x对任意x＞0恒成立， 因为x2，当且仅当x，即x时等号成立， 所以2a+3＜2，解得a， 所以a的取值范围是（﹣∞，）． （3）若对∀x1∈[0，1]，∃x2∈[0，1]，使得不等式f（x1）＞g（x2）成立， 即只需满足f（x）min＞g（x）min，x∈[0，1]， g（x）＝x2+3x﹣a2﹣4，对称轴，g（x）在[0，1]上单调递增， ， f（x）＝2x2﹣2ax+2﹣a2，x∈[0，1]，对称轴， ①，即a≤0时，f（x）在[0，1]上单调递增，恒成立； ②，即0＜a＜2时，f（x）在上单调递减，在上单调递增， ，， 所以，故0＜a＜2； ③，即a≥2时，f（x）在[0，1]上单调递减，，， 所以﹣a2﹣2a+4≥﹣a2﹣4，解得2≤a＜4． 综上：a∈（﹣∞，4）． 【点评】本题主要考查不等式的解法，函数恒成立问题，考查运算求解能力，属于中档题 学科网（北京）股份有限公司 $