第三章 专题03 函数的表示法专项训练（8大题型35题）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·题型专项训练系列 专题03 函数的表示法（8大题型35题）（原卷版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　函数图象的识别（图象法）（常考点） 题型二　列表法表示函数（常考点） 题型三　求分段函数的函数值（重点） 题型四　已知分段函数的值求参数、解分段函数不等式（难点） 题型五　换元法与配凑法求解析式（重点） 题型六　待定系数法求解析式（常考点） 题型七　抽象函数与方程组法求解析式（难点） 题型八　分段函数的实际应用（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　函数图象的识别（图象法）（共6小题） 【知识积累】 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系，直观形象。 识图要点：先看定义域、值域是否吻合；再看特殊点（与坐标轴的交点）、变化趋势；动点问题按运动过程分段写出解析式再判断。 【典例】 1．若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ）（2027高三·全国·专题练习） A． B． C． D． 【变式训练】 2．已知函数，函数的图象如图所示，则（    ）（25-26高一下·陕西西安·开学考试）    A．4 B．3 C．1 D． 3．设，二次函数的图象可能是（   ）（2027高三·全国·专题练习） A． B． C． D． 4．满足式子的图象形状大致是（     ）（26-27高一上·天津和平·开学考试） A． B． C． D． 5．某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前进了，到达目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了，再折回匀速前进，则此人距起点的距离与时间的关系示意图是哪一个？（26-27高一上·全国·课堂例题） 6．如图，在菱形ABCD中，，，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A-B-C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（   ）（26-27高一上·湖南株洲·开学考试） A． B． C． D． 题型二　列表法表示函数（共3小题） 【知识积累】 列表法：列出表格表示两个变量之间的对应关系，不需计算就能直接看出函数值。 求 型问题时，先在 的表中查 ，再到 的表中查对应的函数值。 【典例】 7．已知函数，分别由下表给出，则（   ）（24-25高二上·山东·学业考试真题） x 1 2 3 2 3 4 5 6 7 A．4 B．5 C．6 D．7 【变式训练】 8．已知定义域为的函数可表示为（26-27高一上·全国·课后作业） 1 2 3 4 则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．若，则 9．已知函数由下表给出：（26-27高一上·北京·期中） 0 1 2 3 4 其中（）等于，，，，中出现的次数，则（ ） A． B． C． D． 题型三　求分段函数的函数值（共7小题） 【知识积累】 分段函数：在定义域内不同部分上有不同解析式的函数；它是一个函数，定义域是各段的并集，值域是各段值域的并集。 求值：先判断自变量属于哪一段，再代入该段解析式；求 由内到外；遇到 型递推，先化到有解析式的那一段。 【典例】 10．设函数 ，则 （    ）（26-27高一上·广西·期中） A． B． C． D． 【变式训练】 11．已知函数，则（ ）（26-27高一上·四川·期中） A． B． C． D． 12．已知，则（   ）（25-26高一上·广西桂林·阶段检测） A． B． C． D． 13．已知函数则____.（26-27高一上·海南·期中） 14．已知函数，则__________．（25-26高一下·广东深圳·期末） 15．设函数，则（   ）（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试） A． B． C． D． 16．若函数，则__________.（2026·上海杨浦·模拟预测） 题型四　已知分段函数的值求参数、解分段函数不等式（共4小题） 【知识积累】 方法：按自变量所在的段分类讨论，在每一段内列方程或不等式求解，再检验结果是否落在该段范围内，最后合并。 【典例】 17．在函数中，若，则的值是______________________（26-27高一上·北京·期中） 【变式训练】 18．设函数则不等式的解集是___________（26-27高一上·辽宁·期中） 19．已知函数.（26-27高一上·广东·期中） (1)求； (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象． 20．已知．（26-27高一上·全国·课后作业） (1)求的值； (2)若且，求实数的值． 题型五　换元法与配凑法求解析式（共7小题） 【知识积累】 换元法：已知 的表达式，令 ，反解出 代入，得到 ，再把 换成 。 注意：换元后要写出新变量 的取值范围，它就是 的定义域。配凑法则是把右边直接凑成 的式子。 【典例】 21．已知，则函数的解析式为（ ）（25-26高二下·黑龙江绥化·期末） A． B． C．（） D．（） 【变式训练】 22．已知函数，则（ ）（26-27高三·全国·一轮复习） A． B． C． D． 23．若函数，则（ ）（26-27高三·全国·一轮复习） A． B． C． D． 24．已知函数满足，则______.（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测） 25．已知，则=___________.（26-27高一上·山东·期中） 26．若，则的定义域为______，______.（26-27高一上·湖南·期中） 27．已知函数．（25-26高一上·广西桂林·阶段检测） (1)求； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的值． 题型六　待定系数法求解析式（共3小题） 【知识积累】 适用：已知函数类型（一次函数设 ，二次函数设 等）。 步骤：设出解析式，代入条件列方程（组），求出待定系数。 【典例】 28．已知是一次函数，且满足，则（     ）（26-27高一上·甘肃白银·开学考试） A． B． C． D． 【变式训练】 29．若是一次函数，且，则______．（26-27高一上·全国·课后作业） 30．设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，则的解析式为______.（26-27高三上·安徽六安·阶段检测） 题型七　抽象函数与方程组法求解析式（共3小题） 【知识积累】 赋值法：对 、 等抽象关系式，给 赋特殊值（如 或令 ）求出函数值或解析式。 方程组法：已知 与 （或 ）的关系式，用 （或 ）替换 再得一个方程，联立消去另一项。 【典例】 31．已知函数满足，且，则（ ）（26-27高一上·四川·期中） A． B． C．1 D．3 【变式训练】 32．设是定义在R上的函数，且满足，并且，都有，则________.（26-27高一上·全国·课堂例题） 33．下列说法正确的是（    ）（25-26高二下·吉林长春·期末） A．和表示同一个函数 B．函数的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 题型八　分段函数的实际应用（共2小题） 【知识积累】 建模步骤：按自变量的变化过程划分区间，分别写出每一段的解析式，合并成分段函数，再按问题求值或最值；注意自变量的实际意义。 【典例】 34．如图所示，在边长为的正方形上有一点，沿着折线由点（起点）向点（终点）移动．设点移动的路程为，的面积为．（26-27高一上·全国·课堂例题） (1)求的面积与移动的路程的函数关系式； (2)作出函数的图象，并根据图象求的值域． 【变式训练】 35．“这么近那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．近年来，河北省大力推进文旅融合发展，打造多条特色旅游带，推出多项惠民惠企政策，带动某文创产品热销．已知某工厂代为加工该文创产品需投入固定成本5万元，每代加工1万件该产品，需另投入万元．现根据市场行情，该工厂代加工万件该产品，可获得万元的代加工费，且，已知该工厂代加工20万件该产品时，获得的利润为90万元．（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） (1)求该工厂代加工该产品的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数表达式； (2)当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该产品的利润最大？并求出利润的最大值． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 专题03 函数的表示法（8大题型35题）（解析版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　函数图象的识别（图象法）（常考点） 题型二　列表法表示函数（常考点） 题型三　求分段函数的函数值（重点） 题型四　已知分段函数的值求参数、解分段函数不等式（难点） 题型五　换元法与配凑法求解析式（重点） 题型六　待定系数法求解析式（常考点） 题型七　抽象函数与方程组法求解析式（难点） 题型八　分段函数的实际应用（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　函数图象的识别（图象法）（共6小题） 【知识积累】 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系，直观形象。 识图要点：先看定义域、值域是否吻合；再看特殊点（与坐标轴的交点）、变化趋势；动点问题按运动过程分段写出解析式再判断。 【典例】 1．若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是（   ）（2027高三·全国·专题练习） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案． 【详解】对于A，定义域为，与题干矛盾，不合题意， 对于D，值域取为的真子集，与题干矛盾，不合题意， 对于函数来说，对定义域内任意，都有唯一确定的与其对应，所以C错误，所以B选项正确. 【变式训练】 2．已知函数，函数的图象如图所示，则（    ）（25-26高一下·陕西西安·开学考试）    A．4 B．3 C．1 D． 【答案】A 【详解】由的图象可得， 故. 3．设，二次函数的图象可能是（   ）（2027高三·全国·专题练习） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由A，C，D知，，从而由，得， 所以对称轴，知A，C错误，D满足要求； 由B项知，从而由，得，所以，B项错误． 4．满足式子的图象形状大致是（     ）（26-27高一上·天津和平·开学考试） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】讨论的取值，写出关系式，然后画出图象. 【详解】当时，关系式为，即，所以或， 当时，关系式为，即，所以或， 所以解析式为， 即函数图象如下，故C正确. 5．某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前进了，到达目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了，再折回匀速前进，则此人距起点的距离与时间的关系示意图是哪一个？（26-27高一上·全国·课堂例题） 【答案】③ 【详解】根据，知道图像的第一段应为正比例函数模型，到达目的地后游玩了一段时间即第二段应为常值函数，原路返回匀速行驶了即第三段应为一次函数模型且呈下降趋势，再折回匀速前进，即第四段又为上升趋势. 注意理解两坐标轴，的含义，这里是指距起点的距离，不是路程的累加，结合题意可知③符合． 6．如图，在菱形ABCD中，，，动点M，N同时从A点出发，点M以每秒2个单位长度沿折线A-B-C向终点C运动；点N以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运动至终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为x秒，的面积为y个平方单位，则下列正确表示y与x函数关系的图象是（   ）（26-27高一上·湖南株洲·开学考试） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接BD，过点B作于点E，根据已知条件得出是等边三角形，进而证明得出，当时，M在AB上，当时，M在BC上，根据三角形的面积公式得到函数关系式， 【详解】解：如图所示，连接BD，过点B作于点E， 当时，M在AB上， 菱形ABCD中，，， ，则是等边三角形， ， ，， ，又 ， 当时，M在BC上， ， 综上所述，时的函数图象是开口向上的抛物线的一部分，当时，函数图象是直线的一部分， 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，二次函数图象的性质，一次函数图象的性质，菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型二　列表法表示函数（共3小题） 【知识积累】 列表法：列出表格表示两个变量之间的对应关系，不需计算就能直接看出函数值。 求 型问题时，先在 的表中查 ，再到 的表中查对应的函数值。 【典例】 7．已知函数，分别由下表给出，则（   ）（24-25高二上·山东·学业考试真题） x 1 2 3 2 3 4 5 6 7 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【详解】由表可知，则． 【变式训练】 8．已知定义域为的函数可表示为（26-27高一上·全国·课后作业） 1 2 3 4 则下列结论正确的是（    ） A． B．的值域是 C．的值域是 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据分段函数表格，分层计算复合函数，区分值域是集合还是区间，再逆向求解复合方程对应的的范围，逐一判断选项. 【详解】，A正确；的值域是，B正确，C错误； 因为，所以，所以，所以，D正确. 9．已知函数由下表给出：（26-27高一上·北京·期中） 0 1 2 3 4 其中（）等于，，，，中出现的次数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】假设k＝4出现次数大于等于1次，即的值大于等于1，推出矛盾，由此得＜1，＝0，同理可得，由此可得，从而讨论可得，于是可以得到,∈{1，2}，分类讨论即可得出答案. 【详解】等于在“”中所出现的次数，则， 若在“”中出现次数超过次，不妨设出现次，则. 设，则在“”这个数中出现次，矛盾， 同理在“”中出现过、、次也不可能， 即不可能出现， . 同理，若出现次数超过次，不妨设出现次，即， 设，则在“”这个数中出现次，矛盾， 故不可能出现， . ， 在“ ”中至少出现了次， . 若或，即或出现了次，则或不为，矛盾， . ， ， “”仅有下列四种可能: ① ， ② ， ③ ， ④ ， 其中:① 中，出现次与矛盾，不可能; ② 满足题意; ③出现次与矛盾; ④ 中，出现次与矛盾; 故仅有“ ”满足题意， 故 . 题型三　求分段函数的函数值（共7小题） 【知识积累】 分段函数：在定义域内不同部分上有不同解析式的函数；它是一个函数，定义域是各段的并集，值域是各段值域的并集。 求值：先判断自变量属于哪一段，再代入该段解析式；求 由内到外；遇到 型递推，先化到有解析式的那一段。 【典例】 10．设函数 ，则 （    ）（26-27高一上·广西·期中） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以. 【变式训练】 11．已知函数，则（ ）（26-27高一上·四川·期中） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数 ，则， 所以. 12．已知，则（   ）（25-26高一上·广西桂林·阶段检测） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求解内层函数的取值，再将其作为自变量代入计算复合函数值. 【详解】 ，所以 . 13．已知函数则____.（26-27高一上·海南·期中） 【答案】2 【详解】因为，所以， 又，所以， 14．已知函数，则__________．（25-26高一下·广东深圳·期末） 【答案】 6 【详解】首先，因，代入对应的分段解析式，可得：. 又，代入对应的分段解析式，可得： . 因此. 15．设函数，则（   ）（25-26高三下·重庆沙坪坝·开学考试） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题中函数解析式, 当时,, 所以当时,是周期为2的函数, 所以. 16．若函数，则__________.（2026·上海杨浦·模拟预测） 【答案】1 【分析】利用递推关系式变形推出函数周期，计算2026对周期的余数，转化为求较小自变量的函数值. 【详解】由，得，两式相加得， 即 ，所以 ，所以. ，，，， ，，， . . 题型四　已知分段函数的值求参数、解分段函数不等式（共4小题） 【知识积累】 方法：按自变量所在的段分类讨论，在每一段内列方程或不等式求解，再检验结果是否落在该段范围内，最后合并。 【典例】 17．在函数中，若，则的值是______________________（26-27高一上·北京·期中） 【答案】 【分析】通过分段讨论，分别解一次方程、二次方程即可. 【详解】由题意可得或或. 解得或. 所以若，则的值是. 【变式训练】 18．设函数则不等式的解集是___________（26-27高一上·辽宁·期中） 【答案】 【分析】先求出，再根据分段函数的定义域分与两种情况分别求解，最后将两部分解集取并集． 【详解】因为所以原不等式等价于． 当时，，解得 当时，，即 所以结合，得 因此原不等式的解集为 19．已知函数.（26-27高一上·广东·期中） (1)求； (2)若，求实数的值； (3)作出函数在区间内的图象． 【答案】(1) ； (2)2或0 (3)图象： 【分析】（1）代入求值即可； （2）分与两种情况，列出方程，求出实数的值，去掉不合要求的解． （3）根据分段函数解析式即可作出函数图象． 【详解】（1）由，知. （2）由于， 当时，，解得，满足要求， 当时，，解得或（舍） 综上可得或0 （3）根据分段函数解析式，分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数在区间内的图象如下所示： 20．已知．（26-27高一上·全国·课后作业） (1)求的值； (2)若且，求实数的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先判断自变量所在的区间，代入计算即可； （2）分和两种情况讨论，分别代入计算即可得到答案． 【详解】（1）由题意得． （2）当时，由，解得； 当时，由，得或（舍去）． 综上所述，或． 题型五　换元法与配凑法求解析式（共7小题） 【知识积累】 换元法：已知 的表达式，令 ，反解出 代入，得到 ，再把 换成 。 注意：换元后要写出新变量 的取值范围，它就是 的定义域。配凑法则是把右边直接凑成 的式子。 【典例】 21．已知，则函数的解析式为（ ）（25-26高二下·黑龙江绥化·期末） A． B． C．（） D．（） 【答案】D 【详解】令,则, 已知, 所以, 所以. 【变式训练】 22．已知函数，则（ ）（26-27高三·全国·一轮复习） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，令，则，因为，则， 则， 所以. 23．若函数，则（ ）（26-27高三·全国·一轮复习） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，因为，所以，所以，且， 则，， 所以． 24．已知函数满足，则______.（26-27高三上·安徽合肥·阶段检测） 【答案】 【详解】令，得，代入， 得， 即的解析式为． 25．已知，则=___________.（26-27高一上·山东·期中） 【答案】 【详解】因为，所以， 所以，其中. . 26．若，则的定义域为______，______.（26-27高一上·湖南·期中） 【答案】 【详解】设，因为，所以， 故的定义域为； 因为 ， 所以 ，故. 27．已知函数．（25-26高一上·广西桂林·阶段检测） (1)求； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接取代入即可求解； （2）利用换元法即可求解； （3）根据条件列出方程即可求解． 【详解】（1）取，得． （2）由有意义可得 令，则，， 故，其中， 因此的解析式为． （3）由题意得，故，解得， 又因为，因此． 题型六　待定系数法求解析式（共3小题） 【知识积累】 适用：已知函数类型（一次函数设 ，二次函数设 等）。 步骤：设出解析式，代入条件列方程（组），求出待定系数。 【典例】 28．已知是一次函数，且满足，则（     ）（26-27高一上·甘肃白银·开学考试） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据待定系数法计算求解即可. 【详解】由题意可设， 因为满足， 所以， 即，解得， 所以. 【变式训练】 29．若是一次函数，且，则______．（26-27高一上·全国·课后作业） 【答案】或 【分析】设，利用待定系数法求出即可. 【详解】设， 则， 故，解得或， 故或． 30．设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，则的解析式为______.（26-27高三上·安徽六安·阶段检测） 【答案】 【分析】根据题意设二次函数的解析式，由得，由得以及，即可得出解析式. 【详解】设. 由， 得得①. 设的根为， 则， 所以②， 又由已知得③， 由①②③解得， 所以. 题型七　抽象函数与方程组法求解析式（共3小题） 【知识积累】 赋值法：对 、 等抽象关系式，给 赋特殊值（如 或令 ）求出函数值或解析式。 方程组法：已知 与 （或 ）的关系式，用 （或 ）替换 再得一个方程，联立消去另一项。 【典例】 31．已知函数满足，且，则（ ）（26-27高一上·四川·期中） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】利用赋值法，分别令、、和，代入运算，即可得答案. 【详解】令，则，解得或， 当时，令，则，解得， 令，则，矛盾， 则， 又，且，所以， 令，则，所以. 【变式训练】 32．设是定义在R上的函数，且满足，并且，都有，则________.（26-27高一上·全国·课堂例题） 【答案】 【详解】法一：由已知条件得， 又， 令，则， 所以. 法二：令，得， 即， 将用代换得. 33．下列说法正确的是（    ）（25-26高二下·吉林长春·期末） A．和表示同一个函数 B．函数的值域为 C．定义在上的函数满足，则 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】BCD 【分析】根据函数的概念和性质依次判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，两函数定义域不同，不表示同一函数，故A错误； 对于B，由，可得，所以函数的值域为，故B正确； 对于C，由，得，联立解得，故C正确； 对于D，由函数的定义域为，得，则，可得的定义域为，故D正确． 三、概念填空 题型八　分段函数的实际应用（共2小题） 【知识积累】 建模步骤：按自变量的变化过程划分区间，分别写出每一段的解析式，合并成分段函数，再按问题求值或最值；注意自变量的实际意义。 【典例】 34．如图所示，在边长为的正方形上有一点，沿着折线由点（起点）向点（终点）移动．设点移动的路程为，的面积为．（26-27高一上·全国·课堂例题） (1)求的面积与移动的路程的函数关系式； (2)作出函数的图象，并根据图象求的值域． 【答案】(1) (2) ； 【分析】（1）根据题意，分别考虑在线段的情况，根据三角形面积公式即可求解； （2）根据的表达式画出图形，根据图形即可得到的值域. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，； 当时，； 当时，， 所以函数解析式为 （2）图象如图所示．从图象可以看出的值域为. 【变式训练】 35．“这么近那么美，周末到河北”成为休闲度假新时尚．近年来，河北省大力推进文旅融合发展，打造多条特色旅游带，推出多项惠民惠企政策，带动某文创产品热销．已知某工厂代为加工该文创产品需投入固定成本5万元，每代加工1万件该产品，需另投入万元．现根据市场行情，该工厂代加工万件该产品，可获得万元的代加工费，且，已知该工厂代加工20万件该产品时，获得的利润为90万元．（26-27高一上·河北邢台·阶段检测） (1)求该工厂代加工该产品的利润（单位：万元）关于代加工量（单位：万件）的函数表达式； (2)当代加工量为多少万件时，该工厂代加工该产品的利润最大？并求出利润的最大值． 【答案】(1) (2)代加工量为30万件时，该工厂代加工该产品的利润最大，最大利润为95万元 【分析】（1）根据，可得，进而结合题意求函数解析式； （2）分和两种情况，利用二次函数及基本不等式结合分段函数的性质计算即可. 【详解】（1）当时，； 当时，； 由题可知时，，解得， 所以. （2）当时，， 所以此时当时，取最大值55； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 所以此时当时，取最大值为95， 且，所以当代加工量为30万件时， 该工厂代加工该产品的利润最大，最大利润为95万元． 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $