3.1函数值域的四种常考题型专题微练 -2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数值域四类核心题型，构建从具体到抽象、正向到逆向的递进训练体系，培养数学思维与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常见函数的值域|单选6/多选2/填空3/解答2|直接考查一次、二次等基本函数值域|从具体函数到概念辨析，夯实基础认知| |复杂函数的值域|单选4/多选1/填空3/解答2|涉及复合函数、含参数函数的值域|深化函数性质应用，提升综合分析能力| |抽象函数的值域|单选6/多选2/填空2|通过定义域值域关系考查抽象思维|培养数学抽象与逻辑推理，建立映射观念| |已知值域求定义域|单选2/多选1/填空6/解答1|逆向问题，考查值域与定义域互推|强化逆向思维，完善函数概念体系|

函数值域的四种常考题型专题微练 说明：本专题适合高一学生学习！ 01 常见函数的值域 一、单选题 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，值域是的是（    ） A． B． C． D． 4．下列与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（    ） A． B． C． D． 6．取整函数（也叫高斯函数）的函数值表示不超过实数x的最大整数，例如，，，，，则函数，其中的值域为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列函数中，值域不是的是（ ） A． B．（） C．（） D． 8．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．函数，的值域是___________. 10．函数的值域为______． 11．函数在区间上的值域为_______． 四、解答题 12．求下列函数的值域 (1)， (2)， 02 复杂函数的值域 一、单选题 1．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3．已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 4．已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是上的“有界函数”.已知下列函数：（1）；（2）（表示不大于的最大整数）；（3）；（4）.其中“有界函数”的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 5．下列函数中，值域不是的是（ ） A． B．（） C．（） D． 三、填空题 6．函数的值域是_____. 7．函数的值域是__. 8．函数的值域是______． 四、解答题 9．已知函数， (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 10．已知，求函数的值域. 03 抽象函数的值域 一、单选题 1．已知函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 3．已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 4．若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 6．已知函数的值域为，则函数的最大值为（   ） A．7 B．9 C．12 D．不确定 二、多选题 7．若函数的定义域､值域分别为，函数，则（    ） A．的定义域为 B．的定义域为 C．的值域为 D．的值域为 8．已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域是_________． 10．若函数的值域是，则函数的值域为 __． 04 已知函数的值域求定义域 一、单选题 1．已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 2．已知函数的值域是，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 3．已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 4．写出使得函数的值域为的一个定义域_________． 5．已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有________个. 6．已知函数的值域为，则它的定义域可以是________．（写出其中一个即可） 7．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有__________个. 8．已知函数的值域为，则函数的定义域为_____. 9．为不超过的最大整数，若函数，，的值域为，则的最大值为______． 四、解答题 10．已知一个函数的解析式为，它的值域为区间，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数. 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数值域的四种常考题型专题微练 说明：本专题适合高一学生学习！ 01 常见函数的值域 一、单选题 1．函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性求解. 【详解】因为函数为单调递增函数， 所以时，， 则函数的值域为， 故选： 2．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数解析式直接求解即可. 【详解】函数的值域为，的值域为， 的值域为，的值域为． 故选：B 3．下列函数中，值域是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用基本函数的性质，分别求得选项中函数的值域，结合题意，即可求解. 【详解】对于A，由，则函数的值域为，所以A错误； 对于B，由，则函数在时，则，则函数的值域为，所以B错误； 对于C，函数的定义域为，函数，则函数的值域不连续，所以C错误； 对于D，由函数，函数的值域为，符合题意，所以D正确. 故选：D. 4．下列与集合相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用求二次函数值域即可得集合，从而可作出判断. 【详解】因为， 开口向下，对称轴， 所以当时，， 所以函数的值域为. 故选：D. 5．已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据取整函数的概念，求得函数的值域为，再分别求得选项中函数的值域，即可得到答案. 【详解】当时，的值域为． 对于A，由，则函数值域为，与的值域相同； 对于B，由，则函数值域为，与的值域相同； 对于C，由，则函数的值域为，与的值域不相同； 对于D，由，则函数值域为，与的值域相同. 故选：C． 6．取整函数（也叫高斯函数）的函数值表示不超过实数x的最大整数，例如，，，，，则函数，其中的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知，从而得到函数的值域为. 【详解】根据取整函数的定义，对任意实数，有，可得； 故函数的值域为. 故选：A 二、多选题 7．下列函数中，值域不是的是（ ） A． B．（） C．（） D． 【答案】ABC 【分析】分别求出各函数的值域即可判断. 【详解】因为， 所以函数值域为，故A符合题意； 因为时，，故B符合题意； 因为时，函数的值域为集合， 不是区间，故C符合题意； 因为，所以函数的值域为，故D不符合题意. 故选：ABC． 8．下列函数中，值域为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据函数解析式分别计算值域判断各个选项即可. 【详解】，函数值域为，A选项正确； ，函数值域为，B选项错误； ，函数值域为，C选项正确； ，函数值域为，D选项正确； 故选：ACD 三、填空题 9．函数，的值域是___________. 【答案】 【分析】根据自变量取值代入计算即可得出结果. 【详解】将分别代入计算可得. 所以函数的值域为. 故答案为： 10．函数的值域为______． 【答案】 【分析】利用配方法可求得该函数的值域． 【详解】因为，所以， 因此，函数的值域为． 故答案为：． 11．函数在区间上的值域为_______． 【答案】 【分析】根据函数在上的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上恒正且单调递增，则在上单调递减， 所以，故的值域为． 故答案为：. 四、解答题 12．求下列函数的值域 (1)， (2)， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的开口和对称轴，结合函数单调性和定义域，即可求得值域. （2）首先对进行拆分，得到，然后利用，先求得的值域，最终求得的值域. 【详解】（1）由函数表达式：得：二次函数开口向上，对称轴为：； 定义域为：，在定义域内，所以时，取得最小值为； 又因为，根据函数的对称性可知，时，取得最大值为； 综上所述：函数在上的值域为. （2），定义域为：； 当时，，所以，所以，所以； 当时，，所以，所以，所以； 综上所述：在上的值域为. 02 复杂函数的值域 一、单选题 1．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用分离常数法将原函数变形为，再根据自变量的条件逐步推导出最终的值域. 【详解】由题意得， 因为，所以，所以，所以，所以， 即函数的值域为． 2．函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用换元法，结合二次函数和反比例函数的性质，即可求解. 【详解】设，即，则， 所以函数的值域为． 3．已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数在上单调递增，则其值域为，即， 因为全集，因此. 4．已知定义域为的函数，若对任意，存在正数，都有成立，则称函数是上的“有界函数”.已知下列函数：（1）；（2）（表示不大于的最大整数）；（3）；（4）.其中“有界函数”的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据有界函数的定义，分别讨论各选项中函数的值域，判断是否是有界函数. 【详解】对于（1），定义域为，，则，所以是上的“有界函数”； 对于（2），函数定义域为，，则，所以是上的“有界函数”； 对于（3），定义域为，，， 则当时，，所以不是上的“有界函数”； 对于（4），定义域为，因为， 所以，即，所以是上的“有界函数”. 所以是有界函数的有（1）（2）（4）. 故选：C 二、多选题 5．下列函数中，值域不是的是（ ） A． B．（） C．（） D． 【答案】ABC 【分析】分别求出各函数的值域即可判断. 【详解】因为， 所以函数值域为，故A符合题意； 因为时，，故B符合题意； 因为时，函数的值域为集合， 不是区间，故C符合题意； 因为，所以函数的值域为，故D不符合题意. 故选：ABC． 三、填空题 6．函数的值域是_____. 【答案】 【分析】由换元法和判别式法即可求解. 【详解】解法一：（换元法）令，则， ，由图可知： ，即值域为. 解法二：（判别式法） 将函数化为 ①时，方程不成立； ②时，由得， 解得： 综上： 所以函数的值域为. 7．函数的值域是__. 【答案】 【分析】利用配凑法化简，结合基本不等式求解. 【详解】当时，函数 ， 当且仅当，即时，等号成立， 即函数的值域为. 8．函数的值域是______． 【答案】 【分析】根据已知函数的性质，运用换元法化简不等式，结合的值域构造不等式，解不等式求函数的值域． 【详解】令，则，原函数化为：， 整理得即，当时显然不合题意； 当时，， ，即，等价于，解得， 原函数的值域为. 四、解答题 9．已知函数， (1)求的值域． (2)，求的最小值． (3)，求的值域． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）函数在上单调递减，所以，即，所以值域为. （2）函数在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为. （3）函数在在上单调递增， 所以，即，所以值域为. 10．已知，求函数的值域. 【答案】 【分析】根据题意，将函数分离常数后利用基本不等式求解即可. 【详解】设，则，因为，所以， 故； 因为，所以，当且仅当时，即时，等号成立； 所以函数的值域为. 03 抽象函数的值域 一、单选题 1．已知函数的值域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数水平平移不改变值域的特点，确定的值域，再通过常数运算得到目标函数的值域. 【详解】函数是的水平平移变换，水平平移不改变函数值域，故的值域为. 由，对的取值范围各减2，得，即. 故选：B 2．已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】应用抽象函数定义域性质计算求解，应用函数值域计算判断. 【详解】函数的定义域为，即，所以， 因此函数的定义域为； 由函数的值域为，得函数的值域为， 即，则，故函数的值域为． 故选：C． 3．已知函数的定义域和值域均为，则函数的定义域和值域分别为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用抽象函数的定义域及值域求解判断即可. 【详解】函数的定义域为，则在函数中，，解得， 因此函数的定义域为； 由函数的值域为，得函数的值域为，即， 则，故函数的值域为. 故选：C 4．若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解. 【详解】因为函数的值域是， 所以函数的值域是， 令，则， 由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，， 则，即函数的值域是. 故选：B. 5．已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】根据题意，由抽象函数定义域的求法代入计算，即可得到结果. 【详解】因为函数的定义域和值域都是， 令，解得，所以函数的定义域为， 由的值域得的值域为． 故选：D 6．已知函数的值域为，则函数的最大值为（   ） A．7 B．9 C．12 D．不确定 【答案】B 【分析】根据函数图象的变换得到值域不变即可得到答案. 【详解】解：由函数的值域为，的图象向左平移2个单位得到， 所以的值域为，的最大值为2， 所以函数的最大值为． 故选：B． 二、多选题 7．若函数的定义域､值域分别为，函数，则（    ） A．的定义域为 B．的定义域为 C．的值域为 D．的值域为 【答案】BD 【分析】根据的范围可求的范围，则的定义域可知；根据的范围可知的值域. 【详解】由，得，则的定义域为， 由，得，则的值域为， 故选：BD. 8．已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据给定条件，结合图象变换判断AC；求出函数值域判断BD. 【详解】对于A，的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的，值域不变，A正确； 对于B，由，得，即的值域为，B错误； 对于C，函数与函数的图象关于轴对称， 则函数的值域与函数的值域相同，为，C正确； 对于D，由，得，即的值域为，D错误. 故选：AC 三、填空题 9．函数的函数值表示不超过x的最大整数，例如，，则函数的值域是_________． 【答案】 【分析】根据题意，当时，得到，结合不等式的性质，即可求解函数的值域，得到答案. 【详解】由函数的函数值表示不超过x的最大整数， 当时，可得，则， 可得， 因为，可得，所以函数的值域是. 故答案为：. 10．若函数的值域是，则函数的值域为 __． 【答案】 【分析】根据的值域是，分步求出的值域. 【详解】因为函数的值域是， 所以函数的值域为， 则的值域为， 所以函数的值域为． 故答案为：． 04 已知函数的值域求定义域 一、单选题 1．已知函数的值域为，则的定义域不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的值域为结合二次函数的对称性可求出相应的定义域. 【详解】令，解得，令，解得， 由函数的图象关于轴对称的性质，得的定义域可能为，或，则BCD可能； 而，的定义域不可能是，A不可能. 故选：A 2．已知函数的值域是，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画出的图像，数形结合即可判断出答案． 【详解】，画出图像，如图所示，    令，则，解得或， 令，则，解得（舍去）或， 对于A：当时，结合图像，得，故A错误； 对于B：当时，结合图像，得，故B错误； 对于C：当时，结合图像，得，故C错误； 对于D：当时，结合图像，得，故D正确； 故选：D． 二、多选题 3．已知函数的值域是，则其定义域可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据二次函数的性质确定函数定义域形式，再结合给定值域求解作答. 【详解】由，得，即，得． 由，得，即或． 故定义域内必须含有1，0与2至少含有一个，且定义域一定是的子集． 设定义域为，若，则，则A成立； 若，则，则B，C成立； D不可能为定义域． 故选：ABC. 三、填空题 4．写出使得函数的值域为的一个定义域_________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】求出当和2时所对应的值，再根据二次函数的性质即可得到答案. 【详解】由得， 即，得， 由得，即或， 则根据二次函数的性质可举例定义域为. 故答案为：. 5．已知一个函数的解析式为，它的值域为，则这样的函数共有________个. 【答案】9 【分析】根据值域得的取值情况，列举可得答案. 【详解】一个函数的解析式为，它的值域为， 则必取，至少取一个，至少取一个， 这样函数的定义域可为 共9 个， 则这样的函数共有个. 故答案为：. 6．已知函数的值域为，则它的定义域可以是________．（写出其中一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】，取，则，取，则，得到答案. 【详解】，取，则；取，则； 故定义域可以为：或或. 故答案为：. 7．若一系列函数的解析式和值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为，值域为的“同族函数”共有__________个. 【答案】 【分析】求出使得函数的值域为的定义域的个数，即可得解. 【详解】由，可得；由，可得； 由，可得. 所以，使得函数的值域为的定义域中至少含、中的一个， 至少含、中的一个，至少含、中的一个， 而、的放法种数等价于集合的非空子集个数，即、的放法种数为种， 同理可知，、的放法种数为，、的放法种数为， 因此，数解析式为，值域为的“同族函数”共有个. 故答案为：. 8．已知函数的值域为，则函数的定义域为_____. 【答案】 【分析】根据题意，列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】由函数的值域为，可知，解得，因此函数的定义域为. 故答案为： 9．为不超过的最大整数，若函数，，的值域为，则的最大值为______． 【答案】4 【分析】根据的定义，函数的定义域和值域分析求解 【详解】因为函数，，的值域为， 所以最大取到3，最小取到， 所以的最大值为， 故答案为：4 四、解答题 10．已知一个函数的解析式为，它的值域为区间，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数. 【答案】这样的函数有无数个，如，或. 【分析】结合函数的定义域和值域确定正确结论. 【详解】函数的解析式为，值域为， 所以函数可以是，或. 函数也可以是， ， ……等等，有无数多个. 学科网（北京）股份有限公司 $