精品解析：内蒙古自治区巴彦淖尔市第一中学2025-2026学年高二上学期1月月考数学试题

2025-2026学年第一学期上学期诊断性检测 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：郭敏 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知，分别为等差数列，的前n项和，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，向量，，，且，，则（　　） A. B. C. 3 D. 4 3. 已知数列的前 项和为，且满足，若对任意，恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线的焦点为 ，过 的直线与该抛物线交于两点，记直线（ 为坐标原点）的斜率分别为，若，则（ ） A. 154 B. 152 C. 150 D. 148 5. 已知抛物线的焦点 关于 的准线的对称点为，则 上的点到点 的距离为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 已知数列满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 过坐标原点，且与圆相切的直线方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 8. 已知直线，则“ ”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线为 上一点， 为坐标原点，则（ ） A. C关于 轴对称 B. 关于 轴对称 C. 的取值范围分别为 D. 的最大值为2 10. 在数列中，，，令记，分别为数列，的前 项和，则（ ） A. B. 当时，取得最大值 C. 数列从第6项起为递减数列 D. 11. 已知双曲线的焦距为4，则下列条件能使 的方程为的是（ ） A. 的离心率为 B. 的渐近线方程为 C. 的实轴长为 D. 是 上的点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的焦点为 ，斜率为 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，则的值为_________． 13. 已知抛物线的焦点为F，点A在C上，过点A作C的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则________． 14. 在平行六面体中，，且交平面 于点 ，则___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. （1）在等差数列中，若，，试判断91是否为此数列中的项． （2）已知数列的前n项和，求的通项公式． 16. 记为等差数列的前 项和，已知. （1）求的通项公式； （2）求数列的前 项和. 17. 设是等比数列，是递增的等差数列，的前 项和为，，，，． （1）求与的通项公式； （2）设，数列的前 项和为，求满足成立的 的最大值． 18. 四棱锥，面 ， ，，， ，，M是PD中点. （1）求证：平面； （2）若 ， ①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； ②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 如图，在四棱锥中,底面 是直角梯形, 在锐角 中,. （1）求证：平面⊥平面 ; （2）在棱 上是否存在一点 ,使 平面 ?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由; （3）若直线 与平面所成的角为,求平面与平面夹角的余弦值． 20. 已知双曲线 ：的离心率为，实轴长为2． （1）求双曲线 的方程； （2）若直线被双曲线 截得的弦长为，求实数 的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期上学期诊断性检测 高二数学 本试卷共150分 考试时间120分钟 命题人：郭敏 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 已知，分别为等差数列，的前n项和，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的前 项和公式即可求解. 【详解】因为，分别为等差数列，的前n项和， 所以， ， 所以. 故选：A. 2. 设，向量，，，且，，则（　　） A. B. C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行和垂直求的值，进而求和. 【详解】因为向量，，， 若，则，解得 ，所以； 且，则，解得 ，所以； 可得，所以. 故选：C. 3. 已知数列的前 项和为，且满足，若对任意，恒成立，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据与的关系，当 时，将已知等式转化为，结合等差数列的定义与通项公式即可求得，作差求解判断的单调性，从而得的最值，即可求得实数 的取值范围. 【详解】已知数列的前n项和为，且满足， 则当 时，，整理得， 所以， 又当 时，， 故数列是以为首项， 为公差的等差数列， 所以，故， 所以， 当 时，，则， 当 时，，所以， 综上可得：， 若对任意，恒成立，则，故实数 的取值范围是. 故选：A. 4. 已知抛物线的焦点为 ，过 的直线与该抛物线交于两点，记直线（ 为坐标原点）的斜率分别为，若，则（ ） A. 154 B. 152 C. 150 D. 148 【答案】D 【解析】 【分析】设直线 的方程为，联立直线的方程和抛物线的方程，结合根与系数关系由求出 ，再由抛物线定义求弦长. 【详解】由抛物线知，焦点为， 设直线 的方程为 设，则①. 由，消去 得，所以， 故由①得，解得 ， 所以， 所以， 故选：D 5. 已知抛物线的焦点 关于 的准线的对称点为，则 上的点到点 的距离为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线的定义和性质，求出焦点和准线方程，结合已知条件求出 ，进而求出，最后利用抛物线的焦半径公式计算求解． 【详解】 抛物线， ， 的准线方程为，故 关于准线的对称点为， 焦点 关于 的准线的对称点为， ，解得 ， 抛物线方程为， 点在抛物线 上， ，解得， 抛物线上点到焦点的距离等于到准线的距离， ，故A正确． 故选：A． 6. 已知数列满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用叠加法，求得，得到，结合函数的单调性，以及，即可求解. 【详解】由数列满足， 则 ， 所以， 又由函数在上单调递减，在上单调递增， 因为， 当 时，可得；当 时，可得， 因为，所以的最小值为. 故选：A. 7. 过坐标原点，且与圆相切的直线方程为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆的圆心、半径，再利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式求解. 【详解】圆的圆心为，半径， 由，即原点在圆外，而圆心 到 轴距离， 因此过原点与此圆相切的直线斜率存在，设切线方程为 ， 由，解得或，则或， 所以所求切线方程或. 故选：A 8. 已知直线，则“ ”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据充分条件，必要条件的定义，结合两条直线平行的条件即可求出答案. 【详解】当 ，直线，此时，故“ ”是“”的充分条件， 由，得，解得 ，故“ ”是“”的必要条件， 故“ ”是“”的充要条件. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知曲线为 上一点， 为坐标原点，则（ ） A. C关于 轴对称 B. 关于 轴对称 C. 的取值范围分别为 D. 的最大值为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A、B， 通过坐标替换法（用换 、换 ），判断曲线方程是否不变，进而确定曲线的对称性.选项C， 根据曲线方程中、的非负性，推导得 、 的取值范围.选项D， 将表示为关于 的函数，通过配方求二次函数的最值，判断其最大值是否为2. 【详解】用换方程中的 ，化简后方程不变，故 关于 轴对称， 同理可得， 关于 轴对称，故AB均正确； 由，得，解得，同理可得，故C正确； 在曲线上，所以， 所以， 当时，取得最大值，故D错误. 故选：ABC. 10. 在数列中，，，令记，分别为数列，的前 项和，则（ ） A. B. 当时，取得最大值 C. 数列从第6项起为递减数列 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由累加法得到数列的通项公式，即可判断A选项；由数列的通项公式令，解得对应 的取值范围，即可判断B选项；令解得 的范围，即可判断C选项；先求出当时的值并判断不等式是否成立，然后由裂项相消求得当时的值并判断不等式是否成立，判断D选项. 【详解】由题意知， 当 时，， 经检验 也满足上式，所以，即，故A正确； 对于B，令，解得，所以 时，取得最大值，故B错误； 对于C，令，解得，又，所以，所以，故C正确； 对于D，当时，， 当时，， 则，故D正确. 故选：ACD 11. 已知双曲线的焦距为4，则下列条件能使 的方程为的是（ ） A. 的离心率为 B. 的渐近线方程为 C. 的实轴长为 D. 是 上的点 【答案】AD 【解析】 【分析】根据双曲线的方程以及双曲线的几何性质，对选项逐一判断即可. 【详解】由题可知，，即，因此. 双曲线方程，等价于. 对于A：若 的离心率，解得， 又因为，故，符合题意，故A正确； 对于B：若 的渐近线方程为，则，即， 又因为，易解得，与题意不符，故B错误； 对于C：若 的实轴长为，即，则，与题意不符，故C错误； 对于D：将代入，可得，又因为， 联立，可得，整理得：，解得或（舍去，因为），又因为，故，符合题意，故D正确. 故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知抛物线的焦点为 ，斜率为 的直线 与抛物线 交于 ， 两点，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线定义，可得，，再结合直线与曲线相交的弦长公式，可得，比值即可. 【详解】由直线 与抛物线 交于 ， ，设，，直线 的斜率为 ， 由抛物线定义，可得，， 又弦长， 所以. 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点为F，点A在C上，过点A作C的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】先由直线BF的方程求出焦点、准线方程，则可得抛物线的方程，进而得点 ，从而求出点 ，再由焦半径公式即可得解. 【详解】在中，令 ，解得 ，所以 ， 因为，所以，解得， 所以抛物线C的方程为，其准线方程为 ， 在方程中，令 ，得，所以 ，所以点A的纵坐标为4， 在方程中，令，解得，所以， 由抛物线的定义，得． 故答案为： . 14. 在平行六面体中，，且交平面 于点 ，则___________. 【答案】## 【解析】 【分析】作出辅助线，根据平面的基本性质得到，并求出，平方后，由向量数量积公式得到，，从而得到答案. 【详解】根据题意，连接交于点 ，连接与交于点 ， 在平行六面体中，∽，则，故， 根据平面的基本性质可知点 与点 重合，故，其中， 故 ， 所以，所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. （1）在等差数列中，若，，试判断91是否为此数列中的项． （2）已知数列的前n项和，求的通项公式． 【答案】（1）91为数列中的第43项；（2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的“项的性质”（如，当时）及通项公式求解； （2）利用数列的前 项和求通项公式的方法求解（利用，再验证 的情况）. 【详解】（1）因为，所以，解得， 因为，所以， 又因为，解得， 代入通项公式为：， 令，即，解得（ 为正整数）， 即91为数列中的第43项． （2）∵， ∴当 时，， 当 时，， 将 代入，得，与一致， ∴的通项公式是． 16. 记为等差数列的前 项和，已知. （1）求的通项公式； （2）求数列的前 项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的等差中项以及公差计算，结合其通项公式，可得答案； （2）根据等差数列的求和公式，可得新数列的通项公式，利用分组求和，可得答案. 【小问1详解】 由数列为等差数列，则，解得 ， 可得等差数列的公差， 可得 所以等差数列的通项公式为.. 【小问2详解】 由等差数列易知， 则，设数列的前 项和为， 可得， 当时，； 当时，. 综上可得数列的前 项和为. 17. 设是等比数列，是递增的等差数列，的前 项和为，，，，． （1）求与的通项公式； （2）设，数列的前 项和为，求满足成立的 的最大值． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意结合等差数列以及等比数列的相关公式，列出方程组，求出等差数列以及等比数列的基本量，即可求得答案. （2）写出的表达式，利用裂项求和法求出，解不等式，即可求得答案. 【小问1详解】 设等比数列的公比为 ，等差数列的公差为， 由已知，，，，得， 即， 解得（舍）或， 故． 【小问2详解】 ， 故， 则，即，即， 解得， ， 的最大值为，即满足条件的n的最大值为． 18. 四棱锥，面 ， ，，， ，，M是PD中点. （1）求证：平面； （2）若 ， ①求平面PAB与平面PCD夹角的正弦值； ②在线段BD上是否存在点Q，使得点D到平面PAQ的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）①②存在， 【解析】 【分析】（1）取 中点 ，连接 ， 根据线线平行证明线面平行； （2）①建立空间直角坐标系，利用坐标法可求得平面的法向量，利用向量法可得面面角余弦值，再由同角三角函数的基本关系求正弦值；②设，利用向量法表示点到平面的距离，列方程，解方程即可. 【小问1详解】 取 中点 ， 为 中点， ，且， 又， ， ，且， 四边形为平行四边形，即， 平面，平面， 平面； 【小问2详解】 ①平面 ，且 ， 则以点 为坐标原点， ， ， 方向为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系， 得，，，，， ，，，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为， 则，令 ，则， ， 平面与平面所成角的正弦值为； ②存在点 满足题意， 易知，， 假设存在点 满足题意，设， ， ，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以点 到平面的距离， 化简可得，解得或（舍去），即. 19. 如图，在四棱锥中,底面 是直角梯形, 在锐角 中,. （1）求证：平面⊥平面 ; （2）在棱 上是否存在一点 ,使 平面 ?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由; （3）若直线 与平面所成的角为,求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 证明：在四棱锥中，底面为直角梯形， 且，所以 ，由已知 ， 又 ，故 平面，又 平面 ，所以平面⊥平面 ； （2）存在， （3）． 【解析】 【分析】（1）要证面面垂直，需要先证明线面垂直．即先根据条件证明出 平面即可； （2）利用线面平行的性质，通过三角形相似找到线段比例关系，即可确定点 位置； （3）建立空间直角坐标系，求出相关平面法向量，根据空间向量夹角公式即可求出两平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接 ， ，连接 ，若 平面 ， 因为 平面 ，平面 平面 ， 故 ，又 ，则 ， 故 为 三等分点（靠近点 ），即 ， 当 时， ，故 ， 又 平面 ， 平面 ，所以 平面 ； 【小问3详解】 如图，以 为原点，分别以、方向为 轴、 轴正方向,通过点D作平面 的垂线，以该直线的向上方向为 轴，如图建立空间直角坐标系， 则, 所以，， 不妨设，则， 所以．设平面PCD的法向量为 ， 则，可取， 因为 与平面所成角为， 则， 解得，故，则， 所以， 可取；设平面的法向量为 ， 则，可取＝， 设平面与平面夹角为 ， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为． 20. 已知双曲线 ：的离心率为，实轴长为2． （1）求双曲线 的方程； （2）若直线被双曲线 截得的弦长为，求实数 的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，写出关于 的方程组，即可求解； （2）直线方程与双曲线方程联立，利用韦达定理表示弦长，即可求解. 【小问1详解】 由条件可知，，所以 ，，， 所以双曲线 的方程为； 【小问2详解】 联立，得， 设直线与双曲线 交于点， 恒成立， ，， ， ，解得：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $