28.3 圆心角和圆周角 第2课时-【绿卡初中创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案(冀教版·新教材)

该初中数学教学设计聚焦圆周角的定义、定理及推论，通过回顾圆心角定义与性质，对比提问图中顶点在圆上的角的特点，以旧知为支架自然导入新知，梳理前后知识脉络。 此资料以“先猜后证”模式展开探究，学生动手测量猜想圆周角与圆心角关系，再分类讨论三种位置关系证明定理，培养推理能力与几何直观。例题与分层练习结合，提升应用意识，助力学生构建知识体系，为教师提供清晰教学路径。

28.3 圆心角和圆周角 课题 第2课时 圆周角 授课类型 新授课 授课人 教学内容 课本P179--183 教学目标 1.了解圆周角的定义，会在具体情景中辨别圆周角. 2.掌握圆周角定理及推论，并能灵活运用这些知识进行简单的计算和证明. 教学重难点 重点：圆周角的概念以及圆周角定理和推论. 难点：圆周角定理的证明中采用的分类思想及由一般到特殊的数学思想方法. 教学准备 多媒体课件 教与学互动设计（教学过程） 设计意图 1.创设情境，导入新课 教师提问:圆心角是如何定义的? 学生：顶点在圆心的角叫作圆心角. 教师提问:圆心角与其所对的弦、弧的关系是什么? 学生：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧也相等. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等. 教师提问:如图，∠DAB与∠DCB是不是圆心角?它们有什么特点? 学生：∠DAB与∠DCB不是圆心角.它们的顶点在圆上，角的两边都与圆相交. 这些顶点在圆周，两边和圆相交的角就是我们这节课要学习的圆周角，让我们一起探究这些角与圆心角之间的关系吧! 通过提问问题的方式，调动学生的积极性，回顾旧知的同时类比思考，很自然地导出圆周角的概念. 2.实践探究，学习新知 【探究一】圆周角的概念 定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫作圆周角. 【练一练】 如图中的∠APB就是一个圆周角，∠APB所对的弧是．图中还有哪些角是圆周角?它们分别对应哪条弧? 预设答案：∠APC→；∠BPC→；∠PBC→；∠PCB→. 注意：圆周角必须满足两个条件： 一是顶点在圆上；二是两边都与圆相交，二者缺一不可. 【探究二】圆周角定理 如图，在⊙O上取两点A，B，P为上的动点(不与点A，B重合)，圆心角∠AOB，圆周角∠APB所对的弧都是. （1）用量角器测量∠AOB和∠APB的大小，它们有怎样的数量关系?当点Р移动后，再测量∠AP'B的大小，并与∠AOB的大小进行比较．由此猜想，所对圆心角与圆周角有怎样的大小关系. 预设答案：测量后，发现：∠APB=∠AOB. ∠AP'B=∠AOB. 猜想：所对的圆心角是圆周角的2倍. （2） 随着点P的移动，圆心O和圆周角的位置可以分为几种不同的情形，说出你的判断，并画出相应的图形. 预设答案：按照圆心O和圆周角的位置可以分为以下3种不同的情形： （3） 当圆心O在∠APB 的一条边上时，∠AOB 与∠APB具有怎样的大小关系？说明理由. 预设答案：∠APB=∠AOB．理由：如图， ∵OP=OB， ∴∠OPB=∠OBP． 又∵∠AOB=∠OPB+∠OBP， ∴∠AOB=2∠APB，即∠APB=∠AOB． （4）当圆心O在∠APB 的内部和外部时，（3）中的结论还成立吗？和同学进行交流. 预设答案：结论成立.∠APB=∠AOB． 以圆心O在∠APB 的内部为例，进行说明. 证明：如图，连接 PO，并延长交⊙O 于点 D． ∵OA=OP=OB， ∴∠OPA=∠OAP，∠OPB=∠OBP． 又∵∠AOD=∠OPA+∠OAP，∠BOD=∠OPB+∠OBP, ∴∠AOD+∠BOD=∠OPA+∠OAP+∠OPB+∠OBP, 即∠AOB=2（∠OPA+∠OPB），∠AOB=2∠APB. ∴∠APB=∠AOB. 师生活动：教师提出问题，学生小组讨论，选代表发言，教师评价、总结. 【做一做】 对于圆心O在圆周角∠APB外部的情形，如图2所示，证明：∠APB=∠AOB. 预设答案：在图2中，当点O在∠APB外部时，仍然是作出直径PD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可． 由前面的结果，有∠APD＝∠AOD，∠BPD＝∠BOD． ∴∠BPD－∠APD＝(∠BOD－∠AOD)，即∠APB＝∠AOB． 总结归纳： 圆周角定理：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半. 【探究三】圆周角定理的推论 【例题】 例2 如图，点A，B，C均在⊙O上，若∠OAB=46°，求∠ACB的度数. 解：如图，连接OB. ∵OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA. ∵∠OAB=46°， ∴∠AOB=180°-2∠OAB=180°-2×46°=88°. ∴∠ACB=∠AOB=44°. 【谈一谈】 如图，∠P，∠P′，∠P"都是⊙ O上同一条弧(即)所对的圆周角．这些圆周角之间有怎样的关系?请说明理由. 预设答案：根据圆周角定理可知，∠P=∠AOB，∠P′=∠AOB ，∠P"=∠AOB，∴∠P=∠P′=∠P". 师生活动：学生小组交流讨论，教师引导得出结论. 归纳总结： 同弧或等弧所对的圆周角相等．同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等. 根据角的特点归纳圆周角的概念,通过抢答判断图中的角是不是圆周角，活跃课堂气氛,加深对圆周角概念的理解和掌握. 动手、猜想和预见是学生的天性，抓住学生这个心理采取，“先猜后证”的教学设计，有效地激发学生的积极性，唤起他们在课堂上主动探索，构建知识. 通过让学生亲自画出圆周角，试着找出圆心与圆周角的三种位置关系. 由实验、观察等方法得出的猜想，其正确性需要进一步验证，让学生体验数学的严谨性.学生发言，锻炼了学生的语言表达能力和说理能力. 例题的目的是让学生通过自己的思维活动得到解题思路的探索过程，由学生自己完成证明，使学生切实从应用上加深对圆周角的理解． 通过问题形式探究圆周角定理的推论，感受类比思想,体会知识的内在联系,同时让学生体会运用定理解决特殊性问题，提高学生分析问题和解决问题的能力. 3.学以致用，应用新知 考点1 圆周角定理 练习1 如图，点A，B，C在⊙O上，△AOB为等边三角形.求∠ACB的度数. 解：由图可知，∠AOB和∠ACB分别是弧AB所对的圆心角和圆周角。 由圆周角定理可知，∠ACB=∠AOB. 而△AOB为等边三角形，∴∠AOB=60°， ∴∠ACB=30°. 考点2 同弧或等弧所对的圆周角相等 练习2 如图，点A，B，C，D都在☉O上. （1）找出四对分别相等的圆周角. （2）如果∠DAC=∠BAC=60°，证明△BCD为等边三角形. 解：（1）∵同弧所对的圆周角相等， ∴∠ADB=∠ACB，∠BAC=∠BDC，∠DBC=∠DAC， ∠DCA=DBA. （2）∵∠DAC=∠BAC=60°， ∴∠DBC=∠BDC=60°， ∴∠BCD=60°， ∴△BCD是等边三角形. 巩固圆周角定理及其推论，加深对所学知识的理解，提高学生知识的综合运用能力． 4.随堂训练，巩固新知 1．如图，是的外接圆，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 答案：B 2．如图，内接于，为的直径．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 答案：B 3．如图，是的直径，弦交于点，连接．若，则（    ） A． B． C． D． 答案：B 4．如图，四边形内接于，，，，C为的中点，则的长为（    ）    A． B． C．4 D． 答案：D 5．如图，是的直径，弦交于点，连接、．若，则 °． 答案：50 6．如图，为半圆的直径，为圆心，为半圆弧上两点，且，若，则的度数为 ． 答案：40° 7．如图，内接于⊙O，已知，，则的半径为 ． 答案： 5 解析：如图，连接，， ∵，∴， ∵，∴， 在中，， ∴， ∴的半径为5. 8．如图，在平面直角坐标系中，经过点O，与y轴交于点，与x轴交于点，则的长为 ． 答案：5 解析：如图，连接，    为直角，且点都在圆上， 为直径，圆心P在上， ， ，，， ，. 知识的综合运用，通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 5.课堂小结，自我完善 1.圆周角的定义：顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫作圆周角. 2.圆周角定理：圆周角等于它所对弧上的圆心角的一半. 3.推论:同弧或等弧所对的圆周角相等.同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧也相等. 4.本节课数学思想方法:分类思想、化归思想、由特殊到一般的数学方法. 通过学生自我反思、小组交流、引导学生自主完成对本节重要知识技能和思想方法的小结. 6.布置作业 课本P182习题A组、B组、C组 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率. 板书设计 28.3　圆心角和圆周角 第2课时 圆周角 1.圆周角的定义. 2..圆周角定理. 例题： 3.圆周角定理的推论. 提纲挈领，重点突出. 教后反思 本节课我设计了问题情境——自学探究——拓展应用的课堂教学模式，以学生自学探究为主，教师引导点播为辅的方式教学．在教学过程中，教师将问题式教学法，启发式教学法，探究式教学法，情境式教学法，互动式教学法等多种教学方法融为一体，注重教学与生活的联系，创设富有挑战性的问题情境，引导学生用数学的眼光看问题，发现规律，验证猜想．教学中注重学生的个体差异，让不同层次的学生充分参与到数学思维活动中来，充分发挥学生的主体作用．运用适度的激励，帮助学生认识自我，建立自信，不仅“学会”，而且“会学”，“乐学”．引导学生采用动手实践，自主探究，合作交流的学习方法进行学习，使学生在观察、实践、问题转化等数学活动中充分体验探索的快乐，发现新知，发展能力．与此同时，教师通过适时的点拨、精讲，使观察、猜想、实践、归纳、推理、验证贯穿于整个学习过程之中． 反思，更进一步提升. 学科网（北京）股份有限公司 $