河北省沧州市九年级数学上学期课时作业（冀教版九年级数学上册第二十五章第三节）

冀教版九年级数学上册 25.3 相似图形 分层作业 一、作品基础信息 教材版本 冀教版（2024年版）义务教育教科书·数学 九年级上册 所属章节 第二十五章 图形的相似　25.3 相似图形 课时安排 1课时 作业类型 课时分层作业（课后巩固） 适用对象 九年级学生（A组必做、B组选做、C组挑战） 作业题量 共12题（A组5题、B组5题、C组2题） 建议用时 必做约15分钟，选做约12分钟，挑战约8分钟，合计约35分钟 设计教师 （待填写） 设计单位 （待填写） 设计日期 2026年10月 二、设计背景与意图 （一）课标依据 《义务教育数学课程标准（2022年版）》在“图形的变化”与“图形的性质”中要求学生“通过具体实例认识图形的相似”，并“了解相似多边形和相似比”。课标强调从现实情境和数学情境中抽象出相似图形，经历观察、操作、归纳的过程，发展几何直观、空间观念和推理能力。本作业以“形状相同”为主线，引导学生在判断、计算与说理中理解相似的本质，指向几何直观、推理能力和应用意识等核心素养的落地。 （二）教材分析 25.3 相似图形是冀教版九年级上册第二十五章“图形的相似”的第3课时。教材从学生熟悉的全等图形出发，通过“大小不同的魔方”“不同尺寸的飞船模型”“屏幕画面投影放大”等实例，抽象出相似图形的概念——形状相同的图形叫做相似图形，并指出全等图形是特殊的相似图形。在此基础上，教材借助等边三角形、方格纸中的三角形与四边形等素材，引导学生动手测量、计算，归纳出相似多边形的定义：对应角分别相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，对应边的比叫做相似比（见表1）。 本节向上承接八年级的全等图形以及本章25.1比例线段、25.2平行线分线段成比例，向下为25.4相似三角形、25.5相似三角形的判定等后续内容提供概念基础，是“由全等到相似”这一几何观念转变的关键一课。其中“对应角相等”与“对应边成比例”是判断相似的两把“尺子”，缺一不可。 表1　相似图形与相似多边形核心知识 项目 内容 相似图形 形状相同的图形叫做相似图形。 与全等图形的关系 全等图形是特殊的相似图形（形状相同，大小也相同）。 相似多边形 对应角分别相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形。 相似比 相似多边形对应边的比叫做它们的相似比。 记法 四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，读作“四边形ABCD相似于四边形A′B′C′D′”，对应顶点要写在对应位置。 判定要点 “对应角相等”与“对应边成比例”两个条件缺一不可。 （三）学情分析 学生已经认识全等图形，学习了比例线段与平行线分线段成比例，具备初步的观察、测量和归纳能力。但学习本节时存在三类典型困难：一是把“相似”简单等同于“大小相同”，与全等混淆；二是判断两个图形是否相似时只看一个条件，如误认为“两个矩形一定相似”“两个菱形一定相似”；三是书写相似式时对应顶点写不对应，导致相似比的方向弄反。此外，学生的推理与表达能力差异较大，统一的作业要求容易出现“部分学生吃不饱、部分学生吃不了”的现象。 （四）设计意图 1．分层设计，尊重差异。作业设置A、B、C三个层级：A组面向全体学生，重在建立概念、夯实基础；B组面向学有余力的学生，重在辨析、应用与推理；C组面向有探究兴趣的学生，重在综合与创新。学生可依据自身情况选做，也可以逐层挑战。 2．紧扣两个条件，突出重点。围绕“对应角相等、对应边成比例”这一核心，A组通过填空、选择、判断反复强化概念表述的准确性；B组通过辨析题和举反例，直击“一定相似”与“不一定相似”的易错点，帮助学生形成严谨的判断习惯。 3．在计算与推理中发展素养。B组第3题要求用三角形中位线定理证明两个四边形相似，让学生经历“找对应边—证成比例—证角相等”的完整推理过程；B组第2题把投影仪投屏的实际情境转化为相似模型，发展几何直观与应用意识；C组第1题以黄金矩形为载体，引导学生体会相似与方程的联系。 4．控制总量，减负增效。全卷共12题，必做部分约15分钟即可完成；题目表述力求简洁，每一道题都有明确的训练指向，避免机械重复。 三、作业目标 1．能说出相似图形、相似多边形的概念，知道全等图形是特殊的相似图形。（对应A1） 2．理解相似比的意义，能正确写出相似多边形的对应边之比。（对应A2、A4） 3．能依据“对应角相等、对应边成比例”两个条件判断两个图形是否相似，并能说明理由、举出反例。（对应A3、B4、C2） 4．能利用相似多边形的性质，由已知的角和边求出未知的角和边。（对应A5、B1、B5） 5．能运用相似图形的知识解决简单的实际问题，体会建立相似模型的过程。（对应B2） 6．经历观察、猜想、证明的探究过程，发展几何直观和推理能力，体会从特殊到一般的思想。（对应B3、C1） 四、作业内容与目标对应表 本作业共12题，其中A组为基础过关题（全体必做），B组为能力提升题（选做），C组为素养拓展题（挑战）。各题与作业目标的对应关系、难度和预计完成时间见表2。 表2　作业内容与作业目标对应表 层级 题号 题型 对应目标 难度 预计用时 A组 基础过关 A1 填空 目标1 易 2分钟 A2 选择 目标2 易 2分钟 A3 判断说理 目标3 中 3分钟 A4 解答 目标2 易 3分钟 A5 解答 目标4 中 5分钟 B组 能力提升 B1 解答 目标4 中 3分钟 B2 应用 目标5 中 2分钟 B3 证明 目标6 较难 3分钟 B4 辨析 目标3 较难 2分钟 B5 解答 目标4 中 2分钟 C组 素养拓展 C1 探究 目标6 难 4分钟 C2 说理 目标3 难 4分钟 说明：A组题目建议全体学生在课后独立完成；B组题目可由学生自主选择，教师可在课堂小结后布置；C组题目不作统一要求，鼓励有兴趣的学生尝试，教师可在下一次课上组织交流。 五、作业评价 （一）评价理念 坚持“教—学—评”一致性，把评价嵌入作业全过程。评价不仅关注结果是否正确，更关注学生是否真正理解“形状相同”的含义、能否准确运用判断相似的两个条件，以及书写是否规范、订正是否及时。 （二）评价方式 1．学生自评：完成作业后，对照第七部分的“答案与解析”自主批改，用“★”标记解题过程的清晰程度，并在错题旁写明错因。 2．同伴互评：同桌交换作业，重点检查相似式中对应顶点是否写对、相似比的方向是否弄反，互相提醒并在小组内交流。 3．教师评价：A组全批全改，B组重点批改并记录典型解法，C组采用面批或小组交流的方式，肯定学生的探究思路。 （三）评价量表 表3　分层作业评价量表 评价维度 评价标准 等级 概念理解 能说出相似图形、相似多边形的定义，知道全等图形是特殊的相似图形。 A／B／C 判断说理 能依据“对应角相等、对应边成比例”两个条件判断相似，理由表述准确、完整。 A／B／C 计算求解 能正确运用相似比求未知的边长或角度，计算无误。 A／B／C 推理论证 能规范地完成相似多边形的证明，条理清晰。 A／B／C 应用与探究 能建立相似模型解决实际问题，并尝试用反例说明问题。 A／B／C 学习态度 书写规范，按时完成，主动订正错题。 A／B／C （四）作业反馈与分层辅导 对基础层学生，重点面批A3、A4两题，帮助其建立“两个条件缺一不可”的认识，并规范相似式的写法；对提高层学生，重点关注B3的推理表达和B4、C2的反例构造；对拓展层学生，鼓励其在C1的基础上继续探究“黄金矩形”在生活中的应用。所有学生的错题都应订正在作业本上，教师在下一次课前用3—5分钟集中反馈共性错误。 六、试题详情 以下题目按A、B、C三个层次编排：A组为基础过关题，全体学生必做；B组为能力提升题，供学有余力的学生选做；C组为素养拓展题，供有兴趣的学生挑战。请在规定时间内独立完成，书写工整，保留必要的解题过程。 （一）A组　基础过关（必做，约15分钟） A1．填空： （1）形状＿＿＿＿的两个图形叫做相似图形，全等图形是特殊的＿＿＿＿图形。 （2）对应角分别＿＿＿＿、对应边＿＿＿＿的两个多边形叫做相似多边形。 （3）相似多边形对应边的比叫做它们的＿＿＿＿。 A2．下列各组图形中，一定相似的是（　　） A．两个矩形　　B．两个菱形　　C．两个正方形　　D．两个平行四边形 A3．边长都是3的正方形和菱形（一组内角为60°、120°，如图）相似吗？请说明理由。 A4．已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，相似比为3:2，AB = 6 cm，求A′B′的长。 A5．已知△ABC∽△A′B′C′，∠A = 50°，∠B = 60°，AB = 4 cm，A′B′ = 6 cm。求∠C′的度数和△ABC与△A′B′C′的相似比。 （二）B组　能力提升（选做，约12分钟） B1．已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，AB = 6 cm，A′B′ = 9 cm，CD = 4 cm，∠A = 118°，∠B = 78°，∠C = 83°。求C′D′的长和∠D′的度数。 B2．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投到墙上，画面的形状保持不变。已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为3:2的矩形，墙上投影画面的短边长为1.2米。求投影画面的长边长和周长。 B3．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点。求证：四边形EFGH∽四边形ABCD。 B4．判断下列说法是否正确，并简要说明理由。 （1）两个等腰直角三角形一定相似； （2）两个等边三角形一定相似； （3）有一个角是100°的两个等腰三角形一定相似； （4）两个菱形一定相似。 B5．已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，相似比为2:5。 （1）若AB = 4 cm，求A′B′的长； （2）若四边形ABCD的周长为20 cm，求四边形A′B′C′D′的周长。 （三）C组　素养拓展（挑战，约8分钟） C1．如图，矩形ABCD中，AB = a，AD = b（a＞b）。在边AB上截取AE = AD = b，过点E作EF⊥AB，交CD于点F，得到正方形AEFD，余下的矩形BCFE与矩形ABCD相似。求 a:b 的值。 C2．判断下列说法是否正确，并说明理由；若不正确，请各举出一个反例。 （1）对应角分别相等的两个多边形一定相似； （2）对应边成比例的两个多边形一定相似。 七、答案与解析 （一）A组　基础过关 A1．（1）相同；相似。　（2）相等；成比例。　（3）相似比。 【解析】直接由相似图形、相似多边形的定义作答。全等图形是特殊的相似图形，它的形状和大小都相同。 A2．C。 【解析】两个正方形的四个角都是直角，对应角分别相等；四条边都相等，对应边的比都是1:1，对应边成比例，所以两个正方形一定相似。两个矩形的对应边不一定成比例（如长、宽不等的两个矩形）；两个菱形的对应角不一定相等；两个平行四边形既不能保证对应角相等，也不能保证对应边成比例。故选C。 A3．不相似。 理由：多边形相似需要同时满足“对应角相等”和“对应边成比例”两个条件。这两个图形的边长都是3，对应边的比都是1:1，对应边成比例；但正方形的四个角都是90°，而菱形的内角是60°和120°，对应角不相等，所以它们不相似。 【解析】本题的关键是理解判断相似的两个条件缺一不可，不能只看边是否成比例，也不能只看角是否相等。 A4．因为四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，相似比为3:2， 所以 ，即 ， 解得 A′B′ = 4（cm）。 答：A′B′的长为4 cm。 A5．在△ABC中，∠C = 180° − 50° − 60° = 70°。 因为△ABC∽△A′B′C′，所以 ∠C′ = ∠C = 70°。 相似比 = 。 答：∠C′的度数为70°，△ABC与△A′B′C′的相似比为2:3。 （二）B组　能力提升 B1．因为四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′， 所以相似比 = ，从而 由 ，解得 C′D′ = 6（cm）。 又由四边形的内角和为360°，得 ∠D = 360° − 118° − 78° − 83° = 81°。 因为四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，所以 ∠D′ = ∠D = 81°。 答：C′D′的长为6 cm，∠D′的度数为81°。 【解析】求边用“对应边成比例”，求角用“对应角相等”，并结合四边形的内角和为360°。注意相似比为2:3时，C′D′比CD长。 B2．因为投屏前后画面的形状保持不变，所以投影画面与原屏幕画面是相似图形，对应边成比例。 设投影画面的长边长为 x 米。由题意，长边与短边之比为3:2，即 ， 解得 x = 1.8，所以投影画面的长边长为1.8米。 周长为 2 × (1.8 + 1.2) = 6（米）。 答：投影画面的长边长为1.8米，周长为6米。 【解析】投屏过程中画面被按同一比例放大，长边与短边的比保持不变，把实际问题转化为“相似矩形对应边成比例”的模型即可。 B3．证明：因为 E、F 分别是 OA、OB 的中点， 所以 EF 是△OAB 的中位线，从而 EF∥AB，且 。 同理可得 FG = BC，GH = CD，HE = DA， 所以 ，即四边形EFGH与四边形ABCD的对应边成比例。 又因为 EF∥AB，FG∥BC，GH∥CD，HE∥DA， 所以 ∠EFG = ∠ABC，∠FGH = ∠BCD，∠GHE = ∠CDA，∠HEF = ∠DAB，即对应角分别相等。 所以四边形EFGH∽四边形ABCD。 【解析】先用三角形中位线定理证明中点四边形EFGH的各边与原四边形ABCD的各边平行且等于其一半，从而说明对应边成比例；再由平行关系说明对应角相等。两个条件都满足，故两四边形相似。 B4．（1）正确。两个等腰直角三角形的三个内角都是45°、45°、90°，对应角分别相等；设两个三角形的直角边长分别为 m、n，则它们的对应边之比都能化为 m:n，对应边成比例。所以两个等腰直角三角形一定相似。 （2）正确。两个等边三角形的三个内角都是60°，对应角分别相等；它们的各条边都相等，对应边的比都等于两三角形边长之比，对应边成比例。所以两个等边三角形一定相似。 （3）正确。100°的角不能作为等腰三角形的底角（否则两个底角的和就是200°，超过180°），所以它只能是顶角，这两个等腰三角形的三个内角都是100°、40°、40°，形状相同，对应角相等、对应边成比例，所以一定相似。 （4）不正确。菱形的内角大小可以改变。例如，边长为3的正方形与边长为3、内角为60°和120°的菱形，对应边的比都是1:1，但对应角不相等，所以两个菱形不一定相似。 【解析】判断“一定相似”，要先看形状是否被完全确定；只要形状会随某个量变化，就要考虑举反例。 B5．（1）因为四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，相似比为2:5， 所以 ，即 ，解得 A′B′ = 10（cm）。 （2）相似多边形的周长比等于相似比。 因为四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，相似比为2:5， 所以 四边形ABCD的周长:四边形A′B′C′D′的周长 = 2:5，即 ，解得 C = 50（cm）。 答：A′B′的长为10 cm，四边形A′B′C′D′的周长为50 cm。 【解析】相似多边形的各条边都按同一个比放大或缩小，所以周长的比等于相似比。 （三）C组　素养拓展 C1．因为四边形ABCD是矩形，EF⊥AB，所以四边形AEFD与四边形BCFE都是矩形。 由题意，AE = EF = AD = b，所以 EB = CF = a − b，即矩形BCFE的两边长分别为 b 和 a − b。 因为矩形BCFE∽矩形ABCD，它们的对应边成比例， 所以 AB:AD = BC:CF，即 ， 整理得 。 两边同除以 b²，并设 （t＞1），得 ， 解得 （负值舍去）。 所以 ，即 a:b = (1+√5):2。 答：a 与 b 的比值为 （约等于1.618，这个比就是人们常说的黄金比）。 【解析】长与宽之比为黄金比的矩形叫做黄金矩形。本题把“相似多边形的对应边成比例”与一元二次方程结合起来，解题的关键是找准对应边：矩形BCFE的长边与矩形ABCD的长边相对应。 C2．（1）不正确。 反例：长、宽分别为4和2的矩形，与长、宽分别为9和3的矩形。它们都是矩形，四个角都是90°，对应角分别相等；但对应边不成比例（），所以它们不相似。 （2）不正确。 反例：边长为3的正方形，与边长为3、内角为60°和120°的菱形。它们的对应边之比都是1:1，对应边成比例；但正方形的四个角都是90°，菱形的内角是60°和120°，对应角不相等，所以它们不相似。 【解析】两个反例说明：判断两个多边形是否相似，“对应角相等”和“对应边成比例”两个条件缺一不可，只满足其中一个条件并不能保证相似。 学科网（北京）股份有限公司 $