专题1.7 集合中的参数问题专项训练--2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题1.7 集合中的参数问题 【考点导航】 【知识梳理】 1．元素与集合关系中的含参问题 (1)解题方法：已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见类型，一般利用分类讨论思想求解. (2)求解步骤： ①分类讨论：由元素属于或不属于集合入手，进行分类讨论； ②检验：将所求参数值回代到集合，利用集合中元素的互异性检验能否构成集合； ③经检验后找出符合条件的参数值，即可得出最终结果. 求解过程中要注意两点，一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验. 2．集合中元素个数的含参问题 (1)解题方法：对于集合中元素个数的含参问题，我们要考虑集合是否为空集；此类类型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参数，常利用根的判别式求解，要注意一元二次方程的二次项系数是否为零. (2)求解步骤： 对于一元一次方程，直接进行求解即可； 对于一元二次方程： ①对集合中的方程的二次项系数是否为零进行讨论； ②当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解. 3．集合关系中的含参问题 集合关系中的含参问题主要有两类：一、根据集合的相等关系求参数问题；二、根据集合的包含关系求参数问题. (1)根据集合的相等关系求参数问题的解题策略 要求解此类问题，就要明确两集合相等的定义，即两集合中所含元素完全相同，与元素顺序无关，对此分类讨论集合中元素的所有情况即可，要做到不重不漏． (2)根据集合的包含关系求参数问题的解题策略 ①解题方法：由两个集合间的包含关系求参是一种常见类型，常利用子集的知识将问题转化为解方程(组)或不等式(组)求解. ②求解步骤： 第1步，确定两个集合中谁是谁的子集； 第2步，看集合中是否含有参数，如果子集中含有参数，要对子集是否为空集进行讨论， 第3步，把集合的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)来求解，求出参数，最后合并结果. 4．集合的运算中的含参问题 (1)解题方法：对于此类问题，通常要通过集合的运算结果得到集合间的关系，进而得到不同集合间元素之间的关系，再列方程组或不等式组进行求解. (2)求解步骤： ①通过集合运算结果，分析得到各集合间的关系； ②利用集合间的包含关系，列出相应的方程组或不等式组，进行求解； ③综合得到最终参数的取值或范围，要注意对所求结果进行检验. 【考点1：根据元素与集合关系求参数】 1．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 2．（26-27高三上·上海·开学考试）已知集合 ，，则__________． 3．（26-27高一上·甘肃定西·开学考试）已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 4．（25-26高一上·湖南张家界·阶段检测）含有三个实数的集合，若且，求的值． 5．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【考点2：根据集合中元素的个数求参数】 1．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 2．（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 3．（26-27高一上·全国·课后作业）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一上·北京海淀·专题练习）已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 【考点3：根据集合相等求参数】 1．（25-26高二下·河南·期末）已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 2．（26-27高一上·江西九江·开学考试）设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，，且，则________. 4．（2026高二下·贵州贵阳·竞赛）已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 5．（26-27高一上·湖南张家界·阶段检测）若集合A中有三个元素1，，a，集合B中有三个元素0，，b．若集合A与集合B相等，则的值为________． 【考点4：根据集合的包含关系求参数】 1．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知集合，，且，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 2．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知集合，，若，则实数a的值是（　　） A．1 B．2 C． D．1或2 3．（26-27高一上·天津和平·开学考试）设集合，． （1）当时，的所有子集中的元素之和为______； （2）若，的取值范围为______． 4．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，，且B，求实数的取值范围. 5．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围． 【考点5：根据交集结果求参数】 1．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 2．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 3．（26-27高一上·江西九江·开学考试）已知集合，，若，则实数的值为________. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，或，若，求a的取值范围． 5．（26-27高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【考点6：根据并集结果求参数】 1．（25-26高二下·广东汕尾·期末）已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 2．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）已知集合，，则使的实数的取值范围可以是（　　）. A． B． C． D． 3．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，集合，且，则的值组成的集合是________. 4．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，.若，求m的取值范围. 5．（26-27高三上·北京·开学考试）设为全集，集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【考点7：根据补集结果求参数】 1．（26-27高一上·全国·课后作业）设全集，集合，，则实数的值为（   ） A．0 B． C．2 D．0或3 2．（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知集合，，若，则的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 3．（2026·山东威海·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知集合，，若，则（   ） A．或3 B． C．2 D．3 5．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知全集，求的值． 【考点8：根据交并补混合运算结果求参数】 1．（2026高三上·河南鹤壁·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为______ 2．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 3．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 4．（26-27高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 5．（26-27高一上·辽宁沈阳·阶段检测）已知集合，或，全集合． (1)当时，求； (2)若，，求实数的取值范围． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.7 集合中的参数问题 【考点导航】 【知识梳理】 1．元素与集合关系中的含参问题 (1)解题方法：已知某元素属于或不属于集合，求参数的取值范围是一种常见类型，一般利用分类讨论思想求解. (2)求解步骤： ①分类讨论：由元素属于或不属于集合入手，进行分类讨论； ②检验：将所求参数值回代到集合，利用集合中元素的互异性检验能否构成集合； ③经检验后找出符合条件的参数值，即可得出最终结果. 求解过程中要注意两点，一是分类讨论需做到不重不漏，二是一定要将所求得的参数带入集合进行检验. 2．集合中元素个数的含参问题 (1)解题方法：对于集合中元素个数的含参问题，我们要考虑集合是否为空集；此类类型一般为已知一元一次或二次方程解集中元素个数求参数，常利用根的判别式求解，要注意一元二次方程的二次项系数是否为零. (2)求解步骤： 对于一元一次方程，直接进行求解即可； 对于一元二次方程： ①对集合中的方程的二次项系数是否为零进行讨论； ②当方程的二次项系数不为零时，利用根的判别式进行求解. 3．集合关系中的含参问题 集合关系中的含参问题主要有两类：一、根据集合的相等关系求参数问题；二、根据集合的包含关系求参数问题. (1)根据集合的相等关系求参数问题的解题策略 要求解此类问题，就要明确两集合相等的定义，即两集合中所含元素完全相同，与元素顺序无关，对此分类讨论集合中元素的所有情况即可，要做到不重不漏． (2)根据集合的包含关系求参数问题的解题策略 ①解题方法：由两个集合间的包含关系求参是一种常见类型，常利用子集的知识将问题转化为解方程(组)或不等式(组)求解. ②求解步骤： 第1步，确定两个集合中谁是谁的子集； 第2步，看集合中是否含有参数，如果子集中含有参数，要对子集是否为空集进行讨论， 第3步，把集合的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)来求解，求出参数，最后合并结果. 4．集合的运算中的含参问题 (1)解题方法：对于此类问题，通常要通过集合的运算结果得到集合间的关系，进而得到不同集合间元素之间的关系，再列方程组或不等式组进行求解. (2)求解步骤： ①通过集合运算结果，分析得到各集合间的关系； ②利用集合间的包含关系，列出相应的方程组或不等式组，进行求解； ③综合得到最终参数的取值或范围，要注意对所求结果进行检验. 【考点1：根据元素与集合关系求参数】 1．（第01讲集合的概念（培优讲义）新高一数学人教A版）若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若，，此时，集合元素不重合，符合条件. 若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 2．（26-27高三上·上海·开学考试）已知集合 ，，则__________． 【答案】 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由于集合 ，，根据集合的互异性可知，， 故，解得或（舍去）. 3．（26-27高一上·甘肃定西·开学考试）已知集合，如果，那么实数的取值集合为________． 【答案】 【详解】因为集合，如果， 所以或，解得或， 当时，； 当时，； 当时，，不满足集合元素的互异性， 所以实数的取值为1或3，所以集合. 4．（25-26高一上·湖南张家界·阶段检测）含有三个实数的集合，若且，求的值． 【答案】 【分析】利用集合元素的互异性求参数的值，然后代入求解即可. 【详解】因为中，为分母，所以. 又因为，所以. 因为，且，所以或. 当时，不满足集合的互异性，故舍去. 当时，集合为 . 综上所述，，. 所以 5．（2026高一上·全国·专题练习）已知集合． (1)求 满足的条件； (2)若，求 的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意有： ，即 ，解得， 所以a满足的条件为； （2）由，所以或 ， 当时， ，又因为 ，不满足元素的互异性， 当 时，即 ，且，解得， 所以若，的值是. 【考点2：根据集合中元素的个数求参数】 1．（25-26高二下·辽宁辽阳·阶段检测）已知集合内的元素个数为2，则（   ） A．0或1 B．1或2 C．0或4 D．1或8 【答案】C 【分析】分析方程的实根情况，根据集合元素的互异性，对分情况进行讨论即可. 【详解】当时，因为，所以，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当时，由，得或， 因为集合内的元素个数为2，所以，则，即. 综上，或4. 2．（2026·湖北孝感·二模）如果集合只有一个元素，则实数的值是（   ） A．0或4 B．4 C．0或 D．0 【答案】C 【分析】分和两种情况讨论，当时，即可求出的值. 【详解】集合， 表示关于的方程的解集， 当时，解得，则，符合题意； 当时，，解得， 此时，符合题意, 综上可得或. 3．（26-27高一上·全国·课后作业）若集合中恰有6个整数元素，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意分析可得6个整数元素为2，3，4，5，6，7，列不等式求解即可. 【详解】若集合中恰有6个整数元素， 则，解得， 此时，， 所以集合中最小整数元素为，最大整数元素可以为或或， 因为集合中恰有6个整数元素，所以只能为2，3，4，5，6，7， 即，解得， 所以的取值范围为. 4．（2026高一上·北京海淀·专题练习）已知，集合，则满足A中有6个元素的m的值可能为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】由，可知，依次讨论为时，集合中的元素个数即可得到结论. 【详解】由，且，可知， 所以依次讨论为时，集合中的元素个数． 对于A选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故A错误， 对于B选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故B错误， 对于C选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素；故C错误， 对于D选项，时，满足的的值为， 则集合中有个元素，故D正确. 故选：D 5．（25-26高一上·内蒙古鄂尔多斯·期中）已知且，且，则：若有且只有2个元素，则集合的个数是________． 【答案】2 【分析】根据题意，讨论时的情况，即可容易求得结果. 【详解】因为且，且， 若，则，此时满足要求； 若，则，此时满足要求； 若，则，此时含1个元素． 综上，当时，集合只有一个元素； 当集合有个元素时，或，故满足题意的集合有个. 故答案为： 【考点3：根据集合相等求参数】 1．（25-26高二下·河南·期末）已知集合，若，则实数（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．2 【答案】A 【分析】利用集合相等的知识求解. 【详解】因为集合，所以或. 显然不成立，当时，,符合题意. 所以. 2．（26-27高一上·江西九江·开学考试）设、是实数，集合，，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 3．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，，且，则________. 【答案】 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由集合中元素的互异性，可知， 因为，所以，或， 解得，所以. 4．（2026高二下·贵州贵阳·竞赛）已知，且集合与集合表示同一个集合，则实数__________. 【答案】1 【分析】通过集合相等的性质分类讨论求解. 【详解】显然， ①若，则解得，此时，不满足集合中元素的互异性； ②若，则，则，，时即可满足集合中元素的互异性，满足题意； ③若，则，则或可解得或. 经检验这两种情况均不满足集合中元素的互异性. 综上可知，. 5．（26-27高一上·湖南张家界·阶段检测）若集合A中有三个元素1，，a，集合B中有三个元素0，，b．若集合A与集合B相等，则的值为________． 【答案】 2 【详解】由题意可知，即集合与集合的元素完全相同，因为，所以； 又集合的元素为，若，则无意义，因此， 故仅能，即； 将代入，得， 此时集合，集合， 由元素对应相等可得，. 因此. 【考点4：根据集合的包含关系求参数】 1．（26-27高三上·甘肃天水·阶段检测）已知集合，，且，则的取值集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由集合B中元素都属于A求解，注意进行检验特别是元素的互异性. 【详解】若，则，此时，不合题意， 若，则或，时，不合题意，时，满足题意. 所以，从而的取值集合为. 2．（26-27高三上·湖南衡阳·开学考试）已知集合，，若，则实数a的值是（　　） A．1 B．2 C． D．1或2 【答案】D 【分析】根据，采用分类讨论的方法分别考虑：，结合集合元素的互异性求解出的值. 【详解】因为，所以或， 当时，，此时，满足要求； 当时，或， 若，此时，集合不满足元素互异性； 若，此时，满足要求， 综上可知，的取值为或， 故选：D. 3．（26-27高一上·天津和平·开学考试）设集合，． （1）当时，的所有子集中的元素之和为______； （2）若，的取值范围为______． 【答案】 1536 或 【分析】由写出集合，由集合中的元素个数求得中每个元素在其子集中出现的次数，从而求得的所有子集中的元素之和；讨论集合是否为空集，然后由集合的包含关系建立不等式组，即可求得的取值范围. 【详解】解得，即， 当时，，所以集合中有个元素， 其中每个元素出现在集合的子集中的次数为， 而， 所以的所有子集中的元素之和为. ，当时，即，解得， 当时，即，解得， 所以当时，的取值范围是或. 4．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，，且B，求实数的取值范围. 【答案】或 【分析】根据真子集关系，分类讨论集合B是否为空集，结合包含关系列式求解即可. 【详解】因为集合，，B， 当时，则，解得，满足条件； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围是或. 5．（26-27高一上·全国·课后作业）已知集合，． (1)若是的子集，求实数的值； (2)若是的子集，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用是的子集，可以求得集合的情况，再结合一元二次方程根的分布求实数的值； （2）若是的子集,则分为为空集、为单元素集合和为双元素集合进行分类讨论求解. 【详解】（1） 由题意得，因为集合表示一元二次方程的解集， 若是的子集，则， 所以，解得 . （2） ①若为空集，则，解得； ②若中只有一个元素，则，解得， 把代入集合得 ，符合要求； ③若中有两个元素，则，则由（1）可知； 综上所述，实数的取值范围为． 【考点5：根据交集结果求参数】 1．（25-26高一上·云南文山·阶段检测）（多选）已知集合，，则使的实数的取值可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】AB 【详解】由，得. ①当时，可得，解得； ②当时，可得，解得， 综上，故选项AB正确. 2．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知集合，，若，则实数值的集合为_________． 【答案】 【详解】∵ ，∴ ，且. 集合，分情况讨论： ① 若，解得， 此时，则，与矛盾，舍去； ② 若， 此时，则，与矛盾，舍去； ③ 若，解得， 此时，，符合题意. 综上，实数值的集合为. 3．（26-27高一上·江西九江·开学考试）已知集合，，若，则实数的值为________. 【答案】1 【详解】因为，所以， 所以，解得. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知，或，若，求a的取值范围． 【答案】或 【分析】根据已知条件得出，结合数轴分和两种情况讨论，进而求出的取值范围． 【详解】由可知，， ①若，则，解得； ②若，如图所示 则有或， 解得或． 综上所述，a的取值范围是或． 5．（26-27高一上·福建宁德·阶段检测）已知集合， (1)当时，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1). (2). 【详解】（1）当时，，或，则. （2），， 则，解得，所以实数的取值范围为. 【考点6：根据并集结果求参数】 1．（25-26高二下·广东汕尾·期末）已知集合，，若，则实数a的值为（     ） A． B．3 C．或3 D．2 【答案】B 【详解】若，则， 所以或. 当时，. 此时不符合集合中元素的互异性，所以； 当时，， 即. 因为，所以，所以， 即. 当时，. 综上所述，. 2．（26-27高一上·全国·课后作业）（多选）已知集合，，则使的实数的取值范围可以是（　　）. A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】∵，∴. ①若，则，解得. ∵，， ∴，且，解得. 此时. ②若，则，解得，符合题意． 综上，实数满足即可. 3．（26-27高一上·全国·课后作业）设集合，集合，且，则的值组成的集合是________. 【答案】 【分析】先求集合，再由，得，分和两种情况讨论即可求解. 【详解】由，得，， 当时，，满足题意， 当时，，所以或，所以或， 故所求集合为. 4．（第03讲集合的基本运算（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版）已知集合，.若，求m的取值范围. 【答案】 【分析】对，分类讨论，列出满足的不等式求解. 【详解】由，可得， 当时， ，即，满足题意； 当时，需满足，解得； 综上可得，所以m的取值范围为. 5．（26-27高三上·北京·开学考试）设为全集，集合，. (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求解二次函数在给定区间的值域得到集合，代入求集合，接下来求解的补集，最后求交集； （2）将等价转化为，分为空集和非空两种情况列不等式求解. 【详解】（1）函数，图象开口向上，对称轴为， 因此该函数在上单调递增， 当时，；当时，， 故， 当时，代入得，得或， 所以； （2）由可得， 分两种情况讨论： ① 当时，满足，此时，解得； ② 当时，需满足，解得， 综上，，所以实数的取值范围为. 【考点7：根据补集结果求参数】 1．（26-27高一上·全国·课后作业）设全集，集合，，则实数的值为（   ） A．0 B． C．2 D．0或3 【答案】A 【详解】由集合知，，即，而，全集， 所以，解得，经验证满足条件，所以实数的值为0． 2．（26-27高三上·浙江·阶段检测）已知集合，，若，则的值为（   ） A．0 B．1 C．0或1 D．1或2 【答案】A 【详解】因为，所以集合与共有2个元素相同，所以或． 当，即时，则，，符合题意； 当，即时，则，不满足集合中的元素的互异性，舍去． 故实数的值为0． 3．（2026·山东威海·二模）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的性质以及补集的定义即可求解. 【详解】已知集合， 由补集的定义可知，即， 因此必有且，解得，故A正确. 4．（25-26高一上·山东济宁·期中）已知集合，，若，则（   ） A．或3 B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据补集得出或，再代入检验得出参数. 【详解】因为集合，， 且，所以 则或； 当时，集合，，符合题意； 当时，集合，不符合集合互异性舍； 所以. 故选：D. 5．（25-26高一上·山东青岛·期中）已知全集，求的值． 【答案】 【分析】根据已知有，，结合集合列不等式求参数值. 【详解】由，则，，故， 所以，可得. 【考点8：根据交并补混合运算结果求参数】 1．（2026高三上·河南鹤壁·专题练习）已知集合，，若，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】由补集和交集的概念可得出答案. 【详解】已知，则， ，且， 所以. 故答案为： 2．（2026高一·全国·专题练习）已知集合，，若，则a的取值范围是_______ 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以和没有公共元素， 即，所以中所有元素都满足， 又因为，中最小元素是， 要让中所有元素都大于，只需， 故的取值范围是. 3．（25-26高二下·河北沧州·期末）已知集合，或． (1)当时，求； (2)若，且，求实数m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，集合， 且或，所以或. （2）因为，则， 又因为，则，可得， 又因为或，则，解得， 所以m的取值范围是． 4．（26-27高一上·山东泰安·阶段检测）已知集合或． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据集合的补集、交集运算即可； （2）根据并集补集运算可得，分类讨论，，列不等式得的取值范围即可. 【详解】（1）当时，，因为或， 所以， 故； （2）由（1）知， 若，则， 当时，则，解得，满足题意； 当时，由题意可得，解得． 综上所述，，即的取值范围为． 5．（26-27高一上·辽宁沈阳·阶段检测）已知集合，或，全集合． (1)当时，求； (2)若，，求实数的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）代入，然后直接求即可； （2）求出，然后根据条件得到，再根据包含关系列不等式求解. 【详解】（1）当时，，又或， 或； （2）若，则， 又， 由得， ， 解得. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $