13.1 勾股定理及其逆定理 题型专练 2026--2027学年华东师大版八年级数学上册

华东师大版（2024）八年级上册 13.1 勾股定理及其逆定理 题型专练 【题型1】勾股定理的证明 【典例】利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．通过该图形，可以验证公式（    ） A． B． C． D． 【举一反三1】勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法，如图所示，一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设，，，证明中用到的面积相等关系是（    ） A． B． C． D． 【举一反三2】在证明勾股定理时,甲、乙两位同学给出了如图所示的两种方案,则方案正确的是__________.(填“甲”或“乙”) 【举一反三3】如图,△ABC中,∠C＝90°,D是BC的中点,DE⊥AB于点E,求证:AE2＝BE2＋AC2. 【举一反三4】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接、．设、交于点G．，，，．请你回答以下问题： (1)填空：      °． (2)请用两种方法计算四边形ACBE的面积，并以此为基础证明勾股定理． 【题型2】利用勾股定理求线段长 【典例】已知直角三角形的两条边长分别为3cm和4cm，则它的第三边长为（ ） A．5cm B．cm C．2cm D．5cm或cm 【举一反三1】如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点.若，，则线段的长为（ ） A． B．2 C． D． 【举一反三2】已知Rt△ABC中，AB=3，AC=4，则BC的长为__________ . 【举一反三3】如图，在中，，，，则边上的高为__________ ． 【举一反三4】如图所示，在平面直角坐标系中△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4）， B（-4，2），C（﹣3，1）． (1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并直接写出A1点的坐标__________ ； (2)作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并直接写出B2点的坐标__________ ； (3)在（1）（2）条件下，若点P在x轴上，当A1P+B2P的值最小时，直接写出A1P+B2P的最小值为__________ ． 【举一反三5】已知：△ABC中，AB＝13，AC＝9，BC＝4，BD⊥AC于D. （1）求线段BD的长； （2）点P为射线BC上一动点，若△BDP为等腰三角形，求BP的长. 【题型3】勾股定理与数轴 【典例】如图，数轴上点A表示的数为-1，点C表示的数为1，BC⊥AC，且BC=1，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴正半轴于点B'，则点B'所表示的数为 A．-1 B．-+1 C．+1 D． 【举一反三1】如图，在数轴上点表示的实数是（　　） A． B． C．-2 D． 【举一反三2】如图，点O为数轴的原点，点A和B分别对应的实数是-1和1.过点B作，以点B为圆心，OB长为半径画弧，交BC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是（ ） A． B． C． D． 【举一反三3】如图，数轴上点A对应的数是__________． 【举一反三4】(1)如图1，是边长为1的正方形的对角线，以点O为圆心，长为半径画弧，在点O右侧交数轴于点A，则点A表示的数是 　 　； (2)请仿照(1)的作法，在图2的数轴上描出表示数的点． 【题型4】利用勾股定理解决图形面积问题 【典例】如图所示，在 Rt 中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 （      ）  A．6 B． C． D． 【举一反三1】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，则（    ） A．128 B．72 C．64 D．59 【举一反三2】将长方形纸片如图折叠，B，C两点恰好重合在边上的同一点P处折痕分别是，，若，，，分别记，，的面积为，，，则，，之间的数量关系是 ( ) A． B． C． D． 【举一反三3】如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则n次操作后图形中所有正方形的面积和为__________ ． 【举一反三4】如图，中，，分别以、为斜边作等腰直角三角形、，以为边作正方形．若与的面积和为9，则正方形S的边长等于__________． 【举一反三5】如图，在中，为边上的一点，， 求面积. 【举一反三6】如图①，一张半径为的圆形纸片，点O为圆心，将该圆形纸片沿直线l折叠，直线l交于A，B两点． (1)如图②，若折叠后的圆弧恰好经过点O，此时线段的长度为__________ ． (2)已知M是内一点，． ①若折叠后的圆弧经过点M，则线段长度的最大值是__________ ，最小值是__________ ； ②若折叠后的圆弧与直线相切于点M，请用无刻度的直尺与圆规在图③中画出折痕，此时线段的长度为__________ ． 【题型5】勾股定理与折叠问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1】如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折，点O落在边上的点D处.以下结论：①；②；③直线的解析式为；④点D的坐标为.正确的结论是（ ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【举一反三2】如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为__________ ． 【举一反三3】如图，在中，点D为的中点，连接，将沿对折后得到，连接，则__________． 【举一反三4】如图，在长方形纸片中，，，E为边上一点．将长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，求的长． 【题型6】利用勾股定理计算或证明线段的平方关系 【典例】如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D.若，则在中边上的高为（ ） A．3 B．4 C．8 D．6 【举一反三1】已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为__________ ． 【举一反三2】如图，在中，，D是边上一点，E是边上一点，连接．若，则的长为__________ ． 【举一反三3】如图，已知△ABC是直角三角形，E，D分别是直角边AB，BC上的任意点.求证：AD2+CE2=AC2+DE2. 【题型7】根据两锐角互余判断直角三角形 【典例】若△ABC满足下列某个条件，则它不是直角三角形的是 A．∠C=∠A+∠B B．∠C=∠A-∠B C．∠A∶∠B∶∠C=1∶4∶3 D．∠A=2∠B=3∠C 【举一反三1】如图，在中，，，则△ADE为__________三角形． 【举一反三2】如图，在中， (1)求证∶为直角三角形； (2)若的平分线交于点E，于点D，，求的度数． 【题型8】勾股定理的逆定理 【典例】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(　　) A．3,,1 B．41,40,9 C．37,35,8 D．69,60,11 【举一反三1】以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是（ ） A．1，2，3 B．3、4、5 C．1、1、 D．4、5、6 【举一反三2】若三边长，，，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【举一反三3】有四种说法：①三个内角之比为； ②三边形长分别为：；③三边之长为9、40、41；④三边之比为．其中是直角三角形的有__________（填序号）． 【举一反三4】如图，在中，是边上的高，，，. (1)求证：； (2)若的平分线与交于点，则的长度是__________ . 【举一反三5】如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠. 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑. (1)请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； (2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明. 【题型9】勾股数 【典例】“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形.如图是一株美丽的“勾股树”其中正方形A、B、C、D的面积分别为6、2、8、9，则最大正方形G的边长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【举一反三1】观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：__________. 【举一反三2】课堂上学习了勾股定理后,知道“勾三、股四、弦五”.王老师给出一组数让学生观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…,学生发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,于是王老师提出以下问题让学生解决. (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数:11,　　　　,　　　　; (2)若第一个数用字母a(a为奇数,且a≥3)表示,那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示?小明发现每组第二个数有这样的规律4＝,12＝,24＝,…,于是他很快用含a的代数式表示了第二个数为,则用含a的代数式表示第三个数为　　　　; (3)用所学知识证明(2)中用字母a表示的三个数是勾股数? 【题型10】勾股定理与逆定理的综合 【典例】四条线段的长分别为1,x,5,9(其中x为正数),用它们拼成两个直角三角形,且AB与CD是其中的两条线段(如图),则x可能取值的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 【举一反三1】如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则（　　） A． B． C． D． 【举一反三2】如图,△ABC中,AC＝4,BC＝3,AB＝5,AD为△ABC的角平分线,则CD的长度为__________. 【举一反三3】如图，在四边形中，，则的长为__________． 【举一反三4】如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点. （1）求线段的长度； （2）试判断的形状，并说明理由. 【题型11】反证法证明中的假设 【典例】用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设这个三角形中 A．有一个内角小于60° B．有一个内角大于60° C．每一个内角都小于60° D．每一个内角都大于60° 【举一反三1】用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，第一步应假设（     ） A．两直线不平行 B．同旁内角不互补 C．同旁内角相等 D．同旁内角不相等 【举一反三2】用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是 A．假设三角形的三个外角都是锐角 B．假设三角形的三个外角中至少有一个钝角 C．假设三角形的三个外角都是钝角 D．假设三角形的三个外角中最多有一个钝角 【举一反三3】数学课上,学生提出如何证明以下问题: 如图,AB∥CD.求证:∠B＋∠E＋∠D＝360°. 老师说,我们可以用反证法来证明,具体过程如下: 证明:假设∠B＋∠E＋∠D≠360°, 如图,延长BE交CD的延长线于点F,G为DF延长线上一点. ∵AB∥CD, ∴∠ABF＝∠EFG. ∵∠ABE＋∠BED＋∠CDE≠360°, ∴∠BED＋∠CDE＋∠EFG≠360°, 这与“__________”相矛盾, ∴假设不成立, ∴∠ABE＋∠BED＋∠CDE＝360°. 以上证明过程中,横线上的内容应该为__________. 【举一反三4】用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数. 【举一反三5】用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角. 【题型12】用反证法证明命题 【典例】对于命题“如果x2>0,那么x>0.”能够说明它是假命题的反例是(　　) A．x＝－1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝0.5 【举一反三1】用反证法证明:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.将下面的过程补充完整. 已知:如图,∠ACD是△ABC的一个外角. 求证:∠ACD＝∠A＋∠B. 证明:假设__________. 在△ABC中,∠A＋∠B＋∠ACB＝180°, ∴__________＝180°－∠ACB. ∵∠ACD＋__________＝180°, ∴∠ACD＝180°－__________. ∴∠ACD＝__________. ∴与假设相矛盾. ∴假设不成立. ∴原命题成立,即∠ACD＝∠A＋∠B. 【举一反三2】反证法是数学证明的一种重要方法.请补全下面运用反证法进行证明的过程. 已知：在△ABC中，AB=AC.求证：∠B<90°. 证明：假设__________， ∵AB=AC， ∴∠C=∠B≥90°， ∴∠A+∠B+∠C>180°， 这与__________. ∴__________不成立. ∴∠B<90°. 【举一反三3】(课本P189习题T6)用反证法证明：如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行. 已知： 如图所示，直线 .求证： . 【举一反三4】如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点与点不重合． 华东师大版（2024）八年级上册 13.1 勾股定理及其逆定理 题型专练（参考答案） 【题型1】勾股定理的证明 【典例】利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．通过该图形，可以验证公式（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【举一反三1】勾股定理的验证方法很多，用面积（拼图）证明是最常见的一种方法，如图所示，一个直立的长方体在桌面上慢慢地倒下，启发人们想到勾股定理的证明方法，设，，，证明中用到的面积相等关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【举一反三2】在证明勾股定理时,甲、乙两位同学给出了如图所示的两种方案,则方案正确的是__________.(填“甲”或“乙”) 【答案】乙 【解析】甲得出的结果为(a＋b)2＝a2＋b2＋4×ab＝a2＋b2＋2ab,不符合题意; 乙得出的结果为(a＋b)2－4×ab＝c2, 即a2＋b2＝c2,符合题意. 【举一反三3】如图,△ABC中,∠C＝90°,D是BC的中点,DE⊥AB于点E,求证:AE2＝BE2＋AC2. 【答案】证明　如图,连结AD, ∵D是BC的中点, ∴BD＝CD, ∵DE⊥AB,∠C＝90°, ∴AE2＝AD2－DE2 ＝AC2＋CD2－(BD2－BE2) ＝AC2＋BE2. 【举一反三4】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接、．设、交于点G．，，，．请你回答以下问题： (1)填空：      °． (2)请用两种方法计算四边形ACBE的面积，并以此为基础证明勾股定理． 【解析】解　(1)； 【题型2】利用勾股定理求线段长 【典例】已知直角三角形的两条边长分别为3cm和4cm，则它的第三边长为（ ） A．5cm B．cm C．2cm D．5cm或cm 【答案】D 【解析】设第三边为x， （1）若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得： ， 所以x=5； （2）若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得： ， 所以x=； 所以第三边的长为5cm或cm. 故选：D. 【举一反三1】如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于，两点；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交边于点.若，，则线段的长为（ ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】∵ 在中，，，， ∴ 根据勾股定理， 由作图可知，是的平分线，过作于， ∵ 平分，，， ∴ ， 设，则，， ∵ ， 即， ∴ ∴， 即， 解得 ∴ 故选：. 【举一反三2】已知Rt△ABC中，AB=3，AC=4，则BC的长为__________ . 【答案】或5 【解析】根据勾股定理可得：AB= 或AB=， 故答案为或5. 【举一反三3】如图，在中，，，，则边上的高为__________ ． 【答案】 【解析】过点作于， ∴，， 设，则 在中， ∵， ∴ 在中， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ 故答案为： 【举一反三4】如图所示，在平面直角坐标系中△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，4）， B（-4，2），C（﹣3，1）． (1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并直接写出A1点的坐标__________ ； (2)作出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2，并直接写出B2点的坐标__________ ； (3)在（1）（2）条件下，若点P在x轴上，当A1P+B2P的值最小时，直接写出A1P+B2P的最小值为__________ ． 【解析】(1)答案见解析 【举一反三5】已知：△ABC中，AB＝13，AC＝9，BC＝4，BD⊥AC于D. （1）求线段BD的长； （2）点P为射线BC上一动点，若△BDP为等腰三角形，求BP的长. 【答案】解：（1）设AD＝x，则CD＝9﹣x， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°， 由勾股定理得：AB2﹣AD2＝BD2＝BC2﹣CD2， ∴， 解得：x＝5， ∴BD＝＝12； （2）∵△BDP为等腰三角形， ∴分三种情况： ①若BD＝BP，则BP＝12， ②若DP＝DB， 过点D作DE⊥BC于点E，如图1所示： ∵S_{\triangle B D C} = \dfrac{1}{2} B D \mathrm{} C D = \dfrac{1}{2} B C \mathrm{} D E， ∴D E = \dfrac{B D \mathrm{} C D}{B C} = \dfrac{1 2 \times 4}{4 \sqrt{1 0}} = \dfrac{6}{5} \sqrt{1 0}， ∴， ∵BD＝DP且DE⊥BC， ∴BP＝2BE＝， ③若PD＝PB，如图2所示： ∵PD＝BP， ∴∠1＝∠2， ∵∠BDC＝90°， ∴∠2+∠3＝90°且∠1+∠4＝90°， ∴∠3＝∠4 ∴PD＝PC， ∴BP＝PC， ∴BP＝BC＝， 综上所述：当△BDP为等腰三角形时，BP＝12或或. 故答案为（1）12；（2）12或或. 【题型3】勾股定理与数轴 【典例】如图，数轴上点A表示的数为-1，点C表示的数为1，BC⊥AC，且BC=1，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴正半轴于点B'，则点B'所表示的数为 A．-1 B．-+1 C．+1 D． 【答案】A 【解析】由题图可得AC=1-(-1)=1+1=2，BC=1，∠ACB=90°， ∴AB===， ∵AB=AB'，∴AB'=， ∴点B'所表示的数为-1. 【举一反三1】如图，在数轴上点表示的实数是（　　） A． B． C．-2 D． 【答案】A 【举一反三2】如图，点O为数轴的原点，点A和B分别对应的实数是-1和1.过点B作，以点B为圆心，OB长为半径画弧，交BC于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交数轴的正半轴于点E，则点E对应的实数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，BD=OB=1， 在Rt△ABD中， AD=， ∴OE=AE-1=， ∴点E对应的实数是 故选：A. 【举一反三3】如图，数轴上点A对应的数是__________． 【解析】 【举一反三4】(1)如图1，是边长为1的正方形的对角线，以点O为圆心，长为半径画弧，在点O右侧交数轴于点A，则点A表示的数是 　 　； (2)请仿照(1)的作法，在图2的数轴上描出表示数的点． 【解析】解　(1)由作法得， 【题型4】利用勾股定理解决图形面积问题 【典例】如图所示，在 Rt 中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为 （      ）  A．6 B． C． D． 【答案】A 【解析】由勾股定理得 ， 则阴影部分的面积 故选A. 【举一反三1】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，则（    ） A．128 B．72 C．64 D．59 【答案】C 【解析】由题意可知：，，，， 连接， 在直角和中， ， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【举一反三2】将长方形纸片如图折叠，B，C两点恰好重合在边上的同一点P处折痕分别是，，若，，，分别记，，的面积为，，，则，，之间的数量关系是 ( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵将长方形纸片如图折叠， ，两点恰好重合在边上的同一点处， ∴， ∵，，， ∴在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理：， 设纸片宽为h， ∴， ∴， 故选：C. 【举一反三3】如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则n次操作后图形中所有正方形的面积和为__________ ． 【答案】 【解析】图①中，∵， 根据勾股定理得，， ∴图①中所有正方形面积和为：， 图②中所有正方形面积和，即1次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， 则2次操作后的图形中所有正方形的面积和为： ， ⋯ ∴n次操作后的图形中所有正方形的面积和为， 故答案为：． 【举一反三4】如图，中，，分别以、为斜边作等腰直角三角形、，以为边作正方形．若与的面积和为9，则正方形S的边长等于__________． 【答案】6 【解析】分别以，为边向的外部作正方形，则，，由勾股定理可得，进而可求解的长． 分别以，为边向的外部作正方形， 则，， 在中， ， ， ， ， ． 故答案为6． 【举一反三5】如图，在中，为边上的一点，， 求面积. 【答案】解：，， ， ， ， ， ， 面积：. 【举一反三6】如图①，一张半径为的圆形纸片，点O为圆心，将该圆形纸片沿直线l折叠，直线l交于A，B两点． (1)如图②，若折叠后的圆弧恰好经过点O，此时线段的长度为__________ ． (2)已知M是内一点，． ①若折叠后的圆弧经过点M，则线段长度的最大值是__________ ，最小值是__________ ； ②若折叠后的圆弧与直线相切于点M，请用无刻度的直尺与圆规在图③中画出折痕，此时线段的长度为__________ ． 【答案】(1) (2) ； ； ； 【解析】(1)如图，连接，过点O作交劣弧与点P，交与点H， ∵点P与点O关于直线l对称，半径为， ∴直线l垂直平分．， ． 在中， ， ． 在中， ， ， 故答案为：； (2)①如图1，点P与点M关于直线l对称，连接，交与点D， ∵弧翻折与M重合， 当P，D，M三点共线时，有最大值，此时有最小值，即有最小值， ，， ，，， 在中，，， ， ； 如图2：点P与点M关于直线l对称，连接，交与点D， ∵弧翻折与M重合， 当P，D，M三点共线时，有最小值，此时有最大值，即有最大值， ，， ，， 在中，， ，； ②如图，连接并延长，交与点E，过点M作的画弧，交射线与点F，过点O作的画弧，交的垂线与点，以点为圆心，的长为半径画弧，分别交于A，B两点，连接，即为所求，连接，交与点C，交与点D， 得到垂直平分， ，在中，， ， 在中，，， ，； 故答案为：，，； 【题型5】勾股定理与折叠问题 【典例】如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点、、，将长方形沿对角线折叠，点落在点处，与轴交于点，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵长方形的顶点、、， ∴， 由折叠得， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴设， 则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为. 故选：A. 【举一反三1】如图，直线分别与x、y轴交于点A、B，点C在线段上，线段沿翻折，点O落在边上的点D处.以下结论：①；②；③直线的解析式为；④点D的坐标为.正确的结论是（ ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【解析】∵直线分别与x、y轴交于点A、B， ∴点，点， ∴，， ∴， 故①正确； ∵线段沿翻折，点O落在边上的点D处， ∴，，，， 故②正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 设直线解析式为： ， ∴， ∴， ∴直线解析式为：， 故③正确； 如图，过点D作于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴当时，， ∴， ∴点， 故④正确； 综上所述，正确的有①②③④. 故选：D. 【举一反三2】如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为__________ ． 【答案】 【解析】如图，过点E作于点P，则， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴． 故答案为： 【举一反三3】如图，在中，点D为的中点，连接，将沿对折后得到，连接，则__________． 【解析】 【举一反三4】如图，在长方形纸片中，，，E为边上一点．将长方形纸片沿折叠，的对应边恰好经过点D，求的长． 【答案】解　由长方形的性质可得，， 由折叠的性质可得，， 在中，由勾股定理得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【题型6】利用勾股定理计算或证明线段的平方关系 【典例】如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D.若，则在中边上的高为（ ） A．3 B．4 C．8 D．6 【答案】B 【解析】∵，，∴， 过点D作于点E， 由作图可知，为的平分线， ∴，， ∴， 在中，，， ∴，解得：， ∴. 故选：B. 【举一反三1】已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为__________ ． 【答案】或 【解析】分两种情况： null当null是锐角三角形，如图1， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA=90°， ∵CD=null，AD=1， ∴AC=2， ∵AB=2AC， ∴AB=4， ∴BD=4-1=3， ∴BC=null； null当null是钝角三角形，如图2， 同理得：AC=2，AB=4， ∴BC=null； 综上所述，BC的长为null或null， 故答案为null或null． 【举一反三2】如图，在中，，D是边上一点，E是边上一点，连接．若，则的长为__________ ． 【答案】 【解析】如图所示，过点D作于点F， ∵在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【举一反三3】如图，已知△ABC是直角三角形，E，D分别是直角边AB，BC上的任意点.求证：AD2+CE2=AC2+DE2. 【答案】证明　∵△ABD，△CEB都是直角三角形， ∴AD2=AB2+BD2， CE2=BE2+BC2. ∴AD2+CE2=AB2+BD2+BE2+BC2. 同理可得AC2+DE2=AB2+BC2+BD2+BE2. ∴AD2+CE2=AC2+DE2. 【题型7】根据两锐角互余判断直角三角形 【典例】若△ABC满足下列某个条件，则它不是直角三角形的是 A．∠C=∠A+∠B B．∠C=∠A-∠B C．∠A∶∠B∶∠C=1∶4∶3 D．∠A=2∠B=3∠C 【答案】D 【解析】因为∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A+∠B，所以∠C=90°，即三角形是直角三角形，故A选项不符合题意； 因为∠A+∠B+∠C=180°，∠C=∠A-∠B， 所以∠A=90°，即三角形是直角三角形，故B选项不符合题意； 因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A∶∠B∶∠C=1∶4∶3，所以∠B=90°，即三角形是直角三角形，故C选项不符合题意； 因为∠A+∠B+∠C=180°，∠A=2∠B=3∠C， 所以∠A≈98°，即三角形不是直角三角形，故D选项符合题意. 【举一反三1】如图，在中，，，则△ADE为__________三角形． 【答案】直角 【解析】，， ，，则为直角三角形． 【举一反三2】如图，在中， (1)求证∶为直角三角形； (2)若的平分线交于点E，于点D，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵在中，，， 且， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形； (2)=解：∵， ∴， 又， ∴ 又∵平分，且由（1）得：， ∴， ∴. 【题型8】勾股定理的逆定理 【典例】下列长度的三条线段能组成直角三角形的是(　　) A．3,,1 B．41,40,9 C．37,35,8 D．69,60,11 【答案】B 【解析】1＋<3,不能组成三角形,故选项A不符合题意; 92＋402＝412,故选项B符合题意; 82＋352≠372,故选项C不符合题意; 112＋602≠692,故选项D不符合题意. 【举一反三1】以下列各组数为边长的三角形是直角三角形的是（ ） A．1，2，3 B．3、4、5 C．1、1、 D．4、5、6 【答案】B 【解析】A.因为，所以三条线段不能组成直角三角形； B.因为，所以三条线段能组成直角三角形； C.因为，所以三条线段不能组成直角三角形； D.因为，所以三条线段不能组成直角三角形. 故选B. 【举一反三2】若三边长，，，满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【解析】∵， ∴，解得：． ∵， ∴， ∴是直角三角形． 故选C． 【举一反三3】有四种说法：①三个内角之比为； ②三边形长分别为：；③三边之长为9、40、41；④三边之比为．其中是直角三角形的有__________（填序号）． 【解析】①②③ 【举一反三4】如图，在中，是边上的高，，，. (1)求证：； (2)若的平分线与交于点，则的长度是__________ . 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解析】(1)证明：∵是边上的高， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，. (2)解：过点E作于点F， 则， ∵， ∴， ∵的平分线与交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， 解得. 故答案为：. 【举一反三5】如图所示，A、B两块试验田相距200m，C为水源地，AC＝160m，BC＝120m，为了方便灌溉，现有两种方案修筑水渠. 甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、B； 乙方案；过点C作AB的垂线，垂足为H，先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上的H处，再从H分别向A、B进行修筑. (1)请判断△ABC的形状（要求写出推理过程）； (2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明. 【答案】(1)△ABC是直角三角形； 理由如下： ∴AC2+BC2＝1602+1202＝40000，AB2＝2002＝40000， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°； (2)甲方案所修的水渠较短； 理由如下： ∵△ABC是直角三角形， ∴△ABC的面积＝AB•CH＝AC•BC， ∴CH＝（m）， ∵AC+BC＝160+120＝280（m），CH+AH+BH=CH+AB＝96+200＝296（m）， ∴AC+BC＜CH+AH+BH， ∴甲方案所修的水渠较短. 【题型9】勾股数 【典例】“勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形.如图是一株美丽的“勾股树”其中正方形A、B、C、D的面积分别为6、2、8、9，则最大正方形G的边长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】∵正方形A、B、C、D的面积分别为6、2、8、9， ∴正方形F的面积，正方形E的面积， ∴正方形G的面积， ∴正方形G的边长， 故选：B. 【举一反三1】观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…，请你写出具有以上规律的第⑥组勾股数：__________. 【答案】13，84，85 【解析】经观察，可以发现第①组勾股数的第一个数是奇数3，第②勾股数的第一个数是5，…，故第⑤组勾股数的第一个数是11，第6组勾股数的第一个数是13， 又发现每一组勾股数的第二、第三个数相差1，故设第二个数为x，第三个数为x+1， 根据勾股定理的逆定理，得：13的平方+x的平方=（x+1）的平方，解得x=84. 则得第6组数是：13、84、85. 故答案为：13、84、85. 【举一反三2】课堂上学习了勾股定理后,知道“勾三、股四、弦五”.王老师给出一组数让学生观察:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…,学生发现这些勾股数的勾都是奇数,且从3起就没有间断过,于是王老师提出以下问题让学生解决. (1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数:11,　　　　,　　　　; (2)若第一个数用字母a(a为奇数,且a≥3)表示,那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示?小明发现每组第二个数有这样的规律4＝,12＝,24＝,…,于是他很快用含a的代数式表示了第二个数为,则用含a的代数式表示第三个数为　　　　; (3)用所学知识证明(2)中用字母a表示的三个数是勾股数? 【答案】解　(1)∵3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…, ∴11,60,61. (2)第一个数用字母a(a为奇数,且a≥3)表示,第二个数为, 则用含a的代数式表示第三个数为. (3)∵a2＋, , ∴a2＋, 又∵a为奇数,且a≥3, ∴由a,,三个数组成的数是勾股数. 【题型10】勾股定理与逆定理的综合 【典例】四条线段的长分别为1,x,5,9(其中x为正数),用它们拼成两个直角三角形,且AB与CD是其中的两条线段(如图),则x可能取值的个数为(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【解析】如图,过点B作BE∥CD交AD的延长线于点E, 根据题意得BE＝CD,DE＝BC,∠E＝90°, ∴AB2＝(AD＋DE)2＋BE2＝(AD＋BC)2＋CD2, ∵∠ADC＝∠C＝90°, ∴AB是最长边,长为9或x, 若AB＝x,CD＝9,则x＝＝3; 若AB＝x,CD＝5,则x＝＝5; 若AB＝x,CD＝1,则x＝; 若AB＝9,CD＝x,则x＝＝3; 若AB＝9,CD＝5,则x＝－1＝2－1; 若AB＝9,CD＝1,则x＝－5＝4－5. 【举一反三1】如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接， ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ 故选：． 【举一反三2】如图,△ABC中,AC＝4,BC＝3,AB＝5,AD为△ABC的角平分线,则CD的长度为__________. 【答案】 【解析】如图,过点D作DE⊥AB,垂足为E, ∵AC2＋BC2＝42＋32＝25,AB2＝52＝25, ∴AC2＋BC2＝AB2, ∴△ABC是直角三角形, ∴∠C＝90°, ∵AD平分∠BAC,DC⊥AC,DE⊥AB, ∴DC＝DE, ∵△ABC的面积＝△ACD的面积＋△ABD的面积, ∴AC·BC＝AC·CD＋AB·DE, ∴AC·BC＝AC·CD＋AB·DE, ∴3×4＝4CD＋5DE, 解得CD＝DE＝. 【举一反三3】如图，在四边形中，，则的长为__________． 【答案】 【解析】作的延长线，垂足为M，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴ 故答案为：． 【举一反三4】如图，每个小正方形的边长均为1，A，B，C是小正方形的顶点. （1）求线段的长度； （2）试判断的形状，并说明理由. 【答案】解：（1）每个小正方形的边长均为1， 根据勾股定理得，； （2）是等腰直角三角形，理由如下： 连接， 根据勾股定理得， ，，， ， 为等腰直角三角形. 【题型11】反证法证明中的假设 【典例】用反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设这个三角形中 A．有一个内角小于60° B．有一个内角大于60° C．每一个内角都小于60° D．每一个内角都大于60° 【答案】C 【解析】反证法证明命题“三角形中必有一个内角不小于60°”时，首先应假设：这个三角形中每一个内角都小于60°. 【举一反三1】用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，第一步应假设（     ） A．两直线不平行 B．同旁内角不互补 C．同旁内角相等 D．同旁内角不相等 【答案】A 【解析】由题意可得，反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，应先假设两条直线不平行， 故选：A． 【举一反三2】用反证法证明“三角形的三个外角中至少有两个钝角”时，假设正确的是 A．假设三角形的三个外角都是锐角 B．假设三角形的三个外角中至少有一个钝角 C．假设三角形的三个外角都是钝角 D．假设三角形的三个外角中最多有一个钝角 【答案】D 【举一反三3】数学课上,学生提出如何证明以下问题: 如图,AB∥CD.求证:∠B＋∠E＋∠D＝360°. 老师说,我们可以用反证法来证明,具体过程如下: 证明:假设∠B＋∠E＋∠D≠360°, 如图,延长BE交CD的延长线于点F,G为DF延长线上一点. ∵AB∥CD, ∴∠ABF＝∠EFG. ∵∠ABE＋∠BED＋∠CDE≠360°, ∴∠BED＋∠CDE＋∠EFG≠360°, 这与“__________”相矛盾, ∴假设不成立, ∴∠ABE＋∠BED＋∠CDE＝360°. 以上证明过程中,横线上的内容应该为__________. 【答案】三角形的外角和等于360° 【举一反三4】用反证法证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数. 【答案】证明　假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为2n+1，另一个奇数为2p+1(n，p为整数)， 则(2n+1)(2p+1)=2(2np+n+p)+1， 因为无论n，p取何值，2(2np+n+p)+1都是奇数，这与已知中两个整数的积是偶数相矛盾， 所以假设不成立， 所以这两个整数中至少一个是偶数. 【举一反三5】用反证法证明：等腰三角形的底角是锐角. 【答案】解　已知：在△ABC中，AB=AC. 求证：∠B和∠C都是锐角. 证明：假设等腰三角形ABC的底角∠B和∠C都不是锐角，则∠B≥90°，∠C≥90°， 所以∠B+∠C≥180°. 所以∠A+∠B+∠C>180°， 这与“三角形的内角和等于180°”相矛盾. 所以假设不成立，即∠B和∠C都是锐角. 所以等腰三角形的底角是锐角. 【题型12】用反证法证明命题 【典例】对于命题“如果x2>0,那么x>0.”能够说明它是假命题的反例是(　　) A．x＝－1 B．x＝0 C．x＝1 D．x＝0.5 【答案】A 【解析】当x＝－1时,满足条件x2>0,但不能得出x>0的结论, 故能说明命题“如果x2>0,那么x>0”是假命题的反例是x＝－1. 【举一反三1】用反证法证明:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.将下面的过程补充完整. 已知:如图,∠ACD是△ABC的一个外角. 求证:∠ACD＝∠A＋∠B. 证明:假设__________. 在△ABC中,∠A＋∠B＋∠ACB＝180°, ∴__________＝180°－∠ACB. ∵∠ACD＋__________＝180°, ∴∠ACD＝180°－__________. ∴∠ACD＝__________. ∴与假设相矛盾. ∴假设不成立. ∴原命题成立,即∠ACD＝∠A＋∠B. 【答案】解　反证法的第一步是假设结论不成立,因此假设∠ACD≠∠A＋∠B. 根据三角形内角和定理,∠A＋∠B＋∠ACB＝180°,变形得∠A＋∠B＝180°－∠ACB. 由于∠ACD是△ABC的外角,与∠ACB组成平角,故∠ACD＋∠ACB＝180°,因此∠ACD＝180°－∠ACB. 由上述两步可知∠ACD＝∠A＋∠B,这与假设∠ACD≠∠A＋∠B矛盾. 因此假设不成立,原命题∠ACD＝∠A＋∠B成立. 【举一反三2】反证法是数学证明的一种重要方法.请补全下面运用反证法进行证明的过程. 已知：在△ABC中，AB=AC.求证：∠B<90°. 证明：假设__________， ∵AB=AC， ∴∠C=∠B≥90°， ∴∠A+∠B+∠C>180°， 这与__________. ∴__________不成立. ∴∠B<90°. 【答案】∠B≥90°　三角形内角和定理相矛盾　此假设 【解析】证明：假设∠B≥90°， ∵AB=AC，∴∠C=∠B≥90°， ∴∠A+∠B+∠C>180°， 这与三角形内角和定理(或三角形的内角和等于180°)相矛盾. ∴此假设不成立.∴∠B<90°. 【举一反三3】(课本P189习题T6)用反证法证明：如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线也互相平行. 已知： 如图所示，直线 .求证： . 【答案】证明　假设 不平行，则 与 相交. 与 也相交.这与 相矛盾， 假设 不平行不成立.因此 成立. 【举一反三4】如图，在中，，是的平分线，是边上的中线．用反证法说明点与点不重合． 【答案】解　假设点M与点D重合．延长到N，使，连接． 在和中， ∵是边上的中线． ∴， ∵，， ∴； ∴，； ∵（）是的平分线， ∴， ∴， 则， 即，与相矛盾． 因而M与点D重合是错误的． 所以点M与点D不重合． 学科网（北京）股份有限公司 $