专题12 勾股定理与逆定理的八类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版2024八年级上册

专题12 勾股定理与逆定理的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、已知直角三角形的两边，求第三边长 类型二、等面积法求斜边上的高问题 类型三、勾股定理与网格问题 类型四、勾股定理的验证方法 类型五、判断三边能否构成直角三角形 类型六、在网格中判断直角三角形 类型七、利用勾股定理的逆定理求解 类型八、勾股定理逆定理的实际应用 压轴专练 类型一、已知直角三角形的两边，求第三边长 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a²+b²=c²（c为斜边，a、b为直角边）。 2.分类讨论：已知两边需判断是否为直角边。若均为直角边，直接用勾股定理求斜边；若一边为斜边，用斜边平方减已知直角边平方求另一边。 3.注意事项：边长为正数，计算后需验证结果合理性，避免忽略斜边与直角边的区别导致漏解。 例1．（25-26八年级上·河南郑州·阶段练习）直角三角形两条边长分别为3和5，则第三边长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了勾股定理的运用，理解题意，掌握勾股定理的计算是关键． 根据勾股定理分类讨论计算即可． 【详解】解：当斜边是5，一直角边为3，则第三边长为； 当两直角边分别为3，5时，第三边长为． 故答案为：或 ． 【变式1-1】直角三角形的两条直角边长分别是6，8，则第三边长是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边的长的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是6，8， ∴第三边长是， 故答案为：． 【变式1-2】（23-24八年级上·广东深圳·阶段练习）若直角三角形的三边长为6，8，m，则m的值为 ． 【答案】10或 【分析】本题考查了勾股定理以及分类讨论，熟练掌握勾股定理，进行分类讨论是解题的关键．分两种情况，①当边长8为直角三角形的直角边时，②当边长8为直角三角形的斜边时，分别由勾股定理求出m的值即可． 【详解】解：分两种情况： ①当边长8为直角三角形的直角边时，， ②当边长8为直角三角形的斜边时，； 综上所述，m的值为10或， 故答案为：10或． 【变式1-3】（25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，，，，在直线上找一点，使得为以为腰的等腰三角形，则的长度为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查等腰三角形的性质和判定，勾股定理，全等三角形判定和性质.先由勾股定理算出的长度为5，为以为腰的等腰三角形，分两种情况：当时由得；当时根据P点位置得为8或2. 【详解】在中，，，， ∴ 当时，如图1所示， ∵ ∴在与中 ∴ ∴， 当时，如图2所示， P点在B点左侧： 或P点在B点右侧：. 综上所述：的长度为3或8或2. 类型二、等面积法求斜边上的高问题 1.核心原理：直角三角形面积可通过两直角边表示（S=1/2ab），也可通过斜边与斜边上的高表示（S=1/2ch），利用面积相等建立等式。 2.公式推导：由1/2ab=1/2ch，得斜边上的高h=ab/c（a、b为直角边，c为斜边）。 3.应用前提：需先明确直角三角形的直角边和斜边，若斜边未知，需先用勾股定理求出斜边长度再计算高。 例2．（25-26八年级上·广东中山·阶段练习）已知 的两直角边分别是3， 4，则的斜边上的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据“面积法”求出斜边上的高即可． 【详解】解：设斜边上的高为， 的两直角边分别是3， 4， 斜边， ， ， ∴的斜边上的高是． 故答案为：． 【变式2-1】（24-25八年级下·四川绵阳·期末）已知的两直角边分别是，，则的斜边上的高是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再根据“面积法”求出斜边上的高，即可． 【详解】解：设斜边上的高为， 的两直角边分别是，， 斜边长， ， ， 即的斜边上的高是 故答案为： 【变式2-2】（25-26八年级上·上海闵行·阶段练习）等腰三角形的周长为，面积为，且其中一边长为，则底边上的高为 ． 【答案】 【分析】分两种情况讨论，即边长为腰长或底边长，再根据等腰三角形的周长和面积公式计算底边上的高，最后结合三角形三边关系判断是否成立． 【详解】解：情况一：假设是腰长，底边长为． 设底边上的高为，则， 解得． 当腰长为，底边长为时，由勾股定理得高 ， ∴是腰长，情况一成立． 情况二：假设是底边长． 腰长为． 设底边上的高为，则， 解得． 此时三角形三边为，，． 当腰长为，底边长为时，由勾股定理得高 ， ∴不是底边长，情况二不成立． 综上，底边上的高为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形面积公式、勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质和相关公式，全面考虑边长的不同情况是解题的关键． 【变式2-3】睿明同学在学习勾股定理后深入思考发现求一个三角形面积的方法：如图，是的高，高是和的公共直角边，由勾股定理得，，设，可建立关于的方程，求得，进而通过计算就可求出的面积．根据睿明同学的方法，若，，，则的面积为 ． 【答案】84 【知识点】用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，由题意可得，再由勾股定理求出，最后由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】解：由题意可得， ， ， 故答案为：． 类型三、勾股定理与网格问题 1. 网格特性：网格中线段长度可通过水平、垂直方向格点数计算，水平（垂直）距离为格点差的绝对值，利用勾股定理求斜线长度（√(水平²+垂直²)）。 2. 图形构造：网格中直角三角形可通过找直角边（水平/垂直线段）确定，多边形面积可分割为直角三角形或矩形计算。 3. 验证应用：利用网格边长整数特性，直观验证勾股定理，或通过计算线段长度判断三角形是否为直角三角形。 例3．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C．的面积为10 D．点到直线的距离是2 【答案】C 【知识点】勾股定理与网格问题、在网格中判断直角三角形、利用网格求三角形面积 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，利用网格图计算三角形的面积，点到直线的距离．熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 利用勾股定理及其逆定理、网格求三角形面积，三角形等面积法依次计算判断即可． 【详解】解：A、，本选项结论正确，不符合题意； B、，，， ， ， 本选项结论正确，不符合题意； C、，本选项结论错误，符合题意； D、点A到的距离，本选项结论正确，不符合题意； 故选：C． 【变式3-1】（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，则点到线段的距离为 【答案】 【详解】解：由题意得 ， ， 设到线段的距离为， ， ， 解得：； 故答案为：． 【变式3-2】（24-25八年级下·福建厦门·阶段练习）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1、每个小正方形的顶点称为格点．已知的三个顶点都在格点上． (1)判断的形状，并说明理由； (2)仅用无刻度直尺作线段垂直； (3)求点到的距离． 【答案】(1)是等腰三角形，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，点到直线的距离，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，点到直线的距离，根据网格的特点灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． （1）根据方格纸中每个小正方形的边长为1及由勾股定理得，，， 据此可得出的形状； （2）设上的格点为D，连接，则，由勾股定理得，再根据，得，由此可得出答案； （3）根据，，，由勾股定理得，据此可得出点B到的距离． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： ∵方格纸中每个小正方形的边长为1， 由勾股定理得：，，， ∴， ∴是等腰三角形； （2）如图所示：设上的格点为D，连接，则，理由如下： 由勾股定理得：，， ∴， 由（1）可知：， ∴； （3）∵，，， 由勾股定理得：， ∵点B到的距离是． 【变式3-3】在边长为1的正方形网格中，均为格点， (1)___________，___________ (2)求中边上的高 【答案】(1)， (2) 【知识点】勾股定理与网格问题 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理解三角形是解题的关键． （1）对和直接运用勾股定理即可求解； （2）先由割补法求出的面积，再由即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴由勾股定理得：， ， 故答案为：，； （2）解：由图可得：， ∵，， ∴， ∴． 类型四、勾股定理的验证方法 1.拼图验证：通过割补正方形或直角三角形，如赵爽弦图，将图形面积用两种方式表示，推导a²+b²=c²，体现数形结合思想。 2.面积法：构造以斜边为边的正方形，结合周围直角三角形面积，建立总面积等式，化简得勾股定理，核心是面积守恒。 3.几何证明：利用全等三角形或相似三角形性质，通过对应边成比例或面积关系推导，需掌握三角形全等/相似判定及性质。 例4．（25-26八年级上·四川达州·阶段练习）如图，为上一点，，，，，交于点，且． (1)判断线段，，的数量关系，并说明理由； (2)连接，，若设，，，利用此图验证勾股定理． 【答案】(1)，理由见解析 (2)证明过程见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理的证明，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据可证明，则，．又因为，代换线段可得答案； （2）根据列出等式，化简即可得到答案． 【详解】（1）解：结论：． 理由：如图， ，， ． 又， ． ，， ． 在和中， ， ， ，． 又， ． （2）证明：， ∴， 由（1）得，， 作于， ，， ， ， 由平行线间距离处处相等可知， ∴， ， ． 【变式4-1】（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则． (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理； (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)新路比原路少0.2千米 【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案． 【详解】（1）证明：梯形的面积为， 也可以表示为， ， 即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ，解得， 即千米， （千米）， 答：新路比原路少0.2千米． 【变式4-2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．民兴七年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】    （1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为a，b，c（），小组同学用四个这样的纸片拼成了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）． ①一个直角三角形纸片的面积为____，小正方形边长为_____．（用含a，b的代数式表示） ②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需化简） 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，．请利用上面得到的结论求解． ①若，求的长． ②若，的长比的长大2，求的长． 【应用拓展】 （3）如图3，已知，在中，，请求出的面积．    【答案】（1）①；；②小正方形面积为或，；（2）①5；②10；（3）84 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的证明，列代数式，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键． （1）①根据三角形面积计算公式可得第一空答案，再由图形之间的关系可得小正方形面积等于直角三角形的长直角边的长减去短直角边的长，据此可得第二空的答案；②根据正方形面积计算公式可得小正方形面积为，根据小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积可得小正方形的面积为，则，据此可得答案； （2）①根据（1）可得，据此计算求解即可；②根据（1）可得，据此求解即可； （3）过点A作于D，设，则，则可证明，即，解方程求出的长即可得到答案． 【详解】解：（1）①由题意得，一个直角三角形纸片的面积为，小正方形的边长为； ②∵小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为； ∵小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积， ∴小正方形的面积为， ∴， ∴， ∴； （2）①由（1）可得， ∵， ∴， ∴或（舍去）； ②∵的长比的长大2， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3）如图所示，过点A作于D， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴．    【变式4-3】（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践． 如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【知识迁移】 （1）把两个全等的和如图②放置，其三边长分别为，显然，用分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理； 【方法运用】 （2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，则边上的高为________； 【拓展延伸】 （3）如图④，在中，是边上的高，，设，请直接写出x的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3）x的值为． 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． （1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【详解】（1）解： ，，，， ，，， ， ， ； （2）解：借助网格，可知，， 边上的高为：； 故答案为：； （3）解：在中，，，， ， 在中，，，， ， ， ． 类型五、判断三边能否构成直角三角形 1.勾股定理逆定理：若三角形三边a、b、c（c为最长边）满足a²+b²=c²，则为直角三角形，反之不是。 2.步骤要点：先确定最长边，计算最长边平方与另两边平方和，比较是否相等。 3.注意事项：需先判断三边能否构成三角形（两边之和大于第三边），再用逆定理验证，避免忽略三边关系前提。 例5．（2025八年级上·全国·专题练习）中，的对边分别记为．下列条件不能判定为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可． 【详解】解：A、若，则，则为直角三角形，故本选项不符合题意； B、最大角，则为直角三角形，故本选项不符合题意； C、若，则，则为直角三角形，故本选项不符合题意； D、设，则，不能构成三角形，故本选项符合题意； 故选：D 【变式5-1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习）适合下列条件的，直角三角形的个数为（   ） ①，，；②；③；④； A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，若一个三角形的三边长满足其中两边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形，据此可判断①③，根据三角形内角和定理可判断②④． 【详解】对于①，，为直角三角形； 对于②，∵，， ∴， ∴此时不是直角三角形； 对于③，，则，为直角三角形； 对于④，，， 解得，为直角三角形， 所以直角三角形的个数为3． 故选：B． 【变式5-2】（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）在中，满足下面的条件时，是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形的判定方法是解题的关键，利用直角三角形的定义和勾股定理逆定理判断即可得到答案． 【详解】解：A、在中，∵， ∴， ∴不是直角三角形；此项错误； B、∵， ∴，，， ∴， ∴不是直角三角形；此项错误； C、∵， 设，，， ∴，，， ∴， ∴不是直角三角形；此项错误； D、∵， 设，，， ∴， ∴， 解得： ∴， ∴是直角三角形；此项正确； 故选：D． 【变式5-3】（辽宁省沈阳市私立联合体2025-2026学年上学期八年级第一次考试数学试卷）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，判断出三角形的形状．根据勾股定理的逆定理和题意，可以判断哪个选项符合题意． 【详解】解：A、因为，故是直角三角形，选项A不符合题意； B、因为，所以，故是直角三角形，选项B不符合题意； C、因为，，所以，故是直角三角形，选项C不符合题意； D、因为，所以最大角，故不是直角三角形，选项D符合题意； 故选：D． 类型六、在网格中判断直角三角形 1. 网格边长计算：利用网格水平、垂直方向格点距离，求线段长度（水平/垂直为格数差，斜线用勾股定理得√(m²+n²)，m、n为格数）。 2. 逆定理应用：算出三边长度后，找最长边，验证其平方是否等于另两边平方和，判断是否为直角三角形。 3. 直角顶点判断：网格中直角常出现在水平与垂直线段交点，可通过观察边的垂直关系辅助判断，简化计算。 例6．（23-24八年级下·全国·期中）如图，每个小正方形的边长为1． (1)求图中格点 的面积． (2)判断的形状，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理： （1）利用长方形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可； （2）先根据勾股定理求出，再利用勾股定理的逆定理判断出的形状即可． 【详解】（1）解：如图， ； （2）解：是直角三角形．理由如下： 是直角三角形． 【变式6-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1． (1)求的周长； (2)求及的面积． 【答案】(1)的周长为5+3 (2)，的面积为5 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，证明三角形是直角三角形是解题的关键； （1）根据勾股定理分别求出三角形三边长即可推出结果； （2）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，即可推出结果． 【详解】（1）解：由勾股定理得，， ， ， 的周长； （2）解：， 是直角三角形，且， ． 【变式6-2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点均在格点（小正方形的顶点）上． (1)求四边形的面积； (2)判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)；理由见解析 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理和逆定理是解题的关键： （1）分割法，求出四边形的面积即可； （2）利用勾股定理和逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：四边形的面积； （2）．理由如下： 在中，， 所以， 所以是直角三角形，且， 所以． 【变式6-3】（24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习）如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均在格点上． (1)求三角形的周长． (2)判断△ABC的形状，并说明理由； (3)求AB边上的高h． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见详解 (3)2 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）根据勾股定理求出各边的长，然后利用三角形的周长公式进行计算，即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理进行计算，即可解答； （3）利用面积法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ， ，，， 三角形的周长； （2）是直角三角形， 理由：，， ， 是直角三角形； （3）是直角三角形， 的面积， ， ， 解得：． 类型七、利用勾股定理的逆定理求解 1. 定理内容：若三角形三边a、b、c（c为最长边）满足a²+b²=c²，则该三角形为直角三角形，c所对的角为直角。 2. 应用步骤：先确定最长边，计算其平方与另两边平方和，比较是否相等，相等则为直角三角形。 3. 关联知识：需结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）先判断能否构成三角形，再用逆定理，常用于判断三角形形状或证明垂直关系。 例7．21．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，在中，为边上的一点，连接，过点作交的延长线于点．已知，，，． (1)求线段的长． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）在中利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理逆定理判定，求出直角三角形面积即可． 【详解】（1）， ， 在中，，， ； （2），，， ， ， 的面积为． 【变式7-1】（25-26八年级上·四川成都·阶段练习）如图，在四边形中，，且． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理、勾股定理逆定理求证即可； （2）结合三角形面积公式，根据四边形的面积求解即可． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴ ∵， ∴ ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：∵，四边形的面积， ∴四边形的面积． 【变式7-2】（24-25八年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，在中，，点是边上一点，连接，且，． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)证明见解析. (2) 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形． （1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论； （2）根据三角形面积公式得出，再利用勾股定理得出，进而解答即可． 【详解】（1）证明：在中，，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）解：∵， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴的周长． 【变式7-3】（24-25八年级下·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，边上的垂直平分线与、分别交于点和，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平方差公式、勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题关键． （1）连接，先根据线段垂直平分线的性质可得，再利用平方差公式可得，然后根据勾股定理的逆定理即可得证； （2）设，则，代入计算即可得． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵为边上的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴． （2）解：设， ∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， 所以的长为． 类型八、勾股定理逆定理的实际应用 1. 问题转化：将实际场景中的距离、长度转化为三角形三边，通过测量或计算得边长。 2. 判定应用：找出最长边，验证其平方是否等于另两边平方和，确定是否为直角三角形。 3. 场景适配：适用于判断墙角、支架等是否垂直，或规划路线是否构成直角路径，需结合实际提取几何模型。 例8．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）为了让学生更多的参与到劳动实践中，育才中学开辟了一片劳动基地，然后中间用栅栏将这块劳动基地划分成两部分，分别种植花卉和蔬菜（如图），其中，已知，，，． (1)求花卉区的面积； (2)若学校在蔬菜基地周围修两条步道（宽度忽略不计）和，这两条步道的长度相差多少米？ 【答案】(1)花卉区的面积为； (2)这两条步道的长度相差6米． 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理，平行线的性质． （1）由勾股定理的逆定理可得，根据三角形的面积公式计算即可； （2）由平行线的性质可得，根据勾股定理可得，根据线段之间的和差计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴花卉区的面积为． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴这两条步道的长度相差6米． 【变式8-1】（2025八年级上·全国·专题练习）已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架，，两轮轮轴的水平距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行． (1)猜想两支架与的位置关系并说明理由； (2)若的长度为，，求购物车把手点到的距离． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理内容是解题的关键． （1）根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，即可得到结论； （2）过点作交的延长线于点，延长交于点，求出，．即可得答案． 【详解】（1）解：．理由如下： ， ． ∴为直角三角形， ， ； （2）解：过点作交的延长线于点，延长交于点，如图， ， ∴． 又， ∴， ． ， ， 在中，， ∴， 根据勾股定理，得，， ∴ 解得：． ． 购物车把手点到的距离为． 【变式8-2】（24-25八年级下·山东日照·期末）如图是某婴儿车的设计结构示意图，现测得，，，． (1)求出的长； (2)根据相关安全标准，与的夹角需为，通过计算说明该婴儿车设计是否符合安全标准． 【答案】(1)； (2)符合安全标准． 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据勾股定理计算即可得解； （2）由勾股定理逆定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， 由勾股定理得： 答：的长度为． （2）解：∵，， ∴ ∴是直角三角形，且，即与的夹角为 答：该婴儿车设计符合安全标准． 【变式8-3】（24-25八年级下·广西南宁·期中）劳动教育能够提升学生的智力与创造力，强壮学生的体格，实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长（）的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长， (1)求蔬菜区边的长； (2)求劳动基地（四边形）的面积． 【答案】(1)蔬菜区边的长为 (2)劳动基地（四边形）的面积为 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键； （1）根据勾股定理可进行求解； （2）由题意易得，则有，然后根据三角形面积公式可进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴在中，由勾股定理得， 答：蔬菜区边的长为． （2）解：， 是直角三角形，， ， 答：劳动基地（四边形）的面积为． 一、单选题 1．在中，，，，则的长是（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理，直角三角形的性质．过C作于D，证明，可得，再利用直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：如图，过C作于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 2．下列说法错误的是（     ） A．在中，若，则为直角三角形 B．在中，若，则为直角三角形 C．在中，若， ，则为直角三角形 D．在中，若， ，，则为直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握直角三角形的判定定理是解题的关键 分别根据直角三角形两锐角互余及勾股定理进行逐一解答即可． 【详解】A． 若，则三角形中最大角为则为直角三角形，原说法正确，故该选项不符合题意； B． 若，则，所以，则为直角三角形，原说法正确，故该选项不符合题意； C． 若， ，由勾股定理的逆定理可得：，则为直角三角形，原说法正确，故该选项不符合题意； D． ， ，，，，，则不是直角三角形，原说法正确，故该选项符合题意； 故选：D． 3．如图，在中，，，且，，则的长是（   ） A．4.8 B．8 C．9.6 D．10 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理，等腰三角形的性质是解决问题的关键． 根据等腰三角形的性质得，然后在中，由勾股定理即可求出的长，再由，即可求解． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选C． 4．如图，网格中每个小正方形边长均为1，点A，B，C都在格点上，以A为圆心，长为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则的长为（   ） A． B．0．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理与无理数．熟练掌握勾股定理是解题的关键． 如图，连接，则，由图可知，，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图，连接，则， 由图可知，， 由勾股定理得，， ， 故选：D． 5．如图，O是等边三角形内一点，，，，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论：①可以由绕点B逆时针旋转得到；②点O与的距离为4；③；④．其中正确的结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】连接，作交的延长线于点E，由等边三角形的性质得，，由旋转得，，则是等边三角形，，可证明，则可以由绕点B逆时针旋转得到，可判断①正确；因为，所以点O与的距离为4，可判断②正确；因为，，所以，则，而，则，可判断③正确；因为，则，所以，则，可判断④错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接，作交的延长线于点E， ∵是等边三角形， ∴，， ∵将线段以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段， ∴， ∴是等边三角形，， 在和中， ， ∴， ∴可以由绕点B逆时针旋转得到， 故①正确； ∴， ∴点O与的距离为4， 故②正确； ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴， 故③正确； ∵，， ∴， ∴， 故④错误， 故选：C． 【点睛】此题重点考查等边三角形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的逆定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 二、填空题 6．如图，在，，则 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了勾股定理以及含角的直角三角形的性质，熟练应用勾股定理是解题关键． 首先根据直角三角形的性质得出，再利用勾股定理得出的长． 【详解】解：在中，， 则， 由勾股定理得，，即， 解得：． 故答案为：1． 7．如图，正方形网格中的，若小方格边长为1，则的形状为 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握相关内容是解题的关键．根据三角形网格求出三角形的边长，再根据勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：∵， ， ， ∴， ∴的形状为直角三角形． 故答案为：直角三角形． 8．如图，在中，， ， ，则点C 到斜边的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等面积法求三角形的高，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 先利用勾股定理求出，再利用等面积法求出的长即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点到斜边的距离为， 故答案为：． 9．若是的三边，且，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积，先根据绝对值、平方、二次根式的非负性求出的值，再根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而利用三角形面积公式计算即可，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，，， 解得，，， ∵， ∴是直角三角形， ∴的面积， 故答案为：． 10．如图，在中，，，分别为，边上的高，连接，若， ，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形三线合一、直角三角形斜边中线性质、勾股定理．解题关键是通过等腰三角形三线合一确定为中点，再利用直角三角形斜边中线性质得出与的数量关系，最后借助勾股定理算出的长度．本题围绕等腰三角形和直角三角形的性质展开．已知是等腰三角形、为高，需借助直角三角形斜边中线性质，建立与的联系，再结合勾股定理求解． 【详解】解：∵， ∴是的中点． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在 中，，． ， 故答案为：． 三、解答题 11．如图，在中，，是边上的高． (1)若点是的中点，求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）若点是的中点，则垂直平分可得，进而得到，则是等边三角形，即可证明结论； （2）设，则，可得，利用勾股定理求出，在中，运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵点D是的中点，是边上的高． ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴． （2）解：设，则， ∴， ∵是边上的高， ∴， 在中，， 即， 解得或（舍去）， ∴． 12．已知，，是的三边，且，，． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的面积． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行计算即可求解； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由： ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且是直角； （2）解：的面积． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 13．如图，每个小正方形的边长为1．    (1)求四边形的面积和周长； (2)是直角吗？请说明理由． 【答案】(1)四边形的面积为，周长为 (2)是直角，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理；勾股定理逆定理，数形结合是解题的关键； （1）根据勾股定理直接求解及割补法求解即可得到答案； （2）根据勾股定理逆定理直接判断即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ，，，， 则四边形的周长为 由图形可得，   ； （2）解：是直角，理由如下， 由勾股定理得，   ， ∵， ∴是直角． 14．如图，四边形 中， 平分 为 上一点， ． (1)判断 的形状，并说明理由； (2)求 的长． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题主要应用勾股定理的逆定理判断三角形形状，以及利用角平分线的性质求解线段长度． ()根据勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长满足(为最长边)，那么这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；得出是直角三角形即可； ()根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等；得出即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴ 即：， ∴是直角三角形； （2）∵是直角三角形， ∴ ， ∵，平分，， ∴． 15．如图，在中，，，． (1)点P在上， ①如图1，当时， ； ②如图2，当点P在的平分线上时，求的长； (2)如图3，点M在上，若为等腰三角形，直接写出的长． 【答案】(1)①；②25 (2)的长为20或25或14 【分析】（1）①根据勾股定理求出，根据等腰三角形的判定得出，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可； ②过点作于，设，则，根据角平分线的性质得出，证明，得出，根据勾股定理得出，求出x的值即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ， ， ， 设，则，， 在Rt中，由勾股定理得：， 即， 解得， 即的长为； ②如图1，过点作于，设，则， 点在的平分线上，且，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， 的长为25． （2）解：若为等腰三角形，有三种情况： 当时，如图2， ； 当时，如图3， ， ，， ， ， ， ． 当时，如图4， 过点作于点， ， ， ， 解得：， 在中，由勾股定理得： ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 16．综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)A，C (2)建造绿化地的费用为11400元 (3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为700元． 17．阅读材料，解决问题：      (1)如图 ① 等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为5，12，13，求的度数．为了解决本题，我们可以将绕顶点A旋转到处，此时，这样就可以利用旋转变换，将三条线段转化到一个三角形中，从而求出　 　； (2)请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题，已知如图②，中，，E、F为上的点且，求证： ； 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据旋转的性质可得为等边三角形，根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，从而求出答案； （2）把绕点A逆时针旋转得到，根据旋转证明，再根据等腰三角形的性质求出，即可证明． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意知旋转角， ∴为等边三角形， ， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴； （2）证明：如图，把绕点A逆时针旋转得到，      由旋转的性质得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，                                           …. ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，读懂题目信息，理解利用旋转构造出全等三角形和等边三角形以及直角三角形是解题的关键． 18．著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），由此推导出直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．    (1)如图②，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求原路长多少千米？ 【答案】(1)见解析 (2)原路长6.5千米 【分析】本题主要考查勾股定理及等积法，熟练掌握勾股定理是解题的关键； （1）根据梯形面积为或，则有等式，然后问题可求解； （2）设千米，则千米，然后根据勾股定理可得方程，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴梯形的面积为或， ∴， ∴， 即； （2）解：设千米，则千米， 在中，，即， 解得，即， 答：原路长千米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题12勾股定理与逆定理的八类综合题型 目录 典例详解 类型一、已知直角三角形的两边，求第三边长 类型二、等面积法求斜边上的高问题 类型三、勾股定理与网格问题 类型四、勾股定理的验证方法 类型五、判断三边能否构成直角三角形 类型六、在网格中判断直角三角形 类型七、利用勾股定理的逆定理求解 类型八、勾股定理逆定理的实际应用 压轴专练 典例详解 类型一、已知直角三角形的两边，求第三边长 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=c2(c为斜边，a、b为直角 边)。 2.分类讨论：已知两边需判断是否为直角边。若均为直角边，直接用勾股定理求斜边；若一边为斜边， 用斜边平方减已知直角边平方求另一边。 3.注意事项：边长为正数，计算后需验证结果合理性，避免忽略斜边与直角边的区别导致漏解。 例1.(25-26八年级上河南郑州阶段练习)直角三角形两条边长分别为3和5，则第三边长为一 【变式1-1】直角三角形的两条直角边长分别是6,8，则第三边长是一· 【变式1-2】(23-24八年级上广东深圳阶段练习)若直角三角形的三边长为6,8，m,则m的值为一 【变式1-3】(25-26八年级上·江苏宿迁·阶段练习)如图，在R△ACB中，∠ACB=90°，BC=3, AC=4,在直线BC上找一点P,使得△ABP为以AB为腰的等腰三角形，则PC的长度为一· 1/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型二、等面积法求斜边上的高问题 1.核心原理：直角三角形面积可通过两直角边表示(S=1/2ab),也可通过斜边与斜边上的高表示 (S1/2ch),利用面积相等建立等式。 2.公式推导：由1/2ab=1/2ch,得斜边上的高h=ab/c(a、b为直角边，c为斜边)。 3.应用前提：需先明确直角三角形的直角边和斜边，若斜边未知，需先用勾股定理求出斜边长度再计算 高。 例2.(25-26八年级上广东中山阶段练习)已知Rt△ABC的两直角边分别是3,4，则Rt△ABC的斜 边上的高是一· 【变式2-1】(24-25八年级下·四川绵阳·期末)已知Rt△ABC的两直角边分别是6cm,8cm,则 Rt△ABC的斜边上的高是一· √19 【变式2-2】(25-26八年级上·上海闵行阶段练习)等腰三角形的周长为20+V2,面积为2， 且其中 一边长为0 则底边上的高为一。 【变式2-3】睿明同学在学习勾股定理后深入思考发现求一个三角形面积的方法：如图，AD是△ABC的 高，高AD是Rt△ABD和Rt△ACD的公共直角边，由勾股定理得，AD=AB2-BD?=AC2-CD2,设 BD=x'可建立关于，的方程，求得BD=x= 2+c2-b2 2a 进而通过计算就可求出△4BC的面积.根据睿 明同学的方法，若a=14,b=13,c=15,则△ABC的面积为一 Da-x 2/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型三、勾股定理与网格问题 1.网格特性：网格中线段长度可通过水平、垂直方向格点数计算，水平（垂直）距离为格点差的绝对 值，利用勾股定理求斜线长度(（水平2+垂直）)。 2.图形构造：网格中直角三角形可通过找直角边（水平/垂直线段）确定，多边形面积可分割为直角三角 形或矩形计算。 3.验证应用：利用网格边长整数特性，直观验证勾股定理，或通过计算线段长度判断三角形是否为直角 三角形。 例3.如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A,B,C都在格点上，则下列结论错误的 是() A.AB2=20 B.∠BAC=90° C.△ABC的面积为10 D.点A到直线BC的距离是2 【变式3-1】(24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔阶段练习)如图，在4×4的网格中，每个小正方形的边长 均为1，则点B到线段AC的距离为 【变式3-2】(24-25八年级下·福建厦门阶段练习)如图，方格纸中每个小正方形的边长为1、每个小正 方形的顶点称为格点.已知△ABC的三个顶点都在格点上. 3/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)判断△ABC的形状，并说明理由； (2)仅用无刻度直尺作线段BD垂直AC: (3)求点B到AC的距离： 【变式3-3】在边长为1的正方形网格中，AB、C、DE均为格点， B (1)AE=】 AC= (2)求△ACE中边AE上的高h 类型四、勾股定理的验证方法 1.拼图验证：通过割补正方形或直角三角形，如赵爽弦图，将图形面积用两种方式表示，推导 a2+b2=c2,体现数形结合思想。 2.面积法：构造以斜边为边的正方形，结合周围直角三角形面积，建立总面积等式，化简得勾股定理， 核心是面积守恒。 3.几何证明：利用全等三角形或相似三角形性质，通过对应边成比例或面积关系推导，需掌握三角形全 等/相似判定及性质。 例4.(25-26八年级上：四川达州阶段练习)如图，E为AC上一点，AC⊥BC,AC⊥AD,AB=DE, AB,DE交于点F,且AB⊥DE D E (①)判断线段BC,DA,CE的数量关系，并说明理由： (2)连接BD,BE,若设BC=a,AC=b,AB=C,利用此图验证勾股定理. 【变式4-1】(24-25八年级下·江西南昌·阶段练习)著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大 的直角边长都为a,较小的直角边长都为b,斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为c2，也可以表 4/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 示为4xb+(a-',由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为。、6，斜边长为 c,则a2+b2=c2. b a E b 图1 图2 图3 (1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理： (2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，,河边原有两个取水点A、B,AB=AC,由于某种原 因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A、H、B在同一 条直线上)，并新修一条路CH,且CH⊥AB.测得CH=0.8千米，HB=O.4千米，求新路CH比原路 CA短多少千米？ 【变式4-2】(24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习)《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数， 以数解形”的研究策略.这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性.民兴七年级数学 兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究。 【初步探究】 方法1：小正方形面积=小正方形边长的平方： 方法2：小正方形面积=大正方形面积一4个直角三角形面积. 图1 (1)如图(1)，直角三角形纸片三条边长分别为a,b,c(b<a<c),小组同学用四个这样的纸片拼成 了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）· ①一个直角三角形纸片的面积为，小正方形边长为 (用含a,b的代数式表示) ②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出α，b,c三者之间的关系.（需 化简) 【结论运用】 (2)如图2，已知，△ABC是直角三角形，∠C=90°.请利用上面得到的结论求解. ①若AC=3,BC=4,求AB的长， ②若AC=6,AB的长比BC的长大2，求AB的长. 5/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【应用拓展】 (3)如图3，己知，在△ABC中，AB=13,AC=15,BC=14,请求出△ABC的面积. 图2 图3 【变式4-3】(25-26八年级上·全国·期中)综合与实践， 如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面 积有两种求法，一种是等于℃2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即 2 bx4+6-、从面得到等式c=)ab×4+仂-，化简便得结论，+2.这里用两种求法来表题 同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”· 【知识迁移】 (I)把两个全等的△AB 和4Dg1 ,b,c∠BAC=∠DEA=90° 如图②放置，其三边长分别为 显然 BC⊥AD,用a,b,C分别表示出四边形ABDC、梯形AEDC、△BDE的面积，再探究这三个图形面积之间 的关系，验证勾股定理a2+b2=c2; 【方法运用】 (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可 得△ABC,则AB边上的高为 【拓展延伸】 (3)如图④，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4,AC=5,BC=6,设BD=x,请直接写出x的值」 B a-b a D 图① 图② 图③ 图④ 6/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 类型五、判断三边能否构成直角三角形 1.勾股定理逆定理：若三角形三边a、b、c(c为最长边)满足a2+b=c,则为直角三角形，反之不 是。 2.步骤要点：先确定最长边，计算最长边平方与另两边平方和，比较是否相等。 3.注意事项：需先判断三边能否构成三角形（两边之和大于第三边），再用逆定理验证，避免忽略三边 关系前提。 例5.(2025八年级上全国专题练习)△1BC。 ∠A,∠B,∠C a,b,c 中， 的对边分别记为.下列条件不能判定 △ABC为直角三角形的是() A.∠A+∠B=∠C B.∠A:∠B:∠C=1:2:3 C.a2=c2-b2 D.a:b:c=1:2:3 【变式5-1】(25-26八年级上·辽宁沈阳·阶段练习)适合下列条件的△ABC,直角三角形的个数为() ①a=l,b=2,c=5,②∠A:∠B:∠C=34:5:③2-B=c:④∠A+B=∠C A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式5-2】(25-26八年级上山西太原·阶段练习)在△ABC中，满足下面的条件时，△ABC是直角三角 形的是() ∠A=45°，∠B=55° AB=7,AC=25,BC=26 A. B. C.AB:AC:BC=3:4:7 D.∠A:∠B:∠C=3:4:7 【变式5-3】（辽宁省沈阳市私立联合体2025-2026学年上学期八年级第一次考试数学试卷）下列条件中， 不能判断△ABC是直角三角形的是() A.AB2+BC2=AC2 B.AB=1,BC=2.AC=3 C.∠A+∠B=∠C D.∠A:∠B:∠C=3:4:5 类型六、在网格中判断直角三角形 1.网格边长计算：利用网格水平、垂直方向格点距离，求线段长度（水平/垂直为格数差，斜线用勾股定 理得V(m2+n2),m、n为格数)。 2.逆定理应用：算出三边长度后，找最长边，验证其平方是否等于另两边平方和，判断是否为直角三角 7/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 形。 3.直角顶点判断：网格中直角常出现在水平与垂直线段交点，可通过观察边的垂直关系辅助判断，简化 计算。 例6.(23-24八年级下·全国期中)如图，每个小正方形的边长为1. B (I)求图中格点△ABC的面积. (2)判断△ABC的形状，并证明你的结论 【变式6-1】(24-25八年级下·湖南长沙期末)如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都为 B (I)求△ABC的周长： (2)求∠ABC及△ABC的面积. A,B,C,D 【变式6-2】(25-26八年级上·全国单元测试)如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点 均 在格点（小正方形的顶点）上. D B (I)求四边形ABCD的面积； 8/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)判断AD与CD的位置关系，并说明理由 【变式6-3】(24-25八年级下·湖北宜昌·阶段练习)如图，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点均 在格点上 (1)求三角形的周长. (2)判断△ABC的形状，并说明理由： (3)求AB边上的高h. 类型七、利用勾股定理的逆定理求解 1.定理内容：若三角形三边a、b、c(c为最长边)满足a2+b2=c2,则该三角形为直角三角形，c所对的 角为直角。 2.应用步骤：先确定最长边，计算其平方与另两边平方和，比较是否相等，相等则为直角三角形。 3.关联知识：需结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）先判断能否构成三角形，再用逆定理，常 用于判断三角形形状或证明垂直关系。 例7.21.(25-26八年级上山东菏泽·阶段练习)如图，在△ABC中，D为AB边上的一点，连接CD,过 点A作AE⊥CD交CD的延长线于点E.已知AE=7,AB=20,BC=15,CE=24」 B (1)求线段AC的长. (2)求△ABC的面积. 【变式7-1】(25-26八年级上·四川成都·阶段练习)如图，在四边形ABCD中， AB=L,BC=2,CD=2,AD=3,且AC⊥CD. 9/18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：AB⊥BC: (2)求四边形ABCD的面积. 【变式7-2】(24-25八年级下·湖北恩施阶段练习)如图，在△ABC中，BC=15,点D是边AB上一点， 连接CD,且BD=10,CD=55 B (I)求证：CD⊥AB: (2)若5ac=50V5 求△4BC的周长. 【变式7-3】(24-25八年级下·福建龙岩阶段练习)如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、 AC分别交于点E和D,且CB=(D+CD(AD-CD) D B (1)求证：∠C=90°： (2)若AC=4,BC=3,求CD的长. 10/18