13.1 勾股定理及其逆定理 同步训练 2026-2027学年华东师大科版八年级上册数学

**基本信息** 本同步练通过基础巩固、中档应用、拔高拓展三层设计，实现勾股定理及其逆定理从概念理解到综合应用的递进，培养抽象能力、推理意识与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|勾股定理直接计算、逆定理判断、反证法步骤|如选择2等腰三角形高计算，填空14数轴与勾股定理结合，夯实概念理解| |中档|折叠/翻折性质应用、方程思想求解|如选择6折叠求周长，填空15正方形面积与勾股定理关联，提升知识迁移能力| |拔高|动态问题、多结论判断、定理证明|如选择12综合全等与勾股定理，解答22分类讨论动态线段关系，发展逻辑推理与创新意识|

华师大版（2024）八年级上册 13.1 勾股定理及其逆定理 同步训练 一、选择题 1.用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设（　　） A.不平行于 B.平行于 C.不垂直于 D.不垂直于 2.如图，等腰三角形的腰的长为13，底边的长为10，则这个等腰三角形底边上的高的长为（    ） A.12 B.10 C.8 D.6 3.已知三边长a、b、c，且满足，则此三角形一定是（　　） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 4.如图，在中，．分别以为直径作半圆，面积分别记为，，则的值等于（    ） A. B. C. D. 5.若3、4、为勾股数，则的值为（    ） A. B.5 C.6 D. 6.如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为(　　) A.6 B.8 C.12 D.14 7.在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点A重合，则的长为（    ） A.1 B. C. D.1.6 8.在中，若，则下列式子成立的是(   ) A. B. C. D. 9.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（   ） A. B.3 C. D. 10.在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如右表格中．则当时，的值为（    ） A.162 B.200 C.242 D.288 11.如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则（　　） A. B. C. D. 12.如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（    ）    ①；        ②； ③        ④. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A、B、C的边长分别为，则正方形D的边长为     ． 14.如图所示，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是     ． 15.如图，是的高，分别以线段为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为          ． 16.如图，点E在边DB上，点A在内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，给出下列结论，其中正确的是     （填序号） ①BD＝CE；②∠DCB＝∠ABD＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）． 17.如图，在中，，点是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点． 当是直角三角形时，的长为          ．    三、解答题 18.用反证法证明：的三个内角中至少有一个角不大于． 19.如图，在长方形中，为边上的点，．若沿折叠，点恰好落在边上的点处，求阴影部分的面积． 20.用反证法证明：如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平方，那么这个三角形不是直角三角形． 21.如图，为上一点，，，，，交于点，且． (1)判断线段，，的数量关系，并说明理由； (2)连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理． 22.在中，，为中点，，射线、分别交直线、于、． (1)如图1，在射线上，连接，试判断、、之间的数量关系并证明； (2)如图2，在射线上，将绕点逆时针旋转． ①如图3，当射线交线段于点时，求证：； ②当时，若，，当时，请直接写出的长度． 华师大版（2024）八年级上册 13.1 勾股定理及其逆定理 同步训练（参考答案） 一、选择题 1.用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设（　　） A.不平行于 B.平行于 C.不垂直于 D.不垂直于 【答案】A 【解析】用反证法证明命题“若，则”时，第一步应假设不平行于，故选：A． 2.如图，等腰三角形的腰的长为13，底边的长为10，则这个等腰三角形底边上的高的长为（    ） A.12 B.10 C.8 D.6 【答案】A 【解析】中，，， ∴， ∴． 故选：A． 3.已知三边长a、b、c，且满足，则此三角形一定是（　　） A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形 【答案】C 【解析】， ，，， ，，． ， 即：， 所以此三角形是直角三角形． 又， 故此三角形是等腰直角三角形． 故选：C． 4.如图，在中，．分别以为直径作半圆，面积分别记为，，则的值等于（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 5.若3、4、为勾股数，则的值为（    ） A. B.5 C.6 D. 【答案】B 【解析】若3、4、为勾股数， 当4为最大数时，，解得，3、4、不符合勾股数定义， 当a为最大数时，，解得，3、4、5符合勾股数定义． 故的值为5， 故选：B. 6.如图，在△ABC中，AB=10，AC=6，BC=8，将△ABC折叠，使点C落在AB边上的点E处，AD是折痕，则△BDE的周长为(　　) A.6 B.8 C.12 D.14 【答案】C 【解析】在Rt△ABC中， ∵AC=6，BC=8，∠C=90°， ∴AB10， 由翻折的性质可知：AE=AC=6，CD=DE， ∴BE=4， ∴△BDE的周长=DE+BD+BE=CD+BD+E=BC+BE=8+4=12． 故选：C． 7.在中，，，，，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是点，如果点和顶点A重合，则的长为（    ） A.1 B. C. D.1.6 【答案】C 【解析】设，则BE=4-x， 由题意得， 由勾股定理得， ∴， 解得， 即的长为, 故答案为：C. 8.在中，若，则下列式子成立的是(   ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】在中，若， ， 为直角边，为斜边， 根据勾股定理可得， ． 故选：A． 9.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则AE的长为（   ） A. B.3 C. D. 【答案】D 【解析】∵沿DE翻折，使点A与点B重合， ∴， ∴， 设，则，， 在中， ∵， ∴， 解得， ∴， 故选：D． 10.在学习“勾股数”的知识时，小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如右表格中．则当时，的值为（    ） A.162 B.200 C.242 D.288 【答案】D 【解析】根据表格中数据可得：，并且， 则， 当时，， 解得：， 则， ∴， 故选：D． 11.如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，点为垂足，，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】连接， ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴ 故选：． 12.如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（    ）    ①；        ②； ③        ④. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； ∵在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴，故结论④正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：D 二、填空题 13.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，正方形A、B、C的边长分别为，则正方形D的边长为     ． 【答案】 【解析】由题意得：， ∴正方形D的面积为， 正方形D的边长为． 故答案为：． 14.如图所示，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是     ． 【答案】 【解析】由勾股定理得： 正方形的对角线为， 设点A表示的数为x， 则， ∵， ∴， 即点A表示的数是． 故答案为：． 15.如图，是的高，分别以线段为边向外作正方形，其中3个正方形的面积如图所示，则第四个正方形的面积为          ． 【答案】2 【解析】根据勾股定理可得： ， ∴， 故答案为：2． 16.如图，点E在边DB上，点A在内部，∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE，AB＝AC，给出下列结论，其中正确的是     （填序号） ①BD＝CE；②∠DCB＝∠ABD＝45°；③BD⊥CE；④BE2＝2（AD2+AB2）． 【答案】①③ 【解析】①由已知条件证明DAB≌EAC即可； ②由①可得ABD=ACE<45°，DCB>45°； ③由ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=ACE+ECB+ABC =45°+45°=90°可判断③； ④由BE2＝BC2－EC2＝2AB2－（CD2﹣DE2）＝2AB2－CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）－CD2可判断④． ∵DAE＝BAC＝90°， ∴DAB＝EAC， ∵AD＝AE，AB＝AC， ∴AED=ADE=ABC=ACB=45°， ∵在DAB和EAC中， ， ∴DAB≌EAC， ∴BD＝CE，ABD＝ECA，故①正确； 由①可得ABD=ACE<45°，DCB>45°故②错误； ∵ECB+EBC=ABD+ECB+ABC=ACE+ECB+ABC =45°+45°=90°， ∴CEB＝90°，即CE⊥BD，故③正确； ∴BE2＝BC2－EC2＝2AB2－（CD2﹣DE2）＝2AB2－CD2+2AD2＝2（AD2+AB2）－CD2． ∴BE2＝2（AD2+AB2）－CD2，故④错误． 故答案为：①③． 17.如图，在中，，点是线段上一动点，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点． 当是直角三角形时，的长为          ．    【答案】1或 【解析】当时，如图    ， 设， ，， ， ， 由折叠性质得：， ， ， 在中，， ， 解得：， ； 当，如图    过点C作，垂足为H， ， ，， ， ， ， 由折叠得：， ，， ， ， ， ， ， 是一个外角，， ， ， ， ， ， ， 综上所述的长为1或 故答案为：1或． 三、解答题 18.用反证法证明：的三个内角中至少有一个角不大于． 【答案】证明　假设，，都大于，则， 这与三角形的内角和等于相矛盾，因此假设不成立， ，，中至少有一个角不大于． 19.如图，在长方形中，为边上的点，．若沿折叠，点恰好落在边上的点处，求阴影部分的面积． 【答案】解　由折叠可知，和关于直线成轴对称， 所以． 因为，所以． 在中，由勾股定理，得． 设，则， 在中，由勾股定理，得，即． 解得． 所以阴影部分的面积为：． 20.用反证法证明：如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平方，那么这个三角形不是直角三角形． 【答案】证明　如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平方，假设它是直角三角形， 则，由勾股定理可知，三角形的两条较短边的平方和等于较长边的平方，这与题给信息不符合． 所以假设错误， 所以如果一个三角形的两条较短边的平方和不等于较长边的平方，那么这个三角形不是直角三角形． 21.如图，为上一点，，，，，交于点，且． (1)判断线段，，的数量关系，并说明理由； (2)连接，，若设，，，利用此图证明勾股定理． 【答案】(1)解　． 理由如下： 如图， ，， ． 又， ． ，， ． 在和中， ， ． ，． 又， ． (2)证明　， ， ， ． 22.在中，，为中点，，射线、分别交直线、于、． (1)如图1，在射线上，连接，试判断、、之间的数量关系并证明； (2)如图2，在射线上，将绕点逆时针旋转． ①如图3，当射线交线段于点时，求证：； ②当时，若，，当时，请直接写出的长度． 【答案】(1)解　， 理由如下：是中点，， ， 中， ； (2)①证明　如图，延长至点，使，连接，，， ， 中，， ， ，， ， ，， ， ，即， 中，， ， ； ②解　当点在线段上时， ，，， ，， ， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图，延长至点，使，连接，，，    中，， 又， ， ，，， ，， ， ， ， ， 中，， ， ． ， ． 综上所述：的长度为或． 学科网（北京）股份有限公司 $