重庆市南开中学校2026-2027学年高三上学期10月质量检测数学试题

重庆南开中学高2027届高三年级质量检测（二） 数 学 试 题 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟。 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题共58分） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1．集合，则 A． B． C． D． 2．已知是两个不同的平面，为内的一条直线，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知的展开式中的系数为80，则实数 A． B． C．2 D．-2 4．设直线与双曲线的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为 A． B． C．3 D． 5．已知向量与的夹角为，其中，则 A．2 B． C． D．4 6．已知角，则 A． B． C． D． 7．已知，则的大小关系为 A． B． C． D． 8．已知正数满足，则的最小值为 A B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9．在中，角所对的边分别为，已知，则下列说法正确的是 A．当时，满足条件的三角形有两个 B．当时，满足条件的三角形有两个 C．若满足条件的三角形有且只有一个，则的取值范围是 D．若满足条件的三角形不存在，则的取值范围是 10．已知为坐标原点，椭圆为第一象限内椭圆上的动点，过分别作轴、轴的垂线，垂足为、，连接，则 A．存在点，使得 B．面积的最大值为 C．重心的轨迹为椭圆的一部分 D．原点到直线的距离的最大值为 11．已知定义在上的可导函数的导函数为，且满足：①；②． 则下列说法正确的是 A．的图象关于直线对称 B．为常数，且该常数等于3 C．存在常数，使得函数是周期为3的周期函数 D．的图象关于点中心对称 第II卷（非选择题共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答题卡相对应位置上） 12．设一组样本数据的方差为0．2，则数据的方差为_____． 13．若曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是_____． 14．在中，角所对的边分别为，若，且，的面积为，则_____． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 已知函数其中的部分图象如图所示． （1）直接写出函数的解析式； （2）将函数的图象向左平移个单位长度，纵坐标不变，得到函数的图象．若、为锐角三角形中的两个内角，且满足，证明：为等腰三角形． 16．（15分） 为备战校运会篮球赛，小明同学晚自习后练习投篮次（，且），当且仅当连续投中2次或投满次时，停止练习．设小明每次投中的概率为，各次投中与否相互独立，记为停止练习时的投篮次数． （1）当，时，求的分布列； （2）当时，记事件为“第次投篮命中”(k=1，2，3，…，n)，若，求的值． 17．（15分） 如图，五面体为平面截某正三棱柱的余下部分，其中为等边三角形，平面，动点满足． （1）当时，证明：平面； （2）当时，若与平面所成角的正弦值为，求的值． 18．（17分） 已知抛物线为坐标原点，为抛物线上的动点． （1）当过抛物线的焦点时，求的面积的最小值； （2）为圆上一动点，、分别为线段、的中点且都在抛物线上，线段、交于点， （i）证明：、的纵坐标相同； （ii）求的取值范围． 19．（17分） 已知定义在区间上的可导函数的导函数为，若，则称为在上的“衡稳函数”，在上的零点为的“衡稳点”．已知函数为自然对数的底数． （1）判断在上是否存在“衡稳点”．若存在，则分别求出该“衡稳点”，若不存在，说明理由； （2）记在上的“衡稳函数”为，若，不等式恒成立，求实数的取值范围； （3）令，若在上有且仅有两个“衡稳点”，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $高2027届高三年级质量检测 数学试题参考答案与评分细则 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选项 B B C D C A B C AD BCD ACD 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求） 1.B【解析】集合A={0,1,2,3},B={xlx≤2}，则A∩B={0,1,2},故选B. 2.B【解析】由“α⊥B”无法推出ax内任一条直线均垂直于B,如m为与B的交线，则mCB,所以不 满足充分性；由“m⊥B”且已知mCa,可由判定两个平面互相垂直的定理推出“a⊥B”,满足必要 性；故选B. 3.C【解析】(m+x)5的展开式中x2的系数为Cm3=10m3=80,故m=2,故选C. 4D【解折】双曲线c号-苦-1(a>0,6>0)的商近线方程为y=+会，则。-3，所以双曲线C的离 0 心率e=吕-1+合0，故选D 5.C【解析】由a-261=2可得a-2612=a-4d·6+42=4-46|+42,则|1=1，所以 |a+262=a+4a.+42=4+4|6+42=12,则1a+26=23,故选C. 6A【解折】由aw=3n,得-3治即g-3o9-2,得cw=子8，利用iB+msB= cosa cosfβ'sinB-cos3 1,可得ia+oa=1e+2sa=1,则om2a=2a-1=-子，放 7B【备标】观察可知a-4-弘6写与中分及-h。可约德商数)=1-分 -In e,2》求异r)=1-左-2<0放)=-在ep,》单调递减则a6>, 故选B. 8.C【解折】由a-c=3(c-6),可得a+36-4c+32-4,可设2=m,名=，即m+3n=4,已知 c c一=三1b+a7bm+元中m+7n’死察配凑，得 a,b,c为正数，则m,n>0,所以_c,+ cCc [2(m+m)+(m+7m)](1+1=2+2m++m+7m+1≥3+2w2,因为2(m+n)+ m+n'm+7n m+7n'm+n (+7a)=2,则n+n7n≥3培2-+号当2”-04即a+7a=2(a+ m+In m+n n),(7-√2)n=(2-1)m时取得最小值，故选C. 数学试题参考答案第1页（共7页） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分) 9A0【解折1由正弦定理知：品0品6所以当分=2时=4，有唯一解，当<2<：时，e2, 4),有两个解；当0<x≤2时，有唯一解；当2<x时，即x>4,无解；综上：x∈(4，+∞)时，有0 个解；x∈(2,4)时，有2个解；x∈(0,2]U{4}时，有1个解.故选AD. 10.BCD 【解析】设P(x,y0),0<x<2,0<y0<1,选项A:|MW|2=x6+y,0P=√+，即 √6+=3，因为0P∈(b,a)=(1,2),故选项A错误； 选项B:令=2s0,y=sn6,0c0,8},saow=7=}2 co.in9l=}lsi21,当0=牙 时，SAOw取最大值号，故选项B正确； 2 选项C:由AB选项可知△OMN的重心G满足 1. ,B∈0,2，消去参数得△0MN的 重心G轨迹方程为学+9=1(x>0,y>0),△0MN的重心G的轨迹为椭圆的一部分，故 选项C正确。 选项D:设直线MN:x+Y=1,即yox+xoy-xo,=0,距离d= XoYo √+ /11 +启 [x=2y 2 W4- 即=号后-号时取等， ∴d≤ =号，故选项D正确故选BCD, 2 9 11.ACD 【解析】由f(2+x)+f(2-x)=6,可得f(x)关于(2,3)对称，由'(3+x)=f'(x),可得f'(x) 周期为3， 选项A:f'(2+x)-(2-x)=0,∴∫(x)的图像关于直线x=2对称，故选项A正确； 选项B:令F(x)=f(x+3)-f(x),则F'(x)=0,∴.F(x)=C=F(0)=f(3)-f(0),无法确 定，故选项B错误； 选项C:若g(x)=f(x)-ax为周期函数，且T=3,则g(x+3)=g(x),即f(x+3)-a(x+3) =)-ax,即f(x+3)-fx)=3a,由F(x)=C=F(0)=f3)-f(0),取a=3)0) 故选项C正确； 选项D:f(5+x)+f(5-x)=f((2+x)+3)+f((2-x)+3)=f(2+x)+f(2-x)+2C=6 +2C,其中可取f(x+3)-f(x)=C=f(3)-f(0),∴f(x)的图象关于点(5,3+f3)-f(0)) 中心对称，故选项D正确.故选ACD. 数学试题参考答案第2页（共7页） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填写在答题卡相对应位置上） 12.20 【解析】由题意可知：=1立(x,-x)2=0.2,令10x:+3=,则=10s=20. ni=1 13.(-0,2】 【解析1设切点为()，切线方程为y。+)=(侵2引(x-, 因为f(x)存在过原点的切线，故(0,0)在切线上，.-1+a+l。+a=0在(0，+0)有解， 即2a=-x(lnx0-1)在(0，+∞)有解，令p(x)=-x(lnx-1),.p'(x)=-lnx, 可得p(x)在(0,1)单调递增，在(1，+∞)单调递减，p(1)=1, 又x0*,g()0*+0,e(a)→-2as1ae-m, 14.2 【解析】：(AB-2AC)·BC=(AB-2AC)·(AC-AB)=3AB·AC-AB2-2AC=0, .3 bccosA=c2+2b2,由余弦定理：b2+c2-a2=2 bccosA, 得2(+-a)=e2+26,c2=8+3,又8=in= 2 由(ca4P+(cen42=62,得考2 +3=b2c2,又c2=b2+3,解得b=2. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 解：1）=2sin2x+}: (5分) (2)gx)=fe+君）=2m(x+看}+君）=2sin2x+）=2c2, 由g(A)+g(侵）=0，得2co2A+2csB=0,即coe2A=-6sB=cos(T-B), 因为A,Be0,2,2Ae(0,m),m-B∈(2，T,所以2A=T-B=A+C, 化简得A=C,所以△ABC为等腰三角形. (13分) 数学试题参考答案第3页（共7页） 16.(15分) 解：(1)由题意知X=2,3,4,5,6, 所以Px-2)-2×3-4P(X=3)=-引×2×2-8 P(x=4)=1×-引×2×3g,P(X=5)=1-4)x1-》×3×3-最 P(X=6)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)-P(X=5)=32 3 X的分布列为 X 2 3 4 U 6 P 1 1 3 13 4 8 8 32 32 (7分) (2)因为P1=1-P(X=2)-P(X=3), P2=1-P(X=21A2)-P(X=31A2)-P(X=4|A2)=1-0-0-P(X=2)=1-P(X=2), 所以P2-P1=[1-P(X=2)]-[1-P(X=2)-P(X=3)]=P(X=3) =P(A1A2A3）=P(A1)P(A2)P(A3）=(1-p)p2. …(15分) 17.(15分) 解：(1)取AC的中点0，连接OM,OB,有OB⊥AC, 因为A1A⊥平面ABC,OBC平面ABC,所以A1A⊥OB, 又AA,AC为平面ACC,A1内两条相交直线，所以OB⊥平面ACC,A1, 当入=1时，M为A,C1的中点，又0为AC的中点，则M0是梯形ACC1A1的中位线， 所以M0/A,A,且M0=2(AA+C,C),又B,B/A,A,且B,B=2(AA+CC), 所以MO/B,B,且MO=B,B,故四边形MOBB1为平行四边形， 所以B,M/B0,又OB⊥平面ACC,A1, 所以B1ML平面ACC1A1;… (6分) 数学试题参考答案第4页（共7页） (2)由题意，不妨设AB=BC=CA=BB1=2,则AA1=3,CC1=1, 以0为坐标原点，0C,OB,AA分别为x,y,z轴正方向，如图所示建立空间直角坐标系， 有A(-1,0,0),B(0,3,0),C(1,0,0),A1（-1,0,3),B1(0,3,2),C1(1,0,1), 由4=AMC解得M价0，》， 所以c6=(-15,2),4B=1,5,2),4W=20+》 设平面AB1M的法向量元=(x,y,z),B1C与平面AB1M所成角为0， n·AB= x+3y+2z=0 x=入+3 则{ 元.AM= 。,所以2入，入+3,0取y=3(入-1)为方程组的一组解， 以+7+人+=0 z=-2入 即元=（入+3,3（入-1），-2λ)， 所以sin0= |CB,·元l_入+3=7 面12.22+3子解得A= (15分) 18.(17分) 解：(1)由题可知，F(1,0),直线AB与x轴不重合，故设直线AB的方程为x=y+1, 与抛物线C1:y2=4x联立可得：y2-4y-4=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2)(不妨令y1>0,y2<0),则y1y2=-4, 设△40的面积为则=1·+}=号2异-2， 当日仪当头即1-2时取等转，故△40B面积的最小值为2： (5分) 2(1)设Pw,C为M的申点c色，”士）， C在抛物线G上佰=45 整理可得：4x1-2yoy1+8x0-y=0,同理可得：4x2-2yoy2+8x0-y=0, ∴.(x1,y1)、(x2,y2)为方程4x-2yoy+8x0-y=0的两组解，.直线AB的方程为4x-2yoy+8x0- y6=0, 将直线AB与抛物线C1:y2=4x联立可得：y2-2yoy+8x0-y=0,∴.y1+y2=2y0,y1y2=8x0-y, BC、AD分别为△PAB的两条中线，.Q为△PAB的重心， 设0(5，)，则%-6++业=0中2%=0… 3 3 (11分) 数学试题参考答案第5页（共7页） 12 (ii)AB=√(x1-2)2+(y1-2)2= (2yoY1-8x0+yo 2yoY2-8x0+yo 4 +(y-2)2 -+=0+-401+ -+ 1+946-4(8,-7 =2+4√%-4x0, 八名购=0++名而+ 42+t}2+46-280 4 3 3 3 3 2 四=94=空-2=后-4. 1AB2_2(6+4)(6-4）=46+4),又：(0+2)2+6=1,6e[0,1, PQ 26-4） AB2 P0=4（6+4）∈[16,20。… (17分) 19.(17分) 解：(1)p'(x）=2x-2,g'(x)=e-2, 令p(x)+p'(x)=x2-2x+2x-2=0,得x=±√2，故p(x)的“衡稳点”为2、-√2； 令G(x)=g(x)+g'(x)=e-2x+e-2=2(e-x-1), 则G'(x)=2(e-1),令G'(x)>0,得x>0,令G'(x)<0,得x<0, 故G(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增，而G(0)=0, 因此，g(x)的“衡稳点”为0；…(5分) (2)由题可知，对于Hx≥0,2(e*-x-1)≥ax2恒成立， ①当x=0时，等式恒成立， 2当0时，即对于Ve+a).1 2, 令m()=则m(a)任-2》++2 x 令n(x)=(x-2)e*+x+2,则n'(x)=(x-1)e*+1, 记k(x)为n'(x)的导函数，则k(x)=e>0,故当x∈(0，+∞)时，n(x)单调递增， 而n(0)=0,故当x∈(0，+∞)时，n(x)>0,即m'(x)>0,故m(x)在(0，+o）上递增， 由洛必达法则可知：lim m"x=lim e-1 =lim e*1 42x=02=2, 故号≤2，即a≤1，ae(-0,l. … (10分) 数学试题参考答案第6页（共7页） (3)h(x)=e*-2x+b(xcosx-xsinx-cosx),h'(x)=e*-2+b(cosx-xsinx -xcosx), 令H(x)=h(x)+h'(x)=2(e*-x-1-bxsinx),H(x)在[0，T]上有且仅有两个零点， H'(x)=2[e*-b(sinx +xcosx)-1], 记p(x)为H'(x)的导函数，则p(x)=2[e-b(2cosx-xsinx)],∴.p(0)=2(1-2b), ①当6>2时，若xe0,p'(x)=2[e+b(3simx+0*)]>0,p(x)单调递增， 又：p(0)<0,0=2(e2+0>0,存在唯一实数o∈0，)，使得(x)=0, 若xe[,m,2cos-simr<0,则p(x)>0, 由上可知，当x∈(0，x)时，p(x)<0,H'(x)单调递减，当x∈(x,T)时，p(x)>0,H'(x)单调递增， H'(0)=0,'(T)=e"+bT-1>0,∴.存在唯一的实数x1∈(xo,T),使得'(x,)=0, ∴.当x∈(0，x1)时，H'(x)<0,H(x)单调递减，当x∈(x1,π)时，H'(x)>0,H(x)单调递增， .H(0)=0,H(π)=2(e"-T-1)>0, ∴存在唯一的实数x2∈(x1,π)，使得H(x2)=0,即H(x)在[0，T]上有两个零点，符合题意， ②当6≤)时，先证明：当xe[0,m]时，w(x)=x-sinx≥0， ω'(x)=1-c0sx≥0，∴ω(x)在[0，T]上单调递增，∴.ω(x)≥ω(0)=0. 又由(2)可知，对于Vx≥0，。-x-1≥艺恒成立（当且仅当x=0时取等号）， 放(x)=2(e-bsins-x-1)≥2(e-2siw-x-1小≥2e-2-x-1≥0，当且仅当x=0时 取等号， H(x)在[0，π]上只有一个零点，故舍去.综上，b的取值范围是 …(17分) 数学试题参考答案第7页（共7页）