重庆市第一中学校2026-2027学年高三上学期9月阶段检测数学试题

A.ee>π 【考试时间：9月28日15:00~17:00】 数学试题卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上． 2．作答时，务必将答案写在答题卡上．写在本试卷及草稿纸上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．命题“，”的否定是 A．， B．， C．， D．， 2．为了得到的图象，可以将函数的图象上 A．每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位 C．每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 3．已知函数，若正实数，满足，则的最小值是 A． B． C． D． 4．若函数在其定义域的子集内存在极值，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 5．已知，则 A． B． C． D． 6．已知是定义在上的奇函数，图象连续不间断，其导函数为，当时，，则不等式的解集为 A． B． C． D． 7．已知双曲线：（，）的左、右两个焦点分别为，，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线在第一象限交于点，直线与双曲线左支交于点，，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 8．已知函数（，），，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为 A． B． C． D． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．下列选项正确的是 A．1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的第70百分位数是7 B．数据，，…，的平均数为4，方差为2，则数据，，…，的平均数为17，方差为18 C．已知关于的经验回归方程为，则样本点的残差为0.25 D．用模型拟合一组数据，，2，3，…，10，其中，设，变换后的经验回归方程为，则 10．锐角中内角，，的对边分别为，，，外接圆半径为，点是边的中点，若，且，则 A． B．面积的最大值为 C． D．的取值范围为 11．函数与被称为“孪生函数”，二者性质高度关联．下列选项正确的是 A． B．若且，，则必有 C．若有两个不等实数根，则的取值范围为 D．若直线与函数交于点，，与函数交于点，，则 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．中，，，，则最大角和最小角的和为________． 13．已知等比数列的各项均为正数，，是函数的两个极值点，则________． 14．盒子中装有编号依次为1，2，3，4，5的5个除编号外均相同的小球，现从中有放回地摸次，每次摸出1个小球，记这次摸出的小球中最大编号为，若的期望，则的最小值为________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 已知函数． （1）求的单调递增区间； （2）设的最小正周期为，当时，求的值域． 16．（本小题满分15分） 三名同学相约周末一起去爬山，有歌乐山和平顶山可供选择．大家商量后决定用抛硬币的方式来选择，每人抛掷一枚质地均匀的硬币，若正面向上，则选择歌乐山，若反面向上，则选择平顶山． （1）这三名同学中，选择歌乐山的人数为，求的数学期望； （2）记事件：“这三名同学中有人选择歌乐山”，事件：“这三名同学中有人选择平顶山”，求条件概率． 17．（本小题满分15分） 已知函数． （1）求的图象在点处的切线方程； （2）对任意均有成立，求实数的取值范围． 18．（本小题满分17分） 在平面直角坐标系中，已知抛物线的方程为． （1）求抛物线的焦点坐标； （2）设直线和抛物线交于，两点（其中，异于原点），且， （ⅰ）证明：直线过定点，并求出该定点的坐标； （ⅱ）求的最小值． 19．（本小题满分17分） 设函数． （1）求的极大值； （2）设，实数，满足，且，证明：； （3）设，若在上的最小值为3，求实数的值． 学科网（北京）股份有限公司 $重庆一中高2027届高三9月月考 数学答案 题号123456789 10 11 12 13 14 答案 B BD ABD ACD 2025 3 6 15.(1))02x+isim 令-子+22-子+2a,解得-+r+ 所以单调递增区间为 (2)由已知可知T=π， 设a=2x-子则y=f0)=na+1. 由子学=m[9=vi811 故f(x)的值域为[0,1+2] (13分) 16。①)由于硬币质地均匀。所以正面向上的概率P片所以每名同学选择歌乐山 的概率均为分所以三名同学中，选择歌乐山的人数为X服从二项分布：3》 1 所以X的数学期望(X)=四=3×23 13 ②由已知0=1-P网=1-周-号 记事件C:“有i名同学选择歌乐山"，记事件D,:“有i名同学选择平顶山"，i=0,1,23, -PCD)+P(CD)-C- 所以P(BA)=PB)6 P(④7 17.(1)求导得f'(x)=e-2x,所以切线斜率k=f"(0)=1, 由点斜式可知切线方程为y-1=1(x-0),即y=x+1. (2）)由已知e-x2≥amx+1在[0，+∞)上恒成立，当x=0时显然成立， 下面讨论x>0情形，分离参数得-r->a,记g)-e-1,只需g)m≥a 求导得g=c-1e-r+1_《-1e-x-) x2 x2 记h(x)=e-x-1→h'(x)=e-1>0在x>0时恒成立，所以h(x)在(0，+∞)单调递增， 所以h(x)>h(0)=0,即e-x-1>0,所以g'(x)与x-1同号. 当x>1时，x-1>0→g'(x)>0→g(x)单调递增 当0<x<1时，x-1<0→g(x)<0→g()单调递减， 所以g(x)mm=g(①)=e-2,故a的取值范围为(-o,e-2] 18。)配方得y=c-心-1，于y=的焦点坐标为0，》 将y=x2的图象右移一个单位，再下移一个单位可得y=(x-1)2-1的图象， 所以=-2的焦点坐标为-引 (2)(i)当直线1斜率不存在时，它和抛物线的图象只有一个交点，不符合题意， 所以直线I斜率存在，设其方程为y=+m, 与y=xX2-2x联立得：x2-(k+2)x-m=0(*), 设A(,)B(x22),由韦达定理得：方+为2=k+2,xx2=-m, 由OA·OB=0→xx2+2=0→2+(1+m)2+m)=0, 整理得：1+k2)x62+am(:+2)+m2=0, 代入韦达定理得：-1+k2)m+am(k+2)+m2=0→-m+2m+m2=0, 因为A,B异于原点0，所以m≠0，所以-1+2k+m=0一m=1-2k, 此时(*)的判别式△=(k+2)2+4m=(k+2)2+41-2k)=k2-4k+8>0恒成立， 所以直线1的方程为y=+1-2k,过定点(2,1) (i)由已知OA⊥OB,故△AOB为直角三角形，设O到AB的距离为h, 则5=号b4o8l=h=h-94.og AB 1 14+OB4B 1 注意到： a4oooa时o4-1o8F,3分) 1 1 所以当h取得最大值时 Qo取得最小值 由（i)可知AB过定点P(2,1),所以h≤OP=√5→≤5， 取等条件AB⊥OP一k=-2→m=1-2k=5,此时(*)式子的△>0，故可取等号， 所以aoB的最小值为兮 1 (17分) 19.(1)f'(x)=3m2-x=x3m-1). 当a=0时，f"(x)=-x,故f(x)的增区间为(-o,0),减区间为(0，+∞) 故f(x)的极大值为f(O)=0; 当a>0时，f(x)的增区间为(-o,0) fx)的减区间为 此时f(x)的极大值为f(O)=0; 当a<0时，f(x)的增区间为 (0的减区间为（ 1】 (0,+) 此时f(x)的极大值为f(O)=0. 综上，f(x)的极大值为0， ②=fe)-即时-)-). 因式分解并约掉x-得：+龙+)=+)， 变形特g+-1北+）.设气+=，则名=- 由均值不等式可知6+≥4x5→r≥4F-户F-20→02 由于x≠x,故不能取等号，所以0<t<2,即x+x2<2, (3)由已知g的=3a-+six-3a-X=six=3a-m,其中m0)=-smx x2 x2 x2 故g(x)在(0，+∞)上的最小值为3，等价于m(x)在(0，+∞)上的最大值为3a-3, 求导：m'(x) 2sinx-xcosx-x)=2sinx-xcosx-x. x 当x>0时m'(x)与p(y)同号，p'(x)=cosx+xsinx-1,p'()=xCOSx, ①若0<x<,则o()>0→()单调递增→9)>p(0)=0→o)单调递增， 此时p(x)>p(0)=0→m'(x)>0→m(x)在0，号 单调递增； ②若≤≤3江，则')0→p)单调递减。注意到p 2 2 所以()先正后负，故(x)先增后减，注意到9 -2-登0}-2<0 3π 所以)在长额时存在唯一的零点，注意到网=0，所以三 2 所以当匹≤x≤元时()≥0→m'()≥0→m()单调递增； 当≤x≤3”时)0→m0→m)单调递减： 2 综合①②可知，当0<x≤元时m(x)单调递增：当π≤x ≤3r时m()单调递减。 2 37 1 所以m(x)在0，。π上的最大值为m(= (14分)】 2 3若x>2 π 则m)=x-simx≤x+_1+1<2+42+3_21_1 x2 x-x+F<3玩+9<3玩+93玩+3玩元 (16分) 综合①23可知，m)在(0，+0)上的最大值为1，所以3a-3=1→a=1+ 3元 故实数a的值为1+ 1 (17分) 3元