精品解析：重庆市第十一中学校教育集团2027届高三第二次质量检测数学试题

重庆市第十一中学校教育集团高2027届高三第二次质量检测 数学试题 2026.9 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的始边在的非负半轴，终边经过点，则（ ） A. B. C. 2 D. 4. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则 （ ） A. B. C. D. 6. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. D. 7. 等于（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 已知函数 ，若函数有8个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知事件A，B相互独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数对任意实数满足且恒成立，在区间上单调递增，则以下说法中正确的是（ ） A. 是的零点 B. C. 函数是偶函数； D. 若函数在区间内有5个零点，则在此区间内有且只有2个极大值点． 11. 已知函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 若函数有两个零点和，则 C. 若不是函数的极值点，则 D. 若，，满足，则A，B，C三点必在一条直线上 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是奇函数，当时，，则的值是________． 13. 在中，内角、、的对边分别为、、，已知，，则________． 14. 若，则关于的方程的实数根的个数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是各项均为正数的等比数列，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 16. 如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点． （1）证明：为直角三角形； （2）设，求平面与平面所成角的取值范围． 17. 已知椭圆：（）的左顶点为，下顶点为，短轴长为，离心率为，是上位于第一象限内的动点，直线交轴于点，直线交轴于点. （1）求的方程； （2）证明：四边形的面积为定值. 18. 满足且的正态分布称为标准正态分布，其在正态分布中扮演着核心角色，这是因为如果，那么令，则可以证明，即任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布．某市为鼓励居民节约用电，实行阶梯电价制度．根据统计，该市居民月用电量（单位：度）服从正态分布，用电费用．（参考数据：若，，） （1）求和； （2）为制定阶梯电价方案，需了解月用电量的分布情况，求； （3）若某小区一共有户住户，其电表编号为，国家电网工作人员随机读取该小区所有住户的电表数据，每户读取时长为分钟，已知某幢楼单元有户住户，记随机变量表示单元最后一户住户读取结束所用的时长（从第户开始读取到最后一个单元住户读取结束所用的总时长），求：表达式（用含、的式子表示）． 19. 已知O为坐标原点，点A坐标为，以O为圆心的单位圆在x轴上半部分（含端点）记为曲线E，B是E上异于A的任意一点，设，弦AB的长与的长的比值记为. （1）求的最小值； （2）令，讨论g(x)的零点个数； （3）若对任意，恒成立，求实数k的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市第十一中学校教育集团高2027届高三第二次质量检测 数学试题 2026.9 注意事项： 1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上. 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】命题的否定为，. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数单调性得到，，求交集得到答案. 【详解】，， 故. 3. 已知角的始边在的非负半轴，终边经过点，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为角的始边在的非负半轴，终边经过点，则， 可得，， 所以. 4. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对于选项A：因为的定义域为，且， 所以函数为偶函数， 令，则，解得，可知函数的零点为，故A正确； 对于选项B：当时，；当时，； 因为，可知函数不为偶函数，故B错误； 对于选项C：因为的定义域为，不关于原点对称， 所以函数不为偶函数，故C错误； 对于选项D：因为，当且仅当时，等号成立， 所以函数没有零点，故D错误. 5. 已知，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及差角的余弦公式化简即得. 【详解】由，得，则， 两边平方得，所以. 故选：D 6. 在的展开式中，常数项为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先将三项式中两项变成一项，两次利用二项式展开即可得到原式的展开通项公式，从而即可判断指数的可能取值，再分别代入计算即可得到答案． 【详解】由的二项展开式的通项公式为，， 又的二项展开式的通项公式为，， 所以的展开通项公式为，，， 令，即，则的取值只可能为， 当时，，则对应项的系数为， 当时，，则对应项的系数为， 当时，，则对应项的系数为， 所以常数项为． 7. 等于（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角恒等变换公式化简即可求解． 【详解】由 故选：A 8. 已知函数 ，若函数有8个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先作出的大致图象，令，根据一元二次方程根的分布，结合图象计算即可. 【详解】根据对数函数与二次函数的图象与性质可作出的大致图象如下： 设，则有8个不同的零点， 需有两个不同零点，不妨设 同时分别对应4个零点， 若， 即， 则，且， 即，解之得. 若，则仍需，此时，不符合题意，舍去； 综上：. 故选：B 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知事件A，B相互独立，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合条件逐项分析即得. 【详解】∵事件A，B相互独立，且，， ∴，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数对任意实数满足且恒成立，在区间上单调递增，则以下说法中正确的是（ ） A. 是的零点 B. C. 函数是偶函数； D. 若函数在区间内有5个零点，则在此区间内有且只有2个极大值点． 【答案】ABC 【解析】 【分析】先由得对称中心，由得最小值点，结合单调条件求出，得到函数解析式；A代入验证零点，B直接看所求参数，C利用平移化简判断奇偶性，D求出零点确定的范围，再统计区间内极大值点个数，逐一判定选项正误． 【详解】由，得关于点中心对称， 所以①， 由，得在处取最小值， 所以②， 由①②得， 化简得，即， 解得， 由在区间上单调递增，得，解得， 因为时，，时， 而，取，， 将代入②中，得，解得， 因为，所以，所以， 对于A，，A正确； 对于B，，B正确； 对于C，， 因为是偶函数，所以是偶函数，C正确； 对于D，由，得， 列出零点，筛选落在区间内的零点， ，，不在内， ，，第个零点， ，，第个零点， ，，第个零点， ，，第个零点， ，，第个零点， ，，第个零点， 因为区间内有个零点，所以， 由，得， 代入整数，判断极大值点是否在内， ，，在内， ，，在内， ，，在内， ，，不在内，超出了， 所以区间内极大值点共个，D错误． 11. 已知函数（），则下列说法正确的是（ ） A. 是函数的极值点 B. 若函数有两个零点和，则 C. 若不是函数的极值点，则 D. 若，，满足，则A，B，C三点必在一条直线上 【答案】ACD 【解析】 【分析】求导得到，判断两侧导数符号求解A，分析的根，取特殊情况验证求解B；求，结合题意并分类讨论判断是否为极值点判断C，利用三次函数中心对称性质证明三点共线判断D即可. 【详解】对于A，由题意得，. 当时，，故与 同号； 当 时，，故与异号. 因此在两侧变号，是极值点，故A正确， 对于B，取，得到， 当时，可得，解得或， 此时两根之和为，故B错误. 对于C，由题意得，因为， 且，，所以， 当时，，且， 其中，，故与异号；而与同号. 因此在两侧异号，故不是极值点. 当时，在附近趋近于，故的符号由决定， 即与异号，两侧同号，故为极值点， 因此不是极值点等价于，故C正确. 对于D项，设直线过点和，则有三个根. 由于， 其二次项系数为，首项系数为，由韦达定理三根之和为. 已知，故，即点也在直线上，三点共线，故D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知是奇函数，当时，，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用奇函数的性质将转化为，再代入时的函数解析式计算即可得到结果. 【详解】根据奇函数的定义，对定义域内的任意，均满足,， 已知当时，，且， 因此先计算： ，， 故， 因此. 13. 在中，内角、、的对边分别为、、，已知，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理将边的比例关系转化为角的正弦关系，结合二倍角的正弦公式求出，再通过二倍角的余弦公式计算. 【详解】在中，由正弦定理得，故， 已知，则，因此， 又，则， 代入上式得：， 又，故，则， 又， 所以. 14. 若，则关于的方程的实数根的个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】先去掉绝对值将原方程拆分为与，构造偶函数，借助导数分析单调性，求得最小值，结合偶函数图像对称性，判断两条水平线与函数图像各有个交点，共个实数根． 【详解】由，得或， 设，则，， 设，则恒成立，所以是增函数， 所以时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为的定义域为，且， 所以是偶函数，而， 如图，作出符合题意的图形， 结合的图象知，函数的图象与直线有两个交点，与直线也有两个交点， 所以方程有两个解，方程也有两个解， 所以有个解． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是各项均为正数的等比数列，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】(1)本题首先可以根据数列是等比数列将转化为，转化为，再然后将其带入中，并根据数列是各项均为正数以及即可通过运算得出结果； (2)本题可以通过数列的通项公式以及对数的相关性质计算出数列的通项公式，再通过数列的通项公式得知数列是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果． 【详解】(1)因为数列是各项均为正数的等比数列，，， 所以令数列的公比为，，， 所以，解得(舍去)或， 所以数列是首项为、公比为的等比数列，． (2)因为，所以，，， 所以数列是首项为、公差为的等差数列，． 【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题． 16. 如图，是圆的直径，点是圆上异于，的点，直线平面，，分别是，的中点． （1）证明：为直角三角形； （2）设，求平面与平面所成角的取值范围． 【答案】（1）证明：因为是圆的直径，所以， 又平面，平面，所以， 而，平面， 故平面. 因为，分别是，的中点，所以，因此平面. 又平面，所以， 即，故为直角三角形. （2） 【解析】 【分析】（1）利用题意条件以及线面垂直的判定，证明出线线垂直即可求解； （2）根据题意建立适当的空间直角坐标系，先找出夹角的表达式，再利用自变量的范围进行求解。 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由，得，. 如图所示，以为坐标原点，以，平面内过点垂直的直线，过点且垂直于平面的直线为，，轴建立空间直角坐标系. 则，，不妨设， 则，，. 平面的法向量可取，设平面的法向量为 又，， 则，令，则， 则. 设两个平面夹角为，则 令，则，， 即， 从而，又平面夹角为，所以， 故夹角取值范围为. 17. 已知椭圆：（）的左顶点为，下顶点为，短轴长为，离心率为，是上位于第一象限内的动点，直线交轴于点，直线交轴于点. （1）求的方程； （2）证明：四边形的面积为定值. 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知，，设，则， 则直线的方程为，令，得， 同理直线的方程为，令，得， 则，，而四边形的对角线互相垂直， 所以， 因为， ， 所以 所以， 所以四边形的面积为定值. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆性质及，，的关系联立即可求解； （2）运用坐标法与椭圆方程代入消元，由以及椭圆方程得，求出直线、与坐标轴的交点、，利用对角线，将四边形面积转化为，借助椭圆方程消去二次项，化简即可求解面积. 【小问1详解】 由题意可得，，所以， 因为，所以， 所以的方程为. 【小问2详解】 略 18. 满足且的正态分布称为标准正态分布，其在正态分布中扮演着核心角色，这是因为如果，那么令，则可以证明，即任意正态分布通过变换都可化为标准正态分布．某市为鼓励居民节约用电，实行阶梯电价制度．根据统计，该市居民月用电量（单位：度）服从正态分布，用电费用．（参考数据：若，，） （1）求和； （2）为制定阶梯电价方案，需了解月用电量的分布情况，求； （3）若某小区一共有户住户，其电表编号为，国家电网工作人员随机读取该小区所有住户的电表数据，每户读取时长为分钟，已知某幢楼单元有户住户，记随机变量表示单元最后一户住户读取结束所用的时长（从第户开始读取到最后一个单元住户读取结束所用的总时长），求：表达式（用含、的式子表示）． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据正态分布的性质得到、，进而利用期望、方差的性质即可求出和； （2）先做标准化变换转为标准正态分布，再利用标准正态对称性即可求出概率； （3）先根据题意得到的取值，从而得到，进而代入期望公式，结合组合恒等式，化简即可得到． 【小问1详解】 由，则，， 又，所以，． 【小问2详解】 已知，令， 则由题可知，当时，；当时，， 所以． 【小问3详解】 由题可知的取值为， 表示第户是单元的最后一户住户的概率， 从户中选户，其中第户是单元的最后一户住户， 那么前户中有户是单元的住户，所以， 所以， 因为， 所以， 又，则， 则． 19. 已知O为坐标原点，点A坐标为，以O为圆心的单位圆在x轴上半部分（含端点）记为曲线E，B是E上异于A的任意一点，设，弦AB的长与的长的比值记为. （1）求的最小值； （2）令，讨论g(x)的零点个数； （3）若对任意，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，函数无零点； 当，或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点. （3） 【解析】 【分析】（1）先求出导数，再根据导函数正负得出单调性进而得出最值； （2）先把零点转化为直线与函数的图象的交点，再求出导函数得出函数最值判断零点个数； （3）先移项构造函数，再求出导函数得出函数单调性，最后分，及计算求解参数. 【小问1详解】 由题意可得. 令， 则当时，，从而在上单调递减. 于是，进而可得在上单调递减. 因此在区间的最小值为. 【小问2详解】 ， 函数的零点个数等于直线与函数的图象的交点个数. 设. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增. 又当时，， 所以当时，直线与函数的图象无交点，函数无零点； 同理，当，或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点. 综上，当时，函数无零点； 当，或时，函数有1个零点； 当时，函数有2个零点. 【小问3详解】 由题意，， 不等式 可化为 ， 即 由已知不等式恒成立， 可化为恒成立， 令. 又设，当时，. 设，则当时，. 所以在上单调递增，. 所以当时，在上单调递增. ①当时，对于，有， 即，所以在上单调递增.因此，时，恒成立，符合题意. ②当时，对于，有， 即，所以在上单调递减.因此，时，，不符合题意. ③当时，因为，所以存在，使得. 当时，，即，所以在上单调递减.因此，当时，，不符合题意. 综上，实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $