29.1.2 圆的有关概念　过三点的圆（第2课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十九章　圆 29.1.2　过三点的圆 教　学　设　计 教学目标 课题 29.1.2 过三点的圆 授课人 素养目标 1.理解“不在同一直线上的三点确定一个圆”，会作残缺圆弧的圆心. 2.掌握三角形外接圆、外心的定义与性质，能求外接圆半径. 3.了解反证法思路，能用反证法证明简单几何命题. 教学重点 不在同一直线上的三点确定一个圆；三角形外接圆、外心的概念与性质。 教学难点 理解外心的位置规律；掌握反证法的推理思路。 教学步骤 师生活动 教学建议 活动一：以旧引新，导入新课 【情境导入】 家里的圆形镜子摔碎了，只留下一块带圆弧的碎片，想配一块和 鼓励学生大胆猜想，顺势导入如何确定残缺圆弧的圆心。 设计意图 借助镜子碎片情境设疑，激发探究欲望，引出本节课课题。 原来一样大的新镜子，该怎么确定圆心和半径呢？ 探究点1过三点作圆 活动二：操作感悟，探究新知 思考：过两点可以作几条直线？ 有且只有一条【两点确定一条直线】 学生动手画图对比，梳理作图步骤，强调前提条件。学生独立解题，规范作图思路。结合图形讲解概念，引导学生归纳外心特征。学生自主画图观察，总结外心位置特点。对比记忆外心位置，借助习题强化运用。引导学生添加辅助线，规范书写解题步骤。梳理反证法流程，引导学生理解矛盾产生的原因。规范书写步骤，强调第一步正确否定结论。 设计意图 由过一点、两点作圆逐步探究，归纳出不在同一直线上的三点确定一个圆，理解圆心是垂直平分线交点。借助习题巩固三点确定一个圆，学会利用圆弧碎片找圆心，呼应课堂导入情境。 圆的位置由什么决定？圆的大小由什么决定？ 一是圆心，圆心确定其位置； 二是半径，半径确定其大小。 探究1：经过一个点A 能不能作圆?这样的圆能作出多少个? 结论1：过一点可以作无数个圆。 探究2：使圆经过两个已知点A，B，你是如何作的？你能作出 几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB 有什么关 系？为什么？ 结论2：过两点可以作无数个圆，圆心在线段AB 的垂直平分线 上，半径是圆心和A、B 这两点中一点的连线段。 探究3：使该圆经过三个已知点A，B，C(其中A，B，C 三点不 在同一条直线上)，你是如何作的？你能作出几个这样的圆？ 结论3：不在同一条直线上的三点确定一个圆，圆心是线段AB、 BC 的垂直平分线的交点，半径是圆心和A、B、C 这三点中一点 的连线段。 对应练习 1.下列条件中，不能确定一个圆的是（ A．圆心与半径 B．直径 C．平面上的三个已知点D．三角形的三个顶点 【参考答案】 C．圆心与半径、直径都能确定一个圆；三角形的三个顶点不在同一直线上时确定一个圆；而“平面上的三个已知点”可能共线，不一定能确定圆．故选 C． 2．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示， 为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃 碎片应该是( ) A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块 【参考答案】 C．第③块含有两段相交的弦和一段较完整的圆弧，可作出两条弦的垂直平分线，其交点即圆心，从而确定半径，配出与原来一样大的圆形玻璃．故选 C． 3.如图所示的是残缺的圆形轮片，如何找此残片所在的圆的圆 心．(不写作法，保留作图痕迹) 【参考答案】 在残片的圆弧上任取两条弦（在弧上取四点，两两连接成两条弦），分别作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为残片所在圆的圆心（作图保留痕迹）． 探究点2 三角形的外接圆 设计意图 认识三角形外接圆、外心概念，掌握外心的作图方法与性质。通过判断题辨析概念误区，动手作图探究不同类型三角形外心的位置规律。通过作图观察，归纳三类三角形外心位置规律，系统梳理外接圆与外心核心知识点。结合习题运用外心性质，借助垂径定理求外接圆半径，综合巩固知识。探究同一直线上三点不能作圆，介绍反证法推理步骤，初步感受反证法思想。借助习题熟悉反证法完整步骤，巩固反证法的推理模式。 1. 外接圆 ⊙O 叫做 △ABC 的外接圆， △ABC 叫做 ⊙O 的内接三角形． 2.三角形的外心： 定义：三角形外接圆的圆心叫做三角形的 外心 作图：三角形三边中垂线的交点. 性质：到三角形三个顶点的距离相等. 判一判： 下列说法是否正确 (1)任意的一个三角形一定有一个外接圆( ) (2)任意一个圆有且只有一个内接三角形( ) (3)经过三点一定可以确定一个圆( ) (4)三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( 【参考答案】 （1）正确；（2）错误，一个圆有无数个内接三角形；（3）错误，必须是不在同一直线上的三点；（4）正确． ) 画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再 画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关 系. 锐角三角形的外心位于三角形内, 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点, 钝角三角形的外心位于三角形外. 归纳总结 经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆 心叫三角形的外心；是三角形三边中垂线的交点；三角形的外心 到三角形的三个顶点的距离相等. 练一练如图，在△ABC 中，O 是它的外心，BC＝24cm，O 到 BC 的距离是5cm，求△ABC 的外接圆的半径． 【参考答案】 解：过点 O 作 OD⊥BC 于 D，连接 OB．则 BD=½BC=12cm，OD=5cm．在 Rt△OBD 中，（cm）．∴△ABC 的外接圆的半径为 13cm． 思考 我们知道，经过不在同一条直线上的三个点，可以作一个圆。那 么，经过同一条直线上的三个点，可以作一个圆吗? 设这个圆的圆心为P，那么点P 既在线段AB 的垂直平分线l1上， 假设经过同一条直线l 上的A，B，C 三点可以作一个圆. 又在线段BC 的垂直平分线l2上，即点P 为l1与l2的交点. 而l1⊥l，l2 ⊥l，这与以前学过的“过一点有且只有一条直线与 已知直线垂直”矛盾. 所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆. 归纳总结 反证法证明命题的一般步骤： ①假设命题的结论不成立； ②从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾； ③由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立． 对应练习 1.用反证法说明:400 人中至少有两个人的生日相同. 【参考答案】 假设 400 人中任意两人的生日都不相同，那么一年至少要有 400 天，而一年最多只有 366 天，矛盾．所以 400 人中至少有两个人的生日相同． 2.用反证法说明:一个三角形中不能有两个角是直角 【参考答案】 假设三角形中有两个角都是直角，那么这三个角的内角和大于 180°，与三角形内角和定理矛盾．所以一个三角形中不能有两个角是直角． 活动三：迁移应用，巩固提高 1.已知：在Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，则它的外 【参考答案】 斜边 AB=，直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，∴外接圆半径=5． 接圆半径= 2.如图，△ABC 内接于⊙O，若∠OAB＝20°，则∠C 的度数是 【参考答案】 70°．连接 OB．∵OA=OB，∴∠OBA=∠OAB=20°，∴∠AOB=180°−2×20°=140°，∴∠C=½∠AOB=70°． 引导学生总结直角三角形外接圆规律，规范解题步骤。 设计意图 利用习题巩固直角三角形外接圆半径结论，综合运用外心、圆心角相关性质解题 ________． 3.如图，已知Rt△ABC 中，∠C=90°若AC=12cm，BC=5cm， 求 △ABC 的外接圆半径.. 【参考答案】 斜边=（cm），外接圆半径=½×13=6.5（cm）． 【提示】直角三角形外接圆的半径等于斜边的一半，斜边的中点就是外心． 【随堂训练】限时完成《随堂小练》中本节随堂练习. 【课堂总结】请学生结合板书盘点本课要点，并回答： 师生借助思维导图串联知识，逐题追问梳理： 活动四：随堂练习，课堂小结 、几点可以确定一个圆？需要注意什么前提条件？ 、什么是三角形的外心？不同类型三角形的外心位置有什么区别？ 、反证法的证明步骤是什么？ 【作业布置】 1.教材习题 29.1 中与本节相关的习题. 2.《同步练习》配套课时练习. 板书设计 29.1.2 过三点的圆 1、作圆探究：过一点——无数个圆；过两点——无数个圆，圆心在连接两点的线段的垂直平分线上；不在同一直线上的三点确定一个圆。 2、三角形的外接圆与外心：外心是三边垂直平分线的交点，到三个顶点的距离相等；位置——锐角三角形内、直角三角形斜边中点、钝角三角形外。 3、反证法步骤：①假设结论不成立；②推出矛盾；③原命题成立。 教学反思 本节课由镜子碎片情境引入，通过层层作图探究得到三点确定一个圆，学生能够掌握三角形外接圆与外心相关知识。课堂难点在于反证法，部分学生难以理解推理思路；同时解题时容易忽略“三点不共线”这个前提。后续可以增加辨析题型，强化前提条件训练，规范几何作图与证明书写。 学科网（北京）股份有限公司 $