29.1.2 过三点的圆教学设计 2026-2027学年数学人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦点与圆的位置关系、三点确定圆、三角形外接圆与外心及反证法等核心知识。通过复习圆的定义和确定条件，自然衔接点与圆关系及过三点作圆的探究，搭建新旧知识支架。 此资料以情境探究和动手实践为特色，如射击靶情境引入点与圆位置关系，尺规作图探究三点定圆，反证法通过矛盾推理培养逻辑思维。体现几何直观、推理能力与模型意识等核心素养，助力学生提升探究能力和空间观念，为教师提供分层教学资源与中考衔接素材。

29.1.2 过三点的圆 教学设计 课题 29.1 圆的有关性质 29.1.2 过三点的圆 学科 数学 年级 九年级 教材版本 人教版（2026） 课时 第1课时 课型 新授课 教学目标 （1）了解点与圆的三种位置关系，会用数量关系（点到圆心距离d与半径r）判断点与圆的位置关系； （2）掌握“不在同一直线上的三点确定一个圆”，会用尺规过三个点作圆、画出三角形的外接圆、了解三角形的外心，初步理解和运用反证法； （3）经历点与圆位置关系、过三点作圆与反证法的探究过程，渗透数形结合、分类讨论思想，发展实践能力与创新意识。 教学重点 判断点与圆的位置关系；用尺规作三角形的外接圆；了解反证法。 教学难点 理解不在同一直线上的三点确定一个圆，以及反证法证明（明确矛盾所在）。 教学方法 讲授法、演示法、探究法、动手作图、合作交流 教学准备 多媒体课件、圆规、直尺、坐标网格图 课后练习 必做：习题29.1第5、6题；探究性作业：习题29.1第19题。 板书设计 见板书设计部分 教学过程 教学环节 教学内容与教师活动 学生活动 设计意图 一、创设情景 引入新课 【创设情景，引入新课】 复习提问：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆； ②圆心为O、半径为r的圆，可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合，圆是一条封闭的曲线； ③确定圆的条件：一是圆心（确定位置），二是半径（确定大小）。 教师过渡：圆把平面上的点分成几类？怎样的三个点才能确定一个圆？今天我们来研究点和圆的位置关系以及过三点的圆。（板书课题） （设计意图：复习圆的相关知识，为研究点与圆、过三点的圆做好铺垫，自然引入新课。） 回顾圆的两种定义与确定圆的两个条件，明确本节课“点与圆的位置关系、过三点的圆”的研究方向。 以旧引新，激活圆的定义这一认知起点，为点与圆、过三点作圆作知识铺垫。 二、探究点1 点与圆的位置关系 【探究点1】点与圆的位置关系 问题：我国射击运动员在奥运会上获金牌。如图是射击靶的示意图，它由许多同心圆构成，你知道击中靶上不同位置的成绩是如何计算的吗？ 解决这个问题，需要研究点和圆的位置关系。 追问1：观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？ 点与圆的位置关系有三种：点在圆内、点在圆上、点在圆外。 追问2：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量，点在圆三种不同位置关系时，d与r有怎样的数量关系？ 三种位置关系对应：点在圆内时 d<r；点在圆上时 d=r；点在圆外时 d>r。 追问3：反过来，由d与r的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系？ 反过来也成立：d<r ⇔ 点在圆内；d=r ⇔ 点在圆上；d>r ⇔ 点在圆外。符号“⇔”读作“等价于”，表示从左端可推出右端、从右端也可推出左端。 追问4：点与圆的三种位置关系及其数量关系，如何用“⇔”统一表示？ 板书等价关系：点在圆内⇔d<r；点在圆上⇔d=r；点在圆外⇔d>r。 追问5：回到本课开头，击中靶上不同位置的成绩是如何计算的？ 射击靶上有一组以靶心为圆心、大小不同的圆，把靶图由内到外分成若干区域，用由高到低的环数表示。弹着点离靶心越近，所在区域越靠内，环数越高、成绩越好（依据点到圆心的距离判定）。 （设计意图：由射击靶引入，探究点与圆的位置关系及等价符号，渗透数形结合思想。） 观察射击靶，指出点的三种位置关系，动手量测d与r的大小关系，归纳“点在圆内则d<r，点在圆上则d=r，点在圆外则d>r”，并能互逆判定、借助等价符号表达。 以射击计分为生活情境引出点与圆，通过量一量、比一比建立位置与数量的对应，渗透数形结合与分类讨论思想。 三、典型例题 例1（点与⊙A的位置关系） 【典型例题】例1（点与⊙A的位置关系） 例1　在矩形ABCD中，AB=3，AD=4。(1)以A为圆心、4为半径作⊙A，则点B、C、D与⊙A的位置关系如何？(2)若以A为圆心作⊙A，使B、C、D三点中至少有一点在圆内、至少有一点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围（直接写出答案）。 【分析】本题考查点与圆的位置关系、矩形性质与勾股定理。先由矩形性质求各点到圆心A的距离，再与半径4比较即可判断。 【详解】（1）∵AD=4=r，故点D在⊙A上； ∵AB=3<4=r，故点B在⊙A内； ∵BC=AD=4，在Rt△ABC中，由勾股定理得 ，故 AC==5>4=r，故点C在⊙A外。 （2）⊙A的半径r的取值范围为3≤r≤5。 （设计意图：以矩形为背景强化点与圆位置关系的数量判定，突出对比d与r。） 利用矩形性质（AB=3、AD=4、BC=4）算出各点到圆心A的距离，与半径4比较并判断点B、C、D的位置关系，总结半径r的取值范围。 综合矩形与勾股定理落实d与r的数量判定，训练分类讨论与数形结合。 四、探究点2 过三点作圆 【探究点2】过不在同一直线上的三点作圆 追问1：如何过一个点A作一个圆？过点A可以作多少个圆？ 以不与A重合的任意一点为圆心、以该点到A的距离为半径画圆即可，可作无数个圆。理由是圆心、半径不确定时，过一点的圆有无穷多个。 追问2：如何过两点A、B作一个圆？过两点可以作多少个圆？ 作线段AB的垂直平分线，以其上任意一点为圆心、以该点到A（或B）的距离为半径画圆即可，可作无数个圆。 追问3：过不在同一直线上的三点，能不能确定一个圆？ 要先找圆心，使它到A、B、C的距离都相等。该点既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上。 如图，分别作AB的垂直平分线DE和BC的垂直平分线FG，交点为O，则OA=OB=OC。以O为圆心、OA为半径，便可作出经过A、B、C三点的圆。因为这样的圆心只能取O，半径等于OA，所以这样的圆只有一个。 归纳总结：不在同一直线上的三点确定一个圆。 （设计意图：由过一点、过两点作圆自然过渡到过三点作圆，渗透从特殊到一般。） 动手尝试过一点、过两点A、B作圆并体会有无数个，再探究过不在同一直线上的三点，作AB、BC的垂直平分线确定圆心，归纳“三点确定一个圆”。 以动手作图推进探究，将过三点作圆转化为求到三点距离相等的圆心，渗透转化与分类讨论思想。 五、典型例题 例2（网格找圆心D） 【典型例题】例2（在网格中确定弧所在圆的圆心） 例2　如图，在单位长度为1的正方形网格图中，一条圆弧经过网格点A、B、C三点，请在网格中进行下列操作：(1)在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置；(2)写出D点坐标为___________，并求⊙D的半径长。 【分析】(1)由垂径定理（弦的垂直平分线经过圆心）确定圆心D；(2)从图中直接读出点D的坐标，再由勾股定理求半径。 【详解】(1)如图，连接AB、BC，分别作出AB、BC的垂直平分线，其交点即为圆心D（见右图）。 (2)D点坐标为___________（作答区）； 连接DA，由勾股定理得半径 DA==。 答案：D点坐标为(2,0)，⊙D的半径长为2√5。 （设计意图：在网格中落实“找圆心、求半径”的作图与运算，强化垂径定理的应用。） 在网格中作AB、BC的垂直平分线找圆心D并填空写出其坐标，再用勾股定理求直径/半径长，体会数形结合。 通过网格作图落实垂径定理求圆心、勾股定理求半径，训练识图与计算能力。 六、探究点3 三角形外接圆及外心 【探究点3】三角形的外接圆及外心 已知△ABC，用直尺与圆规作出过A、B、C三点的圆。 学生动手作图：作两边垂直平分线求圆心，再作圆。 追问1：结合图形，指出⊙O和△ABC的位置关系，什么是三角形的外接圆？ ⊙O叫做△ABC的外接圆，△ABC叫做⊙O的内接三角形；经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。 追问2：什么是三角形的外心？怎样确定？ 外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心；确定方法：三角形三边中垂线的交点。 追问3：三角形的外心有什么性质？能说出理由吗？ 性质：外心到三角形三个顶点的距离相等，由线段垂直平分线的性质可得。 （设计意图：探究三角形外接圆、外心及性质，进一步把握“过三点作圆”的应用。） 用直尺和圆规作出△ABC的外接圆，结合图形理解外接圆、内接三角形、外心等概念，由中垂线性质归纳外心到三顶点距离相等。 通过尺规作图抽象出外接圆与外心概念，深化“三点确定一圆”的应用与中垂线性质的迁移。 七、典型例题 例3（△AOB外接圆） 【典型例题】例3（求△AOB外接圆） 例3　如图，将△AOB置于平面直角坐标系中，O为原点，∠ABO=60°，若△AOB的外接圆与y轴交于点D(0，3)。(1)求∠DAO的度数；(2)求点A的坐标和△AOB外接圆的面积。 【分析】求三角形外接圆的面积时，关键是确定外接圆的直径（或半径）长度。 【详解】(1)∵∠ADO=∠ABO=60°（同弧所对的圆周角相等），∠DOA=90°，∴∠DAO=30°。 (2)∵D(0，3)，∴OD=3。在Rt△AOD中，∠DOA=90°，故AD为△AOB外接圆的直径。 又∵∠DAO=30°，∴AD=2OD=6，而 OA=AD·cos30°=6×=3。 ∴外接圆半径 r=，点A的坐标为(3，0)，外接圆面积 S=。 （设计意图：融合直角三角形与圆周角，综合求外接圆半径与面积，强化外心与外接圆的应用。） 利用同弧圆周角相等求出∠DAO=30°，判断AD为直径，用30°角所对直角边及余弦求AD、OA，得到半径3、外接圆面积9π。 综合圆周角定理、含30°直角三角形与外接圆，训练直径判定与面积计算。 八、探究点4 反证法 【探究点4】反证法 问题：经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？动手画一画并交流。思考：为什么不能画出圆？ 反证探究：如图，假设过同一直线上的三点A、B、C可以作一个圆，设圆心为P，则点P既在线段AB的垂直平分线l₁上，又在线段BC的垂直平分线l₂上，即点P为l₁与l₂的交点。 又∵A、B、C在一条直线上（AB、BC在同一条直线上），∴l₁∥l₂（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），它们没有公共点； 这与“点P为l₁与l₂的交点”矛盾（也即过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）； ∴假设不成立，过同一条直线上的三个点不能作圆。这种证明方法叫做反证法。 追问1：什么叫反证法？ 先假设命题的结论不成立，然后由此经过推理得出矛盾（常与公理、定理、定义或已知条件相矛盾），由矛盾判定假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法。 追问2：从上面证明中，你能归纳出反证法的一般步骤吗？ ①假设命题的结论不成立（提出与结论相反的假设）；②从这个假设出发，经过推理，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 示例：可证平行线性质“两直线平行，同位角相等”。 已知：如图，AB∥CD，求证：∠1=∠2。 证明：假设∠1≠∠2。过点O作直线A′B′，使∠EOB′=∠2；由“同位角相等，两直线平行”得 A′B′∥CD。这样过点O就有两条直线AB、A′B′都平行于CD，这与平行公理“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”矛盾，故假设不成立，∠1=∠2。 （设计意图：通过“经过共线三点不能作圆”引出并理解反证法，掌握反证法一般步骤。） 动手尝试画过共线三点的圆，跟随假设、找矛盾的思路理解“共线三点不能作圆”，归纳反证法步骤，并用反证法证平行线性质“两直线平行，同位角相等”。 以“共线三点不能作圆”的矛盾推理引入反证法，结合平行线性质示例，把握反证法“反设—推理—找矛盾—下结论”的要点。 九、典型例题 例4（反证法证角） 【典型例题】例4（用反证法证角的大小） 例4　求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°。 已知：△ABC。求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。 【分析】按反证法三步骤：提出与结论相反的假设→推出矛盾→肯定结论。 【详解】证明：假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，则∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°，因此 ∠A+∠B+∠C>180°，而这与“三角形内角和等于180°”相矛盾。故假设不成立，所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°。 （设计意图：用反证法证明“至少有一个内角≤60°”，强化反证法的规范步骤。） 独立按“反设—推理—矛盾—肯定结论”完成例4，体会反证法在“至少存在型”命题中的应用。 以“至多/至少”型命题落实反证法的规范书写，突出“找矛盾”的关键。 十、当堂巩固 跟踪练习 【当堂巩固】跟踪练习 1．如图，平面直角坐标系中有4个点A、B、C、D。(1)在正方形网格中画出△ABC的外接圆，圆心M的坐标是___________；(2)若EF是⊙M的一条长为4的弦，点G为弦EF的中点，求OG的最大值。 【详解】（1）由网格中点A、B、C的坐标作垂直平分线求圆心，得圆心M坐标为(1,0)（见右图）。 （2）由M(1,0)及点A（或B）得⊙M的半径 R=；弦EF的长为4，则半弦长2，圆心M到弦EF中点G的距离为 ，故点G在以M为圆心、1为半径的圆上。设O为原点，当O、M、G三点共线且M在O、G之间时OG最大，OG==1+1=2。 答案：圆心M(1,0)；OG的最大值等于2。 2．课本课堂练习： （1）画出由所有到已知点O的距离大于或等于2cm、且小于或等于3cm的点组成的图形。 （2）体育课上，小明和小丽的铅球成绩分别是6.4m和5.1m，他们投出的铅球分别落在图中哪个区域内？ （3）如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心？ 【答案】（1）即以O为圆心、2cm与3cm为半径的两个同心圆所夹的圆环（含边界）； （2）6.4m落在半径约6~7m的环形区域（偏外位置），5.1m落在半径约5m附近的环形区域（偏内位置）； （3）因为A、B两点在圆上，圆心到A、B的距离相等，所以圆心在CD所在直线上。用此工具作出圆形工件的任意两条直径，它们的交点就是圆心。 （设计意图：学完新知识后及时课堂巩固，强化新知记忆、加深理解、反馈学情、查漏补缺。） 独立完成网格4点外接圆的作图与填空，求弦中点G的轨迹及OG最大值；完成课本课堂练习（圆环、铅球落区、找圆形工件圆心）并集体订正。 以作图、填空与课本练习巩固三点确定圆、外心性质及点与圆关系，及时反馈学情、查漏补缺。 十一、中考真题 能力提升 【中考真题】能力提升 1．（2025·江苏无锡校考）若圆的半径是5，圆心O的坐标是(0,0)，点P的坐标是(4,3)，则点P与⊙O的位置关系是（　　） A．点在圆外　　B．点在圆上　　C．点在圆内　　D．无法确定 【详解】∵P(4,3)，O(0,0)，∴ OP==5=r，故点P在⊙O上，故选B。 2．（2025·山东枣庄校联考）利用反证法证明“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设（　　） A．有一个锐角小于45°　　B．每一个锐角都小于45°　　C．有一个锐角大于45°　　D．每一个锐角都大于45° 【详解】提出与结论相反的假设应为“每一个锐角都大于45°”，故选D。 3．（2025·浙江宁波九年级校联考）已知点A、B，且AB=4√2，画经过A、B两点且半径为2的圆有（　　） A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．无数个 【详解】过A、B且半径为2的圆，圆心到A、B的距离都为2，圆心在AB的垂直平分线上。∵ AB=4，半径2，即 2r=4<AB=4，故不存在经过A、B两点且半径为2的圆，故选A。 4．（2025·安徽合肥校考）某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示。为复制该瓷盘需确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心。 【详解】(1)在圆形瓷盘的边缘选A、B、C三点；(2)连接AB、BC；(3)分别作出AB、BC的垂直平分线；(4)两条垂直平分线的交点就是瓷盘的圆心。 （设计意图：加入中考真题练习，明确考试方向、熟悉题型、检验学习成果、提升应考能力与兴趣。） 判断已知点与圆的位置关系；用反证法思想判断“先假设”；判定给定条件下过两点的圆是否存在；用尺规作残破瓷盘的圆心。 以中考真题为载体综合运用点与圆、三点作圆、反证法与作图，明确考向、提升应考能力。 十二、课堂小结 【课堂小结】回顾梳理 1.点与圆的位置关系及数量关系：点在圆内⇔d<r；点在圆上⇔d=r；点在圆外⇔d>r； 2.不在同一直线上的三点确定一个圆（分别作其中两条连线的垂直平分线，交点即圆心）； 3.三角形的外接圆：过三角形三个顶点的圆；外心：三边垂直平分线的交点，外心到三顶点距离相等； 4.反证法步骤：反设→推理→找矛盾→肯定结论（用于证明“经过同一直线上的三点不能作圆”等问题）。 （设计意图：对本课知识系统总结，帮助学生增强学习的主动性与连贯性。） 回顾点与圆的位置及等价关系、“三点确定一圆”、外接圆与外心、反证法步骤，梳理本课知识结构。 系统梳理点与圆、过三点作圆及反证法的知识脉络，建构圆的有关性质的整体认知。 十三、布置作业 【布置作业】分层作业 必做题：习题29.1第5、6题。 探究性作业：习题29.1第19题。 （设计意图：对本节课的知识进行分层巩固训练。） 记录分层作业并课后完成，巩固点与圆的位置关系、三点定圆及反证法。 必做题巩固基础，探究性作业拓展应用，落实本节课知识的巩固与延伸。 板书设计 29.1.2 过三点的圆 一、点与圆的位置关系 三者：圆内、圆上、圆外 判别：d<r内、d=r上、d>r外 用“⇔等价”双向表达 二、三点确定一个圆 过一点：无数个；过两点：无数个 过不共线三点：唯一一个 方法：两垂直平分线交点即圆心 三、三角形外接圆与外心 外接圆：过三顶点的圆 外心：三边中垂线交点(距三点相等) 四、反证法 反设→推理→矛盾→肯定结论 例：共线三点不能作圆 例题板演：例1、例2、例3、例4 学生板演区 教学反思 学科网（北京）股份有限公司 $