29.1.2过三点的圆教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“过三点的圆”核心知识，通过“破损圆形镜子复原”实际问题导入，类比“两点确定一条直线”，引导学生逐步探究过一点、两点、三点作圆的方法，构建“不在同一直线上三点确定一个圆”的认知支架，理解三角形外心与外接圆概念。 特色在于以作图探究为主线，通过画锐角、直角、钝角三角形外接圆，培养几何直观与空间观念，结合反证法证明“同一直线上三点不能作圆”，发展逻辑推理素养。实际问题与课堂练习结合，提升学生应用意识，为教师提供可操作的探究式教学案例，助力核心素养落地。

第29章圆 圆的有关概念：第二课时：29.1.2过三点的圆教学设计 一、素养目标 1.掌握过一点、两点、三点作圆方法，理解不在同一直线上三点确定一个圆，会找三角形外心、画外接圆； 2.通过作图探究归纳定理，借助垂直平分线推理外心性质，培养几何归纳与逻辑推理素养； 3.能利用定理解破损圆形复原等实际问题，体会数形结合思想，提升几何作图与解题应用能力. 二、教学重点、难点 重点：理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握作图方法；了解三角形的外接圆和三角形外心的概念. 难点：了解反证法的证明思想. 三、教学过程 1、创设情境 家里的圆形镜子摔碎了，只留下一块带圆弧的碎片.你能想办法配一块和原来一样大的圆形新镜子吗？ 2、探究新知 过两点可以作几条直线？ 有且只有一条(两点确定一条直线) 既然点可以作为确定直线的条件，是否也可以作为确定圆的条件呢？那么几个点可以确定一个圆呢？ 3、合作探究 (1) 经过一个点A能不能作圆？这样的圆能作出多少个？ (2) 经过两个点A，B能不能作圆？如果能，所作圆的圆心的位置有什么特点？ 过一点可以作无数个圆. 过两点可以作无数个圆，圆心在线段AB的垂直平分线上，半径是圆心和A、B这两点中一点的连线段. (3) 经过不在同一条直线上的三个点A，B，C能不能作圆？如果能，如何确定所作圆的圆心？ 经过不在同一条直线上的三个点A，B，C作圆，因为所作的圆要经过A，B，C三点，其圆心应满足到这三个点的距离都相等，所以所作圆的圆心既要在线段AB的垂直平分线上，又要在线段BC的垂直平分线上，显然所作圆的圆心就是这两条垂直平分线的交点. 如图，分别作线段AB和BC的垂直平分线l1，l2，设l1，l2相交点为O，则OA＝OB＝OC. 以点O为圆心，OA为半径，作出⊙O. ⊙O就是经过A、B、C三点的圆. 由作法可知，线段AB，BC的垂直平分线有且只有一个交点，所以⊙O的圆心是确定的，进而其半径也是确定的. 因此，经过A，B，C三点可以作一个并且只可以作一个圆. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 由下图可以看出，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心. 这个三角形叫作圆的内接三角形. ( 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，等于其外接圆的半径. ) 4、画一画 分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察并叙述各三角形与它的外心的位置关系. 锐角三角形的外心位于三角形内； 直角三角形的外心位于直角三角形斜边的中点； 钝角三角形的外心位于三角形外. 5、课堂练习 （1）如图，CD所在的直线垂直平分线段AB，怎样用这样的工具找到圆形工件的圆心？ （2）.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，作出它的外接圆，并求外接圆的半径长. 参考答案： （1） 、将A，B两点放在圆周上，沿CD画直线CD，再将A，B两点放在圆上的另外两点M，N。再沿着CD画直线EF，直线EF和直线CD交于点O，点O即为圆心。 （2） 外接圆的半径长为，画图如下： 6、思考 我们知道，经过不在同一条直线上的三个点，可以作一个圆，那么经过同一条直线上的三个点，可以作一个圆吗？ 如上右图，假设经过同一条直线l上的A，B，C三点可以作一个圆.设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l1上，又在线段BC的垂直平分线l2上，即点P为l1与l2的交点.而l1⊥l，l2⊥l，这与以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾.所以，经过同一条直线上的三个点不能作圆. 反证法 前面证明“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的方法与我们以前学过的证明不同，它不是直接去证明命题的结论，而是先提出与结论相反的假设(即假设经过同一条直线上的三个点可以作一个圆)，再推导出和定义、基本事实、定理或题设等相矛盾的结果，然后由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立.这种方法叫作反证法. 在某些情形下，反证法是很有效的证明方法.例如，对于平行线的性质“两直线平行，同位角相等”，由“两直线平行”直接推导“同位角相等”比较困难，可以采用反证法. 如图，我们要证明：如果AB∥CD，那么∠1＝∠2.假设∠1≠∠2，过点O作直线A′B′，使∠EOB′＝∠2.根据“同位角相等，两直线平行”，可得A′B′∥CD.这样，过点O就有两条直线AB、A′B′都平行于CD，这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”矛盾.这说明假设 ∠1≠∠2不正确，从而∠1＝∠2. 方法总结 反证法的证明步骤： (1)提出与结论相反的假设； (2)由假设出发，经过推理论证得出矛盾； (3)由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立. 四课内练习 1.用反证法说明：400人中至少有两个人的生日相同. 2.用反证法说明：一个三角形中不能有两个角是直角. 答案 1、 假设400人中每个人的生日都不相同。但每一年最多只有366天，400>366，矛盾，所以至少有两个人的生日相同. 2、 假设一个三角形有2个直角，则两直角和为180°，第三个角为0°，不能构成三角形，矛盾，所以一个三角形中不能有两个角是直角. 3、 五、课堂小结 1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？ 六、教学反思 本节课以作图探究推进“过三点的圆”学习，由过一点、两点逐步过渡到三点作图，学生基本掌握不在同一直线上三点确定一个圆的定理，能动手画出三角形外接圆。但课堂存在不足：探究作图时间分配不足，部分学生不会规范作垂直平分线，容易忽略“三点不共线”关键条件，反证法理解浅显。后续将增加实操练习，强化定理条件辨析，结合破损圆盘实例深化应用，分层讲解外心相关习题，提升学生几何推理与作图能力。 学科网（北京）股份有限公司 $