3.5 一元二次方程的应用 第1课时 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

湘教·九年级上册 变化率及利润问题 复习回顾 列方程解应用问题的步骤是什么？ ①审题 ②设未知数 ③列方程 ④解方程 ⑥答 一元二次方程模型在数学和实际生活中有着广泛的应用. ⑤验 新课探究 某省农作物秸秆资源巨大，但综合利用量十分有限，为推进资源节约集约利用，该省准备引进适用的新技术来提高秸秆的综合利用率，若今年的利用率为40%，计划后年的利用率达到90%，这两年秸秆利用率的年平均增长率是多少(假定该省每年产生的秸秆总量不变) ？ 若今年的利用率为40%，计划后年的利用率达 到90%，这两年秸秆利用率的年平均增长率是多少(假定该省每年产生的秸秆总量不变) ？ 分析 ：由于今年到后年间隔两年，所以上述问题涉及以下等量关系： 今年的利用率×(1+年平均增长率) = 明年的利用率. 明年的利用率×(1+年平均增长率) = 后年的利用率. 若今年的利用率为40%，计划后年的利用率达 到90%，这两年秸秆利用率的年平均增长率是多少(假定该省每年产生的秸秆总量不变) ？ 设 这两年秸秆利用率的年平均增长率为x，则根据等量关系，可列出方程: 40%( 1 + x )2 = 90%. 整理，得 (1+x )2 = 2.25. 解得 x1= 0.5 = 50%，x2= －2.5 (舍去). 因此，这两年秸杆利用率的年平均增长率为 50%. 为什么舍去 x =－2.5？ 例1 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来 实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为81元.求平均每次降价的百分率. 分析 本问题中涉及的等量关系是： 原价×(1－平均每次降价的百分率)2= 现行售价. 例1 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来 实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由 100 元降为81元.求平均每次降价的百分率. 解 设平均每次降价的百分率为x，则根据等量关系得 100 (1－x)2 = 81. 整理，得 ( 1－x )2 = 0.81. 解得 x1 = 0.1=10%，x2 =1.9 (舍去). 答：平均每次降价的百分率为 10%. 为什么舍去 x =1.9？ 平均变化率问题 类型 要点解读 平均增长率 平均降低率 若基础量为a，平均增长率为x，n 次增长后的终止量为b，则一次增长后的量为a(1+x)，两次增长后的量为a(1+x)²······依此类推，n 次增长后的量为a(1+x)n.即a(1+x)n = b. 若基础量为a，平均降低率为x，n 次降低后的终止量为b，则一次降低后的量为a(1－x)，两次降低后的量为a(1－x)²······依此类推，n 次降低后的量为a(1－x)n.即a(1－x)n = b. 随堂诊断 1. 某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为 20000个，1月底因市场对口罩需求量增大，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到 24200 个. (1) 求口罩日产量的月平均增长率； (2) 按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？ 1.某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为 20000个，1月底因市场对口罩需求量增大，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到 24200 个. 分析 设口罩日产量的月平均增长率为 x 基础量(起始量)(1月份) 20 000 第1次增长后的量(2月份) 第2次增长后的量(3月份) 4月份 20 000(1+x) 20 000(1+x)2 3月份平均日产量×(1+平均增长率) 1.某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为 20000个，1月底因市场对口罩需求量增大，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到 24200 个. (1) 求口罩日产量的月平均增长率； 解：设口罩日产量的月平均增长率为 x. 根据题意，得 20 000(1+x)2=2 4200 解得 x1= 0.1=10%，x2=－2.1(不合题意，舍去) 答：口罩日产量的月平均增长率为10%. 1.某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为 20000个，1月底因市场对口罩需求量增大，为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到 24200 个. (2) 按照这个增长率，预计4月份平均日产量为多少？ 24 200×(1+10%)=26 620 (个) 答：预计4月份平均日产量为26 620个. 2.某小区2013年屋顶绿化面积为2000平方米，计 划2015年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？ 解：设每年屋顶绿化面积的增长率为x. 则有 2000( 1+x)2=2880. 整理，得 ( 1+x )2=1.44. 解得 x1 = 0.2 = 20%，x2 =－2.2(不合题意，舍去). 答：每年屋顶绿化面积的增长率是20%. 例2 某商店从厂家以每件 21 元的价格购进一批商 品.若每件商品的售价为 x 元，则可卖出 (350一10x)件，但价格管理部门限定每件商品的售价不能超过进价的120%.若该商店计划从这批商品中获得 400 元利润(不计其他成本) ，问需要卖出多少件商品？此时的售价是多少？ 分析 本问题中涉及的等量关系是： (售价－进价) ×销售量 = 利润. 解：根据等量关系得 (x－21)(350－10x)=400 整理，得 x2 －56x + 775 = 0. 解得 x1=25，x2=31 答：该商店需要卖出100件商品，且每件商品的售价是25元. 又因为 21×120%=25.2，即售价不能超过25.2元， 故 x = 25，从而卖出 350－10x = 350－10×25=100(件) 所以 x = 31不合题意，应当舍去. 利润问题 销售问题中常见的几个等量关系 (1) 利润 =售价－进价； (3) 售价=进价×(1+利润率)； (4) 总利润 =总售价－总成本=单件利润×销售总量. 随堂诊断 3. 一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元.为了回馈消费者，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间的销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件. (1) 若降价 3 元，则平均每天的销售数量为_______件. (2) 当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1 200元？ 3. 一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件， 每件盈利 40 元.为了回馈消费者，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间的销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件. (1) 若降价 3 元，则平均每天的销售数量为_______件. 降低的钱数(元) 1 2 3 ··· x 销售数量(件) 分析： 20 + 2 20 + 4 20 + 6 ··· 20 + 2x 26 3. 一商店销售某种商品，平均每天可售出 20 件， 每件盈利 40 元.为了回馈消费者，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于 25 元的前提下，经过一段时间的销售，发现销售单价每降低 1 元，平均每天可多售出 2 件. (2) 当每件商品降价多少元时，该商店每天的销售利润为1 200元？ 每件盈利(元) 销售数量(件) 获得利润(元) 原来 现在 40 20 40×20 40－x 20 + 2x (40－x) (20+2x) 解：设当每件商品降价x元时，该商店每天的销售利润为1 200 元. 根据题意，得 (40－x)(20 + 2x)=1 200 解得 x1= 10，x2=20. 答：当每件商品降价 10 元时，该商店每天的销售利润为1 200 元. 因为要求每件商品盈利不少于25元， 所以 40－x ≥ 25， 解得 x ≤ 15， 所以 x = 20不合题意，舍去. 所以 x = 10. 4.李强承包一块山地种植果树，今年收获了一批 水果，打算以 m 元/ kg的零售价销售5 000 kg；剩余的 5 000(m+1)kg水果以比零售价低 1 元的批发价批发给外地客商，预计总销售额为55 000元. (1) 李强今年共收获水果多少千克？ (2)已知零售水果平均每天可售出 200kg，每千克盈利 2 元.为加快销售，采取了降价措施，发现销售单价每降低0.1 元，平,均每天可多售出 40kg.若日销售利润为 600元，则每千克应降价多少元？ 4.李强承包一块山地种植果树，今年收获了一批 水果，打算以 m 元/ kg的零售价销售5 000 kg；剩余的 5 000(m+1)kg水果以比零售价低 1 元的批发价批发给外地客商，预计总销售额为55 000元. (1) 李强今年共收获水果多少千克？ 思路分析 ： 销售总额 = 零售销售额+批发销售额 零售销售量×零售价 批发销售量×批发价 55 000 4.李强承包一块山地种植果树，今年收获了一批 水果，打算以 m 元/ kg的零售价销售5 000 kg；剩余的 5 000(m+1)kg水果以比零售价低 1 元的批发价批发给外地客商，预计总销售额为55 000元. (1) 李强今年共收获水果多少千克？ 解：根据题意，得 5 000m+5 000(m+1)(m－1) = 55 000 解得 m1= 3，m2=－4 (不合题意，舍去). 当 m = 3时，5 000 + 5 000(m+1) = 25 000(kg) 答：李强今年共收获水果 25 000千克. (2)已知零售水果平均每天可售出 200kg，每千克 盈利 2 元.为加快销售，采取了降价措施，发现销售单价每降低0.1 元，平均每天可多售出 40kg.若日销售利润为 600元，则每千克应降价多少元？ 思路分析 ： 日销售利润= 每千克盈利+日销售量 2－降价的价钱 600 (2)已知零售水果平均每天可售出 200kg，每千克 盈利 2 元.为加快销售，采取了降价措施，发现销售单价每降低0.1 元，平均每天可多售出 40kg.若日销售利润为 600元，则每千克应降价多少元？ 解得 x1= 0.5，x2=1. 因为要加快销售，所以 x =1. 答：每千克应降价 1元. 解：设每千克应降价 x 元. 根据题意，得 利用流程图表示运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤. 实际问题 建立一元二次方程模型 解一元二次方程 一元二次方程的根 实际问题的解 分析数量关系 设未知数 是否符合实际 做一做 练习 1. 某校图书馆的藏书在两年内从 5 万册增加到 7.2万册，问藏书的年平均增长率是多少? 解：设平均每年藏书增长的百分率为x. 则有 5(1+x)2 = 7.2. 整理，得 ( 1 + x )2 = 1.44. 解得 x1 = 0.2 = 20%，x2 =－2.2(不合题意，舍去). 答：平均每年藏书增长的百分率是20%. 2. 某品牌服装专营店平均每天可销售该品牌 服装 20 件，每件可获利 44 元.若每件降价 1 元，则每天可多售出 5 件．若要平均每天获利 1 600 元，则应降价多少元？ 解：设若要平均每天盈利 1600 元，则应降价x元. 则有 (20+5x) (44－x) = 1600. 整理，得 x2－40x +144=0. 解得 x1 = 36，x2 = 4. 答：若要平均每天盈利 1 600元，则应降价 36 元或 4 元. 3.某电脑公司2012年的各项经营收入中，经营电 脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2014年经营总收入要达到2160万元，且计划从2012年到2014年，每年经营总收入的年增长率相同，问2013年预计经营总收入为多少万元？ 解：设每年经营总收入的年增长率为x 则有 600÷40%×(1+x)2=2160. 整理，得 ( 1+x )2=1.44. 解得 x1=0.2，x2=－2.2(不合题意，舍去). 所以 每年经营总收入的年增长率为0.2 则2013年预计经营总收入为： 600÷40%×(1+0.2)=600÷40%×1.2=1800 答：2013年预计经营总收入为1800万元. 4.将进货单价为40元的商品按50元售出时，能 卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，若这种商品涨价x元，则可赚得y元的利润. (1) 写出 x 与 y 之间的关系式； 解：商品的单价为50 + x元，每个的利润是(50+x)－40元，销售量是500－10x个， 则依题意得 y =［(50+x)－40］(500－10x)， 即 y =－10x2 + 400x + 5000. (2) 为了赚得 8000 元利润，售价应定为多少元，这时应进货多少个？ 解： 依题意，得－10x2 + 400x + 5000 = 8000. 整理，得 x2－40x + 300=0. 解得 x1=10，x2=30. 所以商品的单价应定为50+10=60(元)或50+30=80(元). 当商品的单价为60元时，其进货量只能是500－10×10=400(个)； 当商品的单价为80元时，其进货量只能是500－10×30=200(个). 课堂小结 一元二次方程解决实际问题的步骤. 实际问题 建立一元二次方程模型 解一元二次方程 一元二次方程的根 实际问题的解 分析数量关系 设未知数 是否符合实际 $