精品解析：山东德州市夏津第一中学2026-2027学年高二上学期第一次月考数学试题

山东德州市夏津第一中学2026-2027学年 高二上学期第一次月考数学试题 一、单选题（本大题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，则（ ） A. 相等的角在直观图中仍然相等 B. 相等的线段在直观图中仍然相等 C. 菱形的直观图是菱形 D. 三角形的直观图是三角形 【答案】D 【解析】 【详解】如图： 平面正方形的直观图为平行四边形，且，，，，. 所以对A：，但直观图中，，故A错误； 对B：平面图形中，，但直观图中，，，所以，故B错误； 对C：正方形（也是菱形）的直观图为平行四边形，因为，所以四边形不是菱形，故C错误； 对D：据斜二测画法的规则可知，三角形的直观图是三角形，故D正确. 2. 已知，表示两个不同的平面，，，表示三条不同的直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面、平面与平面的平行和垂直的判定定理与性质定理判断即可. 【详解】选项A：若，，和可能平行，也可能异面，不是一定平行，A错误. 选项B：由线面垂直的判定定理可知：直线垂直于平面内两条相交直线才能推出线面垂直， 题干中未指明和不相交，不满足定理条件，B错误. 选项C：由面面平行的判定定理可知：一个平面内两条相交直线都平行于另一个平面，才能推出面面平行， 题干中和可能平行，此时和仍可以相交，C错误. 选项D：根据线面垂直的性质：若一条直线垂直于一个平面，另一条直线与该直线平行， 则另一条直线也垂直于这个平面，结论成立，D正确. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量垂直的性质得到其数量积为0，从而得解. 【详解】由 可得：， 展开得： ①， 已知 ， 则，，， 代入①可得： ，解得：. 4. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】设圆锥的底面半径为r，则其母线长为2r，高为， 所以该圆锥的表面积为， 设球O的半径为R，则球O的表面积为， 由题意知，所以， 圆锥的体积，球O的体积， 所以. 5. 如图，是的直径，点是所在平面外一点，点是圆周上不同于，的任意一点，若平面平面，则下列结论一定正确的是（ ） A. 平面 B. C. 平面 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用面面垂直的性质推理判断即可. 【详解】由是的直径，点是圆周上不同于，的任意一点，得， 又平面平面，平面平面，平面， 则平面，而平面，因此，B正确； 由不垂直于知不垂直于平面，A错误； 因与不一定垂直，故得不出平面,故C错误； 又因，但与不一定垂直，故得不出平面，从而推不出,即D错误. 6. 如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出圆台及球的轴截面，从而可得等腰梯形及其内切圆，再结合勾股定理及条件解方程可得. 【详解】作圆台及球的轴截面，圆台的轴截面是等腰梯形且与球的截面的圆相切，如图： 所以圆台的母线长. 由勾股定理得：，化简得①. 又，代入①得：，，解得或. 若时，则，，所以圆台的侧面积； 若时，则，此时几何体是圆柱不是圆台，不符合题意，舍去. 因此，圆台的侧面积为. 7. 如图，平面，为圆的直径，为圆上一点（不与，重合），点在线段上，且，若线段上存在一点满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】过点作，交于点， 平面，平面，， ，， ，即， 在平面内，过作于，连接. ，，，平面， 平面，，此即为满足条件的点， 是圆的直径，， ， ，即，故选项B正确. 8. 将一个斜边长为1的直角三角形绕其斜边旋转一周，所得几何体体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合圆锥体积公式得出几何体体积公式，利用直角三角形面积公式得出，利用勾股定理结合基本不等式求出，进而求出体积最大值． 【详解】设直角三角形两直角边为，斜边为，则， 设斜边上高为，则旋转体为两个共底圆锥，体积为： ， 由面积关系，故， 由勾股定理， 则，当且仅当时等号成立，故， 最大体积． 二、多选题（本大题共有3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的6分，选对但不全面得2分，有选错的0分.） 9. 如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出以下结论，其中正确的是（ ） A. OM∥PD B. OM∥平面PAC C. OM∥平面PDA D. OM∥平面PBA 【答案】AC 【解析】 【分析】根据已知条件，利用三角形中位线定理判定A正确；利用线面平行的判定定理判定C正确；根据线面平行的定义——没有公共点，判定BD错误. 【详解】因为矩形对角线的交点为O，所以O是BD的中点， 又M为PB的中点，为△的中位线， , 又平面,平面, 所以OM∥平面PDA， 故正确； 与平面有公共点,与平面有公共点,故BD错误. 故选：. 10. 在四边形中，，将折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 平面平面 D. 平面平面 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线面、面面垂直的判定定理以及线面、面面垂直的性质定理逐项判断即可. 【详解】对于B，如图， 因为， 所以，又因为，， 所以，所以， 所以，故B正确； 对于A，由B选项知， 又因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于C，由选项A知，平面， 因为平面，所以平面平面，故C正确； 对于D，如图， 过点A作，垂足为， 因为平面平面，平面，平面平面， 所以平面，显然平面， 所以平面与平面不垂直，故D错误. 故选：ABC. 11. 在棱长为1的正方体中，点M，N分别是，的中点，点P，Q分别是边，上的点（不包括端点），且．则下列说法中正确的有（ ） A. 平面 B. 与是异面直线 C. D. 三棱锥体积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项：利用线面平行性质得出平面; B选项：当时直线与相交; C选项：利用三角形全等证出； D选项：利用等体积法求三棱锥体积，再利用二次函数求体积的最大值. 【详解】因为点M，N分别是，的中点，所以， ，平面， 所以平面，即平面， 又，平面，故平面， A正确； 当时直线与相交， 理由如下： 取中点，连接， 因为均为中点，故，共面，又与不平行，故与相交，所以B错误； 过作，过作，连接，则, 因为平面，平面平面，所以， 故为平行四边形，，且，即， 所以，即，C正确； 因为， 设，则， ， 当且仅当时三棱锥体积最大，此时，故D正确. 三、填空题（本大题共有3小题，每小题5分，共15分.） 12. 如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，则该几何体的表面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的组合体，结合球的表面积公式、圆柱的侧面积公式计算即得. 【详解】依题意，该几何体的表面积是半球的表面积与圆柱侧面积的和， 所以所求表面积为. 故答案为： 13. 已知三棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，点Q在上（不同于点E），则异面直线与所成角的大小为______． 【答案】 【解析】 【分析】由条件证明平面，结合线面垂直定义可得，由此可得结论. 【详解】如图所示，连接， 由已知，，点为的中点， ，，又，平面， 所以平面，又平面ABE， 所以，故异面直线与所成的角的大小为． 14. 点是正四面体的棱上的动点，直线与平面所成角的正切值最大为___________ 【答案】 【解析】 【分析】点在平面中的射影为，连接，，则是直线与平面所成角的平面角，设正四面体的棱长为，则，，再根据求解即可. 【详解】如图，设正四面体中，点在平面中的射影为， 连接，，则平面，为正的中心， 所以是直线与平面所成角的平面角， 所以 设正四面体的棱长为，则，， 所以 所以 四、解答题（本大题共有5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图所示，四边形是矩形，且，若将图中阴影部分绕旋转一周. （1）求阴影部分形成的几何体的体积； （2）求阴影部分形成的几何体的表面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由圆柱的体积减去半球的体积即可求解． （2）分别求圆柱下底面、侧面和半球面的面积，即可求解； 【小问1详解】 ，，所求几何体的体积为． 【小问2详解】 由题意知，旋转体的表面由三部分组成，圆柱下底面、侧面和半球面， 因为，，，， 故所求几何体的表面积为； 16. 如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且． （1）以为一组基底表示向量； （2）求MN的长度； （3）求，两向量夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量运算的几何表示及空间向量基本定理求解； （2）利用空间向量数量积的运算性质即可求解； （3）利用空间向量夹角的余弦公式计算即可． 【小问1详解】 因为， 所以． 【小问2详解】 因为， 所以， 所以 ， 所以． 【小问3详解】 因为， 所以 ， ， 所以． 17. 如图，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，其中分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）若，求二面角的平面角的大小； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离． 【答案】（1）因为分别为的中点，所以， 又平面平面， 所以平面． （2）． （3）． 【解析】 【详解】（1）略 （2）连接，易知， 因为，所以，即． 因为为中点，所以， 又平面，所以平面， 又因为平面，所以平面平面， 所以二面角的平面角的大小为． （3）设点到平面的距离为， 因为是底面的垂线，，底面是等腰直角三角形， 所以， 由（2）知，又，所以为等边三角形， 所以， 因为，所以，即， 所以点到平面的距离为． 18. 如图，平面四边形中，点是线段上一点，，且，，，沿着将三角形折叠得到四棱锥，折叠后． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的正切值． 【答案】（1）在四边形中，因为，所以折叠后有，． 又，平面，平面，所以平面． 又平面，所以平面平面． （2）． 【解析】 【分析】（1）先证明平面．然后由面面垂直的判定定理得证面面垂直； （2）过点作交于，证明为二面角的平面角，然后在直角三角形中求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，又，故， 过点作交于，则，连接，， 因为平面平面，面面，平面， 且，所以平面． 因为平面，所以，， 中，，，， 由余弦定理得， 所以，所以， 又因为平面，所以平面， 而平面，所以， 所以为二面角的平面角． 所以在中，， 所以平面与平面夹角的正切值为． 19. 如图，为边长为2的正三角形，，和都垂直于平面，且，，.是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角； （3）若动点在线段上，求三棱锥的外接球半径的最小值及此时的位置. 【答案】（1）证明：延长，交于点，延长，交于点，连接， 平面，平面，，， ，即是线段上靠近的三等分点， 平面，平面，，， ，即是线段上靠近的三等分点， 为中点，是线段上靠近的三等分点， ，，， 平面，平面，平面； （2） （3）外接球半径的最小值为；为线段上靠近的三等分点 【解析】 【分析】（1）延长，交于点，延长，交于点，连接，利用三角形相似，即可得到，再利用线面平行判定定理即可得证； （2）利用（1）中的辅助线即可得到平面与平面的夹角的平面角，可得解； （3）作出和的外心，分别求出外接圆的半径，即可将三棱锥的外接球半径用表示，进而可求得最小值以及点的位置. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直角梯形中，，，，， ，同理可得，即为等腰三角形， 为中点，，即， 在平面中，，，， ，，， 是平面与平面的交线， 是平面与平面的夹角的平面角， ，，， 即平面与平面的夹角为； 【小问3详解】 ，，，平面， 平面， ，平面， 平面，平面平面， 在三棱锥中，设的外心为，的外心为， 过点作直线平面，过点作直线平面，交于点， 此时，，即三棱锥的外接球球心为， 在中，，，， 设外接圆半径为，则，解得，， 在平面中，四边形为矩形，即， 在中，，设外接圆半径为， 由正弦定理得，，即， 又， 要让三棱锥的外接球半径最小，即只要让最小， 在上动，， ，即三棱锥的外接球半径的最小值为， ，，四边形是平行四边形， ，此时为线段上靠近的三等分点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东德州市夏津第一中学2026-2027学年 高二上学期第一次月考数学试题 一、单选题（本大题共有8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一个选项是正确的.） 1. 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，则（ ） A. 相等的角在直观图中仍然相等 B. 相等的线段在直观图中仍然相等 C. 菱形的直观图是菱形 D. 三角形的直观图是三角形 2. 已知，表示两个不同的平面，，，表示三条不同的直线，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，，，则 D. 若，，则 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 4. 已知圆锥的轴截面是等边三角形，若该圆锥的表面积与球O的表面积相等，则该圆锥的体积与球O的体积之比为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，点是所在平面外一点，点是圆周上不同于，的任意一点，若平面平面，则下列结论一定正确的是（ ） A. 平面 B. C. 平面 D. 6. 如图，圆台的上、下底面半径分别为，且，半径为的球与圆台的上、下底面及每条母线均相切，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平面，为圆的直径，为圆上一点（不与，重合），点在线段上，且，若线段上存在一点满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 将一个斜边长为1的直角三角形绕其斜边旋转一周，所得几何体体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共有3小题，每小题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的6分，选对但不全面得2分，有选错的0分.） 9. 如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出以下结论，其中正确的是（ ） A. OM∥PD B. OM∥平面PAC C. OM∥平面PDA D. OM∥平面PBA 10. 在四边形中，，将折起，使平面平面，构成三棱锥，如图，则在三棱锥中，下列结论正确的有（ ） A. B. C. 平面平面 D. 平面平面 11. 在棱长为1的正方体中，点M，N分别是，的中点，点P，Q分别是边，上的点（不包括端点），且．则下列说法中正确的有（ ） A. 平面 B. 与是异面直线 C. D. 三棱锥体积的最大值为 三、填空题（本大题共有3小题，每小题5分，共15分.） 12. 如图，“蘑菇”形状的几何体是由半个球体和一个圆柱体组成，球的半径为，圆柱的底面半径为，高为，则该几何体的表面积为_______． 13. 已知三棱锥的所有棱长均相等，E为的中点，点Q在上（不同于点E），则异面直线与所成角的大小为______． 14. 点是正四面体的棱上的动点，直线与平面所成角的正切值最大为___________ 四、解答题（本大题共有5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 如图所示，四边形是矩形，且，若将图中阴影部分绕旋转一周. （1）求阴影部分形成的几何体的体积； （2）求阴影部分形成的几何体的表面积. 16. 如图，空间四边形OABC中，，点M，N分别在OA，BC上，且． （1）以为一组基底表示向量； （2）求MN的长度； （3）求，两向量夹角的余弦值． 17. 如图，将边长为2的正方形沿对角线折起，得到三棱锥，其中分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）若，求二面角的平面角的大小； （3）在（2）的条件下，求点到平面的距离． 18. 如图，平面四边形中，点是线段上一点，，且，，，沿着将三角形折叠得到四棱锥，折叠后． （1）求证：平面平面； （2）若，求平面与平面夹角的正切值． 19. 如图，为边长为2的正三角形，，和都垂直于平面，且，，.是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面的夹角； （3）若动点在线段上，求三棱锥的外接球半径的最小值及此时的位置. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $