精品解析：山东省德州市夏津第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

2025-2026学年上学期夏津一中高中数学 12月月考卷 一、单选题 1. 同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为6，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别算出，，结合公式即可求解. 【详解】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能， 所以事件包含的样本点个数有个， 所以， 事件包含的基本事件有：， 所以， 所以. 故选：A. 2. 哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先将5名教师志愿者分为4组，再将分好的4组安排4个地点参加志愿活动，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】根据题意，分2步进行： ①将5名教师志愿者分为4组，有种分组方法， ②将分好的4组安排4个地点参加志愿活动，有种情况， 则有种分配方案. 故选：C 3. 可表示为排列数（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据排列数公式计算求解. 【详解】. 故选：A. 4. 某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式，以及条件概率公式即可求解. 【详解】设事件：该观众私自携带应援物品；事件：安检门亮灯提示， 则. 某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为 所以. 故选:B. 5. 若的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则该展开式中的常数项为（ ） A. B. 45 C. D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式系数和求出n的值，即可求出展开式的通项公式，继而可求得展开式中的常数项. 【详解】由题意可知的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，故，则， 则展开式的通项公式为， 令，则，则该展开式中的常数项为. 故选：B 6. 从中任取2个数字，从中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字四位数有（ ） A. 216个 B. 162个 C. 108个 D. 180个 【答案】D 【解析】 【分析】对首位数字分类讨论并结合组合数的性质求解即可. 【详解】当选的数字包括时，共有种数字组合， 而不能放在首位，则每个组合的情况数为个， 可得总情况数共有个， 当选的数字不包括时，共有种数字组合， 此时每个组合的情况数为个， 可得总情况数共有个， 即一共可以组成没有重复数字四位数有个，故D正确. 故选：D 7. 某市为弘扬科学精神，激励青少年投身科技事业，特别策划了一场“致敬科技先锋”的主题活动.活动期间，需将A，B，C，D，E五位功勋人物的画像自左至右排成一行展示，且要求A与B的画像不相邻，E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】根据不相邻及特殊位置列式结合排列数计算求解. 【详解】因为A与B的画像不相邻，所以先排再插空排有种排法， 又因为E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为种排法. 故选：C. 8. 如图，一个环形的花坛被分成了编号为A、B、C、D的四个区域，现有4种不同的种子，要求同一区域种植同一种种子，且相邻区域种植的种子不同，则共有（ ）种不同的种植方法． A. 36 B. 60 C. 84 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】设k种种子排成环形的n个区域种植不同的方法数为,利用间接法，先求出排成一行的4个区域种植且相邻区域种植4种不同的种子的方法数，减去区域1和区域n种植相同种子的方法数，即得答案. 【详解】设k种种子排成环形的n个区域种植不同的方法数为， 若先考虑排成一行的区域种植且相邻区域种植不同种子，则方法数应为， ①若区域1和区域n种植不同种子时，则把区域1和区域n粘在一起成一个环状时满足条件： ②若区域1和区域n种植相同种子时，把区域1和区域n粘在一起成一个环状时不满足条件，此方法数需从种方法中被减掉． 所以，依题意，易得，则， 即． 故选：C. 二、多选题 9. 设函数，且记，则（ ） A. 数列的首项为1 B. 数列的前8项和为1 C. 数列的前8项和为-2187 D. 数列的前8项和为0 【答案】BD 【解析】 【分析】运用二项式展开式的性质，结合赋值法逐一判断即可. 【详解】由题意知，是常数项，是的系数，是的系数，即当时，数列的第项是展开式中的系数. 令，则，故A错误； 数列的前8项和等于，即展开式中所有项的系数之和， 令，则，故B正确； 数列的前8项和等于， 令，则，而， 则数列的前8项和为2187，故C错误； 数列的前8项和等于， 令，则， 因为，故D正确. 故选：BD 10. 中国的四大名著是《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》这四部经典文学作品．小明和他的两位同学共3人计划阅读其中一部，每人选一部作品，则（ ） A. 3人选择的作品均不同的方法总数为24 B. 恰有2人选同一部作品的方法总数为27 C. 恰有1人选《红楼梦》的概率是 D. 若小明已选择读《西游记》，其余两位同学至少有一人选择读《西游记》的概率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先确定总情况数，再针对每个选项，用排列或分步计数算事件数，概率用事件数÷总数求解. 【详解】首先分析总情况：3人每人选4部作品中的一部，总方法数为种. 对于A选项，3人选择的作品均不同的方法总数为，故A选项正确. 对于B选项,恰有2人选同一部作品:先选重复的作品，再选这2人，最后第3人选剩下的3部之一，方法数为,故B选项错误. 对于C选项,恰有1人选《红楼梦》：先选这一人，另外2人从剩下3部中选，方法数为 ，概率为,故C选项正确. 对于D选项,小明已选择读《西游记》，其余两位同学每人有4种选择，总情况为种， “至少有一人选择读《西游记》”的对立事件是“两人都不选《西游记》”，方法数为， 所以概率为,故D选项正确. 故选：ACD. 11. 甲袋中有3个黑球，2个白球，乙袋中有5个黑球，3个白球.这些球大小、形状完全相同.先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，记事件为“取出的是黑球”，事件为“取出的是白球”；再从乙袋中随机不放回取出两个球，记事件B为“取出的两球都是黑球”，事件C为“取出的两球为一黑一白”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知写出对应概率值，再应用条件概率公式、全概率公式计算相关概率判断各项正误. 【详解】由题设，，，，，， 所以，，. 故选：ABD 三、填空题 12. 若随机事件A，B相互独立，且，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】法一，根据概率的加法公式求解；法二，根据相互独立事件的性质及对立事件的概率求解. 【详解】解法一：因为事件A，B相互独立，所以，. 解法二：因为事件A，B相互独立，所以事件，也相互独立，所以. 故答案为：. 13. 的展开式中的系数为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】写出展开式的通项，得，再代入计算可得； 【详解】二项式展开式的通项为， 令，则，则，即的系数为. 故答案为：12. 14. 某高中高一举行演讲比赛，共有10名学生参加，其中一班有3名，二班有2名，其他班有5名，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3名学生恰好被排在一起（指演讲序号相连）的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用排列数求学生任意排、一班的3名学生恰好被排在一起的方法数，应用古典概型的概率求法求概率. 【详解】10名学生任意排有种，一班的3名学生恰好被排在一起， 所以一班的3名学生恰好被排在一起（指演讲序号相连）的概率为. 故答案为： 四、解答题 15. 已知在二项式的展开式中，第5项为常数项． （1）求的展开式中所有项的二项式系数之和； （2）在的展开式中，求含的项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）写出展开式的第5项，再令的指数为0，即可求出；根据二项式系数的性质计算可得结果； （2）由，写出展开式的通项，利用通项计算可得 【小问1详解】 由题意得第5项为， 则，解得． 则的展开式中所有项的二项式系数之和为. 【小问2详解】 由（1）知， 其中展开式的通项为（且）， 则的展开式中，含的项为，含的项为． 所以在的展开式中，含的项为． 16. 为庆祝中华人民共和国成立76周年，某中学举办“赓续中华文脉·厚植文化自信”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关中华优秀传统文化知识的问题.已知甲同学回答正确这道题的概率是，甲、丙两位同学都回答错误的概率是，乙、丙两位同学都回答正确的概率是.若各位同学回答是否正确互不影响. （1）求乙、丙两位同学各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三位同学中不少于2位同学回答正确这道题的概率 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）记“甲同学答对这道题”、“乙同学答对这道题”、“丙同学答对这道题”分别为事件，，，由题意得，可解出，． （2）先得出和，由对立事件概率公式可得结果． 【小问1详解】 记“甲同学答对这道题”，“乙同学答对这道题”，“丙同学答对这道题”，分别为事件，，， 则，且有，即 ， 则解得，． 【小问2详解】 由题意得有个同学回答正确的概率如下， 为， 有个同学回答正确的概率如下， 为 ， 故这道题不少于个同学回答正确的概率为. 17. 已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32． （1）求； （2）求展开式的系数和； （3）求展开式中的系数； （4）求展开式的第四项． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）二项式定理所有二项式系数和为代入即可； （2）令即可求得所有系数的和； （3）写出二项式的通项，可求得；（4）根据第三小问的通项即可求得. 【小问1详解】 因为二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32，即，所以. 【小问2详解】 令，，所以展开式的系数和为. 【小问3详解】 二项式展开式的通项为：，令，解得，所以当时，，所以展开式中的系数为. 【小问4详解】 令，，所以展开式的第四项为. 18. 修水一中文学社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加全县辩论大赛．（列式表明计算过程，结果用数字表示） （1）如果4人中，男生甲当队长必须参加，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ （3）辩论赛要求2男2女参加，坐成一排，且男生不相邻的，有多少种排座位方法？ 【答案】（1）56； （2）91； （3）720. 【解析】 【分析】（1）由题意从剩下的8人中选3人，应用组合数求方法数； （2）应用间接法，9人任选4人的选法数减去甲乙都不去的选法数，即可得； （3）应用分步计数，结合排列组合数求不同的排法数. 【小问1详解】 如果男生甲必须去，从剩下的8人中选3人即可，有种选法； 【小问2详解】 如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，共有种选法； 【小问3详解】 选2男2女，先排2位女生，将2为男生插入其中的3个空中，则有种排法. 19. 央视智力快车栏目自开播以来它就以比赛的公平性、竞争的激烈性、知识的权威性在中国同类电视竞赛中独占鳌头，深受电视观众欢迎，特别是在中学生当中具有极高的人气.高二学生小华参加节目并挑战“猜字谜”环节，该环节可以挑战2次，每次挑战中他最多依次有3道题的答题机会，答对1题得5分，答错1题扣3分.若他答对当前题则继续回答下一题；若他答错当前题则失去下一题的答题机会，只能从下一题的后一题开始继续作答，直到3道题出现完，该次挑战结束小华初始分为0分，若1次挑战结束后，累计得分不低于7分，则小华该次挑战成功，否则该次挑战失败．已知小华答对任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求： （1）第1次挑战结束时，小华恰好共答对了2道题的概率； （2）第1次挑战结束时，小华累计得分为正数的概率； （3）小华直到第2次才挑战成功的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】(1)由独立事件的乘法公式计算； (2)分三道均答对、前两道答对第三题答错、第一题答对第二题答错、第一题答错第三题答对四种情况，结合概率的加法公式和独立事件的乘法公式计算； (3)由概率的加法公式和独立事件的乘法公式计算小华在1次挑战中成功的概率，再利用独立事件的概率公式计算. 【小问1详解】 设第一次挑战结束后，小华恰答对2道题为事件， 小华恰答对2道，即小华前2题答对且第3题答错， 所以由独立事件的乘法公式得，， 故第一次挑战结束后，小华恰答对2道题的概率为； 【小问2详解】 设第1次挑战结束时，小华累计得分为正数为事件， 要想累计得分为正数，则三道均答对、前两道答对第三题答错、第一题答对第二题答错、第一题答错第三题答对， 所以由概率的加法公式和独立事件的乘法公式得， ， 故第1次挑战结束时，小华累计得分为正数的概率为； 【小问3详解】 设小华在1次挑战中成功为事件， 小华在1次挑战中成功，则只可能是第一道和第二道答对但第三道答错或三道均答对， 则， 设小华直到第2次才挑战成功为事件，即第1次失败，第2次成功， 故， 故小华直到第2次才挑战成功的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上学期夏津一中高中数学 12月月考卷 一、单选题 1. 同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为6，则（ ） A. B. C. D. 2. 哈三中百年校庆活动将5名教师志愿者分配到教学楼、田径场、艺体中心、普育广场4个地点参加志愿活动，每名志愿者仅去1个地点，每个地点至少需要1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A. 60种 B. 120种 C. 240种 D. 480种 3. 可表示为排列数（ ） A. B. C. D. 4. 某地区举办演唱会时，举办方为防止观众私自携带灯牌等应援物品，使用了安检门进行辅助检测.依照以往数据，任一观众私自携带应援物品的概率为，若观众确实携带，安检门亮灯提示的概率为；若观众没有携带，安检门依旧有的概率因误检其他物品而亮灯提示.若某观众通过安检门时被亮灯提示，则该观众确实私自携带应援物品的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 若的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则该展开式中的常数项为（ ） A. B. 45 C. D. 90 6. 从中任取2个数字，从中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字四位数有（ ） A. 216个 B. 162个 C. 108个 D. 180个 7. 某市为弘扬科学精神，激励青少年投身科技事业，特别策划了一场“致敬科技先锋”的主题活动.活动期间，需将A，B，C，D，E五位功勋人物的画像自左至右排成一行展示，且要求A与B的画像不相邻，E的画像只能排在两端，则满足条件的排法种数为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 26 8. 如图，一个环形的花坛被分成了编号为A、B、C、D的四个区域，现有4种不同的种子，要求同一区域种植同一种种子，且相邻区域种植的种子不同，则共有（ ）种不同的种植方法． A. 36 B. 60 C. 84 D. 120 二、多选题 9. 设函数，且记，则（ ） A. 数列的首项为1 B. 数列的前8项和为1 C. 数列的前8项和为-2187 D. 数列的前8项和为0 10. 中国的四大名著是《红楼梦》《西游记》《水浒传》《三国演义》这四部经典文学作品．小明和他的两位同学共3人计划阅读其中一部，每人选一部作品，则（ ） A. 3人选择的作品均不同的方法总数为24 B. 恰有2人选同一部作品的方法总数为27 C. 恰有1人选《红楼梦》的概率是 D. 若小明已选择读《西游记》，其余两位同学至少有一人选择读《西游记》的概率为 11. 甲袋中有3个黑球，2个白球，乙袋中有5个黑球，3个白球.这些球大小、形状完全相同.先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋，记事件为“取出的是黑球”，事件为“取出的是白球”；再从乙袋中随机不放回取出两个球，记事件B为“取出的两球都是黑球”，事件C为“取出的两球为一黑一白”，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题 12. 若随机事件A，B相互独立，且，，则__________. 13. 的展开式中的系数为___________． 14. 某高中高一举行演讲比赛，共有10名学生参加，其中一班有3名，二班有2名，其他班有5名，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班的3名学生恰好被排在一起（指演讲序号相连）的概率是________． 四、解答题 15. 已知在二项式的展开式中，第5项为常数项． （1）求的展开式中所有项的二项式系数之和； （2）在的展开式中，求含的项． 16. 为庆祝中华人民共和国成立76周年，某中学举办“赓续中华文脉·厚植文化自信”有奖问答比赛活动.某场比赛中，甲、乙、丙三位同学同时回答一道有关中华优秀传统文化知识的问题.已知甲同学回答正确这道题的概率是，甲、丙两位同学都回答错误的概率是，乙、丙两位同学都回答正确的概率是.若各位同学回答是否正确互不影响. （1）求乙、丙两位同学各自回答正确这道题的概率； （2）求甲、乙、丙三位同学中不少于2位同学回答正确这道题的概率 17. 已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为32． （1）求； （2）求展开式的系数和； （3）求展开式中的系数； （4）求展开式的第四项． 18. 修水一中文学社团共有学生9名，其中有5名男生和4名女生，现从中选出4人去参加全县辩论大赛．（列式表明计算过程，结果用数字表示） （1）如果4人中，男生甲当队长必须参加，那么有多少种选法？ （2）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ （3）辩论赛要求2男2女参加，坐成一排，且男生不相邻的，有多少种排座位方法？ 19. 央视智力快车栏目自开播以来它就以比赛的公平性、竞争的激烈性、知识的权威性在中国同类电视竞赛中独占鳌头，深受电视观众欢迎，特别是在中学生当中具有极高的人气.高二学生小华参加节目并挑战“猜字谜”环节，该环节可以挑战2次，每次挑战中他最多依次有3道题的答题机会，答对1题得5分，答错1题扣3分.若他答对当前题则继续回答下一题；若他答错当前题则失去下一题的答题机会，只能从下一题的后一题开始继续作答，直到3道题出现完，该次挑战结束小华初始分为0分，若1次挑战结束后，累计得分不低于7分，则小华该次挑战成功，否则该次挑战失败．已知小华答对任何一题的概率均为，各次作答结果相互独立，且他不会主动放弃任何一次作答机会，求： （1）第1次挑战结束时，小华恰好共答对了2道题的概率； （2）第1次挑战结束时，小华累计得分为正数的概率； （3）小华直到第2次才挑战成功的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $